Воробьев Михаил Валериевич МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТАНОВКИ И ПОДХОДЫ К ЧИСЛЕНННОМУ РЕШЕНИЮ

На правах рукописи
Воробьев Михаил Валериевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТАНОВКИ
И ПОДХОДЫ К ЧИСЛЕНННОМУ РЕШЕНИЮ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
ДЛЯ РАСЧЕТА КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Специальность 05.23.17 – Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва – 2009
2
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении
высшего профессионального образования Московский государственный
строительный университет.
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Золотов Александр Борисович
Официальные оппоненты: чл.-корр. РААСН, доктор технических наук,
профессор Андреев Владимир Игоревич
кандидат физико-математических наук, доцент
Жаворонок Сергей Игоревич
Ведущая организация:
ГУП Московский научно-исследовательский
и проектный институт типологии,
экспериментального проектирования
(МНИИТЭП)
Защита состоится « 1 » декабря 2009 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское
шоссе, д. 26, ауд. 420 УЛК .
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет.
Автореферат разослан «___» ________________ 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Анохин Н.Н.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Создание и внедрение в современную строительную практику новых видов конструкций, применение разнообразных
форм конструирования, внедрение новых материалов и новых технологий
строительства определяет актуальность задачи корректного и достоверного
численного расчета сложных комбинированных систем. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в
том числе, расчета комбинированных систем, является одним из важнейших
аспектов обеспечения безопасного проектирования.
Учитывая, что сложность соответствующих моделей может быть весьма высока, для достижения требуемой точности и скорости расчетов очевидна
необходимость применения ЭВМ. Среди современных вычислительных методов в большей степени внедрены в практику расчета строительных конструкций и сооружений метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ имеет полувековую историю развития, хорошо изучен и
заслуженно пользуется популярностью в среде расчетчиков. МГЭ появился
позднее и, в сочетании с современным уровнем мощности компьютерной техники и программного обеспечения, развития математики в области аналитических методов (теория обобщенных функций, теория граничных интегральных
уравнений) открывает новые вычислительные возможности исследования в
области расчета конструкций.
В настоящей работе разрабатывается и исследуется методика решения
задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных интегральных уравнений. Стыки конструкций всегда
являются зонами повышенной опасности, именно там чаще происходят разрушения. При этом важной исследовательской проблемой является задача
расчета соединений конструкций разной размерности или разной ориентации
в пространстве (например, стержень, расположенный перпендикулярно к
плите, или плиты, расположенные под углом друг к другу). Так же важным
является возможность корректного расчета фрагментов сооружений, математическая модель которых состоит из дифференциальных уравнений разного
порядка (например, балка на упругом полупространстве или балка, опирающаяся продольно на конструкцию, напряженное состояние которой описывается уравнениями плоской задачи теории упругости, и т.д.). В этих случаях
при стандартных подходах с позиций метода конечных элементов имеет место так называемая «несовместность» элементов, примыкающих к линиям
или поверхностям стыковок. Это происходит из-за того, что функции формы
стыкуемых конечных элементов представлены полиномами разного порядка.
Поэтому на границах соответствующих конечных элементов в решениях будут разрывы, что приводит к не всегда контролируемым и предсказуемым погрешностям. Из этого следует актуальность аналитического решения таких
задач, позволяющего либо непосредственно осуществить уточненный расчет
конструкции, либо использовать его для сопоставления и корректировки результатов численных расчетов.
4
Целью работы является развитие современных методов расчета
сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов. Для
достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:
1. Построение единой методики аналитического решения краевых задач
строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, позволяющей преодолеть трудности,
обусловленные явлениями типа краевого эффекта и наличием в решении
экспоненциальных составляющих с положительными аргументами
(настоящая методика является основой для разрабатываемых подходов к
численному решению краевых задач строительной механики для расчета
комбинированных систем).
2. Формулировка общей операторной постановки, обеспечивающей должную обусловленность соответствующих дискретных задач и безусловной
вариационной постановки (не налагающей дополнительных условий,
например, кинематических, на функции из области определения) краевой
задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.
3. Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения,
включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал
определен, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной)
краевой задачи об изгибе плиты.
4. Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения,
включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал
определен, не имеет ограничений, кроме наличия первой производной)
краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.
5. Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих
в разных плоскостях.
6. Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой балки-стенки (двумерная задача теории упругости) и балки.
7. Программная реализация и приложение разработанных подходов решения
тестовых и практических задач расчета строительных конструкций.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов
заключается в следующем:
1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.
2. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.
3. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты.
5
4. Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.
5. Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в
перпендикулярных плоскостях.
6. Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.
Практическая значимость работы состоит в:
 разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений;
 разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;
 разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки;
 в выполненных расчетах реальных конструкций.
Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов,
алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций при выполнении научно-исследовательских работ в МГСУ и ЗАО
«Научно-исследовательский центр СтаДиО».
На защиту выносятся:
1. Метод аналитического решения краевых задач строительной механики
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки
краевых задач об изгибе плиты, поперечном изгибе балки Бернулли и для
двумерной задачи теории упругости.
3. Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.
4. Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.
5. Постановки задач, ориентированные на численную реализацию.
6. Решения задач по разработанным численным подходам.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V, VII научнопрактическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки
в современном строительстве» (Москва, 2006, 2008 гг.); XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных
сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM»
(Санкт-Петербург, 2007 г.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь,
2008 г.); научно-техническая конференция Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и мо-
6
лодых ученых за 2007/2008 учебный год (Москва, 2008 г.); научные семинары кафедры информатики и прикладной математики под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2002-2009 гг.); научные
семинары в Научно-исследовательском центре «СтаДиО» под руководством
профессора А.М. Белостоцкого (Москва, 2002-2009 гг.).
Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных
результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов
с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по
другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности
решений специалистами в области НДС.
Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 18 работ, из них 3 в журналах перечня ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
шести глав, заключения, списка литературы, включающего 187 наименований, и четырех приложений. 140 страниц основного текста и 50 страниц приложений включает 93 рисунка.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы исследования,
сформулированы цели и задачи диссертационной работы, приведены основные положения, составляющие научную новизну, и отмечена практическая
значимость.
В первой главе приводится краткая характеристика и обзор литературы по методу конечных элементов (МКЭ), методу граничных интегральных
уравнений (ГИУ) и его практической реализации – методу граничных элементов (МГЭ). Указываются преимущества и недостатки указанных методов, в
особенности с позиций решения задач о расчете комбинированных систем
(вопросы «стыковки» конструкций и т.д.).
Отмечается, что проблема стыковки конструкций в МКЭ представляют специальный раздел изучения. Для ее разрешения разработаны методики,
использующие специальные функции формы, которые обеспечивают разный
порядок погрешности в разрыве (погрешность поточечная, среднеинтегральная и т.д.). В какой-то степени соответствующие вопросы носят теоретический характер, поскольку реальная расчетная схема зоны стыковки имеет
трехмерную размерность, несмотря на то, что состыкованы могут быть,
например, двумерные конструкции. Эти проблемы и соответствующая библиография отражены в работах Ф.М. Свойского. В целом, среди исследований в области МКЭ указываются работы М.В. Белого, А.М. Белостоцкого,
В.Г. Бельского, В.Е. Булгакова, А.И. Голованова, А.С. Городецкого, А.Б. Золотова, В.А.Игнатьева, В.Н. Корнеева, С.Б. Косицына, Е.М. Морозова, В.И.
Мяченкова, А.В. Перельмутера, В.А. Постнова, А.М. Проценко, Л.А. Розина,
В.А. Семенова, В.Н. Сидорова, В.И. Сливкера, С.И. Трушина, С.Ю. Фиалко,
7
Р.А. Хечумова, Н.Н. Шапошникова, К. Бате, Е. Вилсона, Р. Галлагера, О.
Зенкевича, Дж. Одена, Л. Сегерлинда, М. Секуловича и др.
Указывается, что наиболее естественным методом аналитического
подхода к задаче стыковки сооружений является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). При этом подходе задача сводится к некоторой
системе интегральных уравнений с неизвестными функциями, сосредоточенными по линии стыковки. Специфика состоит в том, что эти уравнения достаточно разные в случае стыковки таких конструкций как плита и плоская
задача теории упругости, причем наиболее сложной в математическом плане
оказывается плита. В этой связи постановке задачи должен предшествовать
анализ и реализация соответствующих ГИУ. Отмечается вклад в развитие
методов ГИУ и МГЭ таких ученых как С.М. Алейников, Ю.Г. Верюжский,
А.Б.Золотов, В.П. Клепиков, Ю.Д. Копейкин, С.В. Кузнецов, В.Д. Купрадзе,
М.И. Лазарев, А.М. Линьков, В.М. Лиховцев, О.В. Лужин, С.Г. Михлин, Н.И.
Мусхелишвили, В.З. Партон, П.И. Перлин, Л.Г. Петросян, В.С. Рябенький,
В.Н. Сидоров, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский, Р. Баттерфилд, П. Бенерджи, К. Бреббиа, С. Крауч, А. Старфилд, Д.К.Ф. Теллес и др.
Анализируются методы, основанные на рассмотрении задачи в расширенной области с дополнительными силовыми или кинематическими воздействиями, размещаемыми на границе области или за ее пределами, предложенные А.Б. Золотовым (метод стандартной области), Б.Г. Кореневым (метод
компенсирующих нагрузок), О.В. Лужиным (метод расширения заданной системы), Л.Г. Петросяном, Г.Я. Поповым, Р.В. Серебряным, В.И. Травушем
(метод обобщенных решений), А.И. Цейтлиным (метод дельтапреобразования).
Использование в диссертации аппарата обобщенных функций предопределило наличие в обзоре параграфов, посвященных их применению для
решения задач расчета конструкций.
Во второй главе описаны постановки краевых задач расчета балочных конструкций и корректные методы их аналитического решения. Данный
раздел диссертации является вводным по отношению к общей теме работы и
при этом имеет самостоятельное методическое значение.
В начале главы приводится общее описание корректного метода аналитического решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Затем на примерах конкретных задач строительной механики иллюстрируется применение предлагаемого метода. Строится общая операторная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли. За основу берется операторное соотношение
d2
d d
d  d2
d2
d2
d
Lv  2 EJ   Г   Г v    Г   Г  EJ 2 v   2 EJ 2 v , (1)
dx   dx
dx  dx
dx
dx
dx
 dx
2
2
d
d
где L  2 EJ 2 – дифференциальный оператор рассматриваемой задачи
dx
dx
о поперечном изгибе балки,    (x) – характеристическая функция области
8
  { x : 0  x   } ,  Г –дельта-функция границы  :  Г ( x )   ( x )   ( x  ) ,
 – длина балки.
Общая операторная постановка имеет вид:
(2)
LvF,
*
L v  L0 v   Г v   Г v ; F  F  f  g ;
где
(3)
2
2
d
d
(4)
L0  2 EJ 2 ;
dx
dx
d2
d
d2
d
d
d2 d
d2
 Г   Г 1 EJ 2   Г  2 EJ 2 ; *Г   2 EJ  Г 1  2 EJ Г  2 ; (5)
dx
dx
dx
dx
dx
dx dx
dx
2
 d

d


d
(6)
f   Г ~1Q   Г ~2 M ; g  2 EJ   Г 1v   Г  2  ,
dx
dx
 dx

причем оператор L0 по сути является оператором краевой задачи о поперечном изгибе балки с естественными краевыми условиями;  Г – граничный
оператор;  *Г – сопряженный граничный оператор; F – правая часть (нагрузка), заданная внутри области  ; f – статическая правая часть (нагрузка), задаваемая на границе области  ; g – кинематическая правая часть, задаваемая на границе области  .
Кроме того, при построении общей операторной постановки были
введены следующие характеристические функции краевых условий:


1 , vk  vk
1 ,  k   k
1k  
 2k  
,
,
(7)
0 , vk  ?
0 ,  k  ?




1
,
M

M
1
,
Q

Q
k
k
k
k
, ~2 k  (1   2 k )  
(8)
~1k  (1   1k )  
0
,
M

?
0
,
Q

?

k

k

  
Здесь v k ,  k , Qk и M k – известные (заданные) значения прогиба, угла поворота, поперечной силы и изгибающего момента на k -ой границе, а выражение  k  ? означает, что величина  k на k -ой границе не задана и является
искомой, k  1 для x  0 ; k  2 для x   .
Область определения этого оператора в общем случае не предполагает
специальных кинематических (главных) условий, налагаемых на соответствующие функции. Предлагаемый подход обеспечивает правильную обусловленность соответствующих дискретных задач, следующих из операторной постановки.
Поскольку оператор L краевой задачи в уравнении является самосопряженным, то этой задаче в соответствие может быть поставлена вариационная постановка в виде суммы квадратичного и линейного функционалов.
Соответствующий функционал имеет вид:
1
(9)
Ф(v)  ( L0 v, v)  ( Г v, v)  (F , v)
2
9
или
l
l
1
l
l



M
v
dx


Qv


M
v
  F vdx 
1
2
0
0
2 0
0
 l
 l
l
l
 ~1Qv  ~2 M  1Qv 0   2 M 0 ,
Ф (v ) 
0
(10)
0
где для произвольной функции  запись  0 означает  0   (l )   (0) .
Функционал Ф является безусловным (с точки зрения отсутствия дополнительных условий) обобщением функционала Лагранжа. Функционал
Лагранжа вытекает из него, если рассматривать Ф на множестве функций с
соответствующими кинематическими ограничениями.
В третьей главе представлены постановки краевой задачи об изгибе
плиты. Приводится единая операторная формулировка задачи для естественных краевых условий на основе метода стандартной области
 2M 11
 2M 12  2M 22


2

 q   Г Q   Г M x   Г M y , ( x , y )   , (11)
2
2
xy
x
y
x
y
где изгибающие и крутящий моменты M 11 , M 22 , M 12 определяются формулами M 11  D( 11   22 ), M 22  D( 11   22 ), M 12  0.5  D(1   ) 12 . Входящие в это представление компоненты тензора кривизны 11 ,  22 , 12
l
l
имеют вид 11   2 w / x 2 ,  22   2 w / y 2 , 12  2 2 w / xy . w – прогиб плиты; D  Eh 3 /[12(1   2 )] – цилиндрическая жесткость;  – коэффициент Пуассона материала плиты; E – модуль упругости; h – толщина; q –
плотность нагрузки; Q , M x , M y – поперечная сила и крутящие моменты на
границе плиты;  – исходная область;  – стандартная расширенная область:    ;    (x) – характеристическая функция области  (см. рис. 1).
Формулировка задачи представима также в более развернутом виде:
 2
 2
2
2
2
2
2
2 
2
2 

 2  2  2  2    2  2  2  2   2(1   )
w 

x

y

x

y

x

x

y

y

x

y

y

x






 q   Г Q   Г M x   Г M y , ( x, y)   . (12)
x
y
Дается операторное соотношение краевой задачи с использованием
граничных координат, определенное на всем пространстве
10


  
Рис. 1.
Lw  Lw   V  *   M   L*M    L*V   w ,
где L – оператор задачи об изгибе плиты, при этом
L  L*2 CL2  * L*1CL1 ;
 1 0 
 1 0 
L1   0  2  ; L1   0  2  ; L2  L1 




 2 1 
 2 1 
 12 
 2  *
* *
2
  2  ; L2   L1  1
 2 2  1 



(13)
(14)
 22

2*21* ;
(15)
 
   1   grad ;  *   1*
 2 


 *2  div ;  *k   k ;  k 

, k  1 , 2 ; (16)
xk
0
1 


;
(17)
CD 1
0


 0 0 0.5  (1   )
D – цилиндрическая жесткость,  – коэффициент Пуассона;
LM – оператор вычисления моментов по нормали, соответственно, L*M –
сопряженный к нему; LV – оператор вычисления обобщенных поперечных
сил на границе, соответственно, L*V – сопряженный к нему,
*
*
*
*
LM  
LM   
CL2  C
L1 ;
L2  C
при этом
или
L*M  L*M    L*2C   L*2 C  * L*1C ;
(18)
LV   LQ  * LM ; L*V   L*Q  L*M  ,
(19)
L*Q  L*Q   L*M L1  L*2CL1  * L*1C L1
(20)
L*Q   D 2 *   D 2 *  D 2  .
(21)
Здесь  2   12   22 – оператор Лапласа; LM – оператор вычисления моментов по касательной, соответственно, L*M – сопряженный к нему,
LM  * LM   * CL2  C* L2  C* L1 ;
L*M  L*M    L*2 C   L*2C   * L*1C ;
(22)
11
  – производная по нормали,  – производная по касательной;  – вектор
внутренней нормали к границе;  – вектор касательной к границе, направленный против часовой стрелки,
 
 
   1 ;    1;
(23)
 2 
 2 
  12 
 1 0 
  1 1

 1 0 
 1   2 
 1  




  0  2      2  ;   0  2   
 2 2    ; (24)

  2 

  2  

2 1 2 










 2  1 
1
2 1
 2
 1 2



*

  12  22 2 1 2 ; *   1 1  2 2  1 2   2 1   * ;
(25)


*
*
*
C  C ; C
 C
; C  C  C ; C*  C*  C
; (26)
V – обобщенная поперечная сила, M  – изгибающий момент (по нормали),
  – угол поворота по нормали, w – прогиб плиты.
На основе полученного операторного соотношения строится общая
операторная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты
Lw   1V  *   2 M   L*M  ~2  L*V  ~1 w 




 F0   ~1V  *  ~2 M   L*M   2  L*V   1 w . (27)


 
Здесь F0  Lw – нагрузка внутри области  и w ,   , M  , V – заданные величины, а характеристические функции краевых условий определены следующим образом
 1, w  задано
0 , V  не задано
 ~1 ( x )  1   1 ( x )  
, (28)
1 ( x )  
0
,
w

не
задано
1
,
V
задано


0 , M   не задано
 1,   задано
 ~2 ( x )  1   2 ( x )  
 2 ( x)  
. (29)
0 ,   не задано
1, M  - задано
Введем обозначения
~
L  L0     * ; F  F0  f   g  ,
(30)
где L0 – оператор краевой задачи с естественными краевыми условиями,   w –
граничный оператор, соответствующий заданным внешним нагрузкам, сопряженный к нему  * w ; F – объединенная правая часть; f  – правая часть, соответствующая заданным нагрузкам; g  – правая часть, соответствующая заданным перемещениям (кинематическим условиям):
L0  L*2CL2 ;   w    1V  *   2 M  ;  * w  L*M   2  L*V  1w ; (31)




F  F  f  g , где f   ~ V   *  ~ M ; g  L*     L*   w . (32)
0



 1
  2


M

2 
V
 1
Тогда общую операторную формулировку смешанной краевой задачи
можно представить как
~
Lw  F .
(33)
Очевидно, что полученная формулировка краевой задачи имеет самосопряженный оператор. Отметим, что такая постановка представляет собой единое
12
уравнение, включающее в себя все условия, определяющие краевую задачу как
внутри области, так и на ее границе. При этом его можно рассматривать на любой окаймляющей области. Самосопряженному оператору соответствует вариационная постановка. Квадратичный функционал этой постановки имеет вид
1 ~
(34)
(w)   ( L w, w)dx   ( F , w)dx
2
1
или (w)   (CL2 w, L2 w)dx    1 ( LV w, w)d    2 ( LM w,  w)d 
2




~
~
 ( F , w)dx   (V , w)d   ( M ,  w)d 



0

1

2





   1 ( w, LV w)d    2 ( , LM w)d .

(35)

Отметим, что такой функционал при некоторых кинематических
условиях (  1  1 или  2  1 ) может не быть положительно определенным.
Поэтому решением вариационной задачи является не минимум, а стационар~
ная точка функционала (функция w(x) удовлетворяет уравнению L w  F ).
Следует особо отметить, что представленный функционал является
безусловным, т.е. пространство функций, на котором он определен, не имеет
ограничений, кроме наличия второй производной.
Такой функционал можно назвать обобщенным функционалом Лагранжа. Отметим, что если рассматривать его на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычный функционал Лагранжа.
В четвертой главе представлены постановки краевой задачи теории
упругости. Приводится единая операторная формулировка задачи для естественных краевых условий на основе метода стандартной области
2
  j ij  Fi   Г f i  0 ,
( x , y)   ,
(36)
j 1
где
компоненты
тензора
напряжений
определяются
формулами
 ij   ij   2ij . В свою очередь, входящие в это представление компоненты
тензора деформаций имеют вид  ij  0.5  ( i u j   j ui ) . Кроме того,    11   22 ,
 ij – символ Кронекера, ui – компоненты вектора перемещений;  ,  – параметры Ламе, Fi – компоненты вектора объемной нагрузки, f i – компоненты вектора граничной нагрузки,  – исходная область,  – стандартная расширенная
область:    ,    (x ) – характеристическая функция области  .
Формулировка задачи представима в более развернутом виде
2
 [ j j ui  ( j i   i j )u j ]  Fi   Г f i  0 , i  1,2 . (37)
j 1
Дается операторное соотношение краевой задачи с использованием
граничных координат, определенное на всем пространстве
(38)
Lu  Lu      L*   u ,
13
где L – оператор задачи теории упругости, при этом
 1 0 
2   
*
*



0

2
L  L*1CL1 ; L1   0  2  ; L*1   1
; C 
*
*



0  2 1 

 2 1 
 0


2  
0
0  ; (39)

0
 
   11  22  12  ; u  [u1 , u 2 ] ;
(40)
– нормальные напряжения; L – оператор вычисления нормальных
напряжений, соответственно, L* – сопряженный к нему; L – оператор вычисления внутренних напряжений,
   L u ; L  * L ; L*  L*  ; L  CL1 ;
(41)
 1 0 
0 2

(42)
   0  2  ; *  T   1
;


 0  2 1 
 2  1 
 1 и  2 – компоненты вектора внутренней нормали,
На основе полученного операторного соотношения строится общая
операторная постановка смешанной краевой задачи теории упругости


(43)
Lw       L*  ~u + F0   ~  L*  u ,
 
Здесь F0  Lw – нагрузка внутри области  и u ,   , – заданные величины,
а характеристические функции краевых условий определены в виде
0 ,    не задано
 1, u  задано
 ~( x )  1   ( x )  
. (44)
 ( x)  
1
,

задано
0
,
u

не
задано



Введем обозначения
~
L  L0      * , где L0  L*1CL1 ;   u     ;  * u  L*  u ;
(45)
L0 – оператор краевой задачи с естественными краевыми условиями,   u –
граничный оператор, соответствующий заданным внешним нагрузкам, сопряженный к нему  * u ;


(46)
F  F  f  g , где f   ~ ; g  L*  u ;
0








F – объединенная правая часть; f  – правая часть, соответствующая заданным нагрузкам, g  – правая часть, соответствующая заданным перемещениям (кинематическим условиям).
Тогда общую операторную формулировку смешанной краевой задачи
можно представить как
~
(47)
Lw  F .
Очевидно, что полученная формулировка краевой задачи имеет самосопряженный оператор. Отметим, что такая постановка представляет собой единое уравнение, включающее в себя все условия, определяющие краевую задачу как
внутри области, так и на ее границе. При этом его можно рассматривать на любой окаймляющей области. Самосопряженному оператору соответствует вариационная постановка. Квадратичный функционал такой постановки имеет вид
14
(u ) 
(u ) 
или
1 ~
( L u , u )dx   ( F , u )dx
2
(48)
1
(CL1u , L1u )dx    ( L u , u )d   ( F0 , u )dx 
2 




~
   (  , u )d    (u , L u )d

(49)

Отметим, что такой функционал при некоторых кинематических
условиях (   1) может не быть положительно определенным. Поэтому решение вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка
~
функционала (вектор-функция u (x) удовлетворяет уравнению L u  F ).
Важно отметить, что представленный функционал является безусловным, т.е. пространство функций, на котором он определен, не имеет ограничений, кроме наличия первой производной. Такой функционал можно
назвать обобщенным функционалом Лагранжа. Отметим, что если рассматривать его на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычный функционал Лагранжа.
В пятой главе представлен метод численного расчета напряженнодеформированного состояния комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит как это схематично показано на рисунке 2
X1
X2
X3
Рис. 2
Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Следует отметить, что исследуемая конструкция
работает как трехмерная, однако все формулировки даны для плоских задач
(двумерная теория упругости и задача об изгибе плиты – для каждого из стыкуемых элементов). Каждая из этих задач рассматривается в своей локальной
системе координат. Переход от одной локальной системы к другой сводится
лишь к взаимной замене второго и третьего направлений. При этом положительное направление прогиба верхней плиты противоположно вертикальному направлению нижней плиты.
Верхняя конструкция
В соответствии с рисунком 3 введены следующие обозначения:   – область, занимаемая верхней плитой, s1 – ширина верхней плиты, s 2 – высота
верхней плиты,  – граница области   , не включающая участок границы, по
которому проходит стыковка плит, C – граница стыковки, h p – толщина плиты.
15
Гв
Гв
Гв
-s1/2
s2
Ωв
s1/2
0
X1
X2 Гс
Рис. 3.
Задача теории упругости – вторая краевая задача
Lu  FB , x   B
 f / h , x  B
u   B p
, где f C  [ f C1 , f C 2 ]T – неизвестные. (50)
 f C , x  C
Задача об изгибе плиты – вторая краевая задача
 M , x  B
V , x  B
DB 4 w  FPB , x  B , M  w   B
, L w   B
. (51)
 M C , x  C
VC , x  C
Здесь M C и V C – неизвестные, D B – цилиндрическая жесткость верхней
плиты, L M – оператор вычисления моментов по нормали, LV – оператор вычисления обобщенных поперечных сил на границе.
Нижняя конструкция
-a2
Ωн
-a1
Гс
b1
0
b2
X1
Гн
X2
Рис. 4.
На рисунке 4 показаны следующие обозначения:   – область, занимаемая нижней плитой,  – внешняя граница области   , C – граница
стыковки, d1  a1  b1 – длина нижней плиты, d 2  a 2  b2 – ширина нижней
плиты.
Задача теории упругости – первая краевая задача
Lu   с R , x   H , u  0 , x  H . Здесь R  [ R1 , R2 ]T – неизвестные. (52)
16
Задача об изгибе плиты – первая краевая задача
DH  w   c R3    c R4 , x  H , w  0 , x  H ,  w  0 , x  H .(53)
Здесь R3 и R 4 – неизвестные, DH – цилиндрическая жесткость нижней пли4
ты.   – оператор дифференцирования по внешней нормали   [ 1 , 2 ]T ,   –
оператор дифференцирования по касательной   [ 1 , 2 ]T ,
Уравнения стыковки краевых задач.
 h p f C1  R1
 u B1  u H 1
h f   R
 u w
 h C2
 B2
3
H
(54)


3
V
/
h

R
w


u
C
p
2
B
H
2


 VC   R4
 w B   2 w H
Здесь h p – толщина плиты, а направление x2 для нижней плиты противоположно направлению нормали к внутренней границе с .
Общий вид решения
Верхняя конструкция.
uB ( x )    уп ( x   )qB ( )d    уп ( x   ) FB ( )d , где q B  [ q B1 , q B 2 ]T ;(55)
B  c
wB ( x ) 
B

1 
 2


(
x


)
q
(

)
d


(
x


)
q
(

)
d

2
B3

B4
 




DB   
 
B  c
 B c
 . (56)
1

 2 ( x   ) FPB ( )d
DB 
B
Нижняя конструкция.
u H ( x )    уп ( x   ) R( )d +   уп ( x   )qH ( )d , где qH  [ qH 1 , qH 2 ]T ; (57)
c
H

 2
1 
+

(
x


)
R
(

)
d


(
x


)
R
(

)
d

2
3

4





DH c
 
c



 2
1 


(
x


)
q
(

)
d


(
x


)
q
(

)
d

+
2
H3

H4
 .




DH  H
 
H

wH ( x ) 
(58)
Здесь q Bk , q Hk , Rk , k =1, 2, 3, 4 определяются из краевых условий и уравнений
стыковки;  2 ( x ) – фундаментальная функция для оператора  4 ;  уп (x ) –
фундаментальная матрица-функция для оператора задачи теории упругости,
1 2
(59)
 2 ( x)   2 (r) 
r ln r 2 , r 2  x12  x 22 ;
16
1  2
1
 x12
 1 x1 x 2 

1 
уп



 ( x) 
ln
r

4


4

;
. (60)
2(2   ) 


  1 r 2
1  r 2
16 
  2
 1





В шестой главе представлен метод численного расчета напряженнодеформированного состояния комплексной системы (рис. 5) путем совместно-
17
го решения краевых задач двумерной теории упругости, изгиба балки и задачи
о сжатии-растяжении стержня.
-d2
d 2
-d1/2
X2
d1/2
d 2
X1
Рис. 5.
Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов.
Стенка (Двумерная задача теории упругости, плоское напряженное
состояние)
На рисунке 6 введены следующие обозначения:  – область, занимаемая стенкой, d 1 – ширина стенки, d 2 – высота стенки,   0  C – общая
граница области  : 0 – граница области  , не включающая участок границы, по которому проходит соединение с балкой, C – граница стыковки, h –
длина граничного элемента стенки.
Задача теории упругости – вторая краевая задача
 f , x  0
Lu  F , x   ,
u   0
(61)
 f c , x  C
Здесь f C  [ f C1 , f C 2 ]T – неизвестные.
Г0
Г0
Г0
-d1/2
0
d2
Ω
d1/2
X1
X2 Гс
Рис. 6.
Ищем решение задачи в виде
u(x)    уп ( x  y )v уп dy    уп ( x  y ) F ( y )dy ,


(62)
18
где v уп  [v уп ,1 v уп ,2 ] – неизвестная вектор-функция, сосредоточенная на границе.
Уравнение поперечного изгиба балки
 EJy 2( 4 )  q 2 , | x | d 2
, здесь q2 – неизвестная.



y
(

d
2
)

y
(

d
2
)

0

краевые
условия
 2
2
(63)
3
При этом E – модуль упругости; J  bhb / 12 – момент инерции: b – толщина
сечения, hb – высота сечения; d – длина балки.
Решение ищем в виде
y 2 ( x )  y 02 ( x )  P3 ( x ) ,
(64)
1
1
где y02 ( x ) 
( b  (1vb ))( x ) 
EJ
EJ
d1 2
  b ( x   )  vb ( )d ;  b ( x) 
d1 2
1
| x |3 ; (65)
12
 1( x ) – характеристическая функция отрезка [  d1 2 , d 1 2 ] ,  b (x) – фундаментальная функция оператора d 4 / dx 4 , v b – неизвестная функция;
P3 ( x )  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3 ;
(66)
коэффициенты ck , k  0, 1, 2, 3 определяются из краевых условий задачи,
которые можно представить в виде:
 P3 (  d 2)   y 02 (  d 2)
 P (  d 2)   y  (  d 2)
 3
02
(67)

P
(
d
2
)


y
(
d
2
)
3
02

 P3( d 2)   y 02
 ( d 2)
Уравнение продольных перемещений стержня
 EFy1  q1 , | x | d 2
, здесь q1 – неизвестная.
(68)

 y1 (  d 2)  0  краевые условия
При этом E – модуль упругости; F  hb b – площадь сечения: b – толщина
сечения, hb – высота сечения; d – длина стержня.
Решение ищем в виде
y1 ( x )  y 01 ( x )  P1 ( x ) ,
(68)
где
1
1
y01 ( x ) 
( ст  (1vст ))( x ) 
EF
EF
d1 2
  ст ( x   )  vст ( )d ;
(69)
d1 2
P1 ( x )  c0  c1 x ;
(70)
где  ст ( x) | x | / 2 – фундаментальная функция оператора d 2 / dx 2 ; v ст – неизвестная функция; коэффициенты ck , k  0, 1 определяются из краевых условий задачи, которые с можно представить в виде:
 P1 (  d 2)   y 01 (  d 2)
(71)

P
(
d
2
)


y
(
d
2
)
 1
01
В заключении перечислены основные результаты работы и выводы.
19
В приложении 1 на примере задачи о поперечном изгибе балки Бернулли рассматривается проблема согласованности весовых характеристик
P
смешанной краевой задачи.
В приложениях 2-4 приведеM
ны результаты численной реализации
разработанной методики. Представлены результаты счета для тестовых
примеров и их сравнение с результатами, полученными по верифицироX
ванным конечноэлементным комплексам, а также расчет фрагмента
Рис. 7.
X
X
конструктивной схемы здания регулярной силовой структуры «стена-плита перекрытия». Расчетная схема
фрагмента приведена на рис. 7. На рисунках 8 а) и б) показаны изолинии перемещений верхней стены, на рисунке 9 а),б),в) – изолинии прогибов и внутренних изгибающих моментов в нижней плите.
1
2
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0
-1.5
1.5
Рис. 8а) перемещения U1(мм)
-1
3
-0.5
3
3
2.5
2.5
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-2
-2
-2
-2.5
-2.5
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
Рис. 9а) прогиб w (мм)
0.5
1
1.5
Рис. 8б) перемещения U2(мм)
3
-3
0
-3
-2
-1
0
1
Рис. 9б) момент М11
2
-2
-1
0
1
Рис. 9в) момент М22
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
2
20
1. Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.
2. Сформулированы общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка на примере краевой задачи о поперечном изгибе балки
Бернулли.
3. Сформулированы общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевой задачи об изгибе плиты и краевой задачи для
двумерной теории упругости.
4. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета
комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.
5. Разработан и реализован на ЭВМ корректный численный метод расчета
комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.
6. На основе разработанных методов и программных комплексов решен
набор тестовых и практически важных задач.
Основные положения и результаты диссертации опубликованы в
следующих работах (общее количество – 18; ниже перечислено – 9):
1. Воробьев М.В. Стыковка стенки и балки. // Вопросы прикладной математики
и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №6. – М.: МГСУ, 2003, с. 133-141.
2. Воробьев М.В., Золотов А.Б., Михайлов Д.В., Мозгалева М.Л. Метод граничных элементов решения краевых задач для уравнения Лапласа. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр.
№7. – М.: МГСУ, 2004, с. 115-129.
3. Воробьев М.В., Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева М.Л. Численное решение задачи стыковки двух плит. // Вестник МГСУ, №1, 2007, с. 152-154.
4. Mozgaleva M., Mikhaylov D., Vorobjev M. Some practical methods of direct
regularization of singular integral operators in structural analysis // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Issue
2, 2007, p. 61-69.
5. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Аналитическое решение для балочных
конструкций // Сб. докладов научно-технической конференции ИФО
МГСУ за 2007/2008 уч. год. –М.: 2008, с. 141-159.
6. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Операторная и вариационная постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты. // Сб. докладов научно-технической
конференции ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. –М.: 2008, с. 177-188.
7. Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Прямая постановка граничной задачи изгиба тонкой плиты // Сб. докладов научно-технической конференции
ИФО МГСУ за 2007/2008 уч. год. –М.: 2008, с. 169-176.
8. Золотов А.Б., Мозгалева М.Л., Воробьев М.В., Михайлов Д.В. Общая
операторная постановка краевой задачи теории упругости (оператор
жесткости) // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №11. – М.: МГСУ, 2008, с. 206-213.
21
9. Мозгалева М.Л., Золотов А.Б., Воробьев М.В. Некоторые вопросы задач о
стыковке строительных конструкций // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 4, Issue 2, 2008, p. 93-94.