Тюменева Ю., Гончарова М. Решение текстовых математических

Тюменева Ю., Гончарова М.
Решение текстовых математических задач: этапы, трудности, и роль помощи.
Результаты экспериментального исследования.
Введение
Важность умения использовать математику при решении реальных жизненных
проблем хорошо обоснована в литературе по проблемам образования. Это умение
обычно формируется и оценивается с помощью текстовых математических задач. Эти
задачи требуют осуществления перевода с языка контекста на язык математики, затем –
математических
вычислений,
и
затем
–
обратного
перевода
математически
сформулированного решения на язык контекста. В литературе этот перевод описан
последовательными
представление
о
этапами
пяти
математического
этапах
упрощение/структурирование,
моделирования.
процесса
Распространенно
моделирования:
математизация,
понимание,
вычисления,
и
интерпретация/валидизация.
Предшествующие исследования показали, что решение текстовой задачи
сопряжено с трудностями, которые могут возникнуть на любом этапе моделирования.
Известно, в частности, что основные трудности представляют первые три этапа (до
построения математической модели включительно). Однако неизвестно, какой эффект
может иметь помощь на том или ином этапе для прохождения других этапов и
успешного решения задания. Иными словами: если решающему помочь пройти
определенный этап, который бы он не прошел самостоятельно, будет ли он способен
пройти другие этапы и решить задачу? Этот вопрос отсылает к идее «зоны ближайшего
развития», разработанной в рамках культурно-исторической концепции психического
развития
Л.С.
Выготского.
В
эмпирических
англоязычных
исследованиях,
выполненных в логике этой идеи, помощь при решении, или «scaffolding», часто
используется для оценки прогресса в области психологии развития или тестирования в
образовании, однако этот подход до сих пор не был использован в исследованиях
моделирования при решении текстовых задач. Мы полагаем вопрос о роли помощи в
моделировании очень важным как с теоретической, так и практической точки зрения,
так как от ответа на него будут зависеть и дальнейшее понимание умения
моделирования, и рекомендации по развитию этого умения.
Помимо сказанного, предыдущие исследования моделирования не принимают
во внимание степень знакомства решающего с предложенной задачей. С одной
1
стороны, сходство задачи с теми, которые уже были в опыте решающего, должно
облегчать решение текущей задачи из-за переноса (трансфера по аналогии) прежнего
способа решения. С другой стороны, в ряде исследований утверждается, что из-за
высокой типизации школьных текстовых задач по математике, их жесткой связи с
определенными «темами» школьной программы, и полной алгоритмизации процедур
их решения, текстовые задачи перестают выполнять свою роль инструмента обучения
моделированию. Однако нами не найдены исследования, которые бы эмпирически
устанавливали эффект типичности задачи на процесс моделирования.
Наша работа представляет собой экспериментальное исследование процесса
моделирования и роли помощи на разных его этапах при решении типичной и
аналогичной, нетипичной, текстовой математической задачи. Исследование отвечает
на следующие вопросы: Какие этапы процесса моделирования являются самыми
трудными и каковы эти трудности? Каков эффект помощи для прохождения
последующих этапов? Как различается процесс решения задач на моделирование и
роль помощи при решении типичной и аналогичной, но нетипичной, задачи?
Метод
Участники:
В исследовании приняли участие 142 человека. Из них: 37 школьников (10 класс
– 18 человек; 11 класс – 9 человек) и 105 студентов первого курса бакалавриата ВШЭ.
Из них: 112 – девушки и 30 - юноши.
Инструмент:
Испытуемым предлагалось решить 2 задачи на моделирование (текст задач в
приложении): Никель и Ассорти. Задача Никель взята из школьного учебника и
является типичной для школьной программы по математике раздела «Растворы и
сплавы». Подобные задачи встречаются на официальных сайтах, помогающих
подготовиться к ЕГЭ. Задача Ассорти была взята нами из одного из американских
учебников математики для 8-9 классов. Хотя задача Ассорти не является типичной для
российской школьной программы, но по принципу решения она является аналогичной
к задаче Никель. Обе задачи решаются через систему линейных уравнений.
Процедура:
2
На самостоятельное решение отводилось: 10 минут на задачу Никель и 15 минут
на задачу Ассорти (как, возможно, более трудной). Участники, не решившие задачу
самостоятельно в отведенное время, получали карточки помощи с подсказками,
последовательно продвигающие их по этапам моделирования (см. Приложение).
Карточки были составлены таким образом, что их содержание и порядок предъявления
совпадали с основными этапами решения задач на моделирование. Карточка №1
соответствовала Этапу 1 Понимание проблемы; она помогала учащимся правильно
понять условие задачи, переформулировать его, прояснить вопрос задачи. Карточка №2
(Этап 2 Схематизация) помогала испытуемым выделить ключевые элементы задачи,
установить связи и отношения между ними, т.е. составить схему задачи, которая на
следующем этапе должна была стать основой математической модели. Карточка №3
(Этап 3 Математизация) давала учащимся уже готовую математическую модель:
систему линейных уравнений.
Важно отметить, что подбор подсказок был ориентирован в логике решения
задач через систему уравнений. Эта метод изучается учащимися в школе, и является
стандартным для решения подобных задач.
На обдумывание информации карточки помощи и продолжения решения
испытуемым давалось по 3 дополнительных минуты.
Согласно инструкции, решение задачи оформлялось на листе, где испытуемые
последовательно записывали все свои рассуждения и расчеты, отмечая взятие карточек
помощи. Такая форма протоколов позволила бы провести качественный анализ и
выявить затруднения на этапах моделирования, определить способ решения задачи.
Все испытуемые студенты указали балл ЕГЭ по математике.
В эксперименте варьировался порядок предъявления задач: около половине
испытуемых первой предлагалось решить «Никель», другая половина учащихся решала
первой задачу «Ассорти». Это отражало одну из гипотез о том, что, решая первой
задачу Никель большая часть учащихся будет воспроизводить аналогичное по
принципу решение для «Ассорти», что позволит диагностировать случаи переноса.
В инструкции испытуемым подчеркивалось, что экспериментатор не сможет
отвечать на вопросы о задачах и когда такие вопросы все-таки возникли при решении
задачи Ассорти (по неопределенности вопроса задачи), то испытуемым было
предложено отразить свои затруднения в протоколе решения и указать как они будут
трактовать вопрос задачи и строить свое решение.
3
После завершения решения обеих задач испытуемым были предложены вопросы
о том, были ли задачи трудными/легкими, знакомыми /не знакомыми по школе, и о том,
есть ли между ними сходство и различие и в чем оно состоит. На эти вопросы были
получены письменные ответы, которые использовались для качественного анализа
данных, наряду с протоколами решения.
Кодирование:
Кодировалась следующая информация: правильность решения (1 –верно, 0 –
неверно), взятие карточек помощи и их количество, самостоятельность (без подсказок)
решения, способ решения (1 – метод подбора; 0 - решение через систему
уравнений/уравнение), порядок предъявления задач.
Результаты
Количественные результаты:
Результаты описательной статистики приведены в Таблице 1.
Таблица 1.
Подсказка, после которой
Кол-во
Задача
задача была успешно
Решили
решавших
Решили
верно без
Использовали
задачу
верно
подсказок
подсказки
115
никель
136
(81%)
90 (66,2%)
36 (25,4%)
98
ассорти
136
(69%)
72 (50,7%)
34 (25%)
решена
1
2
7
9
9
(19,4%)
(31%)
(45%)
4
9
7
(11.8%)
(43%)
(50%)
Сравнение успешности решения обеих задач на общей выборке (t-test для
связанных выборок, непараметрический критерий Вилкоксона и критерий знаков)
позволяет сделать вывод о том, что задача Никель статистически значимо (уровень
значимости 0.04) решается более успешно, чем задача «Ассорти». Эта задача, являясь
типичной, знакомой для российских школьников, является более легкой. Аналогичные
результаты получены на подвыборке испытуемых, решавшей задачу Никель первой.
4
3
Существует статистически значимая (0.04) слабая положительная связь между
успешностью решения обеих задач, выявляемая на общей выборке испытуемых
(коэффициенты парной связи Спирмена и Кенделла 0.19).
Интересно, что изменение порядка предъявления задачи Ассорти драматическим
образом изменяет способ решения, который использует испытуемый (см. Табл. 2).
Таблица 2.
Порядок предъявления задачи
способ решения (%)
«Ассорти»
подбор
система уравнений
1
62
38
2
9
91
Наблюдается изменение процентного соотношения решивших задачи верно при
изменении порядка предъявления задач. Сглаживается разрыв между успешностью
решения двух задач, в случае, когда задачу Ассорти испытуемые решают первой.
Таблица 3.
задача
% решивших верно
% решивших верно
первая задача -никель
первая задача - ассорти
никель
91,4
78,7
ассорти
79,3
76,6
Сравнение успешности решения обеих задач на подвыборке испытуемых,
которым задача Ассорти предъявлялась первой (t-test для связанных выборок,
непараметрический критерий Вилкоксона и критерий знаков) позволяет сделать вывод
о том, что пропадают статистически значимые различия в успешности решения этих
задач. Уменьшается разрыв в их трудности для испытуемых. Отсутствует и
статистически значимая связь между успешностью решения обеих задач
(коэффициенты парной связи Спирмена и Кенделла незначимы).
Статистически значимых связей между успешностью решения задач и баллом
ЕГЭ по математике у студентов не обнаружено (коэффициенты парной связи
незначимы).
5
Не выявлены различия в успешности решения задач между юношами и
девушками (t-test для независимых выборок, непараметрический критерий МаннаУитни).
Из результатов проведенной логистической регрессии видно, что если Ассорти
решается первой, то эффективным становится метод подбора, но если Ассорти
решается второй, то эффективна система уравнений.
Качественный анализ:
Материалами для качественного анализа данных были протоколы решения
испытуемых, а также их письменные ответы на вопросы экспериментатора о задачах.
Нами было выявлено, что:
- для тех испытуемых, которые самостоятельно пытались решить задачу с
помощью системы уравнений, но испытывали сложности, предложенные карточки
помощи оказывались эффективными в нахождении верного решения. При этом
наибольшие трудности испытуемые испытывали на втором этапе моделирования – в
процессе построения схемы задачи.
- испытуемые, которые второй задачей Ассорти в подавляющем большинстве
решали задачу через систему линейных уравнений. При этом они явно использовали
аналогию между двумя задачами. У многих испытуемых протоколы решений двух
задач визуально выглядели абсолютно идентично: аналогичный рисунок или таблица за
которыми следует система уравнений. Такое решение незнакомой задачи по аналогии с
известной было вызвано к переносом способа решения.
- ошибок в вычислениях практически не было. Несколько учащихся
продемонстрировали неумение решать систему уравнений и несколько не могли
перевести проценты в десятичную дробь.
- в задаче Ассорти большое количество испытуемых испытывают сложности с
оценкой логичности и реалистичности ответа, формулировании ответа на языке задачи
(на языке реальной жизни), получении ответа в единицах измерения, принятых в
данной сфере деятельности (в граммах, округленных до целого). Эти трудности
усугублялись наличием в вопросе задаче требования дать «приблизительный ответ».
Наблюдались не только абсолютно противоречащие условию задачи цифры (вес
ассорти в сумме был больше или меньше одного килограмма), но даже правильные с
точки зрения математики цифровые значения не округлялись не только до целых
граммов, но сообщались в виде десятичной дроби с двумя, тремя и более знаками после
запятой, а также в виде обыкновенной дроби.
6
Обсуждение
Наше исследование было адресовано трем вопросам: Какие этапы
процесса моделирования являются самыми трудными и каковы эти трудности? Каков
эффект помощи для прохождения последующих этапов? Как различается процесс
решения задач на моделирование и роль помощи при решении типичной и
аналогичной, но нетипичной, задачи? Как и следовало ожидать самыми трудными
этапами в решения, оказались второй и третий этап моделирования. Также ожидаемым
было, что подсказки оказывали помощь и продвигали в решении задачи, но только в
том случае, если логика подсказки находилась в логике самостоятельных рассуждений
самого решающего. Эта часть результатов находится в логике выводов, сделанных в
предыдущих исследованиях.
Мы выяснили так же, что помощь, оказанная на этапе понимания задачи,
позволяет решить задачу каждому пятому, не сумевшему решить ее самостоятельно;
помощь на этапе упрощения – каждому третьему, и фактически не было участников, не
решивших задачу после того, как им была предложена математическая модель
решения.
Относительно решения типичной и нетипичной задачи основные выводы могут
быть следующими. Задача Ассорти в целом по выборке оказалась статистически
значимо труднее и решалась хуже. Процесс решения занимал больше времени. В
отличие от Никеля эта задача воспринималась как интересная, не вызывала негативных
эмоций.
Методы решения нетипичной задачи существенно отличались от тех, которые
применялись к задачи типичной. Типичная задача Никель решалась преимущественно
типичным же, культурно-формальным способом, освоенным в школе. Успешность
решения в этом случае зависела в основном от того, насколько правильно построена
система уравнения и нет и ошибок в подсчете. При этом важно отметить, что записи
решения типичной задачи, как они были зафиксированы черновиках (форма записи,
использованные рассуждения) практически дублировали друг друга, и были
стандартными для алгоритма решения таких задач, изученных в школе. Участники
алгоритмическим способом переходили к построению математической модели,
понимание и схематизация были сведены до типовых шагов. Иными словами,
самостоятельная деятельность моделирования была крайне сокращена.
Задача Ассорти при первом ее предъявлении не распознавалась участниками как
принадлежащая к категории задач «Растворы и сплавы» и решалась, т.о., как
7
нетипичная. Основной метод решения был метод подбора, т.е. участники понимали
структуру задачи, и отношения между ключевыми элементами, но не переходили к
построению математической модели. Вместо этого они перебирали возможные пары
значения искомых переменных, до тех пор пока не получали верный вариант. Иными
словами, при решении нетипичной задачи, участники самостоятельно начинают
деятельность моделирования, но вместо перехода к математической части, переходят
на обыденный способ решения через подбор. Именно это способ оказался более
эффективным в том случае, если задача воспринималась и решалась как нетипичная.
Итоговый этап моделирования также проходил успешно: процесс интерпретации шел
легче, а сама интерпретация была осмысленной.
Интересно, что когда нетипичная задача Ассорти была категоризована
участниками как типичная (при предъявлении после задачи Никель ее категоризовали
как относящуюся к теме «Растворам и сплавам»), способ работы с ней менялся.
Выстроив аналогию с задачей Никель, участники решали ее через систему уравнений, и
в этом случае, культурно-формальный способ оказывался более эффективным, чем
обыденный (подбор). Однако, характерно, что в этом же случае, этапы понимания и
схематизации фактически опускались, и участники выстраивали весьма поверхностные
аналогии с типичной задачей Никель, чтобы построить аналогичную модель – систему
уравнений.
Обобщая, можно сказать, что если задача решается как не относящаяся к
какому-то типу, она значимо чаще решается обыденным способом (подбор), чем
культурно-формальным способом, и этот обыденный способ оказывается более
эффективным, чем формальный. Если же задача решается как отнесенная к какому-то
"типу", то она значимо чаще решается "типичным", культурно-формальным способом,
чем обыденным, и этот формальный способ становится более эффективным, чем
обыденный.
Обобщая выводы относительно роли типичности задачи мы можем сказать, что
типичность редуцирует этапы понимания и схематизации, которые скорее
восстанавливаются по заученному алгоритму, чем совершаются самостоятельно.
Типичная задача решается в большинстве случаев через математическую модель, опять
же – типичную. Нетипичная задача, наоборот, актуализирует именно первые этапы
моделирования: понимание и схематизацию, которые совершаются в этом случае
самостоятельно. Однако, если задача не категоризуется как относящаяся к какому-то
типу стандартны задач, первые этапы моделирования приводят, в обход построения
8
математической модели, к обыденному, интуитивно понятному способу – подбору
подходящих решений.
В качестве самого общего вывода можно сказать, что факт типичности самым
кардинальным образом изменяет процессы решения, этапы моделирования и роль
помощи.
Литература
Blum, W., & Ferri, R. B. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt?
Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45–58. Retrieved from
http://gorila.furb.br/ojs/index.php/modelling/article/view/1620
Frejd, P. (2013). Modes of modelling assessment—a literature review. Educational Studies in
Mathematics, 84(3), 413–438. doi:10.1007/s10649-013-9491-5
Ludwig, M., & Reit, X.-R. (2012). A cross-section study about modelling task solutions. In
ICME-12 Conference (pp. 3376-3387). Seoul, Korea: ICME.
Niss, M., Blum, W. & Galbraith, P. (2007), “Introduction”, in Blum, W., P. Galbraith, H.-W.
Henn and M. Niss (eds.), Modelling and Applications in Mathematics Education (The 14th ICMI
Study), Springer, New York, pp. 3-32.
Turner, R. (2007 ). Modelling and Applications in PISA. Modelling and Applications in
Mathematics Education - New ICMI Studies series Vol. 10, pp. 433-440.
9
Приложение
Задача «Никель»
Есть два раствора. Первый раствор содержит 10 % активного вещества, второй –
30% активного вещества. Из этих двух растворов получили третий раствор объемом 200
л., содержащий 25% активного вещества. Каков объем первого раствора и объем второго в
составе третьего раствора?
Карточка № 1
Разбери: где часть, а где целое?
Определи долю части в целом?
Соотнеси массу каждого сплава с долей никеля в нем.
Первый сплав 10%, его масса с третьем сплаве - ?
Второй сплав 30%, его масса с третьем сплаве - ?
Третий сплав 25%, общей массой 200 кг. Продолжай решать задачу.
Карточка № 2
Здесь две меры: масса сплавов и масса никеля в сплаве.
Массы первого и второго сплавов вместе дают нам массу третьего сплава.
Масса никеля в массе первого сплаве и масса никеля во втором, дают массу никеля в
третьем. Оба соотношения должны выполняться одновременно.
Продолжай решать задачу.
Карточка № 3
Построим систему уравнений, где за х примем массу первого сплава, а за у – массу
второго.
Продолжай решать задачу.
Задача «Ассорти»
Владелец кондитерской хочет быстрее продать дорогие шоколадные конфеты, но не
снижать на них цену. Для этого он думает сделать ассорти, смешав шоколадные конфеты
стоимостью 350 рублей за килограмм с более дешевой карамелью по 72 рублей за килограмм.
10
Сколько шоколадных конфет и карамели должно быть в этом ассорти, чтобы его стоимость
была приблизительно 149 рублей за килограмм?
Карточка №1
Ассорти 149 рублей за килограмм. Масса = 1 кг.
Шоколадные конфеты 350 рублей за килограмм.
С какой массой они «вошли» в ассорти - ?
Карамель 72 рублей за килогпамм. С какой массой они «вошли» в ассорти - ?
Продолжай решать задачу.
Карточка №2
Здесь три единицы измерения: масса, цена за килограмм и стоимость конфет в ассорти.
Соотношение масс: масса шоколадных конфет и масса карамели дают массу ассорти.
Соотношение стоимостей частей ассорти в стоимости 1 кг. ассорти: неизвестная массовая
доля шоколадных конфет по 350 руб/кг и неизвестная массовая доля карамели по 72
руб/кг дают стоимость ассорти 149 руб/кг
Оба соотношения выполняются одновременно.
Продолжай решать задачу.
Карточка № 3
Построим систему уравнений, где за х примем массу шоколадных конфет, а за у – массу
карамели.
х+у=1
350*х + 72*у = 149
Продолжай решать задачу.
11