Оптимальное управление в экономике

Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызско-Российский Славянский университет
Экономический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Декан экономического факультета
_________________В.К. Гайдамако
"_____"__________________20__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Оптимальное управление в экономике
Направление подготовки
080100.62 Экономика
Профиль подготовки
Математические методы в экономике
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Бишкек 2013
2
1. Цели освоения дисциплины
Целями дисциплины являются формирование устойчивых практических навыков
использования методов оптимального управления для принятия решений в сложных
экономических и организационных системах, а также подготовка студентов к
использованию современных компьютерных средств для решения этих задач.
Для достижения образовательных целей студентам необходимо освоить:
 Теоретический материал, включающий рассмотрение вопросов математических
методов оптимального управления, применяемых в теории и практике
аналитической работы специалистов данного направления.
 Практическую часть в форме лабораторных занятий, назначением которых
является обучение студентов навыкам работы с прикладным программным
обеспечением для выполнения профессиональных задач.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Оптимальное управление в экономике»входит в специальную часть
математического цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100.62 «Экономика».
Изучение этой дисциплины специалистами данного направления обусловлено
необходимостью приобретения практических навыков использования методологии и
методов оптимального управления для аналитической работы в сложных экономических и
организационных системах.
При изучении данной дисциплины в центре внимания находятся математические
методы оптимального управления, применяемые в теории и практике аналитической
работы специалистов данного направления.
При изучении дисциплины рассматриваются и анализируются:
 Математическая постановка общей задачи оптимального управления.
 Виды математических моделей объектов управления.
 Виды критериев оптимальности.
 Решение задач оптимального управления вариационными методами.
 Метод динамического программирования Беллмана.
Изучение дисциплины опирается на знания, полученные в курсах «Математический
анализ», «Теория вероятности и математическая статистика», «Информационные
технологии в экономике».
3
Общая трудоемкость дисциплины и виды работы
Вид учебной работы
Всего часов
Лекции
36
Лабораторные занятия
36
Аудиторные занятия (всего)
Самостоятельная работа студентов
Экзамен
Общая трудоемкость
72
72
36
144
Объем в зачетных единицах трудоемкости
5
В соответствии учебным планом дисциплина изучается в 5 семестре 3 курса.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
 аппарат теории оптимального управления
Уметь:
 применять методологию и методы оптимального управления для принятия
решений в задачах управления сложными экономическими и организационными
системами;
 осуществлять постановку оптимизационных задач, алгоритмизировать их в виде
основных этапов решения;
 принимать эффективные решения для оптимального управления экономическими
системами различной степени сложности, осуществлять прогнозирование и
оптимизацию бизнеса;
Владеть:
 навыками программирования в среде MATLAB с возможностью ее применения
для имитационного моделирования экономических систем.
 навыками программирования и использования среды MATLAB (Toolbox
Optimization) для решения задач оптимального управления экономическими и
организационными системами.
После освоения дисциплины студент должен приобрести следующие компетенции:
-
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для
решения поставленных экономических задач (ПК-4);
4
-
-
способен на основе описания экономических процессов и явлений строить
стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и
содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
способен критически оценить предлагаемые варианты управленческих решений
иразработать и обосновать предложения по их совершенствованию с учетом
критериев социально-экономической эффективности, рисков и возможных
социально-экономических последствий (ПК-13);
4. Структура и содержание дисциплины
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
(в часах)
СРС
5
1-4
32
16
8
8
16
Отчеты по
лаб.раб.
5
5-8
32
16
8
8
16
Тест
Отчеты по
лаб.раб.
ауд
лб
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра).
Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
лк
всего
Раздел дисциплины
Неделя семестра
№
п/
п
Структура дисциплины
Семестр
4.1.
Модуль 1
1.
2.
Классы кибернетических
задач. Понятие система,
модель системы.
Инструментальные
средства моделирования
и оптимизации.
Математическая
постановка общей задачи
оптимального
управления.
Модуль 2
Решение задач
оптимального
управления
вариационными
методами.
1. Метод динамического
программирования
Беллмана.
Итого – по дисциплине
3.
5
913
40
20
10
10
20
Отчет по
лаб.раб.
5
1418
40
20
10
10
20
18
144
72
36
36
72
Тест
Отчеты по
лаб.раб.
экзамен
5
4.2.
Содержание дисциплины
Лекционные занятия
Раздел 1
Тема 1.1
Тема 1.2
Раздел 2
Тема 2.1
Тема 2.2
Раздел 3
Тема 3.1
Тема 3.2
Модуль 1
Классы кибернетических задач. Понятие
система, модель системы. Инструментальные
средства моделирования и оптимизации.
Классы кибернетических задач. Понятие
система, модель системы.
Понятие система. Задачи анализа, управления,
идентификации. Математическая модель системы.
Виды моделей и их особенности. Общая
постановка задачи управления экономической
системой.
Инструментальные средства моделирования и
оптимизации.
Система программирования MATLAB (обзор
основных возможностей работы с массивами,
графическая интерпретация данных, основные
приемы
программирования
в
среде).
Возможности ее применения для имитационного
моделирования и оптимизации экономических
систем.
Математическая постановка общей задачи
оптимального управления.
Математическое описание объектов управления.
Статические и динамические модели в экономике.
Понятие о процессах оптимального управления в
экономике. Приведение дифференциальных
уравнений высокого порядка к нормальной форме
Коши.
Цели и задачи управления. Математическая
постановка общей задачи оптимального
управления для непрерывных и дискретных
процессов (классификация и типы задач).
Математические методы решения задач
оптимального управления (обзор).
Модуль 2
Решение задач оптимального управления
вариационными методами.
Основы вариационного исчисления. Простейшая
задача вариационного исчисления. Уравнение
Эйлера. Условие Лежандра. Уравнение Эйлера –
Пуассона (задача с подвижными концами
траектории).
Условия трансверсальности. Задачи на условный
экстремум. Решение задач оптимального
управления вариационными методами.
Неделя
семестра
Количество
часов
1
4
3
4
5
4
7
4
9
6
12
4
6
Лекционные занятия
Метод динамического программирования
Беллмана.
Тема 4.1
Метод динамического программирования.
Постановка задачи оптимального управления для
непрерывного и дискретного случая. Принцип
оптимальности. Одномерная дискретная задача и
вычислительные аспекты метода динамического
программирования.
Тема 4.2
Метод динамического программирования в
непрерывной задаче. Уравнение Беллмана.
Итого по дисциплине
Неделя
семестра
Количество
часов
14
6
17
4
Раздел 4
Лабораторные занятия
Раздел 1
Раздел 2
Модуль 1
Классы кибернетических задач. Понятие
система, модель системы. Инструментальные
средства моделирования и оптимизации.
Лабораторная работа 1
Изучение среды MATLAB, как инструмента
исследования и имитационного моделирования
сложных систем. Изучение расширенных
возможностей среды MATLAB: Пакет
SIMULINK, Toolbox Symbolic Mathematics.
Математическая постановка общей задачи
оптимального управления.
Лабораторная работа 2
Исследование имитационной модели объекта
управления.
Задана математическая модель объекта
управления в виде дифференциального уравнения
(2-го, или 3-го порядка).
Необходимо:
 привести дифференциальное уравнение к
нормальной форме Коши;
 построить имитационную схему
моделирования данного объекта;
получить переходные процессы в системе для
различных входных сигналов.
36
Неделя
семестра
Количество
часов
1
8
5
8
7
Лабораторные занятия
Модуль 2
Решение задач оптимального управления
вариационными методами.
Лабораторная работа 3
Использование методов вариационного
исчисления для минимизации расстояния между
двумя кривыми на плоскости (в пространстве).
Заданы две плоские (пространственные) кривые.
Необходимо:
 найти минимальное расстояние между
ними, используя уравнение Эйлера и
условия трансверсальности;
провести визуальный компьютерный
эксперимент, подтверждающий правильность
полученных результатов.
Раздел 4
Метод динамического программирования
Беллмана.
Лабораторная работа 4
Использование методов вариационного
исчисления и динамического программирования
для синтеза оптимального управления
динамическим объектом.
Задана математическая модель объекта
управления в виде линейного дифференциального
уравнения второго порядка. Задан интегральный
квадратичный критерий качества.
Необходимо синтезировать оптимальный закон
управления и провести имитационное
моделирование замкнутой системы.
Итого по дисциплине
Неделя
семестра
Количество
часов
9
10
14
10
Раздел 3
36
8
Содержание материала дисциплин, вынесенного на
СРС
Модуль 1
Раздел 1
Классы кибернетических задач.
Понятие система, модель системы.
Инструментальные
средства
моделирования и оптимизации.
Использования среды MATLAB
(Toolbox Optimization) для решения
задач оптимального управления
экономическими и
организационными системами.
Раздел 2
Математическая постановка общей
задачи оптимального управления.
Возникновение экстремальных задач.
Классическая изопериметрическая
задача. Задача Дидоны.
Возникновение экстремальных задач.
Задача о брахистохроне.
Возникновение экстремальных задач.
Задача о рационе и транспортная
задача.
Раздел 3
Раздел 4
Модуль 2
Решение задач оптимального
управления вариационными
методами.
Основная задача оптимального
управления. Принцип максимума
Понтрягина.
Решение оптимальных задач.
Простейшая задача о
быстродействии.
Решение оптимальных задач.
Геометрические экстремальные
задачи.
Принцип Лагранжа для гладких задач
с ограничениями типа равенств и
неравенств.
Метод динамического
программирования Беллмана.
Пример задачи динамического
программирования. Задача о найме
работников.
Пример задачи динамического
программирования. Динамические
задачи управления запасами.
Итого по дисциплине
Неделя
семестра
Количество
часов
1-4
16
5-8
16
9-13
20
14-18
20
72
Форма
контроля
Реферат
9
5. Образовательные технологии
5.1.
Порядок и условия изучения и контроля знаний по дисциплине.
Изучение дисциплины студентами осуществляется в форме лекций, лабораторных занятий
в аудиторных условиях (лекционные аудитории и компьютерные классы), в форме
выполнения заданий на самостоятельную работу, контроля знаний.
Текущий контроль
Текущий контроль осуществляется в виде тестирования и проверки лабораторных работ.
Результаты текущего контроля учитываются при оценке итоговой успеваемости студента.
Промежуточный контроль
Промежуточный контроль осуществляется в форме экзамена. Экзаменационный билет
включает два теоретических вопроса и практическое задание.
1 Тест по Разделам 1, 2.
Неделя
семестра
8
Макс.
балл
10
2 Тест по Разделам 3, 4.
18
10
3 Лабораторные работы
18
40
Контрольные мероприятия
Активность
Посещаемость
4 Экзамен (письменный)
Всего
5
5
30
100
5.2. Технологии проведения занятий
Теоретические данные, по мере возможности, представляются в виде компьютерных
презентаций с использованием мультимедийных средств.
Лабораторные занятия проводятся в компьютерных классах, оснащенных персональными
компьютерами с необходимыми параметрами и с установленным необходимым
программным обеспечением. Используется Интернет для получения дополнительной
информации.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов
Вопросы к экзамену
10
1. Математическое описание объектов управления.
2. Статические и динамические модели в экономике.
3. Понятие о процессах оптимального управления в экономике.
4. Приведение дифференциальных уравнений высокого порядка к нормальной форме
Коши.
5. Цели и задачи управления.
6. Математическая постановка общей задачи оптимального управления для непрерывных
процессов (классификация и типы задач).
7. Математическая постановка общей задачи оптимального управления для дискретных
процессов (классификация и типы задач).
8. Математические методы решения задач оптимального управления (обзор).
9. Основы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера.
10. Основы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления.
Условие Лежандра.
11. Основы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера - Пуассона (задача с подвижными концами).
12. Основы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления.
Условия трансверсальности.
13. Основы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления.
Задачи на условный экстремум.
14. Решение задач оптимального управления вариационными методами.
15. Метод динамического программирования. Постановка задачи оптимального
управления для непрерывного случая.
16. Метод динамического программирования. Постановка задачи оптимального
управления для дискретного случая.
17. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности.
18. Метод динамического программирования. Одномерная дискретная задача и
вычислительные аспекты метода динамического программирования.
19. Метод динамического программирования в непрерывной задаче. Уравнение Беллмана.
11
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача управления заключается в том, чтобы:
1. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем T заранее
неизвестен.
2. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем T заранее
известен
3. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем (T-t0)
минимален
4. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель.
Оптимальной траекторией в ТОУ называют:
1. линию, соединяющую начальное состояние объекта с заданным состоянием
2. оптимальное управление объекта
3. решение объекта управления, соответствующее оптимальному управлению
4. кратчайшую линию, соединяющую начальное состояние объекта с заданным
состоянием
Задача оптимального управления заключается в том, чтобы:
1. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
экстремального значения.
2. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
минимального значения.
3. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
максимального значения.
4. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества достигает приемлемого значения.
12
Управляемость-это:
1. свойство конкретного управления по отношению к объекту
2. зависит от выбранного пространства состояний
3. является обязательным свойством всех объектов
4. внутреннее свойство объекта и определяется его физической сущностью
Какое из нижеследующих утверждений верно:
1. Область достижимых значений при неограниченном росте Т превращается в
область управляемости
2. Область управляемости при неограниченном росте Т превращается в область
достижимых значений
3. Область достижимых значений и область управляемости не связаны.
4. Область управляемости и область достижимых значений - это одно и то же.
В разомкнутой стратегии управления:
1. оптимальное управление ищется как функция от времени
2. существует механизм обратной связи – управление как функция состояния
системы
3. функция управления постоянна
Нормальная форма Коши представляет собой:
1. систему из n дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из
которых разрешено относительно производной
2. систему из n дифференциальных уравнений, с заданными начальными условиями
3. систему из n линейных дифференциальных уравнений, с заданными начальными
условиями
4. систему из n дифференциальных уравнений первого порядка
Переменные состояния представляют собой:
1. это выход каждого из управлений
2. это переменные, подбираемые для перевода задачи в нормальную форму Коши
3. это возможные варианты управлений
4. это объективные (физические) переменные, выступающие вспомогательными.
Существуют ли универсальные методы по переводу модели в нормальную форму
Коши?
1. нет
2. да
13
Выберите из предложенных возможный вариант первой строки матрицы Фробениуса
ля системы 4-го порядка:
1. 0 1 0 0 0
2. 1 0 0 0 0
3. 0 0 0 0 0
4. 0 0 0 0 1
Какова размерность матрицы A в нормальной форме Коши для системы порядка n:
1. nх1
2. nхm
3. 1хn
4. nхn
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
end
1. s=0
2. s=-1
3. s=2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=-1;
for i=1:-1:-1
s=2*s-1;
end
1. s=-15
2. s=-14
3. s=14
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
14
s=-1;
for i=1:-1:-1
s=2*s-1;
if i==0
break
end
end
1. s=-15
2. s=-7
3. s=-14
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=-1;
while s<0
s=s-1;
if s<=-1.5
break
end
end
1. s=2
2. s=1
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s<0
s=s-1;
if s<3.5
break
15
end
end
1. s=5
2. s=-1
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s>0
s=s-1;
if s<3.5
break
end
end
1. s=-3
2. s=3
3. s=4
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s>0
s=s-1;
if s<3.5
s=s-2;
end
end
1. s=-1
2. s=3
3. s=-2
16
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
if (s<3)&(i>3)
break
end
end
1. s=1
2. s=2
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
if (s<3)|(i>3)
break
end
end
1. s=1
2. s=2
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
17
if (s<3)|(i>1)
break
end
end
1. s=2
2. s=1
3. s=3
А - матрица |2 3; 2 5|, В=А.^3. Тогда В(2,1)=:
1. 16
2. 27
3. 8
4. 9
А - матрица |2 3; 4 5|, В=А.^2. Тогда В(1,2)=:
1. 16
2. 9
3. 25
Чтобы в Matlab получить матрицу b -обратную матрице a:
1. b=inv(a)
2. b=a'
3. b=niv(a)
4. b=int(a)
А - матрица |2 3; 4 5|, В=А.^2. Тогда В(2,1)=:
1. 16
2. 28
3. 18
4. 9
Блок State-Space в Simulink предназначен для решения:
18
1. систем дифференциальных уравнений первого порядка
2. систем дифференциальных уравнений нормальной формы Коши
3. дифференциальных уравнений порядка выше первого
4. систем уравнений
С помощью какой функции в MatLab осуществляется построение двумерных графиков:
1. Plot
2. Mesh
3. Plot3
Как происходит поэлементное умножение двух матриц A и B:
1. А .* В
2. А*В
3. А*. В
Дана матрица А. Как вырезать элементы первой строки?:
1. А(1,:)
2. А(1,1)
3. А(:,1)
Какой знак разделяет строки при вводе матрицы в системе MatLab:
1. ;
2. :
3. '
4. !
Какую из ниже перечисленных задач можно отнести к задаче вариационного
исчисления?
1. задача о линии наискорейшего ската
2. задача о нахождении функции, удовлетворяющей ДУ порядка выше первого
3. задача о нахождении интеграла
4. задача о дифференцировании в оптимальных точках траектории
Функционал – это:
1. неопределенный интеграл с неизвестной функцией
2. среднее арифметическое значений функции на концах интервала
19
3. число, характеризующее функцию на интервале
4. это знак интеграла
Условия Лежандра позволяют ответить на вопрос:
1. максимум или минимум достигается на некоторой экстремали
2. на какой экстремали достигается экстремум
3. где находится излом экстремали
4. какие значения имеют постоянные параметры экстремали для поставленной
задачи
Условия трансверсальности используются:
1. Когда необходимо найти экстремаль, при условии, что начало, и конец решения
лежат на некоторых заданных кривых.
2. В задаче Больца
3. Когда концы траектории не закреплены
4. Когда необходимо найти экстремаль, пересекающую заданную заранее кривую
Задача Больца – это:
1. это задача минимизации функционала при известном ограничении на
экстремаль
2. это задача нахождения экстремали при неизвестных граничных условиях
3. это задача нахождения экстремали при заданных ограничениях на функционал
4. это задача нахождения минимального расстояния между кривыми, которые
известны заранее
Необходимые условия в задаче Больца – это:
1. уравнения Гамильтона
2. система дифференциальных уравнений и условие Эйлера
3. условия трансверсальности
4. условия Лежандра
Решая уравнение Эйлера, можно получить:
1. множество кривых, среди которых следует искать решение задачи
2. множество кривых, среди которых не следует искать решение задачи
3. одну кривую, которая является решением
20
4. кривую, которая должна быть исключена из области допустимых решений
Вариационная задача является задачей с подвижными концами траектории, если:
1. a, b, x(a), x(b) заранее известны
2. левый конец траектории известен, правый неизвестен
3. правый конец траектории известен, левый неизвестен
4. a, b, x(a), x(b) заранее неизвестны
В случае, когда требуется найти оптимальное решение вариационной задачи, если
начало и конец решения лежат на заданных кривых, по скольким параметрам
необходимо минимизировать функционал
1. по 3 параметрам
2. по 2 параметрам
3. по 4 параметрам
4. по 1 параметру
Задача Больца переходит в задачу Лагранжа, если
1. терминальный член =0
2. терминальный член >0
3. терминальный член <0
4. терминальный член =1
В основе задач динамического программирования лежит:
1. принцип конечности итераций
2. принцип оптимальности
3. принцип независимости управления
4. принцип наискорейшего достижения цели
Какое из ниже перечисленных утверждений верно:
1. любой оставшийся участок оптимальной траектории сам по себе является
оптимальной траекторией
2. любая оптимальная траектория переводит ОУ из начального состояния в
конечное состояние за минимальный отрезок времени
3. оптимальная траектория может рассматриваться в качестве оптимальной только
21
в случае известного начального и конечного времени
4. участок оптимальной траектории между точками a и b есть экстремаль для
функционала, минимизирующего расстояние между этими точками
Верно ли утверждение: принцип динамического программирования применим как к
непрерывным, так и к дискретным задачам:
1. нет
2. да
Какой принцип заложен в схему решения задачи оптимального управления методом
динамического программирования?
1. Принцип упорядоченности
2. Принцип трансверсальности
3. Принцип оптимальности
Какой стратегии придерживается бегун на длинную дистанцию (стайер)?
1. Оптимальной стратегии расходования сил
2. Бег с максимальной скоростью
3. Равномерной стратегией расходования сил
Каким методом можно решить задачу оптимального управления с ограничениями
неравенствами на состояния и управления?
1. Методами вариационного исчисления
2. Методом динамического программирования
Методом динамического программирования решается задача оптимизации
1. В прямом времени, начиная с начала траектории
2. В обратном времени, начиная с конца траектории
Какой принцип заложен в схему решения задачи оптимального управления методом
22
динамического программирования?
1. Принцип упорядоченности
2. Принцип оптимальности
3. Принцип трансверсальности
Метод динамического программирования используется для решения:
1. Безусловной задачи оптимизации
2. Условной задачи оптимизации
В качестве критерия оптимизации в задаче оптимального управления, решаемой
методом динамического программирования, используется:
1. Функционал
2. Функция
ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ
Задача управления заключается в том, чтобы:
1. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем T заранее
неизвестен.
2. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем T заранее
известен
3. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель на конечном интервале времени (t0,T), причем (T-t0)
минимален
4. в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором
будет достигнута цель.
Оптимальной траекторией в ТОУ называют:
1. линию, соединяющую начальное состояние объекта с заданным состоянием
2. оптимальное управление объекта
3. решение объекта управления, соответствующее оптимальному управлению
4. кратчайшую линию, соединяющую начальное состояние объекта с заданным
23
состоянием
Задача оптимального управления заключается в том, чтобы:
1. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
экстремального значения.
2. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
минимального значения.
3. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества при заданном внешнем воздействии достигает
максимального значения.
4. в области допустимых управлений найти такое управление, на котором
показатель качества достигает приемлемого значения.
Управляемость-это:
1. свойство конкретного управления по отношению к объекту
2. зависит от выбранного пространства состояний
3. является обязательным свойством всех объектов
4. внутреннее свойство объекта и определяется его физической сущностью
Какое из нижеследующих утверждений верно:
1. Область достижимых значений при неограниченном росте Т превращается в
область управляемости
2. Область управляемости при неограниченном росте Т превращается в область
достижимых значений
3. Область достижимых значений и область управляемости не связаны.
4. Область управляемости и область достижимых значений - это одно и то же.
В разомкнутой стратегии управления:
1. оптимальное управление ищется как функция от времени
2. существует механизм обратной связи – управление как функция состояния
системы
3. функция управления постоянна
Нормальная форма Коши представляет собой:
1. систему из n дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из которых
24
разрешено относительно производной
2. систему из n дифференциальных уравнений, с заданными начальными
условиями
3. систему из n линейных дифференциальных уравнений, с заданными начальными
условиями
4. систему из n дифференциальных уравнений первого порядка
Переменные состояния представляют собой:
1. это выход каждого из управлений
2. это переменные, подбираемые для перевода задачи в нормальную форму Коши
3. это возможные варианты управлений
4. это объективные (физические) переменные, выступающие вспомогательными.
Существуют ли универсальные методы по переводу модели в нормальную форму
Коши?
1) нет
2) да
Выберите из предложенных возможный вариант первой строки матрицы
Фробениуса ля системы 4-го порядка:
1. 0 1 0 0 0
2. 1 0 0 0 0
3. 0 0 0 0 0
4. 0 0 0 0 1
Какова размерность матрицы A в нормальной форме Коши для системы порядка n:
1. nх1
2. nхm
3. 1хn
4. nхn
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
25
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
end
1. s=0
2. s=-1
3. s=2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=-1;
for i=1:-1:-1
s=2*s-1;
end
1. s=-15
2. s=-14
3. s=14
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=-1;
for i=1:-1:-1
s=2*s-1;
if i==0
break
26
end
end
1. s=-15
2. s=-7
3. s=-14
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=-1;
while s<0
s=s-1;
if s<=-1.5
break
end
end
1. s=2
2. s=1
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s<0
s=s-1;
if s<3.5
27
break
end
end
1. s=5
2. s=-1
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s>0
s=s-1;
if s<3.5
break
end
end
1. s=-3
2. s=3
3. s=4
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
while s>0
s=s-1;
28
if s<3.5
s=s-2;
end
end
1. s=-1
2. s=3
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
if (s<3)&(i>3)
break
end
end
1. s=1
2. s=2
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
29
s=s-1;
if (s<3)|(i>3)
break
end
end
1. s=1
2. s=2
3. s=-2
Определите результат счета следующего фрагмента программы (script Malaba) s=?
s=5;
for i=1:6
s=s-1;
if (s<3)|(i>1)
break
end
end
1. s=2
2. s=1
3. s=3
А - матрица |2 3; 2 5|, В=А.^3. Тогда В(2,1)=:
1. 16
2. 27
30
3. 8
4. 9
А - матрица |2 3; 4 5|, В=А.^2. Тогда В(1,2)=:
1. 16
2. 9
3. 25
Чтобы в Matlab получить матрицу b -обратную матрице a:
1. b=inv(a)
2. b=a'
3. b=niv(a)
4. b=int(a)
А - матрица |2 3; 4 5|, В=А.^2. Тогда В(2,1)=:
1. 16
2. 28
3. 18
4. 9
Блок State-Space в Simulink предназначен для решения:
1. систем дифференциальных уравнений первого порядка
2. систем дифференциальных уравнений нормальной формы Коши
3. дифференциальных уравнений порядка выше первого
4. систем уравнений
С помощью какой функции в MatLab осуществляется построение двумерных графиков:
1. Plot
2. Mesh
3. Plot3
Как происходит поэлементное умножение двух матриц A и B:
1. А .* В
31
2. А*В
3. А*. В
Дана матрица А. Как вырезать элементы первой строки?:
1. А(1,:)
2. А(1,1)
3. А(:,1)
Какой знак разделяет строки при вводе матрицы в системе MatLab:
1. ;
2. :
3. '
4. !
Какую из ниже перечисленных задач можно отнести к задаче вариационного
исчисления?
1. задача о линии наискорейшего ската
2. задача о нахождении функции, удовлетворяющей ДУ порядка выше первого
3. задача о нахождении интеграла
4. задача о дифференцировании в оптимальных точках траектории
Функционал – это:
1. неопределенный интеграл с неизвестной функцией
2. среднее арифметическое значений функции на концах интервала
3. число, характеризующее функцию на интервале
4. это знак интеграла
Условия Лежандра позволяют ответить на вопрос:
1. максимум или минимум достигается на некоторой экстремали
2. на какой экстремали достигается экстремум
3. где находится излом экстремали
4. какие значения имеют постоянные параметры экстремали для поставленной
задачи
Условия трансверсальности используются:
1. Когда необходимо найти экстремаль, при условии, что начало, и конец решения
32
лежат на некоторых заданных кривых.
2. В задаче Больца
3. Когда концы траектории не закреплены
4. Когда необходимо найти экстремаль, пересекающую заданную заранее кривую
Задача Больца – это:
1. это задача минимизации функционала при известном ограничении на
экстремаль
2. это задача нахождения экстремали при неизвестных граничных условиях
3. это задача нахождения экстремали при заданных ограничениях на функционал
4. это задача нахождения минимального расстояния между кривыми, которые
известны заранее
Необходимые условия в задаче Больца – это:
1. уравнения Гамильтона
2. система дифференциальных уравнений и условие Эйлера
3. условия трансверсальности
4. условия Лежандра
Решая уравнение Эйлера, можно получить:
1. множество кривых, среди которых следует искать решение задачи
2. множество кривых, среди которых не следует искать решение задачи
3. одну кривую, которая является решением
4. кривую, которая должна быть исключена из области допустимых решений
Вариационная задача является задачей с подвижными концами траектории, если:
1. a, b, x(a), x(b) заранее известны
2. левый конец траектории известен, правый неизвестен
3. правый конец траектории известен, левый неизвестен
4. a, b, x(a), x(b) заранее неизвестны
В случае, когда требуется найти оптимальное решение вариационной задачи, если
начало и конец решения лежат на заданных кривых, по скольким параметрам
необходимо минимизировать функционал
33
1. по 3 параметрам
2. по 2 параметрам
3. по 4 параметрам
4. по 1 параметру
Задача Больца переходит в задачу Лагранжа, если
1. терминальный член =0
2. терминальный член >0
3. терминальный член <0
4. терминальный член =1
В основе задач динамического программирования лежит:
1. принцип конечности итераций
2. принцип оптимальности
3. принцип независимости управления
4. принцип наискорейшего достижения цели
Какое из ниже перечисленных утверждений верно:
1. любой оставшийся участок оптимальной траектории сам по себе является
оптимальной траекторией
2. любая оптимальная траектория переводит ОУ из начального состояния в
конечное состояние за минимальный отрезок времени
3. оптимальная траектория может рассматриваться в качестве оптимальной только
в случае известного начального и конечного времени
4. участок оптимальной траектории между точками a и b есть экстремаль для
функционала, минимизирующего расстояние между этими точками
Верно ли утверждение: принцип динамического программирования применим как к
непрерывным, так и к дискретным задачам:
1. нет
2. да
Какой принцип заложен в схему решения задачи оптимального управления методом
динамического программирования?
34
1. Принцип упорядоченности
2. Принцип трансверсальности
3. Принцип оптимальности
Какой стратегии придерживается бегун на длинную дистанцию (стайер)?
1. Оптимальной стратегии расходования сил
2. Бег с максимальной скоростью
3. Равномерной стратегией расходования сил
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Лежнев А.В. Динамическое программирование в экономических задачах / Учебное
пособие М., Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 176 с.
2. Кривошеев В.П. Теория оптимального управления экономическими системами
/Учебное пособие – Владивосток : Изд-во ВГУЭС, 2010. – 140 с.
3. Матвейкин В.Г., и др. Оптимальное управление в экономике / Методические указания
- Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2009. – 40 с.
4. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энергоатомиздат 1987.
5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория
конструирования систем управления. М.: Высшая школа 1989.
6. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука 1971.
7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука.
1979.
8. Основы теории оптимального управления. Под ред. В.Ф.Кротова. - М.: Высшая школа,
1990. - 429 с.
9. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. - М.: Экономика, 1985. 240 с.
10. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 1979. 303 с.
11. В.Г. Потемкин. MATLAB 5 для студентов. М., «ДИАЛОГ - МИФИ»,1998 г.
12. Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике. СанктПетербург: Питер 2000, 208 стр.
35
13. Жданов С. А. Экономические модели и методы в управлении. М.: Дело и Сервис 1998,
176 стр.
14. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в
экономике. М.: Дело и Сервис 1999, 365 стр.
Дополнительная литература
1. Браверман Э.М. Математические модели планирования и управления в экономических
системах. М.: Наука, 1976, 366 стр.
2. Fletcher R. Ptractical Methods of Optimization. - Wiley & Sonns, New-York, 1987.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1986.
4. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: Наука, 1990.
5. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М.: Наука,
1978.
6. Дьяконов Б.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. -М.: Наука, 1993
7. Атанс М., Фалб П.Л. Оптимальное управление. М.: Наука, 1968. 764 с.
Ресурсы интернет
Оn-line библиотека свободно доступных материалов по информационным технологиям на
русском языке. www.citforum.ru.
Электронная библиотека дисциплины:
1. Алексеева.Е.Ю. Информационные системы в экономике. - Челябинск, 2006.
2. Уокенбах Дж. Excel 2003. Библия пользователя. - М:, Диалектика, 2004.
3. Дубинина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю.. Excelдля экономистов и менеджеров. –
СПб.: Питер, 2004.
4. Саймон, Джинжер. Анализ данных в Excel: Наглядный курс создания отчетов,
диаграмм и сводных таблиц.: Пер. с англ.-М.: Издательский дом “Вильямс”, 2004.
5. ЛавреневС.М.. Excel: Сборник примеров и задач.- М., Финансы и Статистика 2003.
8. Программные, технические и электронные средства обучения и Материальнотехническое обеспечение дисциплины
Компьютерное и мультимедийное оборудование:
1. Компьютерный класс для проведения лабораторных работ и доступа в Интернет.
2. Мультимедийный проектор для чтения лекций.
36
Программное обеспечение:
1. MATLAB
2. MS Excel
3. MS PowerPoint
Тестирующая система: ЭММ-тест
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению
подготовки 080100.62 «Экономика».
Программа разработана на кафедре Математические методы и исследования операций в
экономике.
Составитель:
профессор, д.т.н. Е.Л. Миркин
________________________
Зав. кафедрой ЭММ
И.В. Лукашова
________________________
Программа согласована с кафедрой, ответственной
направления.
за выпуск бакалавров данного
Кафедра Математических методов и исследования операций в экономике
Протокол №______ от «____»___________ 2013г.
Зав. кафедрой
И.В. Лукашова
________________________