КИНЕТИКА И ИЕРАРХИЯ ПРОЦЕССА НАКОПЛЕНИЯ ТРЕЩИН

МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
6-9 октября 2003 г.
«ГЕОДИНАМИКА И НАПРЯЖЕННОЕ
СОСТОЯНИЕ НЕДР ЗЕМЛИ»
УДК 539.3:550.343
КИНЕТИКА И ИЕРАРХИЯ ПРОЦЕССА НАКОПЛЕНИЯ ТРЕЩИН В
ГЕТЕРОГЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
д.ф.-м.н. Веттегрень В.И., д.ф.-м.н. Куксенко В.С., к.ф.-м.н. Томилин Н.Г.,
Крючков М.А.
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, г. Санкт-Петербург, Россия
АННОТАЦИЯ: Приведены результаты исследований методом акустической эмиссии (АЭ) накоп-
ления трещин при сжатии гранитов. Установлено, что распределение трещин по размерам оптимизировано и представляет собой совокупность канонических термодинамических ансамблей. Число
трещин в каждом ансамбле осциллирует со временем.
Исследования процесса накопления микротрещин [1–6] в напряженных твердых телах
показали, что когда их концентрация X c в объеме тела достигает значения, при котором
среднее расстояние между ними L в e  2.7 раз больше их среднего размера y , т.е.
L
y
1

3
Xc
 2.7 ,
(1)
то формируется очаг разрушения. На этом основании в [1–3] была предложена двухстадийная модель разрушения. Предполагалось, что после приложения напряжений в теле начинают накапливаться микротрещины приблизительно одного размера. Когда их концентрация
достигает порогового значения X c , возникают кластеры, в которых трещины начинают
укрупняться, и образуется очаг, рост которого приводит к разрушению образца.
Однако, проведенный недавно анализ [4, 5] динамики плотности вероятности сигналов акустической эмиссии (АЭ) от нагруженных гранитов показал, что кинетика разрушения
имеет более сложный характер. А именно, временная зависимость числа сигналов АЭ может
быть разделена, по крайней мере, на четыре интервала, в которых амплитуда АЭ изменяется
в противофазе. На этом основании была построена иерархическая модель разрушения горных пород. Предполагается, что первая стадия разрушения заключается в накоплении невзаимодействующих трещин первого ранга. Когда их концентрация в объеме тела достигнет
критического значения X c , удовлетворяющего (1), трещины начинают укрупняться. В результате формируются трещины второго ранга. Эти трещины накапливаются до тех пор, пока их концентрация снова не достигнет критического значения X c , что приводит к образованию трещин третьего ранга и т.д.
В работе с позиций статистической физики проведен анализ сигналов АЭ от гранитов.
Идея применить подобный подход возникла в связи с результатами исследований эволюции
дефектов нанометровых размеров на поверхности механически напряженных металлов [7–9].
Исследования показали, что их распределения представляют собой сумму канонических распределений Гиббса для флуктуаций энергии. На этом основании был сделан вывод, что
нанодефекты образуют несколько статистических термодинамических ансамблей, распределение дефектов в каждом из которых термодинамически оптимизировано, т.е. задано условием, что конфигурационная энтропия имеет максимальное значение. Оказалось, что число
нанодефектов в соседних ансамблях изменяется в противофазе. Эти изменения обусловлены
тем, что когда число нанодефектов в каком-либо ансамбле достигает значения X c , их численная энтропия приобретает максимальное значение [7, 9]. По этой причине ансамбль теря373
ет устойчивость и рассасывается с образованием более крупных нанодефектов следующего
иерархического уровня.
В этой связи эмпирическое условие (1) приобретает смысл второго начала термодинамики для случая дефектообразования в механически напряженных материалах.
Попытаемся ответить на следующие вопросы:
– по какой причине размеры микротрещин в гранитах варьируют в широких пределах;
– могут ли быть объяснены с позиций статистической механики обнаруженные ранее
изменения амплитуды сигналов АЭ со временем.
Предполагалось, что, если будут получены положительные ответы на эти вопросы,
откроется возможность обосновать иерархическую модель разрушения горных пород, предложенную в [4, 5], с позиций современной статистической физики.
Методика эксперимента детально рассмотрена в работах [3], поэтому остановимся
только на ее схематическом описании. Цилиндрические образцы гранитов – «мелкозернистого» – Westerly и «крупнозернистого» – Harcourt – подвергали воздействию постоянного гидростатического давления и одноосного сжатия. Регистрация АЭ осуществлялась с временным разрешением 104 с. База данных представляла собой хронологическую последовательность сигналов АЭ, амплитуда которых (А) была приведена к референс-сфере радиусом
10 мм. Эксперименты заканчивались в тот момент, когда начиналось резкое падение нагрузки, свидетельствующее о потере несущей способности образца.
Будем полагать, что амплитуда сигнала АЭ пропорциональна энергии образования
микротрещин и для описания распределения амплитуд используем каноническое распределения Гиббса [11, 12] в следующем виде:
 3A 
 3A 
n( A)  n0 
 exp  
 ,
A
A




(2)
где n ( A) – число импульсов с амплитудой А; A – среднее значение амплитуды; n0 – нормировочная постоянная.
Распределение (2) термодинамически оптимизировано, т.е. конфигурационная энтропия системы максимальна.
Если рассматриваемая система состоит из m статистических ансамблей, то распределение амплитуд должно представлять собой сумму выражений (2):
m
 3A
n( A)   N0i 
 Ai
i 1


 3A
 exp  

 Ai



.


(3)
При описании реальных распределений амплитуд АЭ в (3) варьировали число распределений m и значения среднего размера Ai . Чтобы уменьшить число подбираемых параметров, воспользовались результатами из работ [7–9, 13–15]. В [13] было показано, что энтропия идеальной смеси объектов максимальна, когда отношение их средних размеров равно
трем. В [14, 15] установлено, что отношение средних размеров блоков в горных породах, геоблоков и мегаблоков составляет  2–5. Наконец, в результате анализа распределений нанодефектов на поверхности металлов [7–9] было найдено, что отношение их средних размеров
также равно трем.
 A i 1 
  3 для соседних слагаемых в
Учитывая эти факты, полагали, что отношение 
 Ai 


(3).
Затем добивались наилучшего совпадения рассчитанных и экспериментальных распределений за счет подбора Ai и m.
374
Оказалось, что распределения квадратов амплитуд акустических сигналов для всех
испытанных образцов гранитов хорошо описывается выражением (3) (рис. 1). Число членов в
сумме (3) для обоих гранитов составило 3.
Рис. 1. Аппроксимация по формуле (3) распределения амплитуд акустических сигналов от гранита Harcourt
Исследования, выполненные в последние годы, показали, что распределения различных объектов по размерам описываются каноническим распределением Гиббса. К ним относятся: нанодефекты и пятна коррозии на поверхности металлов [7–9, 16], разориентация дислокационных стенок в металлах [17, 18], структурные образования в полимерах [8, 19, 20],
«островки» алюминия на поверхности полимерной пленки [20], агрегаты сажи в резине, бактерии, грибки и длины протеиновых молекул [8] и т.д.
Таким образом, возможность описания распределения микротрещин по размерам
формулой (3) не является исключением. Как и все упомянутые объекты, микротрещины образуют совокупность статистических ансамблей, в которых их размеры термодинамически
оптимизированы. Следовательно, существование широкого распределения размеров микротрещин есть следствие второго начала термодинамики.
Средние значения амплитуд сигналов АЭ Ai для 1, 2 и 3 ансамблей приведены в
таблице. Там же приведены значения интервала амплитуд A для каждого из иерархических
уровней, найденные в [3–5]. Видно, что средние значения Ai попадают внутрь интервала
A . Этот результат позволяет заключить, что найденные в [3–5] иерархические уровни соответствуют различным термодинамически оптимизированным ансамблям.
ТАБЛИЦА. Средние значения амплитуд, найденные в данной работе, и интервала амплитуд
A сигналов АЭ, установленные в [3–5], для каждого из статистических
ансамблей
Westerly
№ ансамбля, п/п
1
2
3
Ai
4
3
Harcourt
3
4
, мВ
6.75
20.25
60.75
A , мВ
№ ансамбля, п.п.
2.7–6
6–40
40–90
1
2
3
375
Ai
4
3
3
4
, мВ
3.38
10.13
30.39
A , мВ
1.6–5
5–20
20–65
Чтобы исследовать эволюцию ансамблей микротрещин, были сделаны выборки с интервалом 1000 s. В каждом из них рассчитывали распределения амплитуд АЭ и описывали их
выражением (3). Затем в каждом ансамбле строили зависимости числа амплитуд от времени.
На рис. 2 показана зависимость от времени числа микротрещин в ансамблях 2 –
( A  10.13 мВ) и 3 – ( A  30.39 мВ) в граните Harcourt от времени. Видно, что, как и в
[4, 5], число микротрещин в соседних ансамблях изменяется в противофазе.
Такие же противофазные изменения числа микротрещин в соседних ансамблях
наблюдались в граните Westerly.
Изменения концентрации нанометровых
дефектов в противофазе (размеры от 10 до
500онм) ранее наблюдалось также для поверхности нагруженных металлов [7, 9]. Следовательно, явление противофазного изменения их
числа в соседних термодинамических ансамблях осуществляется в металлах и гранитах в
интервале линейных размеров,  5 порядков.
Таким образом, установлено, что распределение микротрещин по размерам термодинамически оптимизировано. Микротрещины
формируют три статистических термодинамических ансамбля. Число микротрещин в соседРис. 2. Временные зависимости числа микротрещин статистических ансамблях со средней амних ансамблях изменяется в противофазе.
плитудой 10.13 мВ (1) и 30.39 мВ (2) в граните
Работа выполнена при финансовой подHarcourt
держке РФФИ, грант № 03-05-64831.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Kuksenko V.S., Ryskin V.S., Betechtin V.I., Slutsker A.I. – 3Intern. J. Fracture Mech. – 1975. –
Т. 11. – № 5.
Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига:
Зинатне, 1978.
Kuksenko V., Tomilin N., Damaskinskaja E., and Lockner D. Рuге Appl. Geophys. – 1996. –
V. 146. – № 1.
Томилин Н.Г., Дамаскинская Е.Е., Куксенко В.С. // ФТТ. – 1994. – Т. 36. – № 10.
Томилин Н.Г., Куксенко В.С. Иерархическая модель разрушения горных пород. В сб.
Науки о земле. Физика и механика материалов. – М.: Вузовская книга, 2002.
Петров В.А., Башкарев А.Я., Веттегрень В.И. Физические основы прогнозирования разрушения конструкционных материалов. – СПб.: Политехника, 1993.
Килиан Х.Г., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. // ФТТ. – 2000. – Т. 42. – 2001. – Т. 43.
Kilian H.G., Koepf M., Vettegren V.I. Prog. Colloid Polym. Sci. – 2001. – V. 117. – № 2.
Башкарев А.Я., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. // ФТТ. – 2002. – Т. 44. – № 7.
Журков С.Н., Куксенко В.С., Петров В.А. и др. // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. –
1977. – № 6.
Gibbs J.W. Elementary Principles in Statistical Mechanics. – Yale University Press: New Haven,
CT, 1902.
Lavenda B.L. Statistical Physics. A Probabilistc Approach. – J. Wiley & Sons, Inc.: N.Y., 1997.
Kilian H.G., Metzler R., Zink B. J. Chem. Phys. – 1997. – V. 107. – № 12.
Садовский М.А. // Доклады АН СССР. – 1979. – V. 247. – № 4.
Садовский М.А. Дискретные свойства геофизической среды. – М.: Наука, 1989.
Веттегрень В.И., Башкарев А.Я., Морозов Г.И. – Письма в ЖТФ. – 2002. – Т. 28. – № 13.
Miodownik M., Godfray A.W., Holm E.A., Hughes D.A. – Acta Mater, 1999. – V. 47. – № 9.
Hughes D.A., Liu Q., Hhrzan D.S., Hansen N. – Acta Mater, 1997. – V. 45. – № 1.
376
19.
20.
21.
22.
Бронников С.В., Суханова Т.Е., Лайус Л.А. – Высокомол. Соед. (A). – 2002. – V. 44. – № 6.
Bronnikov S.V., Sukhanova T.E. // Image analysis and steriology. – 2001. – V. 20. – № 1.
Веттегрень В.И., Бакулин Е.А., Коваленко Ю.В. // ФТТ. – 2002. – V. 44. – № 4.
Журков С.Н., Куксенко В.С., Петров В.А. // Изв. АН СССР. Физика Земли. – 1977. – № 6.
377