Элективный курс «ПАРАМЕТРЫ И ИХ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ» Пояснительная записка

Элективный курс «ПАРАМЕТРЫ И ИХ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ»
Учитель математики Маеренкова В. В.
Пояснительная записка
Настоящая программа предусматривает наиболее полное развитие целостной
математической составляющей картины мира, расширение возможностей учащихся по
свободному выбору своего образовательного пути, раскрывает широкие горизонты для
развития познавательных интересов учащихся и повышает их информированность в
различных аспектах современного труда.
Элективный курс предназначен для учащихся классов естественно научного профиля,
которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает
у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или
неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и
неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
Элективный курс может проводиться с учащимися как 10-х, так и 11-х классов, поскольку
относительно независим от содержания обязательного программного материала. Именно
задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые
позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень
логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Курс ориентирован на категорию учащихся, обладающих достаточной математической
подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью
поступление в вуз и при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам,
различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Предлагаемый курс, несомненно, имеет
прикладное и практическое значение и поможет учащимся при проведении различных
исследований.
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и
сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений,
необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену
современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения
образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой
математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является
формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых
умственных навыках. В процессе решения задач с параметрами в арсенал приёмов и
методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и
дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация,
аналогия. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической
ценностью, т.е. с их помощью можно проверить знания основных разделов школьной
математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки
исследовательской деятельности.
Курс способствует организации интенсивной мыслительной деятельности учащихся. Он
содержит необходимые материалы, которые помогут учащимся самостоятельно и
рационально организовать свою учебную работу.
Обучение задачам с параметрами потребует от учащихся умственных и волевых усилий,
развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива,
коллективно-познавательный труд.
ОРГАНИЗАЦИОННО – МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ.
Цели курса:
 освоить рациональные способы решения задач повышенного уровня сложности;
 способствовать приобщению к творческой и исследовательской деятельности по
математике;
 расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения
задач с параметрами;
 развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности:
 подготовка учащихся к поступлению в вузы и сдаче ЕГЭ.
Задачи курса:
 предоставить учащимся возможность реализовать свой интерес к выбранному
предмету и индивидуальные возможности его освоения;
 способствовать усвоению фактических знаний и умений, установленных
программой курса;
 показать практическую значимость задач данного типа в сфере прикладного
исследования;
 научить способам решения стандартных и нестандартных задач по математике;
 углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого
интереса к предмету;
 выявить и развить их математические способности;
 обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования;
 обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой
математической культуры;
 организовать исследовательскую и проектную деятельность учащихся,
способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.
Оптимальная продолжительность курса — 34 ч, с недельной нагрузкой в один час.
Программа курса имеет модульный характер, т.е. порядок прохождения отдельных тем и
разделов может быть изменен.
Содержание программы элективного курса включает три части — теоретическую,
практическую и проектную.
В теоретическом разделе курса рассматриваются уравнения и неравенства с параметрами
и способы их решения. Учащиеся получают сведения о классификации задач в математике
и рациональных путях поиска их решения.
Практическая часть программы включает задачи различного уровня сложности для
закрепления и контроля усвоенного материала. Эти задачи предназначены для
индивидуальной, парной, групповой и коллективной форм работы. Большое внимание в
курсе уделяется формированию у учащихся умения конструировать задания.
При выполнении проектных заданий учащиеся должны показать свои умения в
составлении и представлении сообщений, рефератов, самостоятельно составленных
заданий.
Методы, используемые учителем при проведении занятий, разнообразны и зависят от
особенностей тематики. Для передачи теоретического материала наиболее эффективна
школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися. Для закрепления материала
проводятся семинары по обсуждению теории, практикумы по решению математических
задач. При сохранении традиционных форм обучения возможно применение
тестирования, дискуссий, направленных на аргументацию вариантов своих решений и
различных форм индивидуальной или групповой деятельности учащихся. Часть занятий
отводится работе на компьютере (решение уравнений и неравенств с параметрами).
Доминантной формой учебного процесса должна стать исследовательская деятельность
учащихся, используемая не только на занятиях в классе, но и в ходе самостоятельной
работы, которая организуется через:
 работу с дидактическим материалом и тестами;
 решение предложенных задач с последующей проверкой и разбором вариантов
решения;
 подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ, являющуюся одной из
форм демонстрации достижений учащихся в усвоении изученного материала.
Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие
школьников в активную учебно-познавательную деятельность, обеспечивающие
личностное развитие каждого ученика в процессе самостоятельного построения ими
новых знаний.
Используемые технологии:
 лекционно-семинарская система обучения;
 информационно-коммуникационные технологии;
 использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие
мыслительных способностей;
 дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы;
 технология деятельностного метода, помогающая выявить познавательные интересы
школьников;
 проблемное обучение, предусматривающее мотивацию к исследованию путём
постановки проблемы, обсуждение различных вариантов решения проблемы.
Позиция педагога при проведении данного элективного курса меняется в зависимости от
этапов освоения программы. Он выступает информатором только в тех случаях, когда
является единственным обладателем информации. Большую часть учебного времени
проводящий занятия учитель выполняет функции советника, консультанта,
поддерживающего интеллектуальную активность учащихся, и наблюдателя за процессом
практической работы учеников. Позиция равноправного участника – самая
предпочтительная при проведении групповых обсуждений и индивидуальной работы.
Важный принцип преподавания – создание на уроках атмосферы доверия и свободного
обмена мнениями.
Отчетность по выполнению заданий предусматривает такие виды работ, как: а)
проверку и оценивание домашних заданий, что может также проходить в форме
самопроверки, тестирования, взаимопроверки, проверки консультантами, проверки
учителем; б) проверку и оценивание заданий в ходе промежуточного и итогового
контроля. Возможны также нестандартные формы контроля усвоения учебного материала.
Требования к знаниям учащихся.
В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:
 решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметрами;
 находить корни квадратичной функции;
 строить графики квадратичных функций;
 решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;
 точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать
собственные рассуждения при решении задач;
 правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
 применять рациональные приемы тождественных преобразований;
 использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
Содержание курса.
1. Знакомство с параметрами.
Назначение, структура и краткое содержание учебного курса. Понятие о простейших
задачах с параметрами. Понятие о классификации задач в математике, рассмотрение
общих схем и закономерностей в поиске решения. Рассматриваются задачи на поиск
решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их
корней в зависимости от значений параметров. Существенную роль играет класс задач,
где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные
ограничения. Немаловажным этапом решения задач с параметрами является запись
ответа.
Практическое упражнение по определению типа конкретной задачи и выстраиванию
схемы поиска ее решения. Составление алгоритма решения.
Домашнее задание (индивидуальное): подобрать задачу определенного типа, выстроить
схему поиска решения и алгоритм решения. Составить примеры простейших задач с
параметрами для парной работы на следующем занятии и представить их решения.
2. Аналитические приемы решения задач с параметрами.
Лекционное изложение теоретического материала с классификацией задач с позиций
применения к ним аналитических методов исследования. Рассматривается класс задач на
поиск решений уравнений, неравенств и их систем способом «ветвления», на
использование свойств решений уравнений, неравенств и их систем. Рассмотрение
параметра как равноправной переменной. Нахождение количества решений уравнений,
неравенств и их систем.
Выполнение работы в паре по приготовленным дома примерам (взаимопроверка).
Представление задач из домашнего задания. Групповая самостоятельная работа с
примерами по теме.
Домашнее задание (индивидуальное): решить примеры изученного типа.
3. Свойства функций в задачах с параметрами.
Изложение учителем теоретического материала с рассмотрением примеров уравнений,
неравенств и систем с использованием свойств функций и стандартной схемы
исследования функции с учетом области определения, множества значений, нахождением
наибольшего и наименьшего значений функции, монотонности, четности и
периодичности.
Взаимопроверка домашнего задания (с использованием «ключа» ответов). Выполнение
работы в паре по приготовленным дома примерам (взаимопроверка). Групповая самостоятельная работа по решению примеров по теме. Решение заданий по теме.
Домашнее задание (индивидуальное): составить и решить примеры изученного типа.
4. Графические приемы решения задач с параметрами.
Изложение учителем теоретического материала в диалоге с учащимися. Рассмотрение
примеров уравнений, неравенств и систем, в которых используются графические приемы.
Можно выделить два основных графических приема: первый – построение графического
образа на координатной плоскости (x; y), второй – на (x; a). Необходимые преобразования
для поиска графического образа: параллельный перенос, поворот, сжатие к прямой.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в
графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость (x; a).
Парная работа с примерами. Коллективное решение примеров. Решение задач с
использованием графических приемов. Контрольная работа по темам 1—4.
Домашнее задание (индивидуальное): решить примеры по изученным темам.
5. Квадратичная функция в задачах с параметрами.
Изложение нового материала группой учащихся (ученики в роли учителя). Рассмотрение
класса задач с параметрами, в основе решения которых лежат свойства квадратичной
функции.
Представление сообщений учащимися по темам: «Каркас» квадратичной функции»,
«Теорема Виета», «Расположение корней квадратичной функции относительно заданных
точек».
Проверка индивидуальных домашних заданий. Закрепление изученного материала в ходе
парной и групповой работы с примерами. Составление примеров по теме.
Домашнее задание (индивидуальное): решить примеры по изученной теме; составить
примеры (с решением).
6. Применение производной при решении задач с параметрами.
Изложение учителем нового материала в диалоге с учащимися. Решение ранее
рассмотренных примеров с помощью производной. Рассмотрение уравнений, неравенств,
систем с использованием аналитических и графических приемов. Задания на нахождение
и построение касательной к кривой, нахождение критических точек функции, применение
свойств монотонности функций, нахождение наибольшего и наименьшего значений
функций, построение графиков функций.
Групповая работа по решению составленных дома примеров. Самопроверка или
взаимопроверка. Работа в парах с примерами по изученной теме.
Домашнее задание (индивидуальное – по вариантам): решить примеры по изученной теме;
составить примеры по изученной теме.
7. Решение задач различными способами.
Выступление с рефератами по различным вопросам темы, практическому применению
задач с параметрами, проблемам организации эффективной деятельности при решении
различных типов математических задач.
Коллективное решение примеров на применение различных способов. Решение
нестандартных задач. Контрольная работа по темам 4—7.
Защита проектных заданий по составлению примеров. Подведение итогов курса.
УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА.
№
п/п
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
теория
Темы
Тема 1. Знакомство с параметрами
Линейная функция. Прямая пропорциональность
Линейное уравнение ах+в=0
Квадратное уравнение ах2+вх+с=0
Тема 2. Аналитические приемы решения задач с
параметрами
Параметр и количество решений уравнений и их систем
Параметр и количество решений неравенств и их систем
Параметр и свойства решений уравнений и их систем
Параметр и свойства решений неравенств и их систем
Параметр как равноправная переменная
Тема 3. Свойства функций в задачах с параметрами
3.1 Область значений функций
3.2 Экстремальные свойства функций
3.3
3.4 Монотонность
3.5 Четность, периодичность
3.6 Обратимость
Тема 4. Графические приемы решения задач с
параметрами
1
1
2
прак- все
тика го
2
3
1
1
4
6
1
1
3
1
1
1
1
1
1
3
6
1
1
3
1
1
3
6
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6.1
6.2
6.3
6.4
Координатная плоскость (x; y)
Параллельный перенос
Поворот
Сжатие к прямой
Координатная плоскость (х; а)
1
1
Тема 5. Квадратичная функция в задачах с параметрами
Дискриминант, старший коэффициент
Вершина параболы
Теорема Виета
Расположение корней квадратичной функции относительно
заданных точек
2
1
1
Тема 6. Применение производной при решении задач с
параметрами
Касательная к кривой
Критические точки
Монотонность
Наибольшее и наименьшее значение функции
Тема 7. Решение задач различными способами
2
1
7.1 Решение задач различными способами
7.4
Всего
1
1
1
3
5
1
2
2
4
1
1
2
4
1
1
2 (проект)
4
13+2
19
34
Список литературы
Основная
Голубев В. И., Гольдман А. М., Дорофеев Г. В. О параметрах - с самого начала. Репетитор.
1991. № 2.
Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами «Илекса»,
«Гимназия», Москва - Харьков, 1998.
Дорофеев Г. В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в
вузы Математика в школе, 1983, № 4.
Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Пособие по математике для поступающих в
вузы. М.: Наука, 1976.
Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Решение задач, содержащих параметры. М.: Научнопедагогическое объединение «Перспектива», 1990.
Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие
для 10 класса средней школы, М.: Просвещение, 1989.
Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач:
Учебное пособие для 11 класса, М.: Просвещение, 1991.
Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986.
Важенин Ю. М.. Самоучитель решения задач с параметрами и обратными
тригонометрическими функциями. М., 2002.
Власова А. П., Власова О. В., Латанова Н. И. Показательные и логарифмические
функции. Решение уравнений и неравенств. М., 2003.
Горштейн П. И., Мерзляк А. Г. Подводные рифы конкурсного экзамена по математике.
Киев, 1994.
Кулагин Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике. М., 2002.
Натяганов В. Л., Лужина Л. М. Методы решения задач с параметрами. Часть 1., М., 1994.
Родионов Е. М. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в вузы. М., 2001.
Тынянов И. Г. Задачи с параметрами. М., 2001.
Назаров М. и др. Методы решения задач с параметрами. М., 2003.
Натяганов В.М., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами. М., 2003.
Потапов М.К. и др. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы. М.,
1995.
Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн. 1. М.,
2002.
Дополнительная
Корешкова ТА., Глазков Ю.А., Мирошин В.В. и др. Математика: Типовые тестовые
задания. М., 2005.
Лаппо Л.Д., Морозов А.В., Попов М.А. ЕГЭ. Репетитор. Математика: Эффективная
методика. М., 2005.
Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., Клово А.Г. Подготовка к ЕГЭ по математике. Ростов
н/Д, 2002.
Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике (школа и вуз). М., 1996.
Шахмейстер А. Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. С-Петербург, «ЧеРо-на-Неве», 2004.
Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства,
системы. «Аркти», М., 2005
Локоть В. В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы.
Задачи с модулем. «Аркти», М., 2005
Локоть В. В. Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения,
неравенства, системы. «Аркти», М., 2005