Лабораторная работа №6 - Томский политехнический университет

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего
образования
Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора ИК
по учебной работе
_____________С.А. Гайворонский
«___»_________________2015 г.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 6
«Численные методы многомерной условной минимизации c использованием
штрафных и барьерных функций»
по дисциплине
«Методы оптимизации»
для студентов направления 01.03.02
«Прикладная математика и информатика»
Томск 2015 г.
УДК 519.8 ББК 22.14
Методы оптимизации. Методические указания к выполнению лабораторной
работы № 6. «Численные методы многомерной условной минимизации c
использованием штрафных и барьерных функций» по дисциплине «Методы
оптимизации» для студентов направления 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика». – Томск: Изд. НИ ТПУ, 2015. – 8 с.
Составитель – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин
Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко
Методические
методическим
указания
рассмотрены
семинаром
и
кафедры
«___»_________2015 г.
Зав. кафедрой
Доцент, к.т.н. _________________Гергет О.М.
рекомендованы
прикладной
к
изучению
математики
Лабораторная работа № 6
Тема: Численные методы многомерной условной минимизации c
использованием штрафных и барьерных функций.
Цель работы: Приобретение практических навыков для решения задач
многомерной условной минимизации с использованием штрафных и
барьерных функций.
1. Постановка задачи
Требуется найти минимум функции многих переменных Y  F ( x ) , то
есть, такую точку x *  U , что
(1)
F ( x* )  min F ( x) ,
xU
где множество точек U определяется ограничениями вида
g j ( x )  0, j  1,..., m, m  n,
g j ( x )  0, j  m  1,..., p .
(2)
2. Методы условной оптимизации
Применение необходимых и достаточных условий условного
экстремума эффективно для решения ограниченного числа задач, в которых
имеются аналитические решения. Для решения большинства практических
задач используются численные методы, которые можно разделить на две
группы:
- методы последовательной безусловной оптимизации;
- методы возможных направлений.
Методы последовательной безусловной оптимизации основаны
на
преобразовании задачи условной оптимизации в последовательность задач
безусловной оптимизации путем введения в рассмотрение вспомогательных
функций.
Основная идея методов первой группы состоит в том, чтобы
аппроксимировать исходную задачу условной оптимизации некоторой
вспомогательной задачей, решение которой менее сложно, чем решение
исходной. Однако, при этом приходится решать последовательность таких
задач, сходящихся к исходной. Причем, результаты решения предыдущей
задачи используются в качестве начальных приближений при решении
последующей задачи. Получение решений с практически необходимой
точностью может быть достигнуто за конечное число шагов.
Ко второй группе методов относятся:
- метод проекции градиента;
- метод возможных направлений Зойтендейка.
Методы возможных направлений, используемые для решения задачи
условной оптимизации, основаны на движении из одной допустимой точки,
где выполнены все ограничения, к другой допустимой точке с лучшим
значением целевой функции.
3. Методы последовательной безусловной оптимизации
К методам последовательной безусловной оптимизации относят:
- метод штрафов;
- метод барьеров;
- метод множителей;
- метод точных штрафных функций.
В методе штрафов (внешних штрафов) к целевой функции добавляется
функция, интерпретируемая как штраф за нарушение каждого из ограничений.
В результате генерируется последовательность точек, которая сходится к
решению исходной задачи.
В методе барьеров (внутренних штрафов) к целевой функции исходной
задачи добавляется слагаемое, которое не позволяет генерируемым точкам
выходить за пределы допустимой области.
В методе множителей штрафная функция добавляется не к самой
целевой функции, а к ее функции Лагранжа
. В результате исследование на
экстремум сводится к исследованию модифицированной функции Лагранжа.
В методе точных штрафных функций задача сводится к решению одной
задачи безусловной оптимизации.
3.1. Метод штрафов
Алгоритм метода штрафов состоит из следующих этапов.
1 этап. Задать начальную точку x 0 вне области допустимых решений,
начальное значение параметра штрафа r 0  0 , число C  1 для увеличения
параметра штрафа, погрешность расчета   0 . Принять k  0 .
2 этап. Составить вспомогательную функцию
p
rk m
2
F ( x , r )  f ( x )  { [ g j ( x )]   [ g j ( x )]2 } ,
2 j 1
j  m 1
k
p
rk m
2
где функция штрафа P( x , r )  {[ g j ( x )]   [ g j ( x )]2 } - квадрат срезки.
2 j 1
j  m 1
k
g j ( x ) - срезка функции:
 g j ( x ), g j ( x )  0,
g j ( x )  max{0, g j ( x )}  
g j ( x )  0.
 0,
3 этап. Найти точку x * (r k ) безусловного минимума функции F ( x , r k ) по
x с помощью какого либо метода (нулевого, первого или второго порядка):
F ( x * (r k ), r k )  minF ( x , r k ) . При этом задать все требуемые выбранным
xR n
методом параметры. В качестве начальной точки взять x k . Вычислить
функцию штрафа P( x * (r k ), r k ) 
p
rk m
{ [ g j ( x * )]2   [ g j ( x * )]2 } .
2 j 1
j  m 1
4 этап. Проверить выполнение условия окончания:
А) если P( x * (r k ), r k )   , процесс поиска закончить: x *  x * (r k ), f ( x * )  f ( x * (r k )) ;
Б) если P( x * (r k ), r k )   , то принять r k 1  Cr k , x k 1  x * (r k ), k  k  1 и перейти к
этапу 2.
Примечание. Рекомендуемые значения r 0  0.01, 0.1,1 , параметра C  4 10.
3.2. Метод барьерных функций
Алгоритм метода барьерных функций состоит из следующих этапов.
1 этап. Задать начальную точку x 0 внутри области U , начальное
значение параметра штрафа r 0  0 , число C  1 для уменьшения величины
параметра штрафа, погрешность расчета   0 . Принять k  0 .
2 этап. Составить вспомогательную функцию
m
F (x, rk )  f (x )  rk 
j 1
m
1
или F ( x , r k )  f ( x )  r k  ln( g j ( x )) .
g j (x )
j 1
3 этап. Найти точку x * (r k ) безусловного минимума функции F ( x , r k ) по
x с помощью какого либо метода (нулевого, первого или второго порядка):
с проверкой принадлежности текущей точки
F ( x * (r k ), r k )  minF ( x , r k )
xR n
внутренности множества U . При этом задать все требуемые выбранным
методом параметры. В качестве начальной точки взять x k .
Вычислить функцию штрафа
m
P( x * (r k ), r k )  r k 
j 1
функция штрафа)
1
g j ( x * (r k ))
(обратная
m
или P( x * (r k ), r k )  r k  ln[ g j ( x * (r k ))] (логарифмическая
j 1
функция штрафа).
4 этап. Проверить выполнение условия окончания:
P( x * (r k ), r k )   ,
А) если
то процесс поиска закончить,
x *  x * (r k ), f ( x * )  f ( x * (r k )) ;
Б) если P( x * (r k ), r k )   , то принять r k 1 
приняв
rk
, x k 1  x * (r k ), k  k  1 и перейти к
C
этапу 2.
Примечание. Рекомендуемые значения r 0  1,10,100 , параметра C  10,12,16.
Варианты заданий
Варианты заданий приведены в таблице.
Таблица. Варианты заданий
№
вар.
Целевая функция и ограничения
Метод
1
f ( x )  x1  2 x22  4 x2  max
Штрафов
3x1  2 x2  6
Метод
безусловного
поиска
По желанию
2
f ( x )  4 x12  8 x1  x2  3  max
Штрафов
По желанию
Барьеров
По желанию
Барьеров
По желанию
 x1  x2  2
3
4
1
f ( x )  ( x1  1)3  x2  min
3
x1  1  0, x2  0
4 9
f ( x )    x1  x2  min
x1 x2
x1  x2  6, x1  0, x2  0
5
f ( x )  4 x12  4 x1  x22  8 x2  5  min
Штрафов
По желанию
2 x1  x2  6
6
f ( x )  8 x12  4 x1  x22  12 x2  7  max
Штрафов
По желанию
Барьеров
По желанию
Штрафов
По желанию
Барьеров
По желанию
Штрафов
По желанию
Штрафов
По желанию
Барьеров
По желанию
Барьеров
По желанию
Штрафов
По желанию
Штрафов
По желанию
Барьеров
По желанию
Барьеров
По желанию
Барьеров
По желанию
2 x1  3 x2  6
7
f ( x )  ( x1  4) 2  ( x2  4) 2  min
2 x1  x2  2, x1  0, x2  0
8
f ( x )  8 x12  4 x1  x22  12 x2  7  max
2 x1  3 x2  6
9
f ( x )  ( x1  4) 2  ( x2  4) 2  min
2 x1  x2  2, x1  0, x2  0
10
f ( x )  x1  2 x22  4 x2  max
3x1  2 x2  6
11
f ( x )  4 x12  8 x1  x2  3  max
 x1  x2  2
12
13
1
f ( x )  ( x1  1)3  x2  min
3
x1  1  0, x2  0
4 9
f ( x )    x1  x2  min
x1 x2
x1  x2  6, x1  0, x2  0
14
f ( x )  4 x12  4 x1  x22  8 x2  5  min
2 x1  x2  6
15
f ( x )  8 x12  4 x1  x22  12 x2  7  max
2 x1  3 x2  6
16
f ( x )  ( x1  4) 2  ( x2  4) 2  min
2 x1  x2  2, x1  0, x2  0
17
18
1
f ( x )  ( x1  1)3  x2  min
3
x1  1  0, x2  0
4 9
f ( x )    x1  x2  min
x1 x2
x1  x2  6, x1  0, x2  0
Задание
1. Составить блок-схемы алгоритмов поиска точки экстремума заданной
функции.
2. По разработанным алгоритмам составить программы поиска минимума
функции.
3. Найти координаты и значение функции в точке минимума одним из
методов.
4. Найти точное значение координаты точки минимума, используя
необходимые и достаточные условия экстремума.
5. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы по
достигнутой точности и количеству вычислений функции.
6. Дать письменные ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. На что накладывается штраф?
2. Зачем увеличивается коэффициент штрафа?
3. Понятие штрафной функции.
4. Где выбирается начальная точка поиска?
5. Как формируется расширенный критерий оптимальности?
6. От чего зависит точность нахождения оптимума исходной задачи?
7. В чем отличие метода штрафных функций от метода барьерных функций?
Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Формулировка задачи.
3. Блок-схемы алгоритмов поиска минимума.
4. Листинги программ.
5. Графическое представление траекторий движения к экстремуму,
полученных соответствующими методами.
6. Результаты вычислений.
7. Сравнительная характеристика методов.
8. Выводы.
Литература
1. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:
Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2002. -544с.
2. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации: Учебное пособие.
– СПб.: Издательство «Лань», 2011. – 352 с.
Временной ресурс:
- аудиторные занятия – 4 часа;
- самостоятельная работа – 8 часов.
Итоговая оценка защиты лабораторной работы (1 метод по желанию)
Всего: 3 балла, в том числе:
- метод штрафов
- метод барьеров
– 3 балла;
– 3 балла.
Численные методы многомерной условной минимизации c
использованием штрафных и барьерных функций
Методические указания к выполнению лабораторной работы
Составитель – Юрий Владимирович Бабушкин
Подписано к печати ___._______. 2015г.
Формат 60*84/16. Бумага офсетная.
Плоская печать. Усл. печ. л. _____. Уч. – изд. л. ____.
Тираж 150 экз. Заказ ____. Цена свободная.
ИПФ НИ ТПУ. Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
Типография НИ ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.