Северина Елена Владимировна

На правах рукописи
СЕВЕРИНА Елена Владимировна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ С
УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ПОТОКА ТЕПЛА И
ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ
Специальность 05.13.18. — "Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ"
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Москва — 2009
Работа выполнена на кафедре математического моделирования
Московского физико-технического института
(государственного университета).
Научный руководитель: доктор физико-математических наук
профессор
Леванов Евгений Иванович
Официальные
доктор физико-математических наук
оппоненты:
профессор
Шифрин Эрнест Григорьевич
доктор физико-математических наук
старший научный сотрудник
Лебо Иван Германович
Ведущая организация: Институт автоматизации проектирования
РАН
Защита состоится «_23_» апреля 2009 года в 9.00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.156.05 в Московском физикотехническом институте (государственном университете) по адресу:
141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д.
9, ауд. 903 кпм.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).
Автореферат разослан « 20 » марта 2009 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д 212.156.05
Федько О.С.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы
В диссертационной работе создается и исследуется математическая модель переноса тепла, которая позволяет учесть движение
среды и наличие в ней источников (стоков) энергии.
Обычно для математического описания теплопереноса используется закон Фурье ( WF  K gradT ), в соответствии с которым
поток тепла, обусловленный теплопроводностью, пропорционален
градиенту температуры, при этом коэффициент K – коэффициент
теплопереноса – в общем случае является функцией термодинамических величин. Для широкого круга задач закон Фурье описывает
процессы теплопереноса с достаточной точностью. Однако рамки
применения закона ограничены требованием малости градиента температуры по сравнению с отношением температуры к длине свободного пробега частиц.
Так же стоит отметить, что вычисленный по закону Фурье поток может при больших градиентах температуры превысить поток
энергии, переносимой электронами в условной предельной ситуации,
когда все они изменили направление своего движения и полетели в
одну сторону – «вакуумный» поток. Физические процессы, сопутствующие движению электронов, значительно уменьшают величину
такого ограничивающего потока, поэтому принято вводить некий
3
поправочный коэффициент f, после чего выражение «вакуумного»
потока принимает вид Wmax  fne kTe
kTe
me
.
При решении задач физики высокотемпературной плазмы часто бывает, что масштабы пространственно-временных неоднородностей
сравнимы
с
длиной
свободного
пробега
электрона
и
характерным временем между столкновениями электронов. Кроме
того, для многих задач высокотемпературной плазмы, в том числе
задач лазерного термоядерного синтеза, учет ограничения потока
становится чрезвычайно важным, особенно, при больших плотностях
потока излучения. Введение ограничения теплового потока, опирающегося на тот или иной способ описания процесса теплопереноса, в
значительной степени может повлиять на получаемые в расчетах
характеристики плазмы.
Существует несколько интерполяционных формул, позволяющих учесть ограничение теплового потока сверху выражением «вакуумного»
потока,
например
W  min (WF ,Wmax ) ,
W 1  WF 1  Wmax 1 . Основной недостаток модели, базирующейся на
первой интерполяционной формуле, заключается в смене типа уравнения, которым описывается теплоперенос, с параболического (при
WF  Wmax ) на гиперболический (при WF  Wmax ). Это приводит после
достижения электронным потоком предельного значения к количественному и качественному изменению процесса теплопередачи, что
может привести к побочным «паразитическим» эффектам. Учитывая,
что предельный поток всегда одного знака, то нужно также вводить
поправку, зависящую от направления потока. Вторая интерполяцион4
ная формула, условно называемая моделью «обратных потоков»,
применяется в подавляющем большинстве программ для численного
решения задач лазерного термоядерного синтеза (далее – ЛТС). Ее
основной недостаток состоит в том, что искусственное введение
ограничения потока с помощью модели «обратных потоков» может с
самого начала привести к искажению описания процесса и создать
условия для неестественного самоподдерживающегося роста градиента температуры, влекущего за собой необходимость учитывать
предельный поток.
Обе модели, построенные на интерполяционных формулах,
являются сугубо математическими моделями без должного физического обоснования, и нельзя гарантировать истинность результатов
расчетов, проведенных с их использованием. Строго говоря, следовало бы обратиться к кинетическим уравнениям, однако в силу значительных затрат машинного времени использование кинетических
уравнений не всегда приемлемо для задач, «отягощенных» учетом
многих нелинейных факторов, тем более для серийных расчетов.
Для описания потока тепла применяется также уравнение
W   KgradT  
W
, которое может быть выведено из уравнения
t
Больцмана при помощи 13 моментов Греда. Модели, основанные на
этом уравнении, исследованы для случая постоянных коэффициентов
теплопереноса и релаксации потока тепла. В работах, связанных с
таким способом моделирования теплопереноса, также не учитывались
одновременно и движение среды, и источники (стоки) энергии, и
нелинейность зависимости коэффициентов K и  от параметров сре5
ды, что важно для решения задач высокотемпературной плазмы, в том
числе задач ЛТС.
Цели и задачи диссертационной работы
Целями диссертационной работы являются:

Разработка и последующее изучение свойств матема-
тической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии.

Создание программного комплекса для расчета урав-
нений газовой динамики с теплопроводностью и с учетом различных
физических эффектов для случаев плоской, цилиндрической и сферической геометрий с помощью построенной модели. Комплекс должен
быть ориентирован на решение задач высокотемпературной плазмы.

Сравнение результатов численного моделирования
задач ЛТС в случае использования разработанной модели и в случае
использования модели Фурье.
Научная новизна работы:
В первую очередь, новизна работы, выполненной автором,
состоит в том, что была построена и исследована модель переноса
тепла для движущихся сред с источниками (стоками) энергии. Вместо
классического закона Фурье для расчета потока тепла используется
уравнение W   KgradT  
W
, которое учитывает релаксацию
t
6
потока тепла. Коэффициент теплопроводности K и время релаксации
 в данной модели считаются зависящими нелинейно от параметров
среды (температура и плотность). Модель учитывает влияние источников энергии.
Для системы уравнений, описывающей построенную модель,
впервые была показана возможность существования двух сильных
разрывов и их устойчивость, получены соотношения на фронтах разрывов, получены и исследованы инвариантные решения (автомодельные решения и решения типа бегущих волн) при различных
значениях безразмерных параметров для ряда задач, в том числе для
задачи о поршне. Были рассмотрены случаи как подвижной, так и
неподвижной сред.
Созданы новые комплексы программ DIANA-S и FLORA-S
для получения численных решений задач с использованием построенной релаксационной модели с учетом источников энергии. Данные
комплексы позволяют так же выполнять расчеты с использованием
модели Фурье, как частного случая модели релаксационного теплопереноса.
Выполнена полная оптимизация (масса газа и оболочки, аспектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника
излучения лазера) газонаполненной мишени DHe3 для случая облучения ее Nd-лазером мощности 5 МДж. Вычисления проводились с
помощью программного комплекса DIANA-S для случая модели
Фурье (коэффициент релаксации потока тепла равен 2.0 10-20 ). Проведено сравнение лучших результатов со случаем расчета с использованием модели релаксационного переноса.
7
На защиту выносятся:
1. Математическая модель нелинейного теплопереноса с учетом релаксации потока тепла и источников (стоков) энергии. Исследование модели: показано существование двух сильных разрывов, их
устойчивость, получены соотношения на фронтах разрывов.
2. Инвариантные решения системы, описывающей построенную модель: автомодельные решения, решения типа бегущих волн.
Результаты исследования полученных автором классов автомодельных решений соответствующей системы уравнений при различных
значениях безразмерных параметров.
3. Комплексы программ FLORA-S и DIANA-S, предназначенные для расчета уравнений одномерной газовой динамики с теплопроводностью в Лагранжевых координатах с помощью разработанной
модели.
4. Решения прикладных задач с помощью программных комплексов FLORA-S и DIANA-S.
Апробация работы
Результаты работы докладывались, обсуждались и получили
одобрение специалистов на следующих научных конференциях и
семинарах:

IV International congress of mathematical modeling
(Нижний Новгород, 2004);
8

Всероссийский семинар «Сеточные методы для крае-
вых задач и приложения» (Казань, 2004, 2005 и 2007);

Международная конференция по избранным вопро-
сам современной математики (Калининград, 2005);

XXXIII и XXXIV Международная (Звенигородская)
конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2006, 2007);

XII школа-семинар «Современные проблемы матема-
тического моделирования» (Ростов-на-Дону, 2007);

блемы
научные конференции МФТИ «Современные про-
фундаментальных
и
прикладных
наук»
(Москва-
Долгопрудный, 2004 – 2008);

научный семинар Института математического моде-
лирования РАН и кафедры математического моделирования МФТИ
под руководством Е.И. Леванова (Москва, 2006-2009).
Публикации
По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 4 –
в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [4, 6, 17, 18].
В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1 – 7, 9, 10, 16, 18 – 21] – модель, получение соотношений на
разрыве; [1 – 3, 10, 18 – 20] – получение автомодельных решений; [7,
9, 16, 18 –21] – получение решений типа бегущих волн; [3, 6, 11, 18] –
разработка численной схемы для комплекса программ, модификация
9
программ, выполнение расчетов; [8, 12 – 15, 17] – разработка методики и проведение оптимизации.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и
библиографии. Объем диссертации – 130 страниц. Список использованных источников содержит 80 наименований.
Содержание работы
Во введении к диссертации содержится обоснование актуальности избранной темы, формулируются особенности существующих моделей теплопереноса, дается описание основных целей и
конкретных задач исследования, приводится описание структуры
диссертации.
В первом и втором параграфах первой главы описываются
предпосылки к созданию новой модели теплопереноса – релаксационной модели с учетом источников энергии, указываются результаты
предшествовавших исследований, строится модель, приводится ее
физическое и математическое обоснование.
Модель релаксационного теплопереноса с учетом источников
(стоков) энергии может быть записана с помощью системы уравнений
в массовых переменных Лагранжа m и t следующим образом:
10
1  
(r  ),
 
t    m
r
 ,
t
r  r ( m, t ),

 
p

(r p)  
,
t
m
r

1 2
 
Q
r ( p  W )  ,
     
t 
2 
m


T

W
W   Kr

,
m
t


где  — плотность среды, T — температура, p — давление,
удельная внутренняя энергия,
(1)
 —
 — скорость газа, W — плотность
потока тепла, обусловленный теплопроводностью, Q — мощность
нелинейных источников ( Q  0 ) или стоков ( Q  0 ) энергии, r —
переменная Эйлера, K  K (  , T ) — массовый коэффициент теплопроводности (т.е. коэффициент теплопроводности, умноженный на
плотность),    (  , T ) — время релаксации теплового потока, значение параметра
 определяет симметрию: плоская (   0 ), осевая
(   1 ), сферическая (   2 ).
Система (1) является системой гиперболического типа, что
приводит к качественному изменению поведения ее решений по сравнению с моделью параболического типа в случае использования закона Фурье для описания явления теплопереноса. Для возможности
проведения дальнейших исследований система приводится к дивергентному виду. Для этого автором вводится вспомогательная функция
V  V (m, t ) , удовлетворяющая условию
11
V K (  , T ) T

, что позвоm  (  , T ) m
ляет преобразовать уравнение переноса тепла к виду
W
V W

 ,
t
m 
и переписать систему (1) для случая   0 в следующем виде:
  1  
,
 
t    m

p

,
t
m

1 2

Q
 p  W   ,
     
t 
2 
m

W
V W
V K (  , T ) T

 ,

,
t
m 
m  (  , T ) m
K  K (T ,  ),
   (T ,  ),
Q  Q (T ,  ),
p  p(T ,  ),
   (T ,  ).
(2)
Ввиду того, что система, описывающая рассматриваемую автором модель релаксационного теплопереноса, является гиперболической, она допускает существование двух сильных разрывов: один за
счет газовой динамики, а второй за счет гиперболического типа уравнения, описывающего явление теплопереноса. Поэтому, для дальнейшего исследования свойств модели автор приведен в третьем
параграфе вывод соотношений на фронте сильного разрыва (т.е. соотношения выражающие законы сохранения при переходе искомых
величин через фронт тепловой ударной волны), которые в общем
случае могут быть записаны следующим образом:
12
2 
1
,
2
2  1  1   2 
D
1
,
p2  p1  1   2 
D2
1
,


p
1
D3
W2  W1   2  1  1 (1   2 )  D  (1   2 )2 2 ,
1
2
1


V2  V1  (W2  W1 ) D,
где  
1
, D – скорость распространения фронта разрыва, индексу 1

соответствуют величины до фронта разрыва, а индексу 2 – после. В
дальнейшей работе автор использует частные случаи полученных
соотношений, когда функция V  V (m, t ) и уравнения состояния
среды p  p(  , T ) ,    (  , T ) определены.
Также в первой главе для изучаемой модели релаксационного
теплопереноса находятся условия автомодельности решения задачи о
поршне при различных допущениях о параметрах и функциях модели,
и проводится анализ поведения найденных решений. Приведем одну
из рассмотренных в работе постановок задачи.
Дополним систему (2) начальными и граничными условиями
T (0, t )  T0t n0 ,
T0  0,
 (0, t )  0t n1 ,
0  0,
(3)
T (m,0)   (m,0)  W (m,0)  Q(m,0)  0,
 ( m,0)  0  const.
Будем считать справедливыми уравнения состояния идеального газа,
а функции Q, K,  определим следующим образом:
K  K 0T a0 ,
a0  0,
   0T a1 ,
a1  0,
Q  Q0T a2 ,
a2  0.
(4)
Тогда условия автомодельности решения задачи (2), (3), (4) запишутся в виде
13
n0 
1
,
a1
n1 
1
,
2a1
a2  1  a1 ,
a0  1  a1 ,
(5)
где параметр n0 является «показателем» автомодельности. Далее
задача записывается в безразмерном виде и решается.
Результаты, полученные в данной главе, крайне важны, поскольку автомодельные решения не только позволяют получить качественную картину процесса теплопереноса при использовании
релаксационной модели теплопереноса, но и представляют собой
хорошие тесты для отработки численной методики, т.к. по существу
они являются «точными» решениями, учитывающими особенности
нелинейных явлений. Подобные инвариантные решения позволяют
установить зависимости характерных величин от многих параметров
задачи. Существование автомодельных решений позволяет свести
исходную систему одномерных уравнений в частных производных к
системе обыкновенных уравнений. В результате проведенного анализа автомодельных решений в данной главе показывается, что в случае
решения задачи о поршне с использованием модели релаксационного
теплопереноса всегда существует два сильных разрыва, распространяющихся перед поршнем.
Все полученные в этой главе результаты отражены в публикациях [1 – 7, 9, 10, 16, 18 – 21].
В первом параграфе второй главы получены и исследованы
решения типа бегущих волн без учета газовой динамики и источников
энергии, то есть рассматривается следующая постановка задачи:
14
R T
W
,
m
T
W
W  K

,
m
t
K  K 0T a0 ,
   0T a1 ,
  1 t

a0  0,
a1  0.
В плоскости m  0 выполняется условие W (0, t )  W0t g , а при t  0
условия T (m,0)  0 , W (m, 0)  0 . Решение такой задачи является
автомодельным при a1 
a0  2
.
2g  1
Найдено решение типа бегущих волн (т.е. искомые функции
F
зависят от
m
и t
в комбинации
F  F (m, t )  F ( x) , где
x  Dt  m , D  const – скорость фронта волны), выполнив переход к
соответствующей безразмерной задаче, и рассматривает свойства
полученных решений для ряда частных случаев. Основной результат
работы, изложенной в первом параграфе второй главы, состоит в том,
что гиперболический теплоперенос существенно зависит от изменения времени релаксации: его увеличение приводит к росту абсолютного значения температуры и к уменьшению глубины прогрева.
Во втором параграфе второй главы получены и исследованы
решения вида бегущих волн с учетом газовой динамики для двух
случаев: когда коэффициенты теплопроводности и релаксации потока
тепла зависят только от температуры и когда – от температуры и
плотности. Автор приводит детальный анализ поведения решений
при различных значениях параметров задачи, приводит анализ нескольких частных случаев решений.
15
На основании проведенного во втором параграфе исследования можно сделать следующие выводы:

Так же как и в случаях, рассмотренных в первом па-
раграфе, гиперболический теплоперенос существенно зависит от
изменения времени релаксации: его увеличение приводит к росту
абсолютного значения температуры и к уменьшению глубины прогрева.

Бегущие волны, описывающие перенос тепла по за-
кону Фурье (   0 ), существуют лишь в конечных промежутках изменения независимых переменных m и t, для которых скорость волны
больше скорости звука. В случае   0 решение может существовать
во всей области изменения m  0 , t  0 , причем «сверхзвуковое»
течение меняется на «дозвуковое».

Для релаксационного переноса тепла характерным
является переход от «начального фона» в виде сильного разрыва
искомых функций, в том числе температуры и потока тепла. При этом
существуют также бегущие волны со вторым («внутренним») разрывом величин.

Исследуемые решения могут существенно отличать-
ся от классических, рассматриваемых в предположении, что поток
тепла пропорционален градиенту температуры (закон Фурье).
В третьем параграфе рассмотрен вопрос влияния источников
(стоков) энергии на процесс теплопереноса на примере различных
задач, в том числе в одной из них изучается качественное влияние
1
источника степенного вида Q  Q0T 2  1 на получаемое решение в
16
задаче о поршне. Анализ и вычислительные эксперименты для этого
случая показали, что с изменением влияния Q, расстояние между
поршнем и тепловыми ударными волнами увеличивается. Кроме того,
возможен переход от монотонного распределения температуры по
пространственной координате m к немонотонному.
В четвертом параграфе аналитически доказывается устойчивость полученных ранее в этой главе разрывных решений. Для доказательства используется условие устойчивости разрыва в теории
решения систем n квазилинейных уравнений.
Результаты этой главы были опубликованы в [7, 9, 16, 18 –21].
В третьей главе приведено сравнение разностных схем программного комплекса DIANA-S и FLORA-S, разработанных автором
для численного решения задач с использованием модели релаксационного переноса, с комплексами DIANA и FLORA, использующих
для расчета теплопереноса модель Фурье или модель обратных потоков.
Во втором параграфе описаны некоторые из численных экспериментов, проведенных на базе комплексов программ DIANA—S и
FLORA—S, с целью функционального тестирования программы.
Такое тестирование выполняется на базе хорошо изученных задач,
имеющих исследованные автомодельные решения, путем сопоставления их аналитических решений с результатами численного эксперимента. Одной из задач, рассматриваемых автором в рамках
функционального тестирования, является задача на воспроизведение
аналитического решения с линейным профилем температуры для
случая закона Фурье и для случая гиперболического теплопереноса.
17
При постановке расчетной задачи для программного комплекса FLORA—S использовались следующие начальные и граничные условия:
T (0, t )  1  t , T ( x,0)  1  x , W ( x,0)  0 .
Коэффициенты релаксации  и теплопроводности K подбираются
таким образом, чтобы решения для обоих способов расчета потока
тепла (релаксационная модель и модель Фурье) имели одинаковый
профиль.
Результаты все приведенных в диссертации численных экспериментов свидетельствуют о корректной работе программы и возможности ее дальнейшего использования для расчета прикладных,
неизученных задач.
В третьем параграфе приведен результат решения прикладной
задачи ЛТС. Автором выполнена оптимизация энергетического выхода при облучении Nd-лазером газонаполненных мишеней в рамках
следующих ограничений. Рассматривается шарообразная мишень, у
которой центральная полость наполнена газом DHe3 и окружена CHоболочкой. Облучение мишени считается равномерным, используется
импульс "треугольной" формы, вкладываемая энергия равна 5 МДж .
Оптимизация выполняется по следующим параметрам: длительность
и гармоника ( 1  1 мкм , 3  0.35 мкм , 4  0.265 мкм ) лазерного
импульса, аспектное отношение (отношение радиуса мишени к толщине стенки оболочки), масса газа и масса оболочки. Задача решается
в одномерном приближении. Энергетический выход задачи оценивается по количеству реакций D 3 He 4 He(3.65МэВ)  H (14.7МэВ) .
Для вычислений используется программный комплекс DIANA-S,
предельный случай релаксационной модели теплопереноса (модели
18
Фурье) – для этого коэффициент релаксации теплового потока полагается равным 2.0  10-20.
В результате оптимизации получены следующие параметры
мишеней, лучших для каждой из рассматриваемых гармоник:

Мишень с
M газ  10 мкг ,
M обол  4000 мкг
при
A  50 ,   4 нс при облучении на первой гармонике дает максимум
1.22 1016 реакций;

Мишень с M газ  15 мкг , M обол  4700 мкг , A  50
при   4 нс при облучении на третьей гармонике дает максимум
1.588 1016 реакций;

Мишень с M газ  15 мкг , M обол  4000 мкг , A  30
при   3 нс при облучении на четвертой гармонике дает максимум
1.898 1016 реакций.
Для этих и ряда других мишеней, в работе выполнено сравнение результатов со счетами, в которых значения коэффициента релаксации потока тепла равны 2.0  10-6, 2.0  10-7, 2.0  10-8, 2.0  10-9.
Результаты этой главы были использованы в публикациях [3,
6, 11, 18] – разностная схема и результаты вычислительных экспериментов по решению тестовых задач, и в [8, 12 – 15, 17] – решение
прикладной задачи оптимизации газонаполненной мишени DHe3.
В заключении приводятся основные результаты и выводы
работы.
19
Основные результаты работы
1. Построена математическая модель теплопереноса – модель
релаксационного переноса тепла с учетом газовой динамики и источников энергии для случаев как неподвижной, так и движущейся среды. Изучены свойства системы, описывающей модель: показано
существование двух сильных разрывов, их устойчивость, получены
соотношение на фронтах разрывов.
2. Получены и исследованы классы автомодельных решений
системы уравнений, описывающей модель, при различных значениях
безразмерных параметров. Получены и исследованы инвариантные
решения типа бегущих волн.
3. На базе программ DIANA и FLORA, использующих для
расчета теплопереноса модель Фурье, созданы программные комплексы DIANA-S и FLORA-S для численного решения задач высокотемпературной
плазмы,
использующих
для
расчетов
модель
релаксационного теплопереноса и учитывающих влияние источников
энергии.
4. Выполнена серия численных экспериментов на программных комплексах DIANA-S и FLORA-S с использованием модели
релаксационного теплопереноса и ее частного случая – модели Фурье.
Проведена численная оптимизация газонаполненной мишени DHe3
для случая облучения ее Nd-лазером мощности 5 МДж по следующим параметрам: масса газа и оболочки, аспектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника излечения лазера. Для ряда
мишеней, в том числе оптимальной, выполнено сравнение результа20
тов вычислительных экспериментов при использовании модели
Фурье и при использовании модели релаксационного теплопереноса с
различными значениями коэффициента релаксации потока тепла.
Список публикаций по теме диссертации
1. P.P. Volosevich, E.I. Levanov, and E.V. Severina. Mathematical
modeling of relaxational heat transfer with consideration of volumetric
sources (sinks) in nonlinear mediums // IV International congress of mathematical modeling: Book of abstracts. /University of Nizhny Novgorod. —
Nizhny Novgorod, 2004. — P. 204.
2. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Исследование
газодинамических и тепловых процессов с учетом объемных источников энергии и релаксации потока тепла // Сеточные методы для
краевых задач и приложения. Материалы Пятого Всероссийского
семинара, посвященного 200-летию Казанского государственного
университета. /Казанский Государственный Университет. — Казань,
2004. — С. 35–39.
3. Северина Е.В. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Современные проблемы фундаментальных
и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика:
Труды XLVII научной конференции. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. –
Долгопрудный, 2004. — С. 121–123.
4. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом
21
релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Известия
ВУЗов. Математика. — 2005. — № 1(512). С. 31–39.
5. P.P. Volosevich, E.I. Levanov, and E.V. Severina. The analysis
of hyperbolic equations describing moving and heat transfer // Тезисы
Международный научной конференции «Избранные вопросы современной математики». /Калининградский государственный университет имени И. Канта. —Калининград, 2005. — С. 167–168.
6. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Математическое моделирование релаксации теплопереноса с учетом объемных
источников (стоков) энергии в нелинейных средах // Вестник Нижегородского университета имени Н. И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. — Н.Новгород,
2005. — Вып. 1(28). — С. 157–162.
7. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решения типа
бегущих волн с учетом релаксации потока тепла // Сеточные методы
для краевых задач и приложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара. /Казанский Государственный Университет. — Казань,
2005. — С. 57–61.
8. Волосевич П.П., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Анализ моделей электронной
теплопроводности при сжатии лазерных мишеней // Тезисы докладов
XXXIII Международной (Звенигородской) конференции по физике
плазмы и управляемому термоядерному синтезу. — М.: ЗАО НТЦ
"ПЛАЗМАИОФАН", 2005. — С. 131.
9. Северина Е.В. Решение типа бегущих волн для случая релаксационного теплопереноса // Современные проблемы фундамен22
тальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и
экономика: Труды XLVIII научной конференции. /Моск. физ.-техн.
ин-т. — М. – Долгопрудный, 2005. — С. 171–173.
10. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Температурные ударные волны в движущейся среде с учетом релаксации потока
тепла // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т.79, № 4. —
С. 57–68.
11. Северина Е.В. Вычислительный эксперимент в задачах релаксационного теплопереноса // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и
экономика: Труды 49-ой научной конференции. /Моск. физ.-техн. инт. — М. – Долгопрудный, 2006. — С. 175–177.
12. Северина Е.В., Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов
Е.И., Розанов В.Б. Численная оптимизация газонаполненных мишеней
лазерного термоядерного синтеза // Сеточные методы для краевых
задач и приложения. Материалы Седьмого Всероссийского семинара.
/Казанский Государственный Университет. — Казань, 2007. — С.
240–244.
13. Северина Е.В., Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов
Е.И., Розанов В.Б. Математическое моделирование безнейтронных
мишеней лазерного термоядерного синтеза // Труды XII школысеменара «Современные проблемы математического моделирования».
— Ростов-на-Дону: ЮГИНФО ЮФУ, 2007. — С. 257–262.
14. Северина
Е.В.
Математическое
моделирование
без-
нейтронной мишени DHe // Современные проблемы фундаменталь3
ных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и
23
экономика: Труды 50-ой научной конференции. /Моск. физ.-техн. инт. — М. – Долгопрудный, 2007. — С. 13–15.
15. Волосевич П.П., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Эффективность реакций D+3He
в газонаполненных мишенях для лазерных установок мегаджоульного
диапазона // XXXV Международная (Звенигородская) конференция
по физике плазмы и плазмы и управляемому термоядерному синтезу.
— М.: ЗАО НТЦ "ПЛАЗМАИОФАН", 2007. — С. 140.
16. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решение типа
бегущих волн с учетом гиперболического теплопереноса // Инженерно-физический журнал. — 2008. — Т.81, № 2. — С. 290–302.
17. Волосевич П.П., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов
Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Оптимизация безнейтронных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Математическое моделирование. — 2009. Т. 21, №4. — С. 35–43.
18. Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Северина Е.В. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового
потока // Математическое моделирование. — 2008. — Т.20, № 4. —
С. 57–68.
19. Северина Е.В., Леванов Е. И. Условия автомодельности
уравнений газовой динамики с учетом релаксации потока тепла и
наличия объемных источников (стоков) энергии // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная
математика и экономика: Труды 51-ой научной конференции. /Моск.
физ.-техн. ин-т. — М. – Долгопрудный, 2008. Т.2. — С. 92–94.
24
20. P.P. Volosevich, N.V. Zmitrenko, E.I. Levanov, and E.V. Severina. The influence of heat flow relaxation on the dynamics and heating
of plasma // Mathematical models and computer simulations. — 2009. —
V.1, N 2. — P. 189–199.
21. Волосевич П.П., Галигузова И.И., Леванов Е.И., Северина Е.В. Разрывные решения уравнений газовой динамики с учетом
теплопереноса при наличии релаксации потока тепла // Инженернофизический журнал. — 2009. — Т.82, № 2. — С. 350–357.
25
Северина Елена Владимировна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ С
УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ПОТОКА ТЕПЛА И
ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ.
АВТОРЕФЕРАТ
Подписано в печать 13.03.2009. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № ф-031
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт
(государственный университет)»
Отдел автоматизированных издательских систем
«ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9