ЗАДАЧИ, теория

А.В. Белошистая
Задачи на пропорциональную зависимость
Составные задачи на пропорциональную зависимость являются центральной темой
обучения решению задач в 3 классе. Основным видом таких задач в 3 классе являются задачи
на нахождение четвертого пропорционального. Название вида этих задач определяется их
структурой, в основе которой лежит пропорция. Приведем пример такой задачи:
Задача .
В пекарне за 3 дня израсходовали 48 мешков муки. На сколько дней хватит 80
мешков муки, если каждый день будет расходоваться одинаковое количество муки?
В 6 классе дети знакомятся с понятием пропорции – равенством вида:
a:b=c:d
и основным свойством пропорции, которое звучит так: произведение средних членов
пропорции равно произведению крайних членов пропорции.
Из этого свойства получают правило нахождения любого четвертого члена пропорции при
известных трех – путем перемножения пары известных членов (либо крайних, либо средних), а
затем деления полученного результата на третий известный член пропорции.
Задачи этого вида рассматривались еще в «Арифметике» Магницкого под названием
«задачи на двойное правило» (поскольку для нахождения известного члена пропорции нужно
было выполнить два арифметических действия – умножение и деление).
Помня это свойство пропорции и интуитивно узнавая структуру пропорции в таком тексте
(эта структура часто используется в старших классах при решении задач по физике и химии),
многие взрослые, пытаясь помочь ученику 3 класса решить подобную задачу, автоматически
применяют как знание свойства пропорции, так и систему краткой записи, свойственную
пропорцию.
Например, краткая запись по типу «пропорция» для приведенной выше задачи выглядит
так:
3 дня – 48 мешков
? дней – 80 мешков
Применяя свойство пропорции, получаем:
(3 × 80) : 48 = 5 (д.)
Ответ: на 5 дней.
Однако в 3 классе начальной школы дети не знакомы ни с понятием «пропорция», ни с ее
свойством. Поэтому данный способ решения таких задач применять нельзя!
В начальной школе при решении таких задач со времен Магницкого пользуются другим
методом решения: методом приведения к единице.
Суть его заключается в том, что сначала находят количество, приходящееся 2на
«единицу» - в данном случае: расход муки на один день. Затем, зная количество, приходящееся
на единицу, можно найти количество, приходящееся на любое искомое число. В данном случае
это количество дней, приходящееся на 80 кг муки.
Способ решения данной задачи в 3 классе:
1) 48 : 3 = 16 (кг) – расход за 1 день
2) 80 : 16 = 5 (д.) – на 5 дней хватит 80 кг муки (при таком расходе)
Многим детям трудно сообразить, что нужно искать «количество, приходящееся на
единицу», поскольку в тексте задачи эта необходимость не оговаривается.
Чтобы помочь учащимся в выполнении данного неизвестного. Многие учителя при работе
над такими задачами используют таблицу, поскольку в колонках таблицы необходимость
определения этого неизвестного оговорена сразу.
1
Например, к данной задаче таблица выглядит так:
Расход муки в 1
день
Количество
мешков
Количество дней
?
48 шт.
3 дня
одинаковый
80 шт.
?
Как видно из приведенного анализа, при такой активной работе учителя над задачей,
большинство детей справляются с этим типом задач – но только на уроке, пока учитель
руководит ее анализом, разбором и решением.
Многие родители знают, насколько беспомощным часто оказывается ребенок дома,
оставшись с подобной задачей один на один. Та же ситуация часто прослеживается и на
контрольных работах, где учитель не может помогать детям в работе над задачей такого типа.
Причиной этого является несформированность у ребенка аналитических умений над
тексом и постоянное применение таблицы, которую дети видят на доске в готовом виде, что
снимает для них проблему поиска промежуточных неизвестных («расход на единицу»).
Для формирования у ребенка самостоятельных аналитических умений работы над текстом
задач на четвертое пропорциональное рекомендуется использовать наряду и с таблицей и
прием составления графической модели задачи, поскольку рисунок в отрезках ребенок может
выполнить самостоятельно в тетради.
К рассматриваемой задаче рисунок в отрезках выглядит так:
48 шт.
80 шт.
? дней
Анализ первой части рисунка сразу подводит ребенка к возможности найти расход муки в
1 день. Затем обращение к тексту подсказывает, что расход муки был всегда одинаковый,
поэтому можно использовать это данное для ответа на главный вопрос задачи.
Любая задача на четвертое пропорциональное легко моделируется рисунком в отрезках.
В 4 классе продолжается работа над задачами на четвертое пропорциональное. Это
основной вид задач на пропорциональную зависимость, встречающийся в первой части
учебника математики для 4 класса. Этот вид задач рассмотрен выше. В 4 классе содержание
задач существенно изменяется: появляются новые сюжеты, которые определяют появление
новых понятий и виды зависимостей величин: расход горючего на 1 км пути или на 1 час
работы, выработка в 1 час (производительность), грузоподъемность.
Задача. За 3 ч работы бульдозер разровнял 234 м2 дороги. Сколько квадратных метров
дороги разровняет бульдозер за 10 ч, если будет работать с такой же производительностью.
Задача является типовой. Новым для ребенка понятием является «производительность» работа, выполненная за 1 час.
Рассмотрим задачу нового вида. Такие задачи появляются во 2 части учебника М.И.Моро
4 класса: задачу на пропорциональное деление.
Задача .
В мастерской в первый день сшили 19 одинаковых рюкзаков, а во второй
день – 23 таких же рюкзака. На все эти рюкзаки пошло 84 метра ткани. Сколько
метров ткани расходовали каждый день?
2
Работа над задачей:
Главным в задаче является необходимость распределения общего количества ткани
пропорционально общему количеству одинаковых рюкзаков.
При работе над задачей этого вида учитель чаще всего использует таблицу:
Расход ткани на
1 рюкзак
?
Количество
рюкзаков
19 шт.
количество
ткани
?
84 м
? – такой же
23 шт.
?
Анализ таблицы достаточно сложен, поскольку она содержит большое количество знаков
вопроса. Типичной ошибкой ребенка при решении задач данного вида является попытка сразу
делить известное количество (метры) на известное количество (рюкзаки), особенно, если
численный характер данных к этому располагает. Например, если рюкзаков 21 и 28, ребенок
может сразу попытаться разделить 84 : 21 = 4 и 84 : 28 = 3. Такая попытка показывает, что
ситуацию задачи ребенок не анализирует, а просто манипулирует числами, угадывая в надежде
выти на решение задачи путем угадывания.
Руководя составлением плана решения, учитель обычно проводит «жесткий»
синтетический разбор, позволяющий быстро выйти на решение задачи:
- Что можно узнать, зная, что в 1 день сшили 19 рюкзаков, а во 2 день – 23 рюкзака?
/Сколько рюкзаков сшили./
19+23=42 (р.)
- Что известно о количестве ткани, израсходованной на эти рюкзаки за 2 дня? /84 м/
- Что можно узнать, зная, что из 84 м сшили 42 рюкзака? /Сколько пошло на 1 рюкзак?/
84 : 42= 2 (м)
- Прочитай главный вопрос задачи. Что нужно знать, чтобы на него ответить? /Количество
рюкзаков и расход ткани на 1 рюкзак./
- Знаем мы это? /Да./
- Ответьте на вопрос задачи: /2 ×19 = 38 (м) 2 ×23 = 46 (м) /
- Как проверить решение задачи? /Сложить эти количества, должно получиться 84 м./
46+38 =84 (м)
Мы называем такой разбор «жестким», поскольку он однозначно выводит на решение
задачи, дети выполняют только исполнительскую функцию (отвечают на прямые вопросы
педагога).
Для обучения ребенка самостоятельной работе над задачей этого типа полезно
использовать рисунок в отрезках:
19 р.
?м
84 м
23 р.
?м
Такой рисунок визуально подсказывает ребенку первое и второе действие, а далее задача
не представляет трудности.
3
Рассмотрим новый вид задач на пропорциональную зависимость: задачи на нахождение
неизвестного по двум разностям. Они появляются в 2 части учебника М.И.Моро 4 класса:
Задача.
В одну столовую привезли 5 одинаковых ящиков фруктов, а в другую – 2
таких же ящика. В первую столовую привезли на 24 кг больше, чем во вторую. Сколько
килограммов фруктов привезли в каждую столовую?
Работа над задачей:
В задаче заданы две разности: одна явно определена в условии – 24 кг (разница
масс), а другая задана не явно – двумя числами: 2 и 5 (ящиков). Разница в
количестве ящиков определяет разницу в массах фруктов6
5 – 2 = 3 (ящика) – на них приходится 24 кг массы, отсюда легко найти массу
одного ящика.
Далее задача не представляет трудности.
При разборе задачи учитель чаще всего использует таблицу:
Масса
ящика
одного Количество
ящиков
?
5 ящ.
? – такая же
2 ящ.
Масса
ящиков
всех
? – на 24 кг
больше
?
При этом используется описанный выше «жесткий» метод анализа, поскольку таблица
содержит много знаков вопроса и трудна для восприятия ребенка.
Более наглядным является рисунок в отрезках:
? кг
?
?
24 кг
?
? кг
Анализ этого рисунка сразу подводит к 1 и 2 действиям задачи, а далее она не
представляет трудности:
1) 5 – 2=3 (ящ.) – разница количеств
2) 24 : 3=8 (кг) – в одном ящике
3) 8 × 5=40 (кг) – в 1 столовую
4) 8 × 2=16 (кг) – во 2 столовую
Для проверки задачи находим разницу: 40 – 16=24 (кг).
4