Математика, Лещёв Н. (9 класс)

Министерство образования и науки
Российской Федерации
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 22»
Реферат
по математике
на тему:
«Трисекция угла»
Выполнил:
Учащийся 9 «А» класса
Лещёв Никита Андреевич
Преподаватель:
Охота Наталья Сергеевна
Тверь,
2012
Оглавление
Введение……………………………………………………………………………...3
Глава 1. Трисекция угла………………………………………………………….4-6
Глава 2. Методы решения…………………………………………………………..7
2.1 Метод первый……………………………………………………………………8
2.2 Метод второй……………………………………………………………………9
2.3 Метод третий………………………………………………………………10-11
2.4 Метод четвертый………………………………………………………….12-13
Глава 3. Шарнирные механизмы……………………………………………...14-16
Заключение…………………………………………………………………………17
Литература и интернет источники………………………………………………18
Введение
Владение знаниями по геометрии способствует формированию
всесторонне развитой, социально активной личности, открывает доступ к
культурным и научным ценностям других народов, обеспечивает установление
деловых и культурных связей.
В современном обществе стремительно растет потребность в изучении
геометрии:
увеличивается
количество
сфер
повседневного
и
профессионального общения.
Происходящие сегодня изменения в общественных отношениях,
средствах коммуникации, использование новых информационных технологий,
значительное расширение международных контактов в различных сферах
человеческой деятельности привели к тому, что геометрия стала более
востребованной, распространенной и популярной.
Геометрия - наука международная, знать которую необходимо в наше
время каждому образованному человеку, каждому хорошему специалисту.
Изучая любую математическую науку, очень важно знать особенности и
свойства данной сфере. Между тем школьные учебники, в силу требований
программы, не всегда содержат достаточное количество материала, который
позволял бы целенаправленно и полноценно изучить такой предмет как
геометрия.
Цели и задачи:
 Выяснить, что же такое трисекция угла, трисектриссы угла, причины
возникновения этой задачи.
 Разобрать методы решения этой задачи.
 Изучить разнообразные источники по теме трисекция угла.
Актуальность:
Принимая во внимание открытие Гаусса, можно определённо сказать, что
в 1796 году было установлено: классическая задача о трисекции угла не может
быть решена. Позже в 1797 году Парижская Академия наук приняла решение:
«Отныне и впредь не рассматривать разрешение задач:
- удвоение куба
- трисекции угла
- квадратуры круга.
Глава 1. Трисекция угла
Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные
части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить
трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.
Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из
классических неразрешимых задач на построение, известных со
времён Древней Греции.
П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда
разрешимо в квадратных радикалах уравнение:
Например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое
число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются
(неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой
Общие сведения
Существуют три классические задачи в греческой математике, которые оказали
значительное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга,
удвоении куба и трисекции угла. Хотя все они тесно связаны, я решил
рассказать о каждой из них отдельно. Данная статья посвящена задаче
трисекции произвольного угла. В некотором смысле это наименее известная из
трех задач. Конечно, во времена Древней Греции лучше всего знали задачу об
удвоении куба, а позднее стала более известна, особенно среди математиковлюбителей, задача о квадратуре круга.
Задача о трисекции произвольного угла, которую я рассматриваю здесь – это
задача, у которой колоссальное множество учёных видели за всю свою карьеру
наибольшее количество неверных решений. Легко просто сказать, что
присланное “доказательство’’ возможности трисекции произвольного угла с
помощью циркуля и линейки неверно, поскольку такое построение
невозможно. Разумеется, знание того, что доказательство неверно и
нахождение ошибки в нем – две различные вещи, и часто ошибки тонкие, и их
трудно найти.
Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части
отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не
имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые
начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не
может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может
построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого
данного куба. Тем не менее, некоторые углы можно разделить на три равные
части. Например, есть довольно простой способ, позволяющий разделить на
три равные части прямой угол. Для данного прямого угла
нарисуем
окружность с центром в точке , пересекающую прямую
в точке .
Нарисуем вторую окружность того же радиуса с центром в , и пусть она
пересечет первую в точке . Тогда треугольник
равносторонний,
следовательно, угол
равен
и
–
. Итак, угол
разделен на
три части.
Возможно, еще более удивительно, что такие углы как угол в
, могут быть
разделены на три части, Вы можете сделать это? Следовательно, задача состоит
в том, чтобы разделить на три равные части произвольный угол и цель –
сделать это с помощью циркуля и линейки (что невозможно), но если это
невозможно, разработать какой-то способ, чтобы делить на три равные части
произвольные углы.
Папп в своем “Математическом собрании’’ пишет:
“Когда древние геометры стремились разделить данный угол с
прямолинейными сторонами на три равные части, они не смогли этого сделать
по следующей причине. Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это
так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те, которые
могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются
“плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются,
плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или
нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их
решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть
конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’
задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от
уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое
происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и
сложных движений. Такой вид имеют кривые, обнаруженные в так называемой
“surface loci’’ (геометрическом месте точек поверхности), и многие другие,
даже еще более сложные… Эти кривые имеют много замечательных свойств.
Более поздние авторы рассмотрели некоторые из них, достойные более
глубокого изучения, и одну из таких кривых Менелай назвал
“парадоксальной’’. Другие кривые того же типа – это спирали, квадратрисы,
конхоиды и циссоиды… Поскольку задачи отличаются таким образом, ранние
геометры были не в состоянии решить вышеупомянутую задачу о делении угла,
потому что она по природе своей телесная, ибо они еще не были знакомы с
коническими сечениями, и по этой причине пребывали в растерянности. Позже,
однако, они разделили угол с помощью коник, используя решение, близкое
описанному ниже…”
Глава 2. Методы решения
Я вскорости опишу методы, которые были изобретены для решения этой
задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает
естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно
было бы встретить эту задачу – это изучение того, как с помощью циркуля и
линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла
отметим
равные
отрезки
и
.
Построим
ромб
и
проведем
его
диагональ
, которая, как легко видеть, поделит пополам угол
.
Древние греки, безусловно, хотели делить углы в любом требуемом
соотношении, так чтобы было возможно построение правильного
многоугольника с любым количеством сторон. Построение правильных
многоугольников с помощью циркуля и линейки, разумеется, было одной из
основных целей греческой математики, и до открытий Гаусса те правильные
многоугольники, которые не смогли построить древние греки, так и не были
построены.
2.1. Метод первый
Хотя трудно указать точную дату возникновения задачи трисекции угла, мы
знаем, что Гиппократ, внесший первый крупный вклад в решение задач о
квадратуре круга и удвоении куба, также изучал эту задачу. Существует
довольно простой способ разделить на три равные части любой угол, который
был известен Гиппократу.
Этот способ состоит в следующем. Для данного угла
проведем
прямую
перпендикулярно прямой
, пересекающую ее в точке .
Построим
прямоугольник
.
Продлим
до
точки ,
и
пусть
пересекает
в точке . Если точка выбрана так, что
,
то угол
составляет
угла
.
Чтобы
что
того,
Но
убедиться
в
этом,
обозначим
через середину
,
так
. Так как угол
прямой, то
. Кроме
.
Поскольку
,
.
, что и требовалось.
Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется
менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до
нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что
построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и
циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение
механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину
от
правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на
, а другой
конец линейки – на продолжении
, так чтобы линейка определила прямую,
проходящую через . Трисекция найдена довольно легко с помощью
механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто
математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом
не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как
говорил Платон:
“Действуя [механическим] способом не потерять безвозвратно лучшее в
геометрии… ‘’
2.2. Метод второй
Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы
должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в
арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают
Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы
Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно
невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков
математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно
принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в
духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод
действительно является методом Архимеда. Построение происходит
следующим образом.
Для данного угла
проведем окружность с центром в точке так,
чтобы
и
были
ее
радиусами.
Через проведем
прямую,
пересекающую
в точке . Пусть эта прямая пересечет окружность в
точке и пусть
равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано
механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на
линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на
, а вторая –
на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока
она не пройдет через точку . Тогда будет построена прямая
. Наконец
нужно
провести
из радиус
окружности
так,
чтобы
был
параллелен
. Тогда
отсечет треть угла
.Это довольно легко
показать,
.
2.3. Метод третий
Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей
эры), и он построил свою известную кривую – конхоиду. На самом деле эта
кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса,
который мы описали – вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На
линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на
данной прямой, в то время как другая описывает кривую – конхоиду.
Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь
это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла,
приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой.
Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой
конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод
Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит
(Heath) пишет:
“Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле
изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг
неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной
заданной длине’’.
длине’’длине’’.
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем случае, если не
ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими
инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью
инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например,
Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э.,
пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик
Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой,
названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения
этой кривой.
2.4. Метод четвертый
Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”.
В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена
Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в
обоих случаях включают рисование гиперболы.
Первый показывает, что если прямая
фиксирована, то геометрическое
место точек таких, что
является гиперболой. Гипербола
имеет эксцентриситет 2, фокус и директрису, которая является серединным
перпендикуляром
. Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на
двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для
деления на три равные части угла
. Проведем окружность с центром в
точке через точки и . Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2,
фокусом и директрисой – серединным перпендикуляром к
. Пусть она
пересечет окружность в точке . Тогда
отделяет треть угла
.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных
выше,
.
Но
,
и
(центральный угол в два раза больше вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу). Поэтому
, что и требовалось.
Хит говорит о том, почему этот отрывок из работы Паппа может представлять
интерес в связи с греческими исследованиями коник. Он пишет:
“Отрывок из труда Паппа, из которого взято это решение, замечателен тем, что
это один из трех мест в сохранившихся работах греческих математиков … в
котором говорится о свойствах фокусов и директрис коник.”
Эти построения, описанные Паппом, показывают, как греки “улучшили’’ свое
решение задачи трисекции угла. От механических решений они пришли к
решению с помощью конических сечений. Они никогда не могли прийти к
“плоским решениям’’, поскольку мы знаем, что это невозможно.
Доказательство невозможности ждало математиков XIX века. Полное
доказательство было получено Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель
опубликовал его в журнале Лиувилля:
“…посредством оценки, может ли геометрическая задача быть решена с
помощью циркуля и линейки’’.
Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть
решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств
этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты.
Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.
Глава 3. Шарнирные механизмы
Рассмотрим шарнирный механизм, являющийся параллелограммом с двумя
закреплёнными шарнирами. Так как противоположные углы параллелограмма
равны, то это верно и для изгибания любого этого механизма.
У этой системы есть одна особая точка – когда все звенья ложатся на одну
прямую. Из этой точки бифуркации механизм может выйти, снова став
параллелограммом, а может перйти в фигуру, которая называется
антипараллелограмм.Именно в этой особенности рассматриваемого шарнирного механизма и
заключалась ошибка в рассуждениях Альфреда Кемпе, «доказавшего» в 1876
году теорему о том, что существует шарнирный механизм, который умеет
подделывать вашу подпись и ничего кроме неё рисовать не умеет. Более точно
– что любая ограниченная часть плоской алгебраической кривой является
траекторией шарнира некоторого плоского шарнирного механизма. Сама
теорема верна, однако ошибку в доказательстве Кемпе нашли лишь в 1984 году
и исправили только к концу двадцатого века.
От параллелограмма антипараллелограмм унаследовал то, что две
противоположные стороны равны между собой, и две накрест лежащие
стороны также равны между собой. Оказывается у этой фигуры есть и
соотношение на углы – у антипараллелограмма они попарно
равны(рис.1).
(рис.1)
Если прибавить к этому антипараллелограмму более маленький, но подобный
первому(рис.2), то у них будет общий угол(рис.3), а значит, углы при красном
шарнире равны(рис.4).
рис.2
рис.3
рис.4
Вытягивая направляющие прямые, получаем плоский шарнирный механизм,
который можно применять для построения биссектрисы любого
угла(рис.5).
рис.5
Можно прибавить ещё один(рис.6) подобный антипараллелограмм. По тем же
соображениям его угол при красном шарнире будет равен(рис. 7) уже двум
имеющимся.
рис.6
рис.7
Получившийся плоский шарнирный механизм является трисектором
углов(рис.8) – решает задачу о делении произвольного угла на три равные
части(рис.9).
рис.8
рис.9
Заключение
Итак, выполнив эту работу, я узнал много нового и интересного о знаменитых
классических задачах древности, о людях, посвятивших себя решению данных
задач, познакомился с историей возникновения данных задач, методами их
решения.
Изучив весь этот материал, я понял, что все старания решить три знаменитые
задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели
только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на
это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие
современные математики пытаются решить эти знаменитые задачи.
Мне было интересно узнать, что при попытках решить эти задачи было сделано
огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем
сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию,
плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. Но гениальная попытка
великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света,
перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все
сокровища Индии. И теперь я знаю, что так необходимо и так должно было
случиться.
Литература и интернет источники
Статья J.J. O’Connor and E.F.Robertson, Trisecting an angle
Белозёров С.Е. Пять знаменитых задач древности.История и современная
теория – Ростов н/Д., 1975
История математики /Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970
В.В. Прасолов Три классические задачи на построение – М.: Наука, 1992