производные ДЗ-мет. ук-учит

Методические рекомендации по выполнению
домашнего задания.
Разберем несколько задач из домашнего задания на примере варианта 10.27.
По таблице 1 выбираем порядок следования коэффициентов, соответствующий первому
варианту – это первая строка данной таблицы:
10
b
с
k
d
a
f
m
Вписываем эти буквы в первую строку таблицы 2 и выбираем строку, соответствующую
27 варианту:
Номер
Коэффициенты
по п/п
b
с
k
d
a
f
m
26
1
2
–1
3
–1
2
8
Домашнее задание
В условие задачи необходимо подставлять b = 1, c = 2, k = −1, d = 3, a = −1, f = 2, m = 8.
Задача 1.1. Найти производную функции
y = ax4 + bx3 + cx2 + d + f в точке х0 = k.
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y = –x4+x3+2х2+3x+2; x0 = – 1.
Решение
y' = (–x4 + x3 + 2х2 + 3x + 2)' = (–x4)' + (x3)' + 2(х2)' + 3(x)' + 0 =
= –4x3 + 3x2 + 4х + 3;
y'(–1) = –4(–1)3 + 3(–1)2 + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.
a
Задача 1.2. Найти производную функции y 
4
fx
d

c
3
bx a
.
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y
1
4
2x
3

2
3
x 1
Решение
Преобразуем функцию
y  (2 x3 )

1
4
1 3
 2 3 x   4 x 4  2 3 x.
2

 1 3 

1  3   3 1
1 1 1
3 7 2 2
4
y'    4 x   23 x   4    x 4  2  x 3  4 x 4  x 3
2
3
3
2  4
4 2


 
Задача 1.3. Найти производную функции y  c(a 6 x  k x3 ) 3 xb в точке х0 = 1.
f
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y = 2  6 x  x3  3 x ; x0 = 1 .


Решение
Преобразуем функцию
11
3 1
3
 1

 1
 1
 11
 
y  2  x 6  x 2  x 3  2  x 6 3  x 2 3   2  x 2  x 6 ;













 1 1 1 11 111 
 1  1 11 5 
 1 11 
6
2
6
2




y'  2  x  x
2  x  x
 2  x 2  x 6 ;
 2

 2



6
6






11  3 8
1 11 
 .
 2
6
3
 2 6
y'(1)  2  
Задача 1.4. Найти производную функции y 
m
в точке х0 = 0.
cx  dx 2  kx  a
3
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y
8
2 x  3x 2  x  1
3
Решение
y' = 


2 x  3x  x  1
8 2 x 3  3x 2  x  1
y'(0)  
3
8 1
 12
2
2


   86 x  6 x  1 ;
2 x  3x  x  1
 x  1
8 2  3x 2  3  2 x  1
2 x
3
 3x 2
2
2
3
2
2
= 8.
Задача 1.5. Найти производную функции y 
1
f 1
ax  cx  d
2
.
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y

1
3

  x2  2x  3
 x2  2x  3

1
3
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции
(f(g(x)) = f(g(x))g (x).
y'  


 

1
 1

1
 x2  2x  3 3  x2  2x  3 =
3

2x  2

4

1
 x 2  2 x  3 3  2 x  2  
3
3
4
x
2
 2 x  3
4
.
Задача 1.6. Найти производную функции y  (ax  d ) f 
b2  x 2
.
k d
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y  (  x  2) 2 
1  x2
1  x2
 (2  x)2 
.
1 3
2
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции
(f(g(x)) = f  (g(x))g (x).
  1  x2
y'   (2  x)2   
 2

 2(2  x)(1) 


1
  2(2  x) 21 (2  x) 

2



1  x2 =


1
1
x
1
1  x 2   2( x  2) 
.

 2 x   2( x  2) 

2
2 2 1 x
4 1  x2
2 1  x2
Задача 1.7. Найти производную функции y  ( f  4) x sin bx .
После подстановки соответствующих коэффициентов получим:
y = 6xsinx.
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций
(uv) = uv + uv.
y' = (6x)'sin x + 6x(sin x)' = 6xln6 sin x + 6xcos x.