1 - Математическое образование
реклама
Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная Пресса, 2002. С. 20–51. Сюжетные задачи в русских методических руководствах Общий метод решения сюжетных задач состоит в моделировании их в виде уравнений или систем уравнений (а также неравенств и систем неравенств). Но этот общий метод начал внедряться в школьное обучение лишь в последние десятилетия. А до этого в обучении применялись разные, часто весьма изощренные методы решения задач, без использования буквенной символики, которые обычно называют «арифметическими методами». Однако арифметические методы легко используются для задач, моделью которых являются уравнения или системы уравнений первой степени. Если же моделью сюжетной задачи является уравнение более высокой степени, то арифметическое ее решение весьма сложно. Это обстоятельство дало повод известному русскому методисту А.И. Гольденбергу (1837–1902) разбить все сюжетные задачи на «арифметические» и «алгебраические» (14). В этой классификации задач по виду уравнений, к которым они приводятся, видно влияние идей В.А. Евтушевского (1836–1888) и А. Глазырина (26). Уточняя это разбиение, И.И. Александров (1856–1919) установил, что искусственными арифметическими приемами могут быть решены лишь те задачи «алгебраического типа», которые сводятся к уравнениям или системам первой степени. Но так как уравнения в курс арифметики, которая была предметом начальной школы, до последнего времени не входили, то задачи «алгебраического типа» решались искусственными приемами. Недаром в настоящее время курс математики, изучаемый в начальной школе, стали называть не арифметикой, как это было раньше, а математикой. Для того чтобы облегчить учащимся эту трудную работу, эти задачи распределялись в курсе арифметики по «типам», по способу их решения, поэтому, в отличие от обычных сюжетных задач, они назывались типовыми. Но так как по тексту задачи трудно выяснить, каким способом или приемом можно воспользоваться при ее решении, т.е. к какому типу она относится, то школьникам приходилось заучивать для каждого типа правило решения соответствующих задач. Этот вопрос был подробно рассмотрен в классической работе И.И. Александрова «Методы решения арифметических задач», изданной в 1886 г. Основные идеи книги таковы: 1) «никоим образом не следует классифицировать задачи в зависимости от тех предметов и действий, о которых говорит задача»; 2) «решение уравнений первой степени не представляет специфического метода алгебры и всегда может быть переведено в чисто арифметическое соображение и арифметический язык. Вообще, обособление методов алгебры от методов геометрии и арифметики, а также нарочитое предпочтение одного метода другим является крупнейшей ошибкой. Все эти методы, как развивающиеся, несомненно, из одного источника, должны помогать развитию предмета, а не задерживать его» (1, с. 5); 3) «при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач. С этой точки зрения для задач, приводящих к уравнениям первой степени, предпочтительнее арифметический метод их решения, ибо есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики. Кроме того, арифметические решения задач хороши тем, что они одинаково доступны всем – ребенку и юноше, малообразованному человеку и глубокому ученому» (там же; с. 6); 4) «арифметические задачи ближе к геометрическим задачам на построение, чем к алгебре; те и другие следует классифицировать по методам их решения, а не по уравнениям, к которым они приводятся» (там же, с. 12). Далее автор пишет: «Арифметической задачей называется вопрос, взятый из какой угодно области и разрешимый счетом или четырьмя арифметическими действиями... Все арифметические задачи можно разделить на три класса, из которых каждый делится на два вида» (там же, с. 14). В задачах первого вида прямо указаны действия, приводящие к решению задачи, и порядок их выполнения; в задачах второго вида то и другое указано косвенно. К первому классу автор относит арифметические задачи, решаемые одним из четырех приемов: 1 – приведением к единице; 2 – приведением к общей мере; 3 – обратного приведения к единице; 4 – приемом отношений. Ко втором классу относятся задачи, решаемые методом обратности (т.е. задачи, «решаемые с конца»). К третьему классу относятся задачи: а) решаемые одним из приемов исключения неизвестных; б) одним из методов пропорциональности; в) одним из методов ее преобразования. Заметим, что таких методов очень много (И.И. Александров указал более 10), и правила решения всех этих типов задач бедным ученикам приходилось удерживать в своей памяти. Но автор успокаивает тем, что «не существует задач первой степени, взятых из какой угодно области, которые не решались разобранными здесь способами» (там же, с. 45). Для изящества решения автор приводит еще такие приемы решения: метод среднего арифметического; метод приведения данных в порядок, яснее обнаруживающий неизвестное; метод остатков; метод метатезиса (перестановки неизвестного и известного) и метод фальшивых правил. Анализируя классификацию задач И.И. Александрова, Г.Б. Поляк подчеркивает следующие ее недостатки: 1) нечеткое разграничение методов; 2) она не дает основания для расположения задач по степени возрастания трудности их решения – единственного оправдания классификации задач по методам их решения (46). Присоединяясь к мнению Г.Б. Поляка, надо, по-моему, добавить еще следующее: 1. Принцип классификации задач по методам их решения является сугубо субъективным и не диктуется объективным содержанием самих задач. 2. Автор доказал, что все сюжетные задачи, модель которых после свертывания приводится к уравнению или системе уравнений первой степени, могут быть решены «арифметически», но отнюдь не доказал целесообразность и эффективность такого решения. Все задачи, которые, по мнению автора, «недоступны алгебре», естественно, решаются арифметически. Сложность «алгебраического» решения по сравнению с «арифметическим» в некоторых случаях – кажущаяся. 3. Тезис автора о наибольшей массовости и доступности «арифметического» метода решения задач противоречит современной практике массовости и доступности «алгебраического» метода. 4. Тезис о том, что арифметика ближе к конструктивной геометрии, чем к алгебре, по крайней мере спорен, так как ничем не обоснован. Мы столь подробно останавливаемся на классификации И.И. Александрова, так как она на многие годы определила подход к сюжетным задачам. Спустя 65 лет после выхода его книги В.Г. Чичигин писал: «В настоящее время наибольшее распространение имеет классификация задач по способам решения их (56, с. 298). Ту же мысль высказывают С.А. Гастева и другие авторы. Между тем разбиение сюжетных задач на типы издавна подвергалось критике со стороны ведущих методистов-математиков. Так, П.С. Гурьев (1807–1884) скептически относился к их познавательной ценности (18). В.А. Латышев (1850–1912) считал, что они сковывают активность и самостоятельность учащихся, по этому поводу он писал: «Кого всегда тащат на помочах, тот не сумеет ходить сам без поддержки». А.И. Гольденберг восставал против правил, коими «рутина освобождает учащихся от необходимости мыслить» (14). С.И. Шохор-Троцкий (1853–1923) возмущался хитросплетениями трудностей в типовых задачах, «не проникнутых единой руководящей идеей». Разбиение задач на типы по методам их решения он считал антипедагогичным (57). Особое значение он придавал простым арифметическим задачам, солидаризуясь с мнением Ф.В. Гуде: «Простые арифметические задачи составляют фундамент решения арифметических задач, точно так же, как таблицы сложения и умножения однозначных чисел составляют фундамент арифметических вычислений» (17, с. 117). С.И. Шохор-Троцкий требует сужения границ сюжетных задач в курсе арифметики до «чисто арифметических задач», которые он разбивает на простые (прямые и косвенные) и составные (приведенные и неприведенные), уточняя соответствующие понятия, введенные И.И. Александровым. Под действием критики число типовых задач в стабильных учебниках постепенно уменьшалось, но они продолжали оставаться вплоть до последнего времени. При этом некоторые авторы предпочитали пресловутый «метод показа», оставляя ученика без нужных ориентиров и указаний один на один с типовой задачей. Рассмотрим, как решался вопрос о месте сюжетных задач в школьном курсе математики в методических пособиях. Исторически выработался следующий порядок изучения нового материала по математике в начальных классах: 1) выработка новых знаний в ходе решения предметных задач; 2) их закрепление в ходе решения отвлеченных примеров; 3) их приложение к решению конкретных сюжетных задач. Этот подход соответствует психологии ребенка, который раньше спрашивает почему?, а потом уже зачем? Он соответствует педагогическим целям: сначала воспитать у ребенка стремление к познанию, любознательность, а затем уже – практицизм. В примерах некоторые предлагали делать ставку на изучение чисел (А.Б. Грубе, В.А. Евтушевский), другие – на изучение действий (А. Дистерверг, П.С. Гурьев, А.И. Гольденберг), третьи требовали ориентировки на измерение величин (К.Д. Ушинский, Д.Д. Галанин, а в наше время – В.В. Давыдов). С.И. Шохор-Троцкий противопоставлял свой метод «целесообразных задач» методу изучения чисел, считал, что изучение действий является не методом, а целью обучения. Сюжетные задачи служат не для приложения знаний, а для их выработки. Они пронизывают весь курс математики. Они должны быть подобраны и расположены сообразно с целями курса и не должны быть очень трудными и очень легкими. «Прежде чем учить детей производству арифметических действий, должно уяснить саму необходимость действий и их право на существование, их цель и внутренний смысл. А все это возможно сделать на базе практических текстовых (сюжетных) задач» (57, с. 41). С.И. Шохор-Троцкий считает, что «склонность к отвлеченному мышлению – привилегия немногих». Он считал, что к логическому мышлению неспособны школьники моложе 14–15 лет, что сообразуется со взглядами Пиаже. Его душе мил «лабораторный метод» в духе Перри, распространенный в то время в Западной Европе и Америке (68). «Метод целесообразных задач» С.И. Шохор-Троцкого – это реализация в арифметике и геометрии принципа активности Жакото (1770–1840) и принципа историзма и практицизма Ж. Массе (1819–1894). Приведем соответствующие формулировки этих выдающихся французских педагогов в переводе С.И. ШохорТроцкого: а) «Учить других чему-либо – значит показать ученикам своим, что они должны сделать для того, чтобы самим тому научиться, чему их хотят научить» (Жакото). б) «...Весь долгий путь развития человечества каждый раз повторяется во всяком ребенке... Первый человек, которому пришлось сделать арифметическое вычисление, начал не с общих правил, изложенных в учебных книжках. Вполне очевидно, что прежде всего он встретился лицом к лицу с практической задачей, из трудности которой он мог выйти победителем, лишь пустив в ход все орудия своего ума, и, только пустив в ход все пружины своего ума, он мог добраться до правила. При этом он работал вовсе не ради самого процесса работы, не ради самого искусства. Заставлять поэтому ребенка начинать с общих правил, определений и отвлеченностей – это значит идти против естественного хода развития человеческого ума, который у ребенка находится на такой же ступени, на которой он находится в период детского возраста человеческого рода... И главное: чего мы достигнем таким образом? Мы достигнем того, что ум ребенка, оскорбленный столь жестоким с ним обращением, всеми своими силами сопротивляется преждевременным отвлеченностям и что только память его работает для начального нагружения себя массою слов и навыков, смысл которых от нее непременно ускользнул. Истинный метод обучения арифметике состоит в том, чтобы поставить ум ребенка в условия, приличествующие начальному периоду развития его, и в том, чтобы ребенок присутствовал, так сказать, при самом изобретении арифметики» (Ж. Массе). Мысли, аналогичные только что изложенным, задолго до Жакото и Массе были высказаны Клеро (1713–1765), а после них – Д. Дьюи (1859–1952) и А. Пуанкаре (1854–1912). Они явились основой прагматической педагогики. В них очень много истинного и разумного, они созвучны идеям проблемного обучения. Однако подход С.И. Шохор-Троцкого вызывает и некоторые возражения. 1. Как отмечает один из почитателей С.И. Шохор-Троцкого – В.А. Латышев (1850–1912), термин «метод» также неудачен для обозначения его концепции, как и для обозначения концепций Грубе и Дистервега. 2. Возражая С.И. Шохор-Троцкому, А.И. Гольденберг в своих «Беседах по счислению» пишет: «Прежде чем решать задачу, надо знать и уметь производить действия над числами, а также помнить необходимые табличные результаты. Решение задач, как бы просты они ни были, потребует со стороны малышей некоторой умственной деятельности: им предстоит из предложенной задачи выделить ее арифметическое содержание, т.е. тот числовой вопрос, который облачен в форму весьма замысловатого рассказа. Подобная же умственная процедура является в данном случае нарушением педагогического принципа, высказанного еще Яном Амосом Коменским, чтобы за раз всегда преодолевалось только по одной трудности». Отсюда видно, что А.И. Гольденберг считает необходимым знакомить детей с механизмом вычислений на примерах и только потом, когда они на примерах усвоят производство действий, переходить к задачам. «Шохор-Троцкий и Егоров, придавая особое значение задачам, до известной степени затемнили значение самого метода изучения действий; задачи в их понимании являются как бы самоцелью» (14, с. 25). Действительно, сюжетная задача – задача описательная и для своего решения она должна быть перемоделирована в арифметический пример, который ученики уже должны уметь решать. Как же тогда можно решать текстовые задачи до примеров? Разумеется, примерам должны предшествовать учебные предметные задачи, которые дети решают, манипулируя самыми заданными предметами. Точки зрения А.И. Гольденберга придерживался также и Ф.А. Эрн, а в наше время – Н.А. Менчинская и М.И. Моро. Слабым местом этих авторов является недостаточное внимание, уделяемое ими предметным задачам. Этого недостатка чужда работа И.Н. Кавуна. Ближе к С.И. Шохор-Троцкому стоит Н.Н. Никитин, предусматривающий такой порядок изучения задач и примеров: предметные и текстовые задачи, примеры. Мы столь подробно рассмотрели творчество С.И. Шохор-Троцкого ввиду его громадного влияния на последующие поколения методистов. Трудно переоценить значение его принципа обучения через задачи, классификации арифметических задач, указания по поводу наглядных пособий и особенно по поводу использования прямой; требования разбиения курса на методически резко обособленные ступени; требование в начале компактно изложить основные идеи арифметики и лишь затем детализировать и закруглять их; требование смежно располагать родственные разделы курса; принцип, согласно которому «задачи и примеры, прорабатываемые учащимися вместе с учителем и под его руководством, должны быть резко отделены от задач и примеров, прорабатываемых ими без помощи учителя, хотя бы даже в его присутствии: цель первых – учить, цель вторых – упражнять в усвоенном и подготавливать учащихся к предстоящим занятиям» (58, с. 16); требования тесной связи методики преподавания математики с педагогической психологией. Важность всех этих идей несомненна. Выдающимся событием в эволюции рассматриваемого вопроса было появление в 1946 г. статьи И.В. Арнольда (1906–1988) «Принципы отбора и составления арифметических задач». 1. Автор порывает с концепцией С.И. Шохор-Троцкого и формулирует три цели изучения арифметических задач: а) приложение к практике приобретенных математических знаний; б) ознакомление с зависимостями между величинами; в) ориентировка в математической ситуации (3, с. 7). 2. Так как миллионам учащихся придется иметь дело с каждой задачей, то следует предъявлять авторам сборников упражнений жесткие требования по отбору и составлению текстовых задач. «Авторы задач, в идеале, должны были бы ответить на вопросы такого типа, как: – Какую цель преследует данная задача? Какие именно моменты «математического» обучения, воспитания и тренировки мысли имеются в виду? Необходимо ли именно эту задачу поместить в сборнике для этих целей? Почему именно такие, а не другие конкретные величины, именно такая, а не иная фабула задачи выбраны? Почему такие, а не другие числовые данные выбраны? Отвечают ли они реальной обстановке, в которой могло бы понадобиться решать такую задачу? Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна ли, естественна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения: чем именно? Нельзя ли повысить этот интерес? Когда именно ученик сможет самостоятельно решить данную задачу? Что для этого должен он помнить, знать, уметь, представлять себе? А если он не сможет этого сделать, то о чем это свидетельствует? Чем и в какой степени должен помочь учитель ему и что он должен добиться от учащегося? Как эта задача связана с предшествующей и последующей работой ученика, почему она помещена в этом месте сборника, а не в другом? и т.п.» (3, с. 9). Прошло полвека после того, как были сказаны эти замечательные слова, но приходится констатировать, что мы очень мало продвинулись к идеалу И.В. Арнольда. 3. Далее автор пишет, что фабула текстовых задач и выбор числовых данных должны быть естественными, жизненными, интересными. Перед тем как составлять сборник задач, нужно составить специальный справочник научнотехнического материала, имеющего общеобразовательный характер и доступного для детей, своего рода «мир в числах» (различные числовые характеристики: скорость, грузоподъемность, размеры, потребление горючего, урожайность, различные числовые характеристики из физики, химии, географии и т.д.). 4. Автор настаивает на том, чтобы понятие «величины» стало руководящим принципом анализа и классификации арифметических задач. Ни в коем случае нельзя классифицировать задачи по их алгебраической структуре (или числу действий). Например, в одно действие 3–1=2 решается 30 задач разной степени сложности, связанных с различными конкретными ситуациями. Классифицировать задачи надо по соотношениям значений одной или нескольких величин, характеризующих явление, описываемое в данной задаче. Заметим, что до И.В. Арнольда Д.Н. Воронов положил понятие «соотношение» («отношение») в основу классификации простых задач. Но вместо соотношения между значениями величин, он положил в основу отношения между числами, которых он насчитывает три: 1) разностные (10 видов); 2) кратные (11 видов); 3) целого и частей (13). Исходя из этой точки зрения, И.В. Арнольд разбивает все текстовые задачи на две категории: А. Задачи, описывающие явления, характеризуемые одной величиной. Б. Задачи, описывающие явления, характеризуемые несколькими величинами. Задачи первой категории автор разбивает на группы по следующим соотношениям значений величины: 1) равенства и неравенства; 2) разностного сравнения; 3) простого изменения; 4) кратного изменения; 5) деления на равные части; 6) целого и частей целого; 7) кратного сравнения (деления по содержанию); 8) перехода от одной единицы измерения к другой и т.д. Всего автор перечисляет 12 групп (3, с. 24–25). Также разбиение задач первой категории на группы нельзя признать удачным: методически необоснованно ни число групп, ни их порядок, не отражены случаи объединения двух множеств в одно и изъятие части множества. Еще хуже обстоит дело с классификацией задач второй категории (3, с. 25–27). Таким образом, реализация сформулированного им же принципа И.В. Арнольду не удалась. 5. Отвергая концепцию С.И. Шохор-Троцкого о месте текстовых задач в обучении и принцип классификации И.И. Александрова, И.В. Арнольд солидарен с ними в арифметическом подходе к решению текстовых задач. Он пишет: «Самый метод «арифметического решения задач» отличается от алгебраических приемов, в первую очередь, тем, что на всех стадиях рассуждения все противопоставления и производимые действия допускают совершенно наглядное и конкретное осмысливание в области тех величин, о которых идет речь» (3, с. 16). Например, задачи, решаемые арифметическим способом предположения, раскрывают психологическую предпосылку решения задач способом составления уравнений – бэконовскую индукцию причинной обусловленности. Этот ценный момент будет утерян, если сразу перейти к алгебраическому решению задач (3, с. 18). 6. Автора не удовлетворяют алгебраические критерии разбиения текстовых задач на арифметические и алгебраические. Он пытается сформулировать неалгебраический критерий такого разбиения: «Арифметическим способом, – говорит он, – лучше решать задачи: а) у которых переход от известного к неизвестному проще, чем переход от неизвестного к известному; б) которые допускают свернутое решение» (3, с 17). Но возникают следующие вопросы: а) как объективно оценить простоту перехода; б) является ли педагогически целесообразным свернутое решение задач до их развернутого решения? Своего рода дополнением к положениям И.В. Арнольда можно считать сформулированные В.М. Брадисом семь критериев полноценности решения задачи: 1) безошибочность; 2) обоснованность; 3) исчерпывающий характер; 4) простота; 5) ясность пути, приведшего к решению задачи; 6) рациональность записи; 7) завершающее обобщение решения. Первые три требования к решению задач являются обязательными, последние четыре – весьма желательными (8, с. 68–69). В работе И.В. Арнольда в неявном виде идет речь о синтетическом и аналитическом приемах составления плана решения сюжетных задач. Первый прием состоит в том, что условия сложной сюжетной задачи разбиваются на простые, идя от условий задачи, т.е. от того, что нам известно, а второй прием разбиения задачи на простые производится, идя от вопроса задачи. В первом случае мы вычленяем из задачи два данных и устанавливаем, что можно узнать по ним. Тем самым задача упрощается, так как эти два данных мы заменяем одним результатом решения первой простой задачи. Этот прием применяем последовательно до тех пор, пока не получим такую простую задачу, решением которой является ответ на вопрос задачи. При аналитическом пути решения мы задаемся таким вопросом: какие два данных нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Потом мы задаемся вопросом: какие два данных надо знать, чтобы найти первое из данных, указанных в первом вопросе? Затем, какие два данных требуется знать, чтобы найти второе из данных, указанных в первом вопросе? И такое рассуждение продолжаем до тех пор, пока не придем к тем данным, которые заданы в самой задаче. С.Е. Ляпин указывает, «что в любом случае наши рассуждения при решении задач являются сложными и самый процесс мышления протекает как аналитикосинтетический. Действительно, когда мы при анализе идем от вопроса задачи и подбираем к нему данные, то эти данные намечаем не абстрактно, а исходя из условия, из представления о задаче в целом, т.е. пользуемся синтезом, наоборот, начав рассуждения с синтеза, т.е. остановившись на некоторой паре данных и подобрав к ней вопрос, мы затем проверяем, ведет ли намеченная комбинация к решению основного вопроса задачи» (33, с. 206). В практике обучения используются оба эти пути решения составных сюжетных задач, но обычно предпочтение отдается синтетическому приему, так как аналитический прием в чистом виде, как правило, более труден для учащихся. Покажем на примере применения синтетического и аналитического приемов решения составных сюжетных задач. Задача. Торговка купила 3 корзины ягод по 10 фунтов в каждой. Фунт ягод она покупала по 3 коп., переложивши все ягоды в меньшие корзины по 5 фунтов в каждую, она продала каждую корзину по 24 коп. Сколько прибыли получила торговка от продажи всех ягод? Решение. 1. Синтетический прием Если мы знаем 1. Что куплено 3 корзины ягод и что в каждой корзине было по 10 ф. 2. Что куплено 30 ф. ягод и что каждый фунт был куплен по 3 коп. 3. Что все 30 ф. ягод торговка переложила в корзины по 5 ф. в каждую. 4. Что было 6 корзин и что каждая продавалась по 24 коп. 5. Что купила торговка ягоды за 90 коп., а продала за 144 коп. То можем узнать Решение Сколько фунтов ягод было в трех корзинах? 10 х 3 = 30ф. Сколько торговка заплатила за все ягоды? 3 x 30 = 90 коп. Сколько у нее получилось корзин? 30 : 5 = 6 корзин Сколько денег получила 24 x 6 = 144 коп. торговка за все ягоды? Сколько она получила прибыли? 144 – 90 = 54 коп. 2. Аналитический прием Чтобы узнать Надо определить Решение 1. Сколько прибыли получила торговка? 1) За сколько коп. она 144 – 90 = 54 коп. купила все ягоды? 2) За сколько она их продала? 2. За сколько торговка 1) Сколько фунтов ягод 3 х 30 = 90 коп. купила все ягоды? она купила? 2) Почем она покупала один фунт ягод? (3 коп.) 3. Сколько фунтов ягод 1) Сколько куплено ею 10 х 3 = 30 фунтов купила торговка? корзин? (3 шт.) 2) Сколько было фунтов ягод в каждой корзине? 4. За сколько торговка 1) Сколько было продано 24 х 6 = 144 коп. продала все ягоды? корзин? 2) Почем продавалась каждая корзина? (24коп.) 5. Сколько было продано 1) Сколько фунтов ягод 30 : 5 = 6 корзин корзин? было положено в каждую корзину7 (5 ф.) 2) Сколько было фунтов ягод? (30 ф.) Примечание. Третий столбик (решение) заполняется, идя снизу вверх. В заключение рассмотрим, как в методических руководствах решался вопрос о классификации простых задач. Этому вопросу всегда уделялось большое внимание. Но почти все методисты – И.Н. Кавун, Н.М. Попова, Г.Б. Поляк, А.М. Пчелко, Е.С. Березанская и др. шли в фарватере идеи И.И. Александрова о классификации задач по методам их решения, по «тем приемам рассуждений, которые приводят к выбору действий» (41, с. 24), оставляя в стороне анализ содержания самих задач. В отличие от них, И.В. Арнольд исходил именно из анализа содержания задачи, к сожалению, впадая в другую крайность. Если И.И. Александрова интересует лишь субъективный аспект вопроса, то И.В. Арнольд беспокоится только об объективном аспекте. Оба впадают в крайность, так как задача есть категория объективно-субъективная. Важны и анализ содержания, и приемы рассуждения, обусловливающие метод решения. Ранее уже было сказано о неоптимальном изложении И.В. Арнольдом своей классификации задач. Этого недостатка лишена классификация простых задач, предложенная Л.Н. Скаткиным в 1949 г. Она состоит из двух таблиц – для операций первой ступени (12 видов) и операций второй ступени (12 видов). В каждой таблице имеются четыре основные задачи, каждой из которых соответствуют две обратные, образованные из основной путем обмена искомого с каждым из двух данных. Основные задачи первой ступени базируются на следующих соотношениях: 1) объединение двух совокупностей в одну; 2) изъятие из совокупности ее части; 3) сопоставление двух совокупностей. Этим соотношениям соответствуют действия: 1) нахождение суммы двух чисел; 2) нахождение остатка; 3) нахождение разности, т.е. определение того: а) на сколько одно число больше другого; б) на сколько одно число меньше другого. Вторая таблица составляется по аналогии с первой, но здесь не приведены соотношения, являющиеся базой соответствующих действий. Это обстоятельство дало повод многим критикам упрекать Л.Н. Скаткина в формализме. В заключение Л.Н. Скаткин пишет: «Значение этой классификации заключается в том, что она дает возможность обеспечить подбор задач разнообразных видов для решения их учащимися. Пользуясь этой классификацией, можно установить, каких видов задач недостает в сборниках арифметических задач, применяемых в школах с тем, чтобы восполнить обнаруженные пробелы... Классификация указывает связь между задачами разных видов, что дает возможность наметить методически правильный путь обучения детей решению более трудных из простых задач» (53, с. 21). Сравнивая классификацию Л.Н. Скаткина с классификацией И.В. Арнольда, обнаруживаем: 1) у И.В. Арнольда отсутствуют соотношения соединения и изъятия совокупностей, которые имеются у Л.Н. Скаткина; 2) у Л.Н. Скаткина отсутствуют соотношения изменения (разностного и кратного), кратного сопоставления, целого и части, перехода от одной единицы измерения к другой, которые имеются у И.В. Арнольда; 3) Л.Н. Скаткина интересует не только объективный, но и субъективный аспекты вопроса, зато И.В. Арнольд последователен в своем объективном анализе содержания задач не только первой, но и второй ступеней; 4) очень важна постановка вопроса о связи между видами задач, однако нельзя здесь ограничиваться лишь связями между прямыми и обратными задачами, как это имеет место у Л.Н. Скаткина; 5) очень существенна постановка вопроса о полноте классификации простых задач (в первую очередь, для составителей учебных пособий для начальной школы), но, к сожалению, рассмотренные классификации являются неполными. Идеи Л.Н. Скаткина о важности аналогии и противопоставления в системе задач были подхвачены П.М. Эрдниевым и всесторонне им раскрыты к различным областям школьного курса математики (59). Таким образом, главный упрек, который можно поставить Л.Н. Скаткину, – это неполнота классификации и непоследовательное проведение идеи И.В. Арнольда о величине как руководящем принципе анализа и классификации задач. Хотя автор данного пособия полностью солидарен с исходными положениями Н.А. Принцева: 1) от предметных задач через примеры к сюжетным задачам; 2) классификация простых задач должна быть простой, она должна исходить из анализа содержания и учитывать приемы решения (48), но нельзя согласиться с его мнением, что классификация Н.Н. Никитина удовлетворяет этим требованиям лучше, чем классификация Л.Н. Скаткина. По первому пункту Н.Н. Никитин занимает диаметрально противоположную позицию, придерживаясь концепции С.И. Шохор-Троцкого; по второму пункту оба автора учитывают как объективный, так и субъективный аспекты вопроса, но Л.Н. Скаткин идет от объективного анализа задач к субъективному методу их решения, в то время как Н.Н. Никитин занимает противоположную позицию. Классификация обоих авторов неполна; у обоих – неполное раскрытие связей между отдельными видами задачи (у каждого в своем роде). Как видим, многие вопросы методики сюжетных задач до сих пор не получили должного внимания. По нашему наблюдению, все это объясняется тем, что авторы методических пособий при решения тех или иных вопросов не опирались на достаточно разработанную теорию задач, а исходили из своей практики и практики других учителей, что, конечно, недостаточно для решения сложных вопросов, связанных с использованием сюжетных задач в школьном курсе математики. В следующей части этой книги он попытался изложить разработанную им теорию сюжетных задач, на основе которой можно будет более обоснованно решать все затронутые здесь вопросы. А пока рассмотрим очень важный и болезненный вопрос об использовании уравнений и систем уравнений для решения сюжетных задач. Из истории борьбы за внедрение в курс математики аналитических сюжетных задач Еще на заре цивилизации, в школе Пифагора (571–479 до н.э.), возник дерзкий замысел сделать математические методы универсальным средством для решения всех естественно-научных задач. Но тогда этот замысел был обречен на провал в силу недостаточного уровня развития как естествознания, так и самих математических методов, так как алгебра и анализ находились лишь в зачаточном состоянии. В Средние века этот замысел с новой силой был возрожден Р. Бэконом (1214– 1294) «предвестником опытной науки новых времен». В центре опытной науки, по Бэкону, находятся физико-математические знания. Вообще, все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т.е. в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т.е. всего естествознания» (50). Взгляды Р. Бэкона оказали огромное влияние на мыслителей последующих столетий, формируясь как механико-математическая концепция в трудах Н.Кузанского (1401–1464), Леонардо да Винчи (1452–1519), Гоббса (1588–1679), Декарта (1596–1650), Спинозы (1633–1677), Локка (1632–1704), Ньютона (1648– 1723), Лейбница (1646–1716), Эйлера (1707–1783), Канта (1724–1804). Эту концепцию хорошо иллюстрируют слова Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственную науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику». Лишь Гегель (1770–1831) сумел преодолеть крайности этой концепции, подчеркивая ограниченность сферы применения современных ему математических методов. Но уже к тому времени сфера применения этих методов была довольно обширной и благодаря развитию алгебры и анализа дерзкий замысел древних был частично осуществлен, причем Декарт и Ньютон придали идеям древних более четкую форму. Исходя из положения Р. Бэкона о том, что математика – азбука естествознания, и близкая мысль Галилея о том, что природа говорит математическим языком, в своих «Правилах для руководства ума» Декарт стремился дать универсальный метод решения задач. Он считал, что ко всем задачам может быть применена следующая схема: Первое – задачи любого вида сводятся к математическим задачам. Второе – математические задачи любого вида сводятся к алгебраическим. Третье – любая алгебраическая задача сводится к решению одногоединственного уравнения. «С течением времени сам Декарт должен был признать, что имеются случаи, когда его схема является непригодной. Но тем не менее в намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно... Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставаясь нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысячи мелких проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать. Хотя схема Декарта и неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их, которое включает неисчерпаемое разнообразие случаев. И когда ученик средней школы собирается решать «словесную задачу» при помощи «системы уравнений», он следует схеме Декарта и готов к серьезному применению лежащей в ее основе универсальной идеи» (44, с. 45–46). Будем сюжетные задачи, для которых метод Декарта оптимально эффективен, называть аналитическими. Следует отметить, что идея решения задач с помощью уравнений связана не только с именем Декарта. По этому поводу уместно привести слова В.Ф. Кагана: «Вообще, всякая тенденция связать глубокую идею, широкий замысел с одним определенным лицом как с родоначальником этой идеи обычно по меньшей мере рискованна. Идеи широкого замысла не родятся из головы Юпитера – легендарного бога – или даже знаменитого философа. Они всегда представляют собой результат эволюции, обыкновенно продолжительной, часто очень разветвленной. И вряд ли можно указать такой замысел, такую научную концепцию, связываемую с тем или иным ученым или философом в качестве ее родоначальника, следов, зачатков, начал которой нельзя было найти гораздо раньше, задолго до того, как она была отчетливо сформулирована, которому ее склонны приписывать». Наметки идеи Декарта мы встречаем уже в египетских папирусах и вавилонских клинописных табличках; в китайских «Девяти книгах» и в книгах индийских математиков Брамагупты и Бхаскары, у греков – Архимеда и Диофанта, у арабов – аль-Хорезми и Омара Хайяма, в знаменитой «Книге об абаке» Леонарда Фибоначчи и в не менее знаменитом «Введении в аналитическое искусство» Ф. Виета. Но все это не умаляет значения Декарта в развитии аналитического метода решения задач. Перескажем кратко суть этого метода. 1. Приступая к решению задачи, тщательно проанализируйте ее. Что требуется найти или доказать? Что дано? Какая зависимость между данным и искомым? Пусть перечень данных и зависимостей будет полным и детальным, пусть в нем ничего не будет упущено из виду. Принимай за истинно данное лишь интуитивно ясное и логически доказанное, если же условие довольно сложно, дели его на части до тех пор, пока оно не станет ясным для тебя. Чтобы затем воссоздать в своем представлении условие задачи в целом, соблюдай порядок в рассуждении, иди от простого к сложному, от легкого к трудному, от интуиции к логике. А если задача не поддается анализу, не приступай к ее решению, не действуй вслепую. Но мобилизуй все свои значения, весь свой опыт для проникновения в суть задачи, сосредоточь все свое внимание на фактах, о которых в ней говорится до тех пор, пока не достигнешь ясного их понимания и при этом исследуй все по порядку, не опуская «мелочей». 2. Когда предварительный анализ закончен, «когда мы хорошо понимаем вопрос, надо освободить его от всех излишних представлений, свести его к кратчайшим элементам», сведя сложную задачу к ряду простых. Для освобождения от излишних и создания нужных представлений хорошо служат буквенные символы и чертеж. Именно они позволяют создать модель задачи, в которой известные и неизвестные выступают как равноправные члены. Для создания таких моделей надо перевести зависимость между реальными величинами на язык четырех арифметических действий, для чего нужно хорошо знать их предметную основу – операции над отрезками. Проделывая всю эту работу, надо «испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью». 3. Символическая буквенная модель текстовой задачи, таким образом, будет сведена к системе уравнений, смысл каждого из которых сводится к выражению одного и того же значения некоторой величины двумя разными способами. Чтобы задача имела определенное решение, нужно иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных. 4. Исследуй решение задачи, если хочешь извлечь из нее пользу. Пройдя путь, брось «взгляд назад», интуитивный и дедуктивный (19; 20). Таким образом, мы видим, что уже в трудах Декарта имеется целая система методических указаний по решению текстовых аналитических задач. К сожалению, эти указания, за небольшим исключением, долгое время оставались неизвестными широкому кругу учителей, так как о них ничего не говорилось в методических руководствах. Только после выхода книг Д. Пойя эти указания в его пересказе стали известны учителям и методистам (43, 44). Положение Декарта о том, что для уяснения данных и их зависимостей надо дробить задачу на более мелкие и простые части, Б. Паскаль (1623–1662) дополнил указанием: «Заменяй термины их определениями». И. Ньютон в своей «Всеобщей Арифметике» посвящает методике решения аналитических задач две главы: «О проведении вопроса к уравнению» и «О приложении уравнений к геометрическим вопросам». В первой из них он выдвигает следующие методические идеи: 1. К решению задач на составление уравнений можно приступать, лишь имея солидный опыт по тождественным преобразованиям алгебраических выражений и решению уравнений. 2. Приступая к решению текстовой задачи, надо предварительно выяснить: аналитична ли она, т.е. возможно ли все данные и зависимости задачи перевести на алгебраический язык. 3. Текстовые задачи делятся на две большие группы: а) допускающие синхронный перевод с естественного языка на алгебраический (или параллельную запись частей текста и соответствующих им алгебраических выражений); б) не допускающих синхронного перевода. В последнем случае бывает необходимо перефразировать текст задачи, «придерживаясь больше смысла слов, чем их буквы. В языках различных народов имеются свои особые выражения, идиомы, и если они встречаются, то переводить их на другой язык нужно не буквально, а по смыслу». Надо подчеркнуть, что синхронный перевод преобладает «при решении задач, относящихся лишь к числам или к отвлеченным отношениям величин». 4. Изучение задач – искусство; главный метод обучения здесь – показ; «искусство гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний» (41, с. 79–82). И. Ньютон показывает, как решать задачи, почти на восьмидесяти примерах. 5. Решение задач по большей части «тем быстрее и искуснее, чем меньше вы вводите неизвестных величин» (см.: там же, с. 80). 6. Для решения задач «трудно дать общие предписания, и каждый должен ... следовать указаниям собственного разума, я пытаюсь все же указать путь начинающим. Это следовать Правилам Декарта» (см.: там же, с. 103–106). Мы видим, что Ньютон дополняет методические указания Декарта пятью новыми положениями. К сожалению, широкому кругу учителей они до сих пор мало известны. В течение двух столетий методика решения аналитических задач почти исчерпывалась указаниями, которые можно найти у Декарта и Ньютона, причем разные авторы ограничивались лишь отдельными указаниями великих мыслителей, игнорируя другие указания или выступая против них. В общем, применяемая в школах методика решения аналитических задач была сведена к следующей схеме: 1. Обозначь искомое буквой. 2. Допустив, что эта буква – ответ на вопрос задачи, производи над ней и над данными те же действия, которые мы производили бы, проверяя уже решенную задачу. Это первое общее правило – «Правило проверки Лакруа». 3. При этом мы должны всегда иметь в виду, что цель наших действий – выразить одно и то же значение некоторой величины двумя различными способами. Это второе общее правило – «Правило уравнивания». 4. Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач – методы показа. Нетрудно видеть, что первое общее правило – следствие правил Декарта. Второе общее правило – часть правила Декарта, а метод показа – это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий. Н.Е. Муравьев, автор первого руководства по алгебре на русском языке – «Начальные основания математики» (СПб., 1752), ограничился методом показа на 42-х примерах. Безу в своем «Курсе математики» (переведенном на русский язык в 1801 г.) ограничился первым общим правилом. Фуссе в своих «Начальных основаниях алгебры, извлеченных из алгебры Л. Эйлера» (СПб., 1798), ограничился вторым общим правилом. Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта – Ньютона. Исходными характеристиками этого метода являются: 1) перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие – нет; 2) свертывание аналитической модели текстовой задачи к оптимальному виду – уравнению – и его решение; 3) обратный перевод ответа с аналитического языка на естественный. Наряду с общими правилами, вытекающими из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, условие Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также и рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формирования умения решать аналитические задачи. Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта – Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеупомянутых ошибочных указаний. Все это привело к тому, что составление уравнений по условию задач стало узким местом в методике обучения математике. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика. Оригинальная попытка в этом направлении была сделана В. Евтушевским и А. Глазыриным в их «Методике подготовительного курса алгебры». В дидактических целях они предлагали располагать текстовые задачи в порядке усложнения соответствующих уравнений (26). В советское время эта идея была возрождена Н. Островским (42) и развита А.Н. Барсуковым (4). Однако реализация идей А.Н. Барсукова в стабильных учебниках 50–60-х гг. (5, 31) не привела и не могла привести к желанным результатам. Причинами тому были: 1. Надежды, возлагаемые на арифметическую пропедевтику и несовершенство алгебраической, оказались тщетными, несмотря на большую работу, проведенную в этом направлении и, несомненно, имеющую некоторое положительное значение. 2. Авторы отказались от основных положений метода Декарта – Ньютона и тем самым лишили учащихся всяких общих ориентиров по составлению уравнений, кроме метода показа, который, собственно говоря, и не является методом. 3. Авторы классифицировали текстовые задачи не по исходным признакам, что более естественно, а по окончательному виду уравнения, что, конечно, является искусственным признаком, так как окончательное уравнение может быть не адекватно условию задачи. К.П. Сикорский по этому поводу сказал: «Классификация задач по виду уравнения – самая ненадежная и спорная классификация» (52, с. 42). После 50-х гг. методисты начинают обращать большее внимание на исходные указания метода Декарта – Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры», – пишет М. Змиева (27, с. 62). На этом вопросе акцентируют свое внимание С.С. Бронштейн (11, с. 110, 117), Д. Майергойз (34, с. 43), И.К. Браун (10, с. 49–54) и др. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д. Пойя (43; 44). В то время указанная трудность усугублялась тем, что «ученик, получив некоторые навыки в составлении формул реальных зависимостей в начале VI класса, на протяжении почти целого года не упражнялся в них и приходил к составлению уравнений в VII классе слабо подготовленным» (27, с. 62). Для преодоления этой дополнительной трудности и ликвидации разрыва между разделами «Буквенные обозначения» и «Решение задач методом уравнений» А.Н. Барсуков и М.И. Змиева перебрасывают между ними мостик – «Систему подготовительных упражнений для каждого (промежуточного) раздела» по формированию навыков перевода описания реальных зависимостей с естественного языка на язык алгебры и наоборот. «Эти упражнения не были посторонним материалом в указанных разделах, а помогали учащимся видеть на практике применение тождественных преобразований» (27, с. 63). В этом, несомненно, и заключалась ценность работ А.Н. Барсукова и др. А несовершенство алгебраической пропедевтики А.Н. Барсукова (4) состояло в том, что не уделялось должное внимание буквенным подстановкам и исключению параметров. Этот пробел был ликвидирован В.Л. Гончаровым (15). И.К. Браун особо подчеркивает важность расположения текстовых задач по мере возрастания трудности перевода их условия на язык алгебры. Сложным задачам должны предшествовать «прозрачные», в которых «само условие уже подсказывает и составление уравнения: уравнение как бы пишется «под диктовку» (10, с. 58). Сложные же задачи требуют либо знания зависимостей, не упомянутых в условии, либо расшифровки специальных терминов условия, либо перегруппировки частей условия. Нетрудно видеть, что Браун полностью следует третьему положению Ньютона. Аналогичную позицию занимает Д. Пойя, возрождая ньютоновский параллельный перевод с естественного языка на язык алгебры (43, с. 18), а также К.П. Сикорский (52, с. 41, 42). В 1935 г. вышла в свет «Методика алгебры» С.С. Бронштейна, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие рассматриваемой проблемы. Автор считал, что составление уравнений по условию задачи так трудно для учащихся потому, что: 1) им трудно переключиться от арифметического к алгебраическому способу решения задач; 2) алгебраическая пропедевтика несовершенна, нет достаточного количества разнообразных упражнений на перевод реальных зависимостей с естественного языка на алгебраический. «А между тем перевод словесного текста на математический язык – одна из основных целей обучения математике в средней школе» (11, с. 110); 3) учащиеся зачастую лишены ориентировочной основы действий по составлению уравнений, ибо многие методисты отрицают общий принцип составления уравнений, ограничиваясь пресловутым «методом показа»; 4) ненужное усложнение мыслительной деятельности учащихся по составлению уравнений вносит соблюдение принципа минимальности числа уравнений и числа неизвестных (положение Ньютона). С.С. Бронштейн пишет: «Главная трудность заключается в составлении уравнений, а не в решении их. Большинство задач на составление уравнений естественнее и проще приводятся к составлению системы; решение их составлением одного уравнения требует навыка и вызывается не необходимостью, а часто погоней за так называемым изящным решением» (см.: там же, с. 117). Этот разрыв с ошибочной ньютоновской традицией должен был привести к переориентировке на исходные положения метода Декарта – Ньютона, к отказу от субъективизма в умственной деятельности по составлению аналитической модели задачи и к переходу к объективному отражению в модели содержания задачи. Так на практике и поступает С.С. Бронштейн, давая образцы составления уравнений по условию задач и навлекая на себя нападки методистов за неизящество процесса составления уравнений (4, с. 189-193). Конечно, его модели еще не совершенны, но они ценны своей полнотой и употреблением общепринятых в науке букв для обозначения величин. С.С. Бронштейн действует как эмпирик, и как эмпирик применяет его метод четверть века спустя В.П. Моденов, различающий в текстовой задаче основные и дополнительные условия (37, с. 46). В то же время С.С. Бронштейн цепляется за традиционное второе общее правило в худшем его варианте: начинать решение не с выяснения и обозначения искомого, а с выяснения вопроса: «Какие две величины равны друг другу по условию задачи? Это центральный вопрос в задачах на составление уравнений» (11, с. 111). Автор повторяет здесь высказанную до него мысль Н. Островского: «Процесс получения уравнения для всякой задачи начинается с выяснения конечной цели – смыслового значения обеих частей уравнения» (42, с. 83). Именно этот принцип в методике Бронштейна – наиболее уязвимое место и именно он больше всего был подвергнут справедливой критике. Вместо того чтобы, используя объективный критерий – вопрос задачи и благодаря ему при составлении аналитической модели текста получить уравнения, не заботясь на первых порах о том, какой вид примет эта модель после ее сворачивания, этот принцип с порога требует ответа на вопрос: какой будет модель текста после ее сворачивания, какие величины будут уравнены? Решающему остается ориентироваться на свой субъективный опыт, на свою догадку. Автор не допустил бы этой ошибки, если бы вместо указанного принципа снабдил бы образцы решения методическими указаниями в духе П. Сердобольской: Приступая к решению аналитической задачи, надо: 1. «Четко указать величины, участвующие в задаче». 2. «Четко указать функциональную зависимость между ними». Уметь записывать эту зависимость в виде уравнений и неравенств, используя для обозначения величин общепринятые в науке буквы. Это дает возможность составить аналитическую модель, адекватную условию задачи. 3. «Уметь наиболее рациональным путем использовать формулу функциональной зависимости для определения любой величины, входящей в формулу, какая требуется»для сворачивания модели к оптимальному виду (51, с. 29).Аналогичные рекомендации мы позднее встречаем у И.И. Дырченко (25, с. 47). С.С. Бронштейн дает такой стратегический план решения задач: «1) уяснение условия задачи; 2) составление плана, т.е. изыскание пути от искомого к данным (анализ); 3) выполнение плана, т.е. путь от данного к искомому (синтез); 4) проверка» (11, с. 115, 116), причем проверка понимается широко, как всестороннее исследование задачи после ее решения. Спустя много лет этот стратегический план был детализирован и конкретизирован в знаменитой работе Д. Пойя «Как решать задачу». Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Паппа и даже народные пословицы (45, с. 99–102). Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим, поэтому мы их рассмотрим в другом месте. Значительным событием в истории вопроса об аналитическом решении текстовых задач был выход в свет сборника статей «Решение задач в средней школе» под общей редакцией Н.Н. Никитина в 1952 г. Из этого сборника наибольший интерес для нас представляют статьи И.Г. Польского (45) и Н.Ф. Добрыниной (24), посвященные решению аналитических текстовых задач. Методические рекомендации И.Г. Польского заключаются в следующем: 1. Аналитические задачи должно быть разбиты на группы по содержанию и на подгруппы по степени трудности. 2. Решению задач каждой группы должно предшествовать изучение функциональной зависимости величин, описывающих соответствующее явление. «Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства (т.е. формулы. – Л.Ф.), причем величины лучше всего обозначить общепринятыми в науке буквами». 3. Решению задач каждой группы должна предшествовать тренировка в тождественных преобразованиях алгебраических выражений, характерных для уравнений, к которым приводят задачи данной группы. 4. Составление плана задачи заключается в ее расчленении на элементарные зависимости между величинами и в записи этих зависимостей в виде равенств. 5. Осуществление плана решения состоит из трех шагов: Первый шаг – выбор основной неизвестной величины (обычно одного из искомых) и выбор единиц измерения для всех величин, участвующих в задаче. Второй шаг – заполнение таблицы: а) записываем выражение для неизвестной величины; б) затем числовые значения известных величин; в) и, наконец, составляем выражения для оставшихся величин, зависящих от известных и неизвестных – назовем их «третьими величинами». Третий шаг – составление уравнения осуществляется почти механически, так как «сама запись нужного нам уравнения является актом, логически вытекающим из проделанного разбора и сделанных записей. А именно: после упомянутых выше записей обычно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, называемыми «третьими». Вот эту оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из «третьих» величин и равное правой части». Свою методику И.Г. Польский иллюстрирует на примере: Поезд идет от А к В со скоростью 30 км/ч и обратно со скоростью 28 км/ч, затрачивая на путь туда и обратно 14,5 ч. Каково расстояние от А до В? 1. План – речь идет о двух прямолинейных равномерных движениях, которым соответствует зависимость S = vt. 2. Выбор основного неизвестного – S – расстояние от А до В. 3. Составление таблицы: Этап составления а) запись неизвестных б) запись известных в) запись «третьих величин» Величина путь скорость время Единица Путь от Путь от измерения А до В В до А км S S км/ч 30 28 ч S/30 S/28 4. Составление уравнения – по смыслу задачи S/30 + S/28 = 14,5 (52) Нетрудно видеть, что первые четыре пункта – хорошее дополнение к «образцам» С.С. Бронштейна, а пятый пункт – развитие методических указаний И.К. Брауна. Сторонники методики И.Г. Польского внесли некоторые поправки в нее. Так, И.И. Дырченко дополняет ее общим детальным анализом и требует вместо термина «составление плана» употреблять термин «анализ условия» (25). К.П. Сикорский предлагает составление таблицы, которому он придает чрезвычайное методическое значение, на первых порах обучения решению аналитических текстовых задач называть «табличным анализом» (52). В.Г. Болтянский, исходя из потребностей полноценной проверки решения задачи по ее условию, приравнивает элементы таблицы, содержащие неизвестное, а также оставшееся данное к вспомогательным неизвестным и тем самым заменяет таблицу аналитической моделью задачи (6). Н.Ф. Добрынина пишет: «Начиная анализ задачи с вопроса, учащийся легко может перейти к второстепенным соотношениям, что неизбежно повлечет за собой ряд случайных ошибочных проб в составлении уравнения» (24, с. 123). Чтобы этого избежать, анализ задачи надо начинать с осознания основного соотношения задачи и того, какие величины в этом соотношении участвуют. Затем нужно составить соответствующее словесное уравнение. Лишь после этого выбирается основное неизвестное, выражаются через него все прочие неизвестные и подставляются в словесное уравнение, превращая его в аналитическое. Проиллюстрируем этот метод на задаче, рассмотренной выше. Первый этап – осознание основного соотношения и формулировка словесного уравнения: сумма времени прохождения поездом расстояния от А до В и обратно от В до А дана; время же можно получить, деля расстояние на скорость. Второй этап – введение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда время движения поезда от А до В равно х/30, а обратно: х/28. Третий этап – составление аналитического уравнения: подставляем найденные выражения в словесное уравнение и получим: х/30 + х/28 = 14,5. Вопрос о том, в каком порядке следует составлять уравнение, какие этапы должны быть в этом процессе, обсуждался во многих методических пособиях и статьях. Но ничего принципиально нового в них не было, были лишь споры по частным вопросам: о порядке составления уравнения, способах анализа текста задачи, классификации задач. Так, П.М. Эрдниев в книге «Методика упражнений по математике» весьма подробно обсуждает эту проблему и выдвигает свою классификацию задач, которая основана на идеях И.В. Арнольда, но является более подробной (59). После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной. В 1962–1964 гг. на страницах журнала «Математика в школе» прошла оживленная дискуссия по этому вопросу. Б.В. Гнеденко и А.И. Маркушевич критиковали сложившуюся в школе практику решения текстовых задач преимущественно арифметическими методами и требовали «сдвига» на алгебраический метод. Так, Б.В. Гнеденко писал: «Приверженцы установившихся в школьном математическом преподавании традиций утверждают, что чисто арифметическое решение задач на уравнения первой степени якобы развивает логические способности учащихся. На меня этот аргумент действует примерно так же, как утверждение, что изучение Талмуда способствует развитию у учащихся строгости логического анализа. Такое утверждение до некоторой степени правильно, однако едва ли кто-либо из нас сочтет этот аргумент достаточным для введения Талмуда в курс средней школы в качестве особого предмета» (16, с. 32). А.И. Маркушевич писал, что «следует критически пересмотреть традиционное отношение к арифметическим методам решения задач и остатки «культа» этих методов изжить из нашей школы» (35, с. 11). Особенно резко выступил А.Я. Хинчин против использования в школе арифметических методов решения задач. Приведя примеры арифметического решения задач и показав, что это «дословный перевод... алгебраического решения с языка формул на язык слов», далее он писал: «...положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи на соображение, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени. Конечно, если угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений... надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода «арифметическим» решениям. Для чего это нужно? Какую «сообразительность», какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В VII классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали бы ему в руки винтовку современного образца?» (54, с. 167). Под влиянием этих резких выступлений известных математиков некоторые методисты «ударились» в другую крайность – они призывали и пытались на практике совсем изгнать из школы арифметические способы решения задач. Так, например, Ф.Г. Боданский провел широкий эксперимент в начальной школе по обучению учащихся, начиная с первого класса, алгебраическим способам решения текстовых задач. Он писал: «Свою экспериментальную работу мы строили, исходя из других теоретических предпосылок (имеются в виду методики А.С. Пчелко и Л.Н. Скаткина. – Л.Ф.). Прежде всего составление уравнений с самого начала обучения вводилось как самодовлеющий и единственный (выделено. – Л.Ф.) способ решения текстовых задач и никаким обобщением арифметического быть не могло» (7, с. 240). И вот вслед за Ф.Г. Боданским многие учителя и методисты попытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения текстовых задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А.Н. Колмогоров: «...Сейчас можно наблюдать, что использование «икса» применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции 5 + 3 записывать с «иксом» в виде: 5 + 3 = х. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея» (29, с. 8). К этому вопросу мы еще вернемся в третьей части книги. Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того чтобы обоснованно решить эти весьма не простые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических, задач. Одна из возможных таких теорий, разработанных нами, будет изложена далее. И только на основе этой теории будет предложена система методических рекомендаций, или, как сейчас принято говорить, технология решения сюжетных задач, в третьей заключительной части книги. Задание 2. Решите все задачи 1–25 из п. 1.1 алгебраическим методом. Установите, какие задачи легче решить, используя арифметические методы, а какие – алгебраические методы. Литература 1. Александров И.И., Александров А.И. Методы решения арифметических задач. – М., 1955. 2. Альтшулер И.К. К вопросу о методике составления уравнений // Математика в школе. – 1940. – № 2. 3. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Изд-во АПН РСФСР. – 1946. – Вып. 6. 4. Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. – М., 1948. 5. Барсуков А.Н. Алгебра. – М., 1951. – Ч. I, II. 6. Болтянский В.Г. Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений // Математика в школе. – 1971. – № 3. 7. Боданский Ф.Г. Формирование алгебраического способа решения задач у младших школьников // Психологические возможности младших 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. – М., 1969. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М., 1954. Браун И.К. О составлении уравнений // Математика и физика в школе. – 1936. – № 5. Бронштейн С.С. Методика алгебры. – М., 1935. Бронштейн С.С. Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. – М., 1946. Воронов Д.М. Опыт систематизации типовых арифметических задач. – М., 1939. Голъденберг А.И. Беседы по счислению. – Спб., 1914. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. – М., 1960. Гнеденко Б.В. Роль математики в развитии техники и производства // Математика в школе. – 1962. – № 1. Гуде Ф.Г. Методика и дидактика арифметики. – Спб., 1899. Гурьев П.С. Руководство к преподаванию арифметики. – Спб., 1889. Декарт Р. Избранные произведения. – М., 1950. Декарт Р. Рассуждение о методике с приложениями. – М., 1953. Депман И. История арифметики. – М.,1959. Дистервег А. Избранные педагогические произведения. – М., 1956. Доблаев Л.П. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Издво АПН РСФСР. – 1957. – Вып. 80. Добрынина Н.Ф. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Решение задач в средней школе. – М., 1952. Дырченко И.И. Составление уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1954. – № 1. Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. – Спб., 1876. Змиева М. Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени // Математика и физика в школе. – 1935. – № 5. Кавун И.Н. Методы преподавания математики // Математика и физика в школе. – 1935. – № 4. Колмогоров А.Н. Новые программы, специализированные школы // Математическое образование сегодня. – М., 1974. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. – М., 1951. Ларичев П.А. Сборник упражнений по алгебре. Ч. I и II. – М., 1951. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М., 1977. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. – М.-Л., 1952. Майергойз Д. К методике составления уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1936. – № 5. Маркушевич А.И. О задачах преподавания математики в школе // Математика в школе. – 1962. – № 2. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии преподавания арифметики в начальных классах. – М., 1965. Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач // Математика в школе. – 1969. – № 6. Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. – М., 1973. Невский А.П. Об исследовании уравнений в курсе математики средней школы // Из опыта преподавания математики в VIII–Х классах средней школы / Под ред. П.В. Стратилатова. – М., 1955. Никитин Н.Н. Решение арифметических задач в начальной школе. – М., 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 1952. Ньютон И. Всеобщая арифметика. – М., 1948. Островский Н. Метод составления уравнений 1-й степени с одним неизвестным // Математика и физика в школе. –1934. – № 3. Пойя Д. Как решать задачу. – М., 1961. Пойя Д. Математическое открытие. – М., 1970. Польский И.Г. Составление уравнений по условию задачи // Решение задач в средней школе. – М., 1952. Поляк Г.Б. Обучение решению задач в начальной школе. – М., 1950. Попова Н.С. К вопросу о видах простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 5. Принцев Н.А. О классификации простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 11. Решение задач в средней школе / Под ред. Н.Н. Никитина. – М., 1952. Рыбников К.А. История математики. – М., 1960. – Т. 1. Сердобольская П. Методика составления уравнений // Математика в школе. – 1940. – № 1. Сикорский К.П. О составлении уравнений по условию задачи // Математика в школе. – 1954. – № 1. Скаткин Л.Н. Виды простых арифметических задач // Начальная школа. – 1949. – № 2. Фридман Л.М. Изучаем математику – М., 1995. Xинчин А.Я. Педагогические статьи. – М., 1963. Чистяков В.Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. – Минск, 1962. Чичигин В.Г. Методика преподавания арифметики. – М., 1949. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики. – Спб., 1903. Шохор-Троцкий С.И. Геометрия на задачах. – Спб., 1913. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. – М., 1970. Эрн Ф.А. Очерки по методике арифметики. – Спб., 1912.