Уравнения и системы уравнений с параметрами. Условные

51. Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Условные равенства и неравенства.
Решить уравнение с параметром  значит, для любого допустимого
значения параметра найти множество всех решений заданного уравнения. При
решении параметрических неравенств используются те же соображения, что и
при решении параметрических уравнений. Сложность параметрических задач в
том, что, как правило, в них с изменениями параметра изменяются не только
коэффициенты, но и ряд других, связанных с параметрическим уравнением или
неравенством характеристик. Может меняться степень уравнения или
неравенства, область допустимых значений и т. д. Обычно это приводит к тому,
что при различных значениях параметра приходится использовать различные
методы решения.
В задачах 5-6 требуется найти все значения параметров, при каждом из
которых выполнено некоторое условие.
Задачи [4,c.25], [5,c.15], [17,c.26], [26,c. 54], [37,c.29]. Литература
Задача 1. Решить уравнение:
х 1
а
х2 1
Решение. Многочлен х2+1 положителен при любом х. Поэтому для каждого
значения а исходное уравнение равносильно х+1=а(х2+1) или уравнению ах2
х+а1= 0. (1)
Если а=0, то уравнение (1) становится линейным х1= 0. При а0 уравнение
(1) есть квадратное уравнение и в зависимости от знака дискриминанта D=
1+4a 4a2 оно имеет решения или не имеет их. Для всех значений а,
удовлетворяющих неравенству
1+4a 4a2<0
(2)
уравнение (1) решений не имеет. Множество чисел а, удовлетворяющих
неравенству (2), состоит из двух промежутков:
1 2


1  2 

;  .
а   ;



2 

 2

Для а=
1 2
1
D=0 и (1) имеет единственное решение х=
.
2а
2
1 2   1 2 
 справедливо неравенство
;0    0;
Для каждого значения а 
2 
 2
 
D>0 и уравнение (1) имеет два корня х1, 2 
Задача 2. Решить уравнение:
1 D
, D=1+4a 4a2.
2a
a a x  x.
Решение. Имеем условие х0. (1)
Возведем в квадрат обе части уравнения: a  a  x  x 2 ,
получим еще условие ах20 (2). Взведем еще раз в квадрат
x 4  2ax 2  x  a 2  a  0 ,
a  x  a  x2
Полученное уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного х,
но является квадратным относительно параметра а.

D  2 x

 1  4x
a 2  2x 2  1 a  x 4  x  0
2
2
4

 x  4 x 4  4 x 2  1  4 x 4  4 x  2 x  1


2

 уравнение приобретает вид a  x 2  x  1 a  x 2  x  0 и распадается на два:
x 2  x  1  a  0 и x 2  x  a  0, каждое из которых нужно решить при условиях  1  и 2 
.
1) x 2  x  1  a  0 . Поскольку х+1=а-х2, то из (1)  (2). Значит, достаточно
найти те решения удовлетворяющие (1). По теореме Виета сумма корней (если
они есть) равна –1; уравнение может иметь лишь один неотрицательный
1
корень при условии 1а 0, а1. Этот корень х=  1  4а  3 .
2
2
2) x  x  a  0 . Из этого уравнения  x  a  x 2 согласно условиям (1) и (2)
слева  отрицательное число, справа  положительное, что невозможно.
Равенство возможно лишь при а=0, х=0.
1
Ответ: Если а0, то х=  1  4a  3 , если а=0, то х=0, при остальных а
2
решений нет.
Задача 3. Решить систему:
 x 2  y 2  0,

 x  a 2  y 2  1.
Ответить на следующие вопросы: существуют ли значения а, при
которых система имеет два решения; три решения? Если они
существуют, то найти эти значения а.




Решение:
Задача 4. При каких значениях параметра а система
 x 2  y 2  z,

x  y  z  a
имеет единственное решение?
Решение:
Задача 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
а  1х 2  а  1х  а  1  0
(*)
выполняется при всех действительных х.
Решение. Здесь можно обойтись качественными соображениями о виде
множества решений, не определяя самих решений.
При а=1 исходное неравенство имеет вид 2х+2>0. Множество его решений:
{-<х<1}R  а=1 не отвечает условию задачи.
Если а<1, то коэффициент при х2 в квадратном трехчлене левой части (*)
отрицателен, поэтому трехчлен либо вообще не принимает положительных
значений, либо его положительные значения являются значениями в точках
интервала между корнями. В любом случае найдется точка, в которой этот
трехчлен принимает отрицательные значения.  ни одно из значений а,
удовлетворяющих неравенству а<1, не отвечает условию задачи.
При а>1 исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда его
дискриминант D= 3a2+2a+5<0. Множество решений неравенства
5
3a2+2a+5<0 состоит из промежутков а< 1 и а> . Из этих чисел в области
3
5
а>0 содержится только а> . Это и есть искомые значения параметра.
3
5
Ответ: а> .
3
Задача 6. При каких значениях х существует угол , удовлетворяющий
x 2  5x  4
уравнению cos  
?
x2  4
Решение:
Содержание: