Приближенное решения уравнения методом хорд и касательных

Расчетная работа
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1. Приближенное решение уравнения методом хорд и касательных
Методом хорд и касательных найти наименьший положительный корень уравнения
x 2  sin  x  0 .
а) Выполнить графическое отделение корней;
б) сузить отрезок изоляции корня методом проб до 0,05;
в) уточнить корень комбинированным методом хорд и касательных (один шаг);
г) записать приближенное значение корня и указать погрешность этого значения.
Решение.
1. Графическое отделение корней уравнения.
Запишем заданное уравнение в виде  ( x)   ( x) . В данном случае:
x 2  sin  x .
Построим графики функций y  x 2 и sin  x .
На отрезке [0,5; 1] содержится один корень x0 заданного уравнения. Это искомый
наименьший положительный корень.
2. Сужение отрезка изоляции корня методом проб.
Функция f ( x )  x 2  sin  x непрерывна на , значит она непрерывна и на [0,5; 1] .
Вычислим значения
f (0,5)  0,75  0 , f (1)  1  0 . f (0,5)  f (1)  0 .
Следовательно, на [0,5;1] действительно содержится корень заданного уравнения.
Выберем точку, принадлежащую интервалу (0,5; 1) , например, x  0,8 и вычислим
f (0,8)  0,0522  0 .
При этом f (0,5)  f ( 0,8)  0 . Значит, x0  [0,5; 0,8] .
Продолжим вычисления методом проб до тех пор, пока длина отрезка изоляции корня
не достигнет величины 0,05 :
f (0,7)  0,319  0 , x0  [0,7; 0,8] ;
f (0,75)  0,1446  0 , x0  [0,75; 0,8] .
3. Уточним значение корня комбинированным методом хорд и касательных.
Убедимся, что знаки производных f '( x ) и f ''( x) не изменяются на отрезке
[0,75; 0,8] :
f '( x )  2 x   cos  x  0 x  [0,75; 0,8] ;
f "( x )  2   2 sin  x  0 x  [0,75; 0,8] .
Так как f (0,8)  f "(0,8)  0 , то формулу касательных следует применить в точке
b  0,8 и использовать формулы
ba
f ( b)
.
f (a ) , b1  b 
f ( b)  f ( a )
f '(b)
В данном случае:
a1  a 
a  0,75 , b  0,8 ,
f (a)  f (0,75)  0,1446 , f (b)  f (0,8)  0,0522 ;
f '(0,8)  2  0,8   cos(  0,8)  4,1416 ,
0,8  0,75
( 0,1446)  0,7867 ,
0,0522  ( 0,1446)
0.0522
b1  0,8 
 0,7874 .
4,1416
a1  0,75 
4. Приближенное значение корня
x0 
b1  a1 0,7867  0,7874

 0,78705 .
2
2
Абсолютная погрешность корня

b1  a1 0,7874  0,7867

 0,00035  0,001 .
2
2
Так как 0,0001    0,001, то необходимо округлить значение корня до 0,001 :
x0  0,787 .
Замечание. Если f (a) f ''(a)  0 , то следует применить формулы
f (a )
ba
, b1  b 
a1  a 
f ( b) .
f '(a )
f (b)  f (a )
2. Вычисление комплексных корней уравнения
Решить уравнение
(3z  2)(6  4iz )( z 2  7 z  49)  0.
Записать корни в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Построить корни на комплексной плоскости.
Решение.
1. Заданное уравнение равносильно совокупности уравнений
3z  2  0,

6  4iz  0,
 z 2  7 z  49  0.

Решим эти уравнения:
2
.
3
3
3
2) 6  4iz  0 ; z2    i .
2i
2
2
3) z  7 z  49  0 ;
1) 3z  2  0 ; z1 
7  72  4  49 7  3  49 7  7 3 1
.


2
2
2
7  7 3 i
7 7 3
7 7 3
, z3   
z3,4 
i , z4   
i.
2
2
2
2
2
z
Заданное уравнение имеет 4 корня. Их алгебраическая форма:
z1 
2
3
7 7 3
7 7 3
, z2   i , z3   
i , z4   
i.
3
2
2
2
2
2
2. Построим эти корни.
3.
Запишем корни в
тригонометрической и
показательной формах.
3
2
2
; z1  , arg z1  1  0 .
3
3
Тригонометрическая форма:
2
z1  (cos0  i sin 0) .
3
2
Показательная форма: z1  e0i .
3
1) z1 
2
4
2
3
3
 3
2) z2   i , z2  02      ,
2
2
 2

arg z2  2   .
2
Тригонометрическая форма:
3
 
  
z2   cos     i sin     .
2
 2
 2 

3  i
Показательная форма: z2  e 2 .
2
2
2
2
7 7 3
 7 7 3
7
3) z3   
i , z3      
     4  7 ; arg z3  3 .
2
2
 2  2 
2
7 3  7

   2
.
tg3 
:      3 ; arctg  3   ; 3       
3
2  2
 3 3
2
2 

 i sin
Тригонометрическая форма: z3  7  cos
.
3
3 


Показательная форма: z3 

2
i
7e 3 .
2
2
2
7 7 3
 7  7 3
7
4) z4   
i , z4       
     4  7 ; arg z4   4 .
2
2
 2  2 
2
7 3  7


2
.
tg4  
:     3 ; arctg 3  ;  4     
3
3
3
2  2

 2 
 2  
Тригонометрическая форма: z4  7  cos  
  i sin  
 .
3
3





Показательная форма: z4  7e

2
i
3 .