Факультет Бизнес-информатики

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего
профессионального образования
Государственный университет Высшая школа экономики
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Программной Инженерии
Программа дисциплины
Оптимизация и математические методы
в принятии решений
Для направления 231000.62 «Программная инженерия»
(бакалавриат, 2 курс, 1-3 модули)
Автор: проф. В.В. Токарев
Рекомендована секцией УМС
Одобрена на заседании кафедры
________________________________
Председатель
________________________________
«_____» __________________ 200 г.
г
______________________________
Зав. кафедрой
«____»_____________________ 200
Утверждена УС
_________________________________
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Требования к студентам: Курс по оптимизации опирается на предшествующие
курсы по основам линейной алгебры и математического анализа, а также теории
вероятностей и математической статистике.
Настоящий курс поможет в восприятии студентами последующих
математизированных дисциплин и в их практической деятельности по информационному
и компьютерному обеспечению для решения прикладных социально-экономических
задач.
Аннотация курса
Прогресс теоретической и прикладной экономики во многом определяется
использованием математических методов. Методы статистической обработки
информации и регрессивного анализа стали уже привычным инструментом работы
экономистов. Следующий этап – это математическое моделирование и компьютерная
имитация, чему и посвящен настоящий курс.
Студенты должны понять, что математическое моделирование позвооляет
учитывать большое число разнообразных факторов, помогает прогнозировать отдаленные
последствия принимаемых решений и производить отбор рациональных вариантов среди
множества возможных решений.
Вместе с тем, они должны отчетливо видеть трудности моделирования социальноэкономических проблем, связанные с описанием поведенческих характеристик людей и с
информационным обеспечением моделей.
Студенты также должны усвоить на примерах из экономики и политологии, что
создание причинно-следственной математической модели, даже если оона не будет
использована в прикладных целях, помогает структурировать реальную проблему,
выделить ее главные черты и удалить второстепенные. Моделирование должно приучить
их к четкости изложения исходных гипотез, к логической стройности последующих
выводов и к всестороннести анализа положительных и отрицательных черт в
результирующих рекомендациях.
Наконец студенты будут ознакомлены с математической техникой работы с
основными типами моделей. чтобы модель не представлялась бы им таинственным
ящиком, из которого фокусник-математик получает непонятно каким способом свои
ожидаемые или неожиданные выводы.
Курс включает в себя как классическую оптимизацию, нелинейную, линейную и
динамическую, так и современные математические методы поддержки принятия решений
в условиях многокритериальности, неопределенности и игровых взаимодействий.
Программа курса предусматривает декционные и семинарские занятия, занятие в
компьютерном классе по линейному программированию, а также самостоятельную работу
студентов по изучению теоретического материала и выполнению упрпажнений,
аналитических и компьютерных.
Учебная задача дисциплины. Студент, успешно овладевший предлагаемым
курсом, должен:
– знать основные идеи математического моделирования и методов
оптимизации;
– уметь структурировать прикладную задачу принятия управленческих
решений, выбрать для ее решения подходящую математическую модель,
убедиться в доступности необходимой исходной информации и найти
компьютерно реализованный метод решения;
– иметь представление о типах математических моделей, о возможностях и
трудностях их анализа и о теоретических основах методов оптимизации;
– обладать навыками аналитического решения кончцептуальных задач
принятия решений с упрощенными качественными моделями различных
реальных ситуаций.
2
Формы контроля:
– текущий контроль осуществляется слежением за посещаемостью лекций и
семинаров, поощрительными оценками за устные и пписьменные ответы
на вопросы, предлагаемые на лекциях и семинарах, а также проверками
выполнения домашних упражнений;
– промежуточный контроль осуществляется в виде двух тщательно
проверяемых письменных контрольных работ, обязательных для всех
студентов, в конце 1-го и 2-го модулей по пройденной тематике курса, а
также в виде зачета, проставляемого в конце 2-го модуля по итогам двух
контрольных работ и текущих оценок;
– итоговый контроль осуществляется в виде обязательного письменного
экзамена в конце 3-го модуля по всей тематике курса и в виде устного
собеседования при желании студента или преподавателя (студенты,
получившие за обе промежуточные контрольные работы по 10 баллов и
продемонстрировавшие особые успехи на лекциях, семинарах и в
домашних упражнениях, могут быть освобождены от экзамена по
инициативе преподавателя при согласии лектора с итоговой оценкой 10
баллов);
– итоговая оценка 𝑅, 10-бальная, подсчитывается как взвешенная сумма
оценок 𝐾1 и 𝐾2 за кконтрольные работы, оценки 𝐸 за письменный экзамен
и оценки 𝐴 текущей активности студентов по следующей формуле
𝑅 = 0.2𝐾1 + 0.2𝐾2 + 0.5𝐸 + 0.1𝐴
(вычисленная оценка может быть скорректирована преподавателем по
результатам устного собеседования в пределах 1 балла как в сторону
увеличения, так и в сторону уменьшения).
3
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Наименование темы
Аудиторные часы
практ.
лекции
зан.
Самост.
работа
Первый модуль
1
2
3
Возможности математического
моделирования и структуры моделей
Оптимизационные модели принятия
решений. Градиентный анализ
Метод Лагранжа. Условия кунаТаккера. Выпуклое программирование
Всего
8
2
2
4
32
8
8
16
24
6
6
12
64
16
16
32
Второй модуль
4
Линейное программирование
32
8
8
16
5
Сетевое планирование
16
4
4
8
6
Динамическое программирование
16
4
4
8
Всего
64
16
16
32
8
2
2
4
24
6
6
12
16
4
4
8
8
2
2
4
56
14
14
28
184
46
46
92
Третий модуль
7
8
9
10
Многокритериальные модели принятия
решений
Решения в условиях
неопределенностей
Игровые модели
Экспертно-компьютерная имитация и
прогнозирование
Всего
Итого
4
Содержание программы
Тема 1. Возможности математического моделирования и структуры моделей
Возможности, трудности и цели моделирования. Математическая модель.
Возможности математики. Трудности моделирования. Предназначение математических
моделей.
Структура математических моделей. Прогнозные модели. Управляемые модели.
Базовый учебник:
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Высшая школа, 2004.
Дополнительная литература:
1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения /
М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.: Инфра-М, 2003.
2. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В.Морозов. –
М.: Академия, 2008.
3. Гермейер Ю.Н. Введение в теорию исследования операций. – М.: Наука, 1976.
4. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
5. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд.
МПГУ, 2004.
6. Иванов Ю.Н. Математическое описание элементов экономики / Ю.Н.Иванов,
В.В.Токарев, А.П. Уздемир. – М.: Наука, 1994.
7. Карманов В.Г. Моделирование в исследовании операций / В.Г.Карманов,
В.В.Федоров. – М. : Твема, 1996.
8. Косоруков О.А. Исследование операций / О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. – М.:
ЭКЗAМЕН, 2003.
9. Мангейм Дж..Б. Политология. Методы исследования (пер. с англ.) / Дж..Б.Мангейм,
Р.К.Рич. – М.: Весь мир, 1997.
10. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Мир, 2001.
11. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. – М.: Изд. РДЛ,
2000.
12. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 2. Оптимизационные модели принятия решений. Градиентный анализ
Гуманитарные
рассуждения.
Математическая
формулировка
проблемы
оптимизации. Пример с наличием и отсутствием максимума – страна-новичок на мировом
рынке (модификация примера А.В. Лотова). Оптимизационная модель (статистическая, в
безразмерных переменных). Последовательная оптимизация. Метод графической
оптимизации. Модель Киотских соглашений. Графическая оптимизация. Аналитическое
отыскание точек касания.
Экономические комментарии. Градиентные методы
оптимизации, аналитические и численные.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
5
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
2. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980.
4. Rangarajan K. Sundaram. A first course in optimization theory. – Cambridge: University
press, 1996.
Тема 3. Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование
Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература:
Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. горелик. – М.: Академия, 2010.
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980.
Rangarajan K. Sundaram. A first course in optimization theory. – Cambridge: University
press, 1996.
Тема 4. Линейное программирование
Особенности линейных моделей. Типичный пример. Общая запись. Сходства и
различия в записях задач линейной и нелинейной оптимизации. Специфика линейной
оптимизации по существу. Существование решения. Невозможность внутренних
экстремумов. Совпадение локальных и глобальных максимумов. Наличие максимума в
вершине. Симплекс-метод. Идея симплекс-метода. Техника симплекс-метода на примере
задачи об экспертизе. Теория двойственности. Экономическая интерпретация прямой и
двойственной задач. Теоремы двойственности. Пример – двойственная задача об
экспертизе. Целочисленное программирование, линейное и нелинейное. Геометрическое
отыскание целочисленного решения. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения /
М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.: Инфра-М, 2003.
2. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
3. Васильев Ф.П. Линейное программирование / Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. – М.:
Факториал Пресс, 2003.
6
4. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В.Морозов. –
М.: Академия, 2008.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Высшая школа, 2004.
6. Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике.
Краткий курс. – Санкт-Петербург: Питер, 2000.
7. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 5. Сетевое планирование
Построение сетевого графика. Пример исходных сведений о проекте. Обработка
исходных
сведений.
Проверка
построенного
графа.
Расчет
минимальной
продолжительности разработки проекта. Два способа расчета минимальной
продолжительности проекта. Транспортная интерпретация. Неточное прогнозирование
продолжительности
работ.
Резервы
фактической
продолжительности
работ.
Распределение ресурсов между работами. Задача о максимальном потоке в сети.
Формализация. Метод «минимального разреза». Метод увеличивающей цепи. Сведение к
задаче линейного программирования.
Базовый учебник:
1. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1 / А.В. Соколов, В.В. Токарев. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010.
1.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература:
Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург: Лань, 2000.
Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. – М.: Изд. РДЛ,
2003.
Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.: Мир, 1974.
Тема 6. Динамическое программирование
Уравнение Беллмана для конечно-разностных систем. Принцип оптимальности.
Рекурсивная процедура для канонической задачи в дискретном времени. Распространение
процедуры на критерий Больца и пример. Обобщение Беллмановской процедуры на
задачи с фазовыми и смешанными ограничениями. О происхождении фазовых и
смешанных ограничений. Новые черты беллмановской процедуры на примере. Общая
схема. Решение некоторых статических задач методом динамического программирования.
Сведение статической задачи распределения ресурсов к динамической. Сведение задачи
линейного программирования к динамической.
1.
Базовый учебник:
Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
7
1. Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р.Беллман, С.
Дрейфус. – М.: Наука, 1964.
2. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
4. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971.
5. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: Волтерс-Клуверс,
2005.
Тема 7. Многокритериальное принятие решений
Неулучшаемые, или эффективные решения. Пример двухкритериальной задачи.
Формальное
определение
множества
эффективных
точек
в
пространстве
максимизируемых критериев. Геометрическое построение паретовской границы
двухкритериального множества достижимости. Определение эффективных решений в
пространстве управлений и пример его использования. Сведение к однокритериальной,
классической оптимизации. Метод критериальных ограничений. Метод линейной свертки
критериев. Дополнительные сведения о теории многоаспектного выбора. Целевое
программирование. Интерактивные методы многокритериального выбора. Визуализация
паретовских множеств. Сравнительная важность критериев. Уступки по критериям.
Безкритериальная формализация предпочтений. Бинарные отношения.
Функция
полезности. О представимости бинарных отношений векторным критерием. О функциях
выбора.
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. Учебник. – М.: Логос, 2002.
3. Лотов А.В. Конспект лекций по теории и методам многокритеоиальной оптимизации /
А.В. Лотов, И.И. Поспелова. – М.: Изд. ВМК МГУ, 2006.
4. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных ситуациях. –
М. : Министерство обороны СССР, 1981.
5. Pomerol J. Ch., Romero S.B. Multicriterion Decision in Management: Principles and
Practice.  Boston/ Dordrecht/ London: Kluwer Academic Publishers, 2000.
Тема 8. Решения в условиях неопределенности
Формализация проблемы гарантирующего управления. Основные понятия.
Принцип гарантированного результата. Дискретный пример. Методы построения
оптимальных гарантирующих планов в непрерывных задачах. Сведение к задаче
математического
программирования.
Пример
решения
задачи
линейного
программирования с неопределенностями. Сведение к макс-мину без ограничений
методом Лагранжа. Сравнение с идеальным управлением. Максимизирующая стратегия.
Сопоставление по условиям разрешимости. Сравнениие по критерию качества. . Игровая
интерпретация. Пример наличия седловой точки – задача уклонения от налогов. Другие
способы выбора управлений в условиях неопределенности. Минимизация отклонения от
идеального решения. Оптимистические и промежуточные оценки. Ориентация на самое
вероятное возмущение. Принцип равной вероятности. Вероятностно-гарантирующий
8
подход. Предварительные соображения. Формализация на примере задачи «Переговоры о
разоружении и финансирование обороны». Решение задачи вероятностногарантирующего планирования. Сопоставление гарантирующего и вероятностногарантирующих планов. О предельной тождественности вероятностно-гарантирующих и
гарантирующего решений.
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Васин А.А. Исследование операций / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов. –
М.: Академия, 2008.
2. Гермейер Ю.Н. Введение в теорию исследования операций. – М. : Наука, 1976.
3. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
4. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд-во
МПГУ, 2004.
5. Карманов В.Г. Моделирование в исследовании операций / В.Г.Карманов,
В.В.Федоров. – М. : Твема, 1996.
Тема 9. Игровые модели
Формализация. Рациональные способы принятия решений. Четыре рациональные
игровые стратегии в дуополии Курно. Кооперативные, или коалиционные, игры.
Повторяющиеся игры – смешанные стратегии. Динамические конечношаговые игры.
Базовый учебник:
1. Белолипецкий А.А. Экономико-математические методы: учебн. для студ. высш. учебн.
заведений/ А.А. Белолипецкий, В.А. Горелик. – М.: Академия, 2010.
Дополнительная литература:
1. Васин А.А. Теория игр и модели математической экономики / А.А. Васин, В.В.
Морозов. – М.: МАКС Пресс, 2005.
2. Гермейер Ю.Н. Игры с противоположными интересами. – М.: Наука, 1976.
3. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента / В.В. Глухов, М.Д.
Медников, С.Б. Коробко. – Санкт-Петербург : Лань, 2000.
4. Горелик В.А. Основы исследования операций / В.А.Горелик, Т.П.Фомина. – М.: Изд.
МПГУ, 2004.
5. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. –
М.: Айрис-пресс, 2002.
6. Кукушкин Н.С. Теория неантагонистических игр / Н.С. Кукушкин, В.В. Морозов. – М.:
Изд. МГУ, 1984.
7. Шагин В.Л. Теория игр (с экономическими приложениями) – учебное пособие. – М.:
Изд. ГУ ВШЭ, 2003.
8. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. – Princeton University Press, 1992.
9. Kreps D.M. Game Theory and Economic Modelling. – Oxfort: Clarendon Press, 1990.
Тема 10. Экспертно-компьютерная имитация и прогнозирование
Имитационные системы как инструмент проверки управляющих решений и как
средство обучения персонала. Компьютерное прогнозирование динамики сложных систем
по вербальной информации.
9
Базовый учебник:
1. Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2 – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Дополнительная литература:
1. Иванов Ю.Н. Математическое описание элементов экономики / Ю.Н.Иванов,
В.В.Токарев, А.П. Уздемир. – М.: Наука, 1994.
2. Павловский Ю.Н. Имитационные модели и системы.  М.: Фазис, 2000.
10
Содержание письменных контрольных и экзаменационной
работ
Контрольная работа 1 (в конце первого модуля, продолжительность 2,5 часа)
Задача 1. Квадратичное разложение заданной функции двух переменных в ряд
Тейлора в матричной и скалярной формах. Вычисление производной функции по
заданному направлению.
Задача 2. Отыскание и анализ типов безусловных локальных экстремумов заданной
функции трех переменных. Выяснение существования или отсутствия глобальных
экстремумов.
Задача 3. Составление модели условной оптимизации по тексту с экономическим
содержанием. Решение методом Лагранжа с использованием окаймленного гессиана.
Анализ глобальности и чувствительности полученного решения.
Задача 4. Геометрическое и аналитическое решение формально записанной
двумерной нелинейной задачи математического программирования. Отыскание
перспективных точек перебором по составу активных ограничений с использованием
условия Якоби и условий разложимости градиента целевой функции по градиентам
активных ограничений. Проверка существованяи и выделение глобального максимума.
Контрольная работа 2 (в конце второго модуля, продолжительность 2,5 часа)
Задача 1. Построить при помощи критерия Сильвестра области выпуклости и
вогнутости заданной дважды дифференцируемой функции двух переменных.
Задача 2. Исследовать формально записанную нелинейную двумерную задачу
математического программирования на выпуклость. Найти глобальный экстремум при
помощи условий Куна-Таккера и известных Вам теорем. Сравнить с разложением
градиента целевой функции по градиентам активных ограничений в точке найденного
глобального оптимума.
Задача 3. Записать в виде линейно-программной модели словесно описанную
экономическую задачу с цифровыми исходными данными. Построить двойственную ей
задачу и дать ей экономическую интерпретацию. Решить прямую и двойственную задачи
(одну геометрически, а другую – по полной системе соотношений дополняющей
нежесткости). Определить при помощи формулы чувствительности оптимального
решения, какой из ресурсов прямой задачи выгодно докупать по заданным рыночным
ценам.
Экзаменационная работа (в конце третьего модуля, продолжительность 2,5 часа)
11
Вопросы для устного собеседования
по результатам письменного экзамена и других работ
Тема 1. Возможности математического моделирования. Структуры моделей
1.1. Какие возможности математики перспективны для прикладных и теоретических
исследований в политологии?
1.2. Какие трудности возникают при математическом моделировании в
политологии?
1.3. Назовите и охарактеризуйте два основных класса прикладных задач,
обслуживаемых математическим моделированием.
1.4. Что собой представляют прогнозные и управляемые математические модели?
Как классифицируются их переменные? Какому основному условию должны
удовлетворять соотношения модели?
1.5. Может ли управляемая модель использоваться в целях прогнозирования? В чем
может помочь прогнозная модель после построения закона управления?
Тема 2. Оптимизационные модели принятия решений. Градиентный анализ
2.1. В чем помогает оптимизация и каковы должны быть меры предосторожности
при использовании оптимальных решений.
2.2. Что такое допустимые управления и критерий качества управления в
оптимизационных моделях принятия решений?
2.3. Как в математике определяется оптимальное решение? Правильно ли говорить
«самое оптимальное решение»?
2.4. Может ли быть неединственной величина максимума? А положение точки
максимума?
2.5. Каковы причины возможного отсутствия оптимальных решений?
2.6. Какие известны Вам достаточные условия существования оптимальных
решений?
2.7. Существуют ли оптимальный объем экспорта и оптимальная экспортная цена в
модели выхода государства-новичка на внешний рынок? Выполняются ли для этой
модели условия теоремы Вейерштрасса? Всегда ли нарушение условий теоремы приводит
к отсутствию оптимальных решений?
2.8.Что такое процедура последовательной оптимизации? Продемонстрируйте ее на
модели выхода страны-новичка на внешний рынок.
2.9. Как графически построить оптимальное решение в двухмерной задаче при
помощи линий уровня целевой функции? Произведите необходимые построения для
задачи о продаже недоиспользованных квот на загрязнение страной, подписавшей
Киотские соглашения.
2.10. Что такое градиент функции многих переменных? Какую информацию он дает
поведении функции? Приближенно подсчитайте при помощи градиента приращение
функции полезности f ( x)  x1 x2 при переходе из точки 𝑥 0 = (1; 2) в точку x1  (1,1;1,9) .
Сравните полученное приближенное значение с точным.
2.11. Какова идея градиентного метода для численного отыскания максимума или
минимума функции многих переменных? Проиллюстрируйте метод графически на
плоскости двух переменных.
2.12. Каково необходимое условие максимума или минимума непрерывной и
дифференцируемой функции многих
переменных во внутренней точке области
допустимости? Найдите такую точку для функции полезности f ( x)  x1 x2 , x  R 2 . Будет ли
она точкой минимума или максимума этой функции на R2 ?
12
2.13. Каково необходимое условие максимума функции полезности f ( x)  x1 x2 в
граничной точке множества допустимости с одним активным ограничением x1  x2  1 ?
Найдите такую точку. Зачем нужно при этом условие Якоби и как оно записывается?
2.14. Каково необходимое условие максимума непрерывной и дифференцируемой
функции многих переменных в граничной точке множества допустимости с двумя
активными ограничениями? Выполняется ли оно для функции полезности f ( x)  x1 x2 ,
когда активны ограничения x1  0 и x1  x2  1 ?
2.15. Как решить задачу максимизации непрерывной и дифференцируемой функции
многих переменных на ограниченном замкнутом множестве, задаваемом конечным
числом неравенств, используя полный перебор состава активных ограничений и
соответствующие
необходимые
условия
оптимальности.
Схему
решения
проиллюстрируйте графически на примере задачи о максимизации функции полезности
f ( x)  x1 x2 на множестве допустимости X   x  ( x1 , x2 ) : x1,2  0, x1  x2  1 .
Тема 3. Метод Лагранжа. Условия Куна-Таккера. Выпуклое программирование
3.1. Сформулируйте задачу нелинейного программирования в стандартной форме.
3.2. Что такое функция Лагранжа?
3.3. Дайте определение седловой точки функции Лагранжа.
3.4. Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью
функции Лагранжа.
3.5. Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую
интерпретацию.
3.6. Дайте определение выпуклого множества.
3.7. Какие свойства имеют выпуклые множества?
3.8. Сформулируйте понятия выпуклой и вогнутой функции. Что такое строгая
выпуклость функции?
3.9. Сформулируйте достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой
функции.
3.10. Какие свойства имеют выпуклые функции?
3.11. Сформулируйте выпуклую задачу нелинейного программирования.
3.12. Сформулируйте теорему о локальном максимуме в выпуклом случае.
3.13. Приведите экономический пример выпуклой задачи нелинейного
программирования.
3.14. Выведите условия Куна-Таккера в седловой точке функции Лагранжа.
3.15. Сформулируйте теорему Куна-Таккера в выпуклом случае.
3.16. Дайте экономическую интерпретацию множителей Лагранжа.
3.17. Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от «ресурсных»
параметров в непрямых ограничениях?
Тема 4. Линейно-программные модели
4.1. В чем преимущества и недостатки линейно-программных моделей?
4.2. Каков управленческий смысл термина «программирование» в названиях
«математическое программирование», «линейное программирование»? Приведите пример
простейшей линейной модели распределения ограниченного ресурса между двумя
целями.
4.3. Представьте векторно-матричную запись стандартной задачи линейного
программирования. Расшифруйте эту запись покоординатно, используя правило
умножения и сложения матриц.
4.4. Каковы две возможные причины отсутствия решений в задачах линейного
программирования?
13
4.5. Может ли достигаться максимум или минимум линейной целевой функции во
внутренней точке множества допустимости? Ответ обосновать.
4.6. Всегда ли решение задачи линейного программирования, если оно существует
единственно? От чего зависит единственность или неединственность решения? Ответ
проиллюстрируйте геометрически на простейшем двухмерном примере.
4.7. Примените графический метод для решения конкретной задачи линейного
программирования.
4.8. В чем идея симплекс метода? Проиллюстрируйте идею на двухмерной числовой
задаче линейного программирования с четырьмя вершинами.
4.9. Как выглядят функция Лагранжа и условия Куна-Таккера в задаче линейного
программирования?
4.10. Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования, дайте
экономическую интерпретацию прямой и двойственной задач. Сформулируйте теоремы
двойственности в задаче линейного программирования.
4.11. Дайте интерпретацию двойственных переменных в задаче линейного
программирования.
4.12. Расскажите об анализе чувствительности в задаче линейного
программирования.
4.13. Что такое целочисленная задача линейного программирования? Приведите ее
экономический пример.
4.14. Всегда ли можно получить оптимальное целочисленное решение
арифметическим округлением оптимального нецелочисленного решения? Ответ
проиллюстрируйте геометрически.
4.15. В чем состоит идея отсечения Гомори? В чем недостаток этого метода?
4.16. Изложите укрупненную схему метода ветвей и границ. В чем отличие этого
метода от метода Гомори?
4.17. Можно ли использовать схему ветвей и границ для решения нелинейных
целочисленных задач?
Тема 5. Сетевое планирование
5.1. Какие исходные данные нужны для составления сетевого графика выполнения
комплекса взаимосвязанных работ?
5.2. Как построить сетевой график и проверить правильность его построения?
Продемонстрируйте это на простом примере.
5.3. Дайте теоретико-множественное определение графа и приведите пример.
5.4. Как вычислить минимальную продолжительность выполнения проекта методом
отыскания критического пути на графе? В чем отличие критического пути от
кратчайшего?
5.5. Представьте на простом примере задачу о минимальной продолжительности
выполнения проекта как задачу линейного программированяи и решите ее.
5.6. Сформулируйте задачу о наилучшем распределении ресурса, влияющего на
продолжительность выполнения работ.
5.7. Сформулируйте на примере задачу о максимальной пропускной способности
сети и решите ее методом минимального разреза.
5.8. Сведите на простом примере задачу о максимальном потоке в сети к задаче
линейного программирования.
Тема 6. Динамическое программирование
6.1. Приведите примеры многошаговых систем в экономике.
6.2. В чем состоят особенности динамических задач оптимизации?
6.3. Приведите примеры дирнамической задачи поиска оптимума.
6.4. Что такое управление и переменная состояния в динамических моделях.
14
6.5. Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации.
6.6. В чем отличие построения программной траектории и использования обратной
связи?
6.7. В чем состоит метод динамического программирования в много шаговых
задачах оптимизации?
6.8. Сформулируйте принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
6.9. Как решаются задачи динамического программирования?
6.10. Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче
математического программирования? Когда это удобно, а когда – нет?
6.11. Какие классы задач математического программирования можно и полезно
свести к задаче динамического программирования?
6.12. какие особенности в процедуру Беллмана привносят фазовые ограничения и
смешанные ограничения на управления и фазовые координаты?
Тема 7. Многокритериальные модели принятия решений
7.1. Почему математики вынуждены прибегать к многокритериальным моделям?
7.2. Есть ли принципиальная возможность обслуживать многокритериальный выбор
средствами классической однокритериальной оптимизации? В чем прикладные сложности
такого пути?
7.3. Каков основной принцип многокритериальной отбраковки заведомо
неперспективных решений? Продемонстрируйте его на двухкритериальной плоскости: y1
y2 – минимизируемое загрязнение
– максимизируемый национальный доход,
окружающей среды.
7.4. Нарисуйте на плоскости двух максимизируемых критериев два примера области
допустимости (можно абстрактные) с единственной и с неединственной
недоминируемыми точками. Какая ситуация более типична для прикладных задач? Как
принимать решение в случае неединственности?
7.5. Дайте определение недоминируемых точек в m-мерном векторном пространстве
максимизируемых критериев через пересечение множеств улучшаемости и достижимости.
Сопроводить определение геометрической иллюстрацией на плоскости двух критериев.
7.6. Перечислите синонимы доминируемых и недоминируемых точек. Может ли
внутренняя точка множества допустимости в критериальном пространстве быть
недоминируемой? Ответ обосновать.
7.7. Дайте определение эффективных решений по нескольким критериям в
пространстве управлений, сначала словесное, а затем – формульное в позитивном смысле.
Может ли одно эффективное решение проиграть другому эффективному решению по
какому-либо критерию? Ответ обосновать.
7.8. Что дает многокритериальное определение эффективности решений в
пространстве управлений для однокритериальной задачи? Ответ обосновать. Можно ли
пользоваться многокритериальным определением, если в модели нет формальных правил
вычисления критериев по заданным управлениям?
7.9. Каким способом можно выделить эффективные решения из конечного числа
допустимых управлений? Продемонстрируйте процедуру на условном примере о
кандидатах в Президенты, экспертно оцениваемым по трем критериям (фамилии,
критерии и их оценки задать самостоятельно).
7.10. Можно ли выделить эффективные решения по многим критериям посредством
однокритериальной оптимизации для произвольного множества допустимости? Ответ
сопроводите условными эколого-экономическим примером.
7.11. Сведите к задаче линейного программирования проблему отыскивания
эффективных решений на множестве 𝑋 ⊂ 𝑅 𝑛 допустимых управлений x, сформированного
системой ограничений, линейных по x, если качество управления оценивается
15
несколькими критериями y  R , тоже линейными по x. Процедуру сведения
продемонстрировать на примере.
7.12. Что такое целевое программирование?
7.13. Сформулируйте задачу о максимальной близости к идеальной точке.
7.14. Возможна ли безкритериальная форма задания предпочтений?
7.15. Приведите пример интерактивной (диалоговой процедуры) выбора
рационального решения в условиях многокритериальности.
m
Тема 8. Решения в условиях неопределенности
8.1 Какие затруднения возникают при попытке использования математических
моделей для принятия решений в условиях неопределённости?
8.2. Чем хорош и чем плох принцип максимально гарантированного результата
(продемонстрировать на примере «Переговоры о разоружении и финансирование
вооружений»)?
8.3. Какие еще критерии Вам известны для задач принятия решений в условиях
неопределенности?
8.4. Как словесно формулируется задача вероятностно-гарантируещего
планирования (иллюстрировать тем же примером, что и в 8.2)?
8.5. Что такое множество гарантированно допустимых планов (словесное и
формульное определения, пример построения)?
8.6. Что такое подмножества возмущений с достаточной вероятностной мерой
(словесное и формульное определения, пример построения)?
8.7. Дайте формульную постановку задачи о выборе наилучшего вероятностногарантируещего плана и сопроводите ее примером решения.
8.8. Как ведет себя максимальная вероятностно-гарантированная оценка качества
плана при изменении надежности решения (в общем случае и в примере «Переговоры о
разоружении и финансировании вооружений»)?
8.9. Как соотносятся максимальные гарантированная и вероятностногарантированная оценки качества планов.
Тема 9. Игровые модели
9.1. В чем состоит специфика игрового взаимодействия? Какова основная трудность
для формализации игровых ситуаций?
9.2. Описание игры в нормальной форме. Каковы гипотезы об информированности
участников друг о друге? Пример описания игры «Мир или война».
9.3. Доминирующая и гарантирующая стратегии – словесное и формальное
определения. В чем их преимущества и недостатки? Найдите наилучшую гарантирующую
стратегию страны 2 в игре «Мир или война».
9.4. Равновесные стратегии (по Нэшу) – словесное и формальное определения. В чем
положительные и отрицательные черты равновесного подхода в сравнении с
гарантирующим? Найдите равновесную стратегию в игре «Мир или война».
9.5. Эффективные, или недоминируемые стратегии (по Парето) – словесное и
формальное определения. Сравните эффективные стратегии с равновесной на примере
игры «Мир или война».
9.6. Какова основная идея коалиционных игр с побочными платежами?
9.7. Представьте в развернутой форме двухшаговую игру «Мир или война» с
последовательным принятием решений взаимодействующими государствами.
9.8. Посредством рекурсивной процедуры постройте оптимальные решения в
двухшаговой игре «Мир или война».
16
9.9. Априорная и текущая информированность в многошаговых играх. Что такое
множества неопределенности, или информационные множества? Как восполняются
недостатки в информированности при рациональном поведении участников.
Тема 10. Экспертно-компьютерная имитация и прогнозирование.
10.1. Что такое экспертно-компьютерная имитация? Когда и для каких целей она
используется?
10.2. Нарисуйте и поясните схему компьютерной имитации для сравнительного
анализа различных экономических систем.
10.3. Какие экспертно-компьютерные имитационные системы Вам известны?
10.4. Как использовать вербальную информацию из газет, журналов и других
общедоступных источников для компьютерного прогнозирования динамики
экономических, социальных и политических процессов?
17
Упражнения
по курсу «Оптимизация и математические методы в принятии решений»
Методические рекомендации
по выполнению домашних заданий
1. Писать на одной стороне листа четким почерком (не скорописью, вызывающей
подозрение о списывании). Новую задачу начинать с нового листа, указывая нна нем
номер задачи из задания, свою фамилию и номер группы. Листы скреплять степлером,
надежной скрепкой или класть в прозрачный пластиковый пакет для бумаг. На первой
странице нужно указать общее число сдаваемых листов. Листы необходимо занумеровать
в порядке следования задач в задании.
2. Писать не только формулы, но и слова: название этапов решения задачи, краткое описание
алгоритма решения, обозначения, определения ключевых понятий, формулировки теорем.
Качественные выводы. Сообщенные Вами теоретичесские сведения и выводы отмечаются
дополнительными баллами, которые могут частично компенсировать погрешности
решения конкрретной задачи.
3. Чаще стройте графики, поточечные или качественные, даже если это не оговорено в
условии решаемой задачи. Графики своей наглядностью помогают получить правильный
результат, лучше воспринять его и проверить.
1. На всех графиках должны быть подписаны координатные оси. Стрелками на осях
нужно указать направления возрастания соответствующих переменных и отметить
начало координат.
2. На осях поточечного графика следует указать масштаб, как правило, равномерный, но
не обязательно одинаковый для разных координат. Масштабы должны быть удобны
для аккуратного нанесения расчетных точек, которые должны быть выделены на
соединяющей их кривой.
3. На качественных графиках масштабная разметка не нужна. Но взамен нее должны
быть указаны координаты характерных точек (экстремумы, точки пересечения с
координатными осями и др.) и показаны асимптоты, если таковые имются.
Построение качественного графика требует аналитического обоснования его свойств
посредством анализа производных и градиентов.
4. Желательно производить аналитическую проверку промежуточных и окончательных
результатов подходящим для этого способом: подстановка решения в исходную систему
уравнений. Проверка выполнения первоначального определения или его необходимых и
достаточных условий. За произведенную проверку начисляются поощрительные баллы.
18
Методические рекомендации преподавателю:
Практические занятия по выпуклому и линейному программированию, а также по
многокритериальным методам целесообразно частично проводить в компьютерном
классе.
Методические указания студентам:
Для успешного изучения дисциплины рекомендуется перед каждым семинарским
занятием повторить теоретический материал по конспекту лекций, а после активной
работы на занятии – выполнять полученные задания (решать предложенные задачи,
изучать рекомендованную литературу).
Рекомендации по использованию информационных технологий
Для решения задач линейного программирования можно использовать
компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности, в
частности, рекомендуется использовать MS Exсel.
19