МАЛЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КубГУ

МАЛЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КубГУ
ПЛАНИМЕТРИЯ ( 10 класс)
Титов Г.Н.
Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте
кратко изложен необходимый теоретический материал и приведен список заданий. Предполагается, что к первому занятию по планиметрии 13.02.11 следует изучить теорию и
рассмотреть задания пунктов 1–4, ко второму занятию 27.02.11 – пунктов 5–7, к третьему
занятию 11.03.11 – пунктов 8–10. Перед занятием на Малом Матфаке по указанным темам желательно ознакомиться с соответствующим материалом в школьных учебниках
геометрии за 7 – 9 классы. Заметим, что в теоретических сведениях к решению заданий по
первым пяти темам отсутствуют полностью рисунки. Эти рисунки для наилучшего понимания и запоминания материала необходимо сделать самостоятельно.
1. Прямоугольный треугольник
Пусть a, b и c – стороны ВС, АС и АВ (для краткости не говорим «длины сторон»)
прямоугольного треугольника АВС , где С = 900. Вспоминаем, что а, b – катеты, а с –
гипотенуза, причем по теореме Пифагора a2 + b2 = c2. Если А = , то имеем равенства:
Sin  = a/c, Cos  = b/c, tg  = a/b и ctg  = b/a. Необходимо научиться , используя эти равенства, находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, когда известны одна его сторона и острый угол.
В заданиях 1.1 – 1.3 найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника АВС (С = 900), если даны d,  и v.
1.1. AB = d, A =  .
1.2. AC = d, CosA = v.
1.3. BC = d, CtgA = v.
При решении задач по этой теме полезно помнить стороны некоторых прямоугольных треугольников с целыми сторонами (египетских треугольников): 3k, 4k, 5k (например, при k = 4 имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 12 и 16, а гипотенуза – 20), а также 5k, 12k, 13k и 8k, 15k, 17k. И вообще, стороны любого египетского
треугольника, при некоторых натуральных числах m,n,k, где m>n, имеют вид (m2-n2)k,
2mnk, (m2+n2)k.
При решении следующих заданий желательно вспомнить технику, связанную с использованием так называемого «ключевого треугольника», то есть треугольника, данные о
котором позволяют находить без труда все его неизвестные стороны и углы. В частности,
прямоугольный треугольник будет ключевым, если нам даны, например, две его стороны
либо сторона и острый угол.
В заданиях 1.4 – 1.5 найдите неизвестные стороны «ключевого» прямоугольного
треугольника АВС (С = 900).
1.4. AC = 16, CosA = 8/17.
1.5. BC = 21, SinB = 24/25.
В заданиях 1.6 – 1.8 требуется найти сторону прямоугольного треугольника, в котором не хватает сведений о его компонентах (сторонах или углах). Чтобы решить задание,
найдите ключевой треугольник и определите с помощью него недостающую для исходного прямоугольного треугольника компоненту.
1.6. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу , равна
12 и SinA = 3/5. Найдите гипотенузу.
1.7. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (С = 900) равен 15 и tgA = 3/4 .
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
1.8. В прямоугольном треугольнике АВС точка D лежит на катете АВ, причем расстояние от нее до гипотенузы равно расстоянию до вершины А и равно 3 . Найдите катет АС, если В = 300.
Пусть в прямоугольном треугольнике а, b – катеты, с – гипотенуза, h – высота, опущенная на гипотенузу, ca и cb – соответствующие проекции катетов а и b на гипотенузу.
1
Оказывается, учитывая теорему Пифагора и равенства h2 = ca cb, a2 = ca c, b2 = cb c, мы
можем по двум из шести отрезков а, b, c, h, ca, cb всегда определить остальные четыре.
Если, зная два отрезка, не получается сразу применить теорему Пифагора или одно из
этих равенств, то удобно взять за неизвестную х отрезок ca (или cb), а затем с помощью
одного из трех равенств составить квадратное уравнение относительно х . Используя эту
идею, решите задания 1.9 – 1.10.
1.9. Точка D – основание высоты, опущенной на гипотенузу АВ прямоугольного
треугольника АВС. Найдите АС, если AD = 3 и BD = 9.
1.10. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза
равна 169, а высота, опущенная на нее, равна 60.
2. Теоремы синусов и косинусов
Пусть АВС – произвольный (не обязательно прямоугольный) треугольник, ВС = a,
AC = b, AB = c, A = , B =  и C =  . Тогда выполняются следующие равенства:
a
b
c
(теорема синусов);
c 2  a 2  b 2  2ab Cos (теорема косинусов).


Sin Sin Sin
Теорему синусов удобно применять в том случае, когда в треугольнике известны:
1) одна сторона и два угла (третий угол легко находится) либо 2) две стороны и угол, не
лежащий между ними. Теорема косинусов хорошо работает, когда в треугольнике известны две стороны, а также третья сторона либо какой-то угол (в последнем случае третью
сторону берем за х и, используя равенство, составляем квадратное уравнение относительно х). Следует отметить, что информация о косинусе угла треугольника предпочтительней, чем информация о его синусе, так как синус не различает острые и тупые углы
(Sin 300 = Sin 1500 ). Поэтому, если использована теорема синусов для нахождения угла,
не забывайте рассмотреть случай остроугольного и случай тупоугольного треугольников.
a2  b2  c2
Полезно знать формулу Сos 
, легко выводимую из равенства в теореме ко2ab
синусов. Например, если мы найдем косинус наибольшего угла треугольника (угла против
большей стороны), то по его знаку можно определить вид треугольника ( остроугольный –
при положительном косинусе, тупоугольный – при отрицательном и прямоугольный – в
случае равенства косинуса нулю). Замечаем, что синус любого угла треугольника всегда
положителен, а косинус нет. Поэтому для внутреннего угла  треугольника имеем равенства: Sin   1  Cos 2 и Cos  1  Sin 2 при   900, Cos   1  Sin 2 при  >900.
Теперь можно переходить к решению заданий 2.1 – 2.5.
2.1. Найдите в градусах наибольший угол треугольника со сторонами 3, 5 и 7.
2.2. В треугольнике АВС угол А тупой, SinA = 15 / 4 , АВ = 2 и АС = 3. Найти ВС.
2.3. В треугольнике АВС известно, что АС = 3, SinB = 6/11 и CosC = 21 / 11 .
Найдите сторону АВ.
2.4. Найдите в градусах угол С треугольника АВС, если АВ = 5, АС =1 и CosА = 0,8.
2.5. Найдите сторону ВС треугольника АВС, если АВ = 7, АС = 9 и SinA = 8 5 / 21 .
3. Площадь треугольника
aha
,
2
где ha – высота треугольника, опущенная на сторону а. Важность этой формулы заключается в том, что в отличии от многих других по этой формуле можно найти площадь треугольника, имея информацию только о двух его компонентах (стороне и высоте). Из этой
формулы, в частности, следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Зная две стороны а и b треугольника, а также угол  меж-
Для нахождения площади треугольника самой важной является формула S 
2
ab Sin 
. Если же известны все три стороны
2
а , b и с, то по формуле Герона имеем S  p( p  a) p  b) p  c) , где р – полупериметр
треугольника. Полезными могут оказаться также формулы и не встречающиеся в школьном учебнике:
a 2 Sin Sin
, где  и  - углы треугольника, прилежащие к его стороне а и также
S
2Sin (   )
1
S
4a 2 b 2  (a 2  b 2  c 2 ) 2 – аналог формулы Герона (известны все три стороны).
4
Можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.
3.1. Найдите площадь треугольника со сторонами 5 , 13 и 4.
3.2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 5, а косинус
угла между ними равен 0,6.
3.3. Найдите площадь тупоугольного равнобедренного треугольника, у которого две
высоты равны 15 и 24.
3.4. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АС = 4 и для некоторой точки
D, лежащей на стороне АС, выполняются условия: BD = 5 и CosBDC = 0,8.
3.5. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АВ = 13, ВС = 15 и tgC =4/3.
ду ними, площадь находится по формуле S 
4. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника
Известно, что прямые, проходящие через высоты треугольника, пересекаются в одной и той же точке, называемой ортоцентром. Оказывается, что ортоцентр является центром окружности, описанной около другого треугольника, стороны которого проходят через вершины данного треугольника, параллельно противолежащим его сторонам (докажите это высказывание самостоятельно с обязательным построением соответствующего чертежа. Напоминаем, что центр описанной окружности около треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам). Высоты ha, hb и hc, опущенные соответственно на стороны a, b и c треугольника, могут быть найдены из равенств: ha = 2S / a, hb = 2S / b и hc = 2S / c, где S – площадь треугольника. Откуда замечаем, что высоты по длине обратно пропорциональны сторонам, на которые опущены, то
есть чем больше сторона треугольника, тем меньше опущенная на нее высота.
Медианы треугольника (отрезки, соединяющие вершины с серединами противолежащих сторон) пересекаются в одной и той же точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эту точку обычно называют центром масс треугольника (если в вершинах треугольника расположить гири одинаковой массы, то центр масс
этой системы трех гирь будет располагаться в точке пересечения медиан). Для решения
задач бывает полезным соображение о том, что в любом треугольнике АВС для любой
точки D стороны АС площади треугольников АВD и CBD относятся как AD:CD (докажите самостоятельно). Из этого факта непосредственно следует, что медиана разрезает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Оказывается, что,
зная стороны треугольника a, b и с, его медиана тс , проведенная к стороне с, может
1
2a 2  2b 2  c 2 .
быть найдена по формуле mc 
2
Биссектрисы (внутренних углов) треугольника пересекаются в одной и той же точке,
которая является центром вписанной в него окружности. Пусть CL – биссектриса треугольника АВС, то есть точка L лежит на стороне АB и  ACL =  BCL . Положим
BC = a, AC = b, AL = cb , BL = ca и CL = lc . Имеют место следующие равенства:
ab(a  b  c)( a  b  c)
a / b = ca / cb , lc = ab  ca cb и lc 
.
ab
3
Замечаем, что приведенные ранее формулы в пунктах 2 – 4 позволяют по известным
трем сторонам треугольника легко находить его углы, площадь, высоты, медианы и биссектрисы. Поэтому в затруднительной ситуации при решении задачи по этой теме, имея
«ключевой» треугольник (то есть треугольник, в котором, например, известны две его
стороны и угол между ними или сторона и два прилежащих к ней угла), удобно, используя теорему синусов или теорему косинусов, определить третью сторону и затем воспользоваться указанными формулами пунктов 2 – 4 . Теперь можно переходить к решению
заданий 4.1 – 4.5.
4.1. В треугольнике со сторонами 1, 3 и 2 найдите в градусах угол между высотой
и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла.
4.2. Найдите в градусах угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наименьшего угла в треугольнике со сторонами 16, 21 и 35.
4.3. Найдите медиану равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, проведенную на боковую сторону, если АВ = 4 и АС = 10 .
4.4. Найдите биссектрису угла А треугольника АВС, у которого АВ = 15, АС = 12 и
CosA = 1 / 8 .
4.5. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает в середине его медиану, проведенную из вершины В. Найдите в градусах угол В, если SinC = 3 / 4 .
5. Вписанная и описанная окружности треугольника
Во всякий треугольник можно вписать и притом только одну окружность (то есть
окружность, касающуюся всех трех его сторон), причем ее центр, как было замечено ранее, совпадает с точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника. Радиус
r вписанной окружности в треугольник с площадью S и полупериметром р можно найти
по формуле r = S / p (кстати, зная полупериметр и радиус вписанной окружности, можно
также найти площадь треугольника). Это основная формула для нахождения радиуса вписанной окружности не только в треугольник, но и в любой многоугольник, в который
окружность можно вписать.
Известно, что около любого треугольника можно описать и притом единственную
окружность (то есть окружность, проходящую через все три его вершины), причем ее
центр совпадает с точкой пересечений серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для нахождения радиуса R описанной окружности желательно знать следуюa
abc
щие две формулы: R =
и R
, где S – площадь треугольника, a, b и c – его
4S
2 Sin
стороны,  - угол против стороны а . Отметим, что вторая формула в отличие от первой
позволяет найти радиус описанной окружности по двум компонентам (по стороне и по
синусу противолежащего угла) и поэтому является более важной. Реже применяемой, но,
тем не менее, полезной является формула S = 2 R2 Sin Sin Sin , связывающая этот радиус с площадью и тремя углами треугольника.
В заключении отметим, что некоторые формулы, на первый взгляд легко выводимые
из рассмотренных выше, в случае правильного (равностороннего) или прямоугольного
треугольника все же желательно выучить наизусть. К таким формулам относятся:
a2 3
a 3
a
a
S
,hml 
,R
,r
для правильного треугольника со стороной а;
4
2
3
2 3
ab
c
ab
abc
S
, mc  R  , r 

для прямоугольного треугольника с катетами
2
2
abc
2
а,b и гипотенузой с.
Можно переходить к решению заданий 5.1 – 5.5.
4
5.1. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса 4 39 / 3 .
Точка D лежит на стороне АС и делит ее в отношении 1 : 3, считая от вершины А. Найдите
длину отрезка BD .
5.2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 3, а радиус
вписанной в него окружности равен 1. Найдите периметр этого треугольника.
5.3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность радиуса 2 21 , пересекающая высоту BD в точке Е . Точка Е делит отрезок BD в отношении 3 :
4, считая от конца В. Найдите полупериметр треугольника АВС.
5.4. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании в 150,
если радиус описанной около него окружности равен 6  2 .
5.5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, у которого высота,
проведенная из вершины В, равна 15, а также известно, что SinA = 3/5 и SinC = 15/17 .
6. Окружность и ее компоненты
На рис.1 изображен центральный угол АОС, опираюющийся на дугу АВС. Если АОС равен  (радиан) или т0,
то говорят, что дуга АВС тоже имеет угловую величину 
О
0
0
или соответственно т (напоминаем, что угол в 180 равен
углу в  радиан). Длина окружности радиуса R равна 2R .

Если АО = R, то длина l дуги АВС может быть найдена
(т0)
по формуле l = R =  R m /180 . Площадь круга радиуса
А
С
2
R равна  R . Часть круга, ограниченную лучами ОА, ОС
и дугой АВС, называют сектором, опирающимся на дугу
В
АВС. Его площадь S находится по формуле S = R2  / 2
Рис. 1
или S =  R2 m / 360 . Часть сектора, ограниченная хордой АС и дугой АВС, называется
сегментом. Его площадь равна разности площадей сектора и треугольника АОС. Известно,
что отношение угловых величин дуг одной окружности равно отношению их длин, а также равно отношению площадей секторов, опирающихся на эти дуги.
На рис. 2 изображен вписанный угол АВС, опирающийся на дугу ADC, а на рис. 3 –
угол EFG между касательной FE к окружности и хордой FG, отсекающей дугу FHG .
Оказывается, что величины углов АВС и EFG равны половинам угловых величин дуг ADC
и FHG соответственно.
A
В
М
H
G
B
E
D
P
N
A
C
L
H
R
D
C
G
K
F
Рис. 2
F
Рис.4
Рис. 3
Рис. 5
Для решения задач по данной теме полезно уметь находить углы между хордами и
между секущими окружности. Так, на рис. 4 угол АЕD между хордами АС и BD оказывается равным половине суммы угловых величин дуг AMD и BNC, а на рис. 5 угол FGH
между секущими GF и GH равен половине разности угловых величин дуг FPH и KRL .
Приведенные сведения могут быть использованы при решении заданий 1.1 – 1.5.
6.1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 12/ , причем ВАС = /8
и DBС = /6. Найдите длину дуги BCD .
E
5
6.2. Точки А и В лежат на разных дугах, стягиваемых хордой CD окружности радиуса
2 3 /(  3) . Найдите площадь сегмента, ограниченного хордой АС и меньшей из стягиваемых ею дуг, если ACD = 100 и CBD = 250.
6.3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром О, причем ВАD = 500
и ВDС = 100. Найдите угол COD .
6.4. Найдите острый угол между диагоналями четырехугольника ABCD , вписанного
в окружность, если АСB = 750 и CAD = 700.
6.5. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает
стороны АС и ВС соответственно в точках D и E . Касательная к окружности в точке А
образует со стороной АВ угол 750 и АСВ = 450 . Найдите угловую величину дуги DE ,
расположенной внутри треугольника АВС .
7. Окружности и подобные треугольники.
Говорят, что треугольник FGH подобен треугольнику АВС с коэффициентом k , когда  F =  A ,  G =  B,  H =  C, а также FG / AB = FH / AC = GH / BC = k. Если в
ходе решения задания не важен коэффициент подобия k , то просто говорят, что треугольники FGH и АВС подобны и пишут  АВС   FGH . Необходимо знать три признака
подобия треугольников: по двум пропорциональным соответствующим сторонам и равным углам между ними; по двум равным соответствующим углам; по трем пропорциональным соответствующим сторонам. Так же необходимо помнить, что коэффициент подобия треугольников может быть найден как отношение их соответствующих компонент,
имеющих линейные размеры (например, как отношение соответствующих высот, медиан
или биссектрис, а также как отношение периметров, радиусов вписанных или радиусов
описанных окружностей и т. п.). Квадрат коэффициента подобия треугольников равен отношению площадей соответствующих фигур, связанных с этими треугольниками (например, отношению площадей самих треугольников, отношению площадей, вписанных в них
кругов, и т.п.). Часто встречаются ситуации, когда подобные треугольники расположены
как на рис. 6 при  ABC =  ADE или на рис. 7 при  GKL =  FGK . В этих ситуациях
имеем  ABC   ADE и  HKL   HGF соответственно.
А
F
G
D
H
E
B
K
L
Рис. 6
C
Рис. 7
Подобные треугольники встречаются и при решении заданий, связанных с окружностью.
На рис. 8 – 11 приведены такие ситуации.
В
A
B
С
F
F
А
A
D
B (касательная) C
B
F C
D
Рис. 8
Рис. 10
D
C
D
A
Рис. 9
Рис. 11
На каждом из рисунков 8 – 10 подобие треугольников AFD и CFB является необходимым
и достаточным условием для того, чтобы точки A, B, C и D лежали на одной окружности.
6
Из подобия этих треугольников следуют полезные соотношения: AFFC = BFFD на рисунке 8, CB : AD = FB : FD на рисунке 9, а если к тому же на этом рисунке угол DBF
прямой, то есть FB : FD = Cos  ВFD, то получаем равенство СВ : АD = Cos  AFD. На
рисунке 10 из подобия треугольников AFD и CFB следует, что FBFA = FDFC . На рисунке 11 подобными являются треугольники АВС и BDC (величины углов BAD и CBD
равны половине угловой величины одной дуги BD , а угол С общий). Откуда получается
полезное равенство для отрезка касательной ВС, имеющее вид ВС = AC  DC .
Теперь можно переходить к решению заданий 2.1 – 2.5.
7.1. Стороны АВ и ВС треугольника АВС пересекает прямая, параллельная АС, соответственно в точках D и E . Периметр и площадь треугольника АВС равны 12 (ед. и ед.2).
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BDE, если DA + AC + CE = 6+ DE.
7.2. Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение медианы АD пересекает окружность в точке Е . Найдите длину отрезка СЕ, если AB = 8, AD = 12, AE = 15.
7.3. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС, причем АD = 2, DС = 7 и
 А = 450. Найдите площадь треугольника АВD, если  АВD =  АСВ .
7.4. В треугольнике АВС проведены высоты ВD и СЕ. Найдите DЕ, если AB / AD = 3
и ВС = 15.
7.5. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая прямые АВ и ВС в двух точках D и E соответственно. Найдите сторону ВС, если известно, что АВ = 1 и АС = 2DE = 21 .
8. Многоугольники и их компоненты
Многоугольником или точнее n-угольником называют часть плоскости, ограниченную n-звенной (n  3) замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины и звенья этой
ломаной соответственно называют вершинами и сторонами этого многоугольника. На рисунке 12 (слева – направо) изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Под
выпуклым многоугольником понимают такой, который расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его стороны. Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда
все его внутренние углы меньше 1800.
Сумма всех внутренних углов любого
(и даже невыпуклого) n-угольника равна
(n – 2)180 0. Отрезок, соединяющий не смежные (не лежащие на одной стороне) вершины
Рис. 12
называется диагональю многоугольника. В n-угольнике n(n – 3)/2 диагоналей. Если d1, d2 –
длины диагоналей четырехугольника, угол между которыми равен , то площадь этого
d d Sin
четырехугольника может быть найдена по формуле S  1 2
. Оказывается, что в
2
четырехугольнике, с перпендикулярными диагоналями, суммы квадратов противоположных сторон равны.
Окружность, проходящая через все вершины многоугольника, называют описанной
около него, а окружность, касающуюся каждой его стороны, – вписанной в этот многоугольник. Ясно, что если около многоугольника описана окружность или в него вписана
окружность, то он является обязательно выпуклым. Не во всякий даже выпуклый многоугольник можно вписать окружность, но если ее можно в него вписать, то она единственна и ее радиус может быть найден по формуле r = S/p, где S – площадь и p – полупериметр этого многоугольника. Также не около всякого многоугольника можно описать
окружность. Если около некоторого многоугольника все же можно описать окружность,
то она единственна и его обычно называют вписанным, а радиус этой окружности, зная
информацию о двух каких-то смежных сторонах и углу между ними, можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника, построенного на этих двух смежных
7
сторонах многоугольника. Полезно знать связанные с описанной и вписанной окружностями четырехугольника следующие два утверждения:
- около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда
сумма его двух каких-то противоположных углов равна 1800 ;
- в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он выпуклый и суммы его противоположных сторон равны.
Многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы тоже равны,
называется правильным. В такой многоугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, причем центры этих окружностей совпадают. Необходимые формулы, связанные с правильным n-угольником A1A2…An , можно получить в
результате рассмотрения треугольника А1 О А2 , где О – центр вписанной (а значит и описанной) окружности. Действительно, угол А1 О А2 равен 3600 / n (кстати, внешний угол
при вершине правильного n-угольника тоже равен 3600 / n), А1 О – радиус описанной около многоугольника окружности, высота треугольника А1 О А2, проведенная из О, – радиус
вписанной в многоугольник окружности, n S А1 О А 2 – площадь n-угольника и т. д.. Для
примера приведем одну из версий таких формул для правильного n-угольника, в случае,
когда известна длина а его стороны:
n2
a
180 0
a
n a2
180 0

180 0 ; r  Ctg
; R
;
S

Ctg
,
n
2
n
4
n
180 0
2 Sin
n
где , r, R и S - соответственно внутренний угол, радиус вписанной окружности, радиус
описанной окружности и площадь этого правильного n-угольника.
Теперь можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.
8.1. В пятиугольник с площадью 22 вписали окружность радиуса 2. Найдите
наименьшую из его сторон, если их длины относятся как 3 : 2 : 1 : 2 : 3.
8.2. В правильном шестиугольнике А1 А2…А6 проекция диагонали А1 А3 на диагональ
6
А3 А6 равна
. Найдите площадь вписанного в этот шестиугольник круга.

8.3. Около правильного многоугольника А1 А2 …Аn с внешним углом 30 0 описана
окружность радиуса 6  2 . Найдите расстояние от точки А1 до прямой А3 А8 .
8.4. Найдите диаметр окружности, описанной около четырехугольника со сторонами
7, 15, 20 и 24 .
8.5. В четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписана окружность.
Найдите ее радиус, если известно, что какие-то две стороны четырехугольника равны 13
и 15 , а одна из его диагоналей равна 24 .
9. Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Условие о том, что четырехугольник является параллелограммом,
равносильно каждому из следующих пяти условий:
- противоположные стороны четырехугольника попарно равны;
- две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны;
- противоположные углы четырехугольника попарно равны;
- точка пересечения диагоналей четырехугольника делит каждую из них пополам;
- каждая из диагоналей четырехугольника делит его на равновеликие треугольники.
На рис. 13 изображен параллелограмм ABCD с
C
B
высотой ВЕ и диагоналями АС и ВD . Его площадь
S может быть найдена по следующим формулам :
F
S = ADBE = ABADSinBAD = 0,5ACBDSinAFB .
D
E
A
2
2
2
2
Также выполняется равенство AC +BD = 2(AB +AD ) .
Рис. 13
8
Прямоугольник, ромб и квадрат являются разновидностями параллелограммов. Надо
знать, что около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда
он прямоугольник, причем диаметр окружности будет равен диагонали этого прямоугольника. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он ромб,
причем диаметр окружности будет равен высоте этого ромба.
Можно переходить к решению заданий 4.1 – 4.5.
9.1. Окружность, проходящая через вершину А квадрата АВСD, касается его сторон
BC и CD соответственно в точках E и F . Найдите радиус этой окружности, если площадь треугольника AEF равна 2  2 2 .
9.2. В прямоугольнике АВСD точка Е лежит на диагонали АС . Найдите отношение
площадей треугольников ABE и ADE .
9.3. Найдите в градусах тупой угол между диагоналями параллелограмма с площадью 3 , около которого можно описать окружность радиуса 1.
4
9.4. В параллелограмм с одним из углов, равным arcsin
, вписан круг. Найдите
3
отношение площадей параллелограмма и круга.
9.5. Биссектриса острого угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые BC и
CD в двух точках E и F соответственно. Найдите отношение большей высоты параллелограмма и меньшей, если AE / EF = 3 .
10. Трапеция
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две нет. Ясно, что трапеция – выпуклый четырехугольник. На рис. 14 изображена трапеция АВCD , у которой BC и АD – основания,
B
C
АB и CD – боковые стороны, EF – средняя линия, BG – высота и Н – точка пересечения диаE
H
F
гоналей. Для решения задач по этой теме нам
могут понадобится следующие сведения:
AD  BC
- EF || AD, EF || BC и EF 
;
А
G
D
2
AD  BC
 BG  EF  BG  0,5  AC  BD  Sin AHB ;
- S ABCD 
Рис. 14
2
- SABC = SBCD , SABD = SACD , SAHB = SCHD ;
-  AHD   CHB ;
AD  BC
- для равнобедренной трапеции (при АВ = СD) имеем EF = GD и AG =
;
2
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной;
- если в трапецию можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме
AB  CD
боковых сторон и поэтому EF 
, а значит в равнобедренной трапеции EF = АВ.
2
Можно переходить к решению заданий 5.1 – 5.5.
10.1. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с углом
300 и площадью 8.
10.2. Около равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 63 и BC = 33 описана окружность. Найдите диаметр этой окружности, если АВ = 39.
10.3. Диагонали трапеции равны 17 и 25, а высота – 15. Найдите площадь трапеции.
10.4. Найдите меньшее основание трапеции, в которую вписана окружность с диаметром 15 и боковые стороны которой равны 17 и 25.
10.5. Найдите высоту трапеции, у которой стороны равны 3; 4; 5 и 1.
9