Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Экономики

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет Экономики
Программа дисциплины:
Математическая экономика
для направления 080100.62 - Экономика
подготовки бакалавра
Автор программы: В. А. Булавский
Рекомендована секцией УМС
Математические и
статистические методы в экономике
Одобрена на заседании
кафедры "математическая
экономика и эконометрика»
Председатель А.С. Шведов
Зав. кафедрой Г.Г. Канторович
«____»______________2006 г.
«_13_»____января_____2006 г.
Утверждена УС факультета Экономики
Т.А. Протасевич
«____»______________2006 г.
Москва, 2006
Пояснительная записка
I.
Автор программы: д.ф-м. н., профессор Булавский В.А.
Требования к студентам: Учебная дисциплина "Математическая экономика" (1-2 модули
учебного плана 4 курса) опирается на курсы "Математический анализ", "Линейная алгебра",
"Методы оптимальных решений", а также на опыт экономико-математического моделирования,
который получен студентами в процессе изучения экономических дисциплин.
Аннотация: Учебная дисциплина вводит студентов в проблематику, связанную с построением
многомерных экономико-математических моделей. Изучение таких моделей нацелено как на
использование их для расчета тех или иных плановых решений, так и на формирование
качественных представлений о процессах, происходящих в реальной экономике. Курс может
рассматриваться также как иллюстрация применения в экономико-математическом
моделировании математических дисциплин, с которыми студенты знакомились в
предшествующие годы обучения. Одновременно он может служить подготовительным этапом
для изучения более продвинутых курсов по экономическим моделям в магистратуре. Поэтому
дисциплина является существенной составляющей общей подготовки современного
экономиста.
Формы контроля: Программа курса предусматривает 32 часа лекций и 32 часа семинарских
занятий. В качестве промежуточного контроля предусмотрены 1 домашнее задание (20 %
итоговой оценки) и 2 контрольные работы (по 30 %), окончательно – зачет (20 %).
II.
№
Раздел 1
Тема 1.1
Тема 1.2
Тема 1.3
Раздел 2
Тема 2.1
Тема 2.2
Тема 2.3
Раздел 3
Тема 3.1
Тема 3.2
Всего
Тематический план.
Наименование разделов и тем
Линейные модели
экономики
Линейное
программирование
Модели производства
Леонтьевского типа
Линейные модели
равновесия
Нелинейные
экономические модели
Сбалансированный рост в
нелинейных моделях
Динамика доходов при
внешних расходах
Теория потребительского
выбора
Нелинейные
оптимизационные
модели
Задача выпуклого
программирования
Параметризация и
маргинальные значения
всего
Аудиторные часы
лекции
семинары
Самостояте
льная
работа
21
3
3
15
25
4
4
17
37
5
5
27
21
3
3
15
25
4
4
17
37
5
5
27
25
4
4
17
25
4
4
17
216
32
32
152
III Содержание программы
Раздел 1. Линейные модели экономики
Тема1.1 Линейное программирование.
Общее описание линейной модели: технологии и факторы (блага, товары и т.п.);
интенсивности технологий и гипотеза линейности; затраты, связанные с использованием
технологий и двойственные переменные (цены, оценки). Линейная модель в форме уравнений с
условиями неотрицательности; двойственная модель относительно оценок факторов; понятие
допустимости и оптимальности. Условия дополнительности как признак оптимальности
допустимых решений. Понятие крайнего решения; невырожденность. Линейная модель в форме
неравенств с условиями неотрицательности; двойственная модель, крайние решения и
невырожденность.
Зависимость оптимального значения от правой части ограничений и коэффициентов
функции затрат (маргинальная функция). Свойство выпуклости-вогнутости маргинальной
функции; ее кусочная билинейность. Маргинальные значения: совпадение решений пары
двойственных задач с производными маргинальной функции по выпуску и затратам.
Примеры линейных моделей: задача о диете (рационе), транспортная задача. Примеры
параметризации задания (выпуска) и их экономическая трактовка.
Тема 1.2 Модели производства леонтьевского типа
Общая модель Леонтьева с несколькими способами производства каждого товара; теорема о
замещении и простая модель Леонтьева. Свойства продуктивности, прибыльности и
неотрицательной обратимости; их эквивалентность.
Модель расширяющийся экономики, допустимые траектории и сбалансированный рост.
Существование траектории максимального сбалансированного роста. Связь со спектральными
свойствами неотрицательных матриц. Понятие неразложимости модели, положительность и
единственность луча сбалансированного роста. Циклические и ациклические модели.
Модель динамики отраслевых доходов при наличии внешних расходов; матрица структуры
(долей) межотраслевых финансовых потоков и матрица эффективных долей, ее
продуктивность. Связь темпа роста внешних расходов с темпом роста прибыли. Траектория
сбалансированного роста и ее глобальная устойчивость.
Тема 1.3 Линейные модели равновесия
Пара двойственных задач линейного программирования как описание действий двух
независимых агентов. Условия дополнительности как условие равновесия.
Разделение ресурсов на локальные и глобальные; децентрализация принятия решений путем
назначения надлежащих цен на глобальные ресурсы. Нестрогая управляемость в условиях
линейности.
Модель дележа (распределения) заданного набора благ при фиксированных бюджетах и
предпочтениях, заданных функциями полезности. Понятие равновесия и сведение задачи к
максимизации взвешенного критерия при линейных ограничениях.
Раздел 2. Нелинейные экономические модели
Тема 2.1 Сбалансированный рост в нелинейных моделях
Свойство положительной однородности производственных отображений; его экономический
смысл. Задание положительно однородного отображения его значениями на стандартном
симплексе. Допустимые траектории и сбалансированно растущие траектории.
Теорема Брауэра о неподвижной точке и существование сбалансированно растущей
траектории. Существование траектории максимального сбалансированного роста для
положительно однородных производственных отображений.
Свойства монотонности, неразложимости и примитивности производственного отображения.
Относительная устойчивость траектории максимального сбалансированного роста по Солоу –
Самуэльсону.
Тема 2.2 Динамика доходов при внешних расходах
Модель межотраслевых финансовых потоков; виды траекторий сбалансированного роста:
самоподдерживающийся рост, рост при внешних инвестициях, рост при изъятии части дохода.
Условие существование траектории сбалансированного роста при инвестициях; условие
единственности луча сбалансированного роста. Устойчивость при неавтономном росте.
Тема 2.3 Теория потребительского выбора
Отношение предпочтения, задаваемое функцией полезности и его свойства; бюджетное
ограничение и функция спроса, ее основные свойства. Аксиома выявленного предпочтения.
Функция компенсированного дохода, соотношение Слуцкого.
Раздел 3. Нелинейные оптимизационные модели
Тема 3.1 Задача выпуклого программирования
Экономический смысл выпуклости допустимого множества левых частей ограничений и
целевой функции. Седловая точка функции Лагранжа и пара двойственных задач. Признак
оптимальности в дифференциальной форме. Случай негладких выпуклых функций.
Тема 3.2 Параметризация и маргинальные значения
Экономический смысл параметризации и маргинальная функция. Связь маргинальной
функции с решениями пары двойственных задач. Экономический смысл сопряженной функции
и производных маргинальной функции.
IV Литература
Основная:
1. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.
2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.:
Мир, 1964.
3. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.:
Прогресс, 1975.
5. Ашмаков С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
Дополнительная:
1. Вентценль Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука,
1980.
2. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании (под ред.
Гольштейна Е.Г.) М.: Наука, 1991.
3. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М.: Мир, 1971.
4. Хазанова А.Э. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие. М.: БЭК,
1998
5. фон Нейман Дж., Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука,
1970.
6. Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
1. Различные интерпретации задачи линейного программирования.
2. Соотношение двойственности в линейном программировании и экономический смысл
двойственных переменных.
3. Соотношение между Седловыми точками функции Лагранжа и решениями прямой и
двойственной задач выпуклого программирования.
4. Свойства маргинальной функции в задаче выпуклого программирования.
5. Классификация неотрицательных матриц.
6. Основные теоремы о спектральных свойствах неотрицательных матриц.
7. Простая модель Леонтьева.
8. Общая модель Леонтьева и теорема о замещении.
9. Теорема о существовании траектории максимального сбалансированного роста в модели
Солоу - Самуэльсона.
10. Сбалансированный рост при внешних расходах.
11. Теорема о свёртке критериев и модель дележа.
12. Двумерный вариант модели обмена: способ практического решения.
13.01.2006
_____________________________/ Булавский В.А../
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет экономики
Кафедра математической экономики и эконометрики
Контрольно-измерительные материалы
к программе дисциплины
«Математическая экономика»
для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра 4 курс
2008-2009 учебный год.
Формы контроля: домашнее задание; 2 контрольные работы; зачет.
Примерный вариант домашнего задания
В экономической системе с одним производственным субъектом (в дальнейшем – фирмой) производится и
продается два вида товаров, для производства которых используется четыре вида производственных факторов: два
вида сырья и производственные мощности по каждому товару. Производственные мощности по 1-му товару
позволяют производить его в количестве не более 20 единиц, затрачивая при этом на единицу 1-го товара 1
единицу сырья 1-го вида и 1 единицу сырья 2-го вида. По 2-му товару производственные мощности позволяют
производить его в количестве не более 10 единиц, затрачивая на единицу 2-го товара 4 единицы сырья 1-го вида и
2 единицы сырья 2-го вида. Количества произведенных товаров не могут быть отрицательными. У фирмы имеется
44 единицы сырья 1-го вида и 28 единиц сырья 2-го вида. Весь объем произведенных товаров фирма продает по
ценам P1 и P2, соответственно, и стремится максимизировать выручку. Для описанной ситуации решить
предложенные ниже задачи. Результаты представить таблично и графически; объяснить, как они получены.
A. Написать задачу линейного программирования для определения объемов X1 и X2 производства 1-го и 2-го
видов товаров в зависимости от цен P1и P2 (фирма ведет себя конкурентно на рынках обоих товаров).
B. Предположим, что государство по цене P2=1 закупает у фирмы весь произведенный ею объем 2-го товара.
Первый же товар фирма продает на свободном рынке и ведет себя на нем конкурентно. Определить объемы
производства X1и X2, а также выручку фирмы (P1) в зависимости от цены P10 первого товара.
C. Государство снова весь 2-й товар закупает по цене P2=1, а функция спроса на рынке 1-го товара имеет вид
:D(P1)=28 – 12P1, если P1[0,7/3], D(P1)=0, если P17/3. Определить два варианта равновесия: при
конкурентном и монопольном поведении фирмы на рынке 1-го товара.
D. Государство использует назначаемую цену 2-го товара P2 как инструмент регулирования. Опираясь на
результаты пункта задания C, при той же функции спроса определить равновесие в зависимости от цены
P2
. Рассмотреть варианты конкурентного и монопольного поведения фирмы на рынке 1-го
товара.
E. Предположим, что оба товара фирма продает на свободных (но связанных друг с другом) рынках с общим
обратным отображением спроса
P1=2 X1 + X2 ,если X1–X2 2, и P1=0, если
X1 X2>2,
P 2=2 + X1 – X2, если X2–X1 2, и P2=0, если X2 – X1>2.
Каким будет равновесие, при монопольном поведении фирмы на обоих рынках и каким при
конкурентном поведении?
Примерный вариант контрольной работы 1
A. В задаче математического программирования на экстремум
(X 1–μ )2+(X2–
2
3+μ ) extr при ограничениях X1+X21, X10, X20
для значений параметра
μ
способом перебора вариантов активных ограничений описать все точки локального
максимума и локального минимума, а также построить графически зависимость от
наибольшего и
наименьшего значений целевой функции.
B. Пусть
φ(μ)=min{4(X1)2+μ(X1
2
+X2+1) | (5–μ)X1+(μ+1)X24, (2μ–1)X1+X20, X20}. При значении параметра μ=2 получить решение
задачи и множители Лагранжа, а также вычислить производные по μ решения, множителей Лагранжа и
оптимального значения целевой функции (тоже при μ=2).
Примерный вариант контрольной работы 2
ОБРАЗЕЦ
2-я Контрольная работа по курсу «Математическая экономика» (Э4 ММАЭ)
A. Для задачи с двумя критериями
F 1(X1,X2)=1–(X1–16)2–(X2–
16)2, F2(X1,X2)=min{1–(X1+2)2–(X2–12)2;1–(X1–8)2–(X2+8)2} выполнить следующие задания:
1) на плоскости (X1,X2) определить эффективные точки; ответ проиллюстрировать графически;
2) достроить эффективные точки на прямоугольнике 0X120, 0X212;
3) найти варианты
конкурентного обмена при начальных запасах a1=(1, 11), a2=(19, 1) и функциях полезности
u1(X1,X2)=F1(X1,X2), u2(Y1,Y2)=F2(20–Y1,12–Y2).
B. В общей модели Леонтьева с двумя товарами для каждого из них имеется по две технологии производства.
Общая матрица затрат H имеет вид следующей таблицы, в которой первые два столбца описывают технологии
производства 1-го товара, а последние два столбца – технологии производства 2-го товара:
1/4 1/8 1/8 1/4
2 3/2 1/4 1/8 .
Текущие затраты при единичной интенсивности использования каждой из этих технологий задаются строкой c=(4,
9, 1, 0). Выполнить следующие задания:
1) выбрать технологии для простой модели Леонтьева,
дающие минимальные суммарные текущие затраты;
2) обозначим через X1 и X2 интенсивности использования выбранных в предыдущем задании технологий, через
P1 и P2 цены товаров, а через Y1 и Y2 объемы спроса на товары. При ограничениях 4X1+X240, X10, X20 на
интенсивности использования технологий и при отображении спроса
Y1=4–4/9P1+2/9P2, Y2=4+2/9P1–4/9P2
определить план использования
выбранных технологий, дающий наибольший чистый доход (при нашем монопольном поведении и с учетом
текущих затрат).
Примерный вариант зачетной работы
ОБРАЗЕЦ
ЗАЧЕТ-ТЕСТ
По курсу «Математическая экономика» (Э.4 ММАЭ)
Обведите кружком ответ «да» или «нет», который Вы считаете
правильным. За правильный ответ начисляется 1 очко, за
неправильный снимается 1 очко. Если ответа нет или (по мнению
экзаменатора) он не вполне понятен, Вам начисляется 0 очков.
A. Фирма производит два вида товаров и использует при этом два вида производственных факторов. Возможные
объемы x=(X1,X2)T производства описываются системой неравенств вида Axr, где A – квадратная матрица затрат
второго порядка, а r –столбец, показывающий количества производственных факторов, имеющихся у фирмы.
Обратное отображение спроса на рынке производимых товаров имеет вид p=p 0–xTB, где p0 –некоторая постоянная
строка, а B -- квадратная матрица второго порядка. Пусть Y1 и Y2 – оценки производственных факторов.
Известно, что при конкурентном поведении фирмы на рынке обоих товаров выбор ее объемов производства свелся
к следующей линейной задаче с условиями дополнительности:
X2 +Y1+Y23, X10;
X1(X2+Y1+Y2–3)=0;
½X 1+
Y1 2, X20;
X2(½X1+Y1–2)=0;
–X1–X2
–3, Y10;
Y1(–X1–X2+3)=0;
–X1
–2, Y20;
Y2(–X1+2)=0.
Из такой информации следует, что
1). P1=3–X1–X2
2). P2=2–X1
3). P1=3–X2
4). P2=2–X1–X2
5). Точка X1=0, X2=3 описывает
равновесные объемы производства
6). Точка X1=2, X2=1 описывает
равновесные объемы производства
7). Точка X1=1, X2=2 описывает
равновесные объемы производства
8). Имеются три различные состояния
равновесия
да
да
да
да
нет
нет
нет
нет
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
B. Рассматривается простая модель Леонтьева с неотрицательной квадратной матрицей затрат A. Тогда
1). Если у матрицы затрат имеется строго
положительное собственное число,
которому соответствует строго
положительный собственный вектор,
то модель неразложимая
2). Если модель неразложимая, то у ее
матрицы затрат имеется строго
положительное собственное число со
да
нет
строго положительным собственным вектором
3).Если матрица затрат ациклическая и
продуктивная, то в модели имеется
единственная (с точностью до положительного
множителя) траектория максимального
сбалансированного роста
4).Если существует матрица (I–A)–1, то она имеет
неотрицательные элементы (здесь I – единичная
матрица)
5). Если матрица затрат невырожденная, то модель
неразложимая
6). Существует число λ>0, при котором матрица
затрат λA продуктивная
7). Существует число λ>0, при котором матрица
затрат λA не является продуктивной
8). Если модель продуктивная, то все элементы
матрицы затрат строго меньше единицы
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет
да
нет