treugolnikx
реклама
Треугольники. – 17 часов Ты на меня, ты на него, на всех нас посмотри: У нас всего, у нас всего, у нас всего по три. Три стороны и три угла, и столько же вершин, И трижды трудные дела мы трижды совершим. Все в нашем городе друзья, дружнее не сыскать. Мы треугольников семья, нас каждый должен знать. Во второй главе изучаются признаки равенства треугольников. Они являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. Доказательства большей части теорем курса строятся по схеме: поиск равных треугольников - доказательство их равенства-следствия, вытекающие из равенства треугольников. Признаки равенства треугольников открывают широкие возможности для решения задачи, таким образом, позволяют накапливать опыт доказательных рассуждений. Доказательства первого и второго признаков состоят в том, что один треугольник совмещается с другим путем наложения (способ наложения рассмотрен в курсе математики 5 класса), а это означает , что треугольники равны по определению равенства фигур. Этот прием нагляден, понятен обучающимся, вполне соответствует их представлениям о равенстве фигур. На начальном этапе изучения признаков треугольников полезно больше внимания уделять решению задач по готовым чертежам. В дальнейшем при решении задач данной темы надо нацеливать обучающихся на выполнение рисунка по условию задачи. Второй важный момент данной главы – решение задач на построение с помощью циркуля и линейки. Образовательные цели/задачи обучающегося на уроке : Повторить понятия: треугольник и его элементы ( стороны, углы, вершины), периметр треугольника, равнобедренный и равносторонний треугольники; окружность, радиус и диаметр окружности; наложение как способ сравнения; Познакомиться: с новыми понятиями – перпендикуляр к прямой; медиана, высота и биссектриса треугольника, со свойствами равнобедренного треугольника, с понятиями « теорема и доказательство теоремы» , с приемами решения задач на построение и алгоритмом решения задач на доказательство равенства треугольников ; Овладеть умениями: -обобщать и систематизировать знания по основным темам курса «Треугольники»; - выполнять задания по выбранному способу; - выбирать наиболее рациональный способ решения; - применять новые знания в новой ситуации. Образовательные цели/задачи педагога на уроке : :Обеспечить усвоение обучающимися определений ( перпендикуляр к прямой, медиана, высота, биссектриса треугольника), теорем о признаках треугольников, о свойствах равнобедренного треугольника; Создать условия для развития мышления (учить анализировать условие задачи, , выделять главное, сравнивать треугольники, определять признак равенства, ставить и решать проблемы); развития навыков устной и письменной речи; развития критического мышления, групповой самоорганизации, умения вести диалог; развития логического мышления (на основе усвоения учащимися причинно - следственных связей, сравнительного анализа); способности четко формулировать свои мысли; развития у школьников коммуникативной культуры (умения общаться, монологической и диалогической речи). 1 1 2 Треугольники 3 первый признак равенства треугольников 1 час беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум комбинированный урок беседа, проблемные задачи 5 6 7 8 9 знать: понятие треугольника и его элементов, периметр треугольника, определение равных треугольников; уметь :объяснять какая фигура называется треугольником, называть его элементы; решать простейшие задачи на использование понятия «периметр треугольника»; определять равенство треугольников путем наложения. знать : понятия «теорема» и «доказательство теоремы»; понятия о том какие стороны треугольника каким вершинам противолежат, какие углы к каким сторонам прилежат, какие углы между какими сторонами заключены, формулировку и доказательство первого признака равенства треугольников. Уметь: решать простейшие задачи по Умение участвовать в диалоге, умение сравнивать предметы, находить общее и различие, формулировать и удерживать учебную задачу. развитие ответственного отношения к учебе, к результатам своей деятельности; умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в письменной и устной речи, понимать смысл поставленной задачи, анализировать полученный результат. поиск информации из справочной литературы групповая работа, индивидуальная групповой контроль и взаимоконтроль предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик проявлять активность во взаимодействии для решения коммуникативных и познавательных задач Составление опорных карточек теоремы и алгоритма решения задачи на доказательство индивидуальные творческие карточки, работа с конспектом и наглядными пособиями самоконтроль, взаимоконтроль 10 Литература Форма контроля Личностные Урочная деятельность Метапредметные Педагогическая система урочной и внеурочной занятости учащихся Внеурочная деятельность 4 Урок изучения нового материала 1 час 2 Предметные Педагогические средства Тип урока. Форма проведения учебного занятия № п/п., дата Тема урока. Количество часов Планируемые результаты. 11 3 Решение задач на применение первого признака равенства треугольников теме. знать теоретический материал ; уметь : решать простейшие задачи по теме. Применение и совершенствовани е знаний. Практикум. беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум уметь реализовывать полученные знания в процессе решения задач комбинированный урок беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум знать : понятие перпендикуляра к прямой; медианы, биссектрисы высоты треугольника; доказательство теоремы о перпендикуляре; уметь : строить перпендикуляр к прямо; строить медиану, биссектрису и высоту из вершины в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. осуществление поиска необходимой информации для решения проблемных ситуаций с использованием учебной литературы. комбинированный урок беседа, практикум знать : понятия равнобедренного и равностороннего треугольников, свойства равнобедренного треугольника с доказательствами уметь : решать простейшие задачи на свойства равнобедренного треугольника. осуществление поиска необходимой информации для решения проблемных ситуаций с использованием учебной литературы. 1 час 4 медианы, биссектрисы, высоты треугольника 1 час 5 свойства равнобедренного треугольника 1 час умение четко и ясно формулировать и излагать свою мысль, грамотно проводить логическую цепочку рассуждений при решении задач; развивать навыки сотрудничества в разных ситуациях; уважать иное мнение при решении задач развивать познавательную активность в процессе учебы; коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной, учебноисследовательской, творческой и других видах деятельности. составление задач по теме для самопроверки Групповая , индивидуальная Внешний контроль. Проверочная самостоятельная работа на тему «Первый признак треугольников», индивидуальный контроль поиск информации в справочной литературе, составление опорных карточек, презентации по теме работа в парах Самоконтроль. Практическая работа на отработку введенных понятий: перпендикуляр к прямой, медианы, высоты и биссектрисы треугольника. развивать познавательную активность в исследовательской работе; коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной, учебноисследовательской, творческой и других видах деятельности составление опорных карточек Работа в парах. Исследовательская работа по изучению свойств равнобедренного треугольника взаимоконтроль, самоконтроль внешний контроль, тест проверка степени усвоения теорем о медиане, биссектрисе, высоте треугольника (приложение 2) 1 6 2 решение задач по теме « Равнобедренный треугольник» 3 Применение и совершенствовани е знаний. Практикум. 4 беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум 5 знать : теоретический материал; уметь : решать простейшие задачи. 6 уметь реализовывать полученные знания в процессе решения задач 7 Уметь работать в коллективе в атмосфере сотрудничества, Рассуждать и обобщать 8 Составление задач для самопроверки 9 Групповая,, индивидуальная комбинированный урок беседа с элементами лекции , практикум знать : второй признак равенства треугольников с доказательством. предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик Формирование практических навыков при решении задач; умение составлять логическую цепочку рассуждений ; проявление познавательной активности и коммуникативности в общении Составление опорных карточек , задач по теме для самопроверки, презентацию Групповая,, индивидуальная Умение выполнять проявлять активность во взаимодействии для решения коммуникативных и познавательных задач Составление Групповая, Решение задач на графичнских индивидуальная, применение задач для парная второго признака 1 час 7 Второй признак равенства треугольников 1 час уметь : решать простейшие задачи 8. Решение задач на применение второго признака равенства треугольников Применение и совершенствовани е знаний. Практикум. Знать формулировку и доказательство первого и второго признака равенства треугольников. Уметь решать задачи, в которых требуется равенство треугольников по первому и второму признаку. определять последовательность промежуточных целей и соответствующих им действий с учетом конечного результата ;предвидеть возможности получения конкретного результата при решении задачи. учебные действия в соответствии с целью задачи самопроверки, 10 тест на тему «Равнобедренный треугольник» или тест обучающегося характера с проверкой на уроке р-ва треугольников 11 1 9 2 третий признак равенства треугольников 3 комбинированный урок 6 7 8 беседа, с элементами лекции. 4 знать : третий признак равенства треугольников с доказательством; алгоритм решения задач на доказательство; уметь : решать простейшие задачи предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик Формирование навыков при решении задач; умение составлять логическую цепочку рассуждений ; проявление познавательной активности и коммуникативности в общении Умение работать совместно, адекватно относиться к выступлениям товарищей Составление опорных карточек , задач по теме для самопроверки, презентаций Групповая, Составление опорных карточек , задач по теме для самопроверки, презентации Групповая, Овладеть умениями давать определения, объяснять, аргументированно доказывать свою мысль. составление опорных карточек, презентации по теме Коллективная, индивидуальная Формирование практических навыков при решении задач на построение, развитие коммуникативных свойств речи (выразительности и др.) Совершенствовать умения решать задачи на построение, уметь критически относиться к своим неудачам и адекватно к неудачам товарищей Поиск информации из других источников, Составление опорного конспекта Групповая, 1 час 10 11 Решение задач на применение 2 и 3 признаков равенства треугольников 1 час урок закрепления изученного материала беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум знать : третий признак равенства треугольников с доказательством. уметь : решать простейшие задачи уметь реализовывать полученные знания в процессе решения задач окружность комбинированный урок Беседа знать : понятие окружности и ее элементов(центр, диаметр, хорда, дуга окружности); уметь : решать простейшие задачи комбинированный урок беседа, работа с тетрадью на печатной основе; практикум знать : алгоритм решения задач на построение уметь : решать простейшие задачи осуществление поиска необходимой информации для решения проблемных ситуаций с использованием учебной литературы. составлять план и последовательность действий 1 час 12 примеры задач на построение 1 час 13 5 Решение задач на построение 1 часа урок закрепления изученного материала беседа, работа с тетрадью на печатной основе, практикум уметь реализовывать полученные знания в процессе решения задач 9 индивидуальная, парная индивидуальная, парная индивидуальная, парная Групповая, индивидуальная, парная 10 математический диктант по готовым чертежам на тему «Признаки треугольников» с последующей проверкой самостоятельная работа на тему « 2 и 3 признаки равенства треугольников» Практическая работа 11 14 решение задач на применение признаков равенства треугольников урок закрепления изученного материала устная работа по готовым чертежам, работа с тетрадью на печатной основе, практикум знать :формулировки и доказательства признаков треугольников; алгоритм решения задач на доказательство уметь : : решать простейшие задачи урок закрепления изученного материала устная работа по готовым чертежам, работа с тетрадью на печатной основе, практикум знать :формулировки и доказательства признаков треугольников, задач на построение; алгоритм решения задач на доказательство и построение уметь : : решать простейшие задачи 1 час 15 решение задач на применение признаков равенства треугольников 1 час 16 Решение задач на применение признаков равенства треугольников. Подготовка к контрольной работе. 1 час Урок обобщения и систематизации знаний, практикум знать : понятие треугольника и его элементов; понятие перпендикуляра к прямой; медианы, биссектрисы высоты треугольника; понятия равнобедренного и равностороннего треугольников; понятие окружности и ее элементов; теорему о перпендикуляре; свойства равнобедренного треугольника; признаки равенства треугольников уметь : решать простейшие задачи; критически оценивать полученный результат. умение решать задачи разными способами, выбирать наиболее рациональный способ решения; строить логические рассуждения, умозаключения и выводы. умение планировать свою деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера умение четко и ясно формулировать и излагать свою мысль свою мысль, грамотно проводить логическую цепочку рассуждений при решении задач; развивать навыки сотрудничества в разных ситуациях. умение четко и ясно формулировать и излагать свою мысль как письменно так и устно, грамотно проводить логическую цепочку рассуждений при решении задач; развивать навыки сотрудничества в разных ситуациях. Повторение тем «Признаки равенства треугольников », задач на построение Индивидуальные творческие задания Повторение тем «Признаки равенства треугольников », задач на построение Групповая, Уметь воспроизводить изученный материал, анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать и классифицировать задачи по заданным критериям, оценивать степень усвоения изученной темы, давать оценку своей деятельности проявлять активность во взаимодействии, ответственность и трудолюбие при решении коммуникативных и познавательных задач; уметь общаться в различных ситуациях. Повторение изученного материала, самостоятельн ая подготовка к контрольной работе с использование м своих опорных конспектов Групповая, взаимопроверка, математический диктант на тему «Признаки треугольников» с последующей проверкой индивидуальная, парная индивидуальная, парная самостоятельная работа на тему «Признаки равенства треугольников» 17 Контрольная работа № 2 по теме «Треугольники» 1 час урок контроля ЗУН обучающихся знать : теоретический материал темы «Треугольники» уметь : обобщать и систематизировать знания по теме ,делать выводы. контроль и оценка своей деятельности Уметь реализовывать свои знания Ответственное отношение к работе индивидуальная внешний контроль К-2(прилож.11) Приложение № 1 ( к уроку №1 ) Равенство треугольников, Цель: проверить степень усвоения понятия « Равные треугольники», умение находить равные элементы в равных треугольниках 1 вариант 2 вариант Задание: заполните пропуски, чтобы получилось верное равенство. 1. Два отрезка называются равными, если … 1. Два угла называются равными, если … 2 . Два треугольника называются равными, если … 2. 3. Известно, что треугольник АВС равен треугольнику ДКР. Это означает равенство следующих элементов …. 4. Известно, что треугольник МОК равен треугольнику ВСД. В треугольнике МОК М= 25*, О= 111*, К= 44*. Найти величины углов треугольника ВСД. 5. В четырехугольнике ВОАР проведен отрезок ОР, делящий фигуру на два равных треугольника. Тогда А= … , ВОР = … , ОРА = ? 6*. Сколько пар равных сторон надо найти, доказывая равенство двух треугольников: а) по определению; б) по 1 признаку; в) по 2 признаку; г) по 3 признаку. 7. Найти периметр треугольника АВС, если АВ= 14 см, ВС= 11, 2 см, АС= 9, 7 см. 3. Известно, что треугольник МНТ равен треугольнику СДК. Это означает равенство следующих элементов …. 4. Известно, что треугольник МНК равен треугольнику АДС. В треугольнике АДС АС= 7 дм, ДС= 9 дм, АД= 15 дм. Найти длины сторон треугольника МНК. 5. В четырехугольнике ВОАР проведен отрезок ОВ, делящий фигуру на два равных треугольника. Тогда А= … , АВО = … , РОВ = ? 6*. Сколько пар равных углов надо найти, доказывая равенство двух треугольников: а) по определению; б) по 1 признаку; в) по 2 признаку; г) по 3 признаку. 7. Найти периметр треугольника МРК, если МР= 10,8 см, РК= 8,7см, МК= 12,4 см. + Две фигуры называются равными, если … Приложение № 3 (к уроку № 2, 3) Первый признак равенства треугольников Цель проверить умение обучающихся применять первый признак равенства треугольников при решении задач Самостоятельная работа по теме: «Первый признак равенства треугольников» 1 вариант. 1. Докажите равенство треугольников ADC и АВС , изображенных на рисунке, если AD AB и DAC BAC . Найдите углы ADC и ACD, если ACB 38О , ABC 102 O. ---------------------------------------------------------Самостоятельная работа по теме: «Первый признак равенства треугольников» 2 вариант. 1. Докажите равенство треугольников ADC и АВС , изображенных на рисунке, если ВС AD и BCA CAD. Найдите углы ACD и ADC, если ABC 108 , BAC 32 . Приложение № 6 ( к уроку № 6 ) Свойства равнобедренного треугольника . Цель : Вариант А1. 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 6 см меньше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане ВД выбрана точка М. Докажите равенство треугольников АВМ и СВМ. 3. В треугольнике МДК МД=ДК. Точки А , В и С – середины сторон МК, МД и ДК соответственно. Докажите, что МАВ = КАС. Вариант Б1. 1. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС поведена биссектриса ВД, равная 7 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВД равен 18 см. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на продолжении высоты ВМ выбрана точка Д. Докажите, что АДС- равнобедренный. 3. В треугольнике МДК на равных сторонах МД и ДК выбраны точки А и В соответственно так, что МА = КВ. Найдите длину отрезка КА, если МВ = 4 см. + Вариант А2. 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 6 см больше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике ДВМ с основанием ДМ на высоте ВК выбрана точка О. Докажите равенство треугольников ДКО и МКО. 3. В треугольнике МДК МД=ДК. Точки А , В и С – середины сторон МК, МД и ДК соответственно. Докажите, что ВАМ = КСА. Вариант Б2. 1. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС поведена высота ВД, равная 4 см. Найдите периметр треугольника ДВС, если периметр треугольника АВС равен 20 см. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на продолжении высоты ВМ выбрана точка Д. Докажите, что АДС- равнобедренный. 3. В треугольнике МДК на равных сторонах МД и ДК выбраны точки А и В соответственно так, что ДА = ДВ. Найдите длину отрезка МВ, если КА = 5 см. Самостоятельная работа. …………………………………. 1 вариант. Дано: AD CD, AC BD Доказать: ABC равнобедренный (АВ=ВС) Доказательство: Рассмотрим …. и ……. : 1)………………………………………………………. 2)……………………………………………………… 3)……………………………………………………….. Значит …. = ……. (по двум сторонам и углу между ними) Тогда стороны ……=…… и …. – равнобедренный. ч.т.д. 2. Дано: ABC равнобедренный. АО СО Доказать: АВО СВО Доказательство: Рассмотрим …. и ……. : 1)………………………………………………………. 2)……………………………………………………… 3)……………………………………………………….. Значит …. = ……. (по двум сторонам и углу между ними) ч.т.д. Самостоятельная работа. …………………………………. 2 вариант. 1. Дано: D – середина AC, АDF 90 Доказать: ABC равнобедренный. Доказательство: Рассмотрим …. и ……. : 1)………………………………………………………. 2)……………………………………………………… 3)……………………………………………………….. Значит …. = ……. (по двум сторонам и углу между ними) Тогда стороны ……=…… и …. – равнобедренный. ч.т.д. 2. Дано: ABC равнобедренный. BO - биссектриса Доказать: АВО СВО Доказательство: Рассмотрим …. и ……. : 1)………………………………………………………. 2)……………………………………………………… 3)……………………………………………………….. Значит …. = ……. (по двум сторонам и углу между ними) ч.т.д. Приложение - Самостоятельная работа по теме: «Признаки равенства треугольников». 1 вариант. 1. Дано: AB CD, BC DA, C 40 Доказать: ABD CBD Найти: A . Самостоятельная работа по теме: «Признаки равенства треугольников». 2 вариант. 1. Дано: AD AB, CD CB, D 120 Доказать: DAC BAC Найти: B . 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN . BD – медиана треугольника. Докажите, что MD=ND. 3. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, A A1 , B B1 . Точки D и D1 лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, причем CD=C1D1. Докажите, что BDC B1 D1C1 . ------------------------------------------------------------------------------------------- 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN . BD – высота треугольника. Докажите, что MD=ND. 3. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, A A1 ,. Точки D и D1 лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, DBC D1 B1C1 , Докажите, что BDC B1 D1C1 . ------------------------------------------------------------------------------------------- Самостоятельная работа по теме: «Признаки равенства треугольников». 1 вариант. 1. Дано: AB CD, BC DA, C 40 Доказать: ABD CBD Найти: A . Самостоятельная работа по теме: «Признаки равенства треугольников». 2 вариант. 1. Дано: AD AB, CD CB, D 120 Доказать: DAC BAC Найти: B . 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN . BD – медиана треугольника. Докажите, что MD=ND. 3. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, A A1 , B B1 . Точки D и D1 лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, причем CD=C1D1. Докажите, что BDC B1 D1C1 . ------------------------------------------------------------------------------------------- 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN . BD – высота треугольника. Докажите, что MD=ND. 3. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, A A1 ,. Точки D и D1 лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, DBC D1 B1C1 , Докажите, что BDC B1 D1C1 . ------------------------------------------------------------------------------------------- Приложение № 11 ( к уроку № 11 ) тест по теме Окружность Цель : проверить уровень знаний теоретического материала по теме « Окружность» 1. Выберете нужные слова текста в скобках: А) Окружность – это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигура, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных на (одинаковом, заданном)расстоянии от (некоторой, центральной) точки. )Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяющий центр окружности с (заданной, какой- либо) точкой окружности. 2. Диаметр окружности – это… А) два радиуса, лежащие на одной прямой Б) хорда, проходящая через центр окружности В) прямая, проходящая через две точки и центр окружности 3. Центр окружности – это… А) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружности Б) середина окружности В) точка, равноудалённая от всех точек окружности 4. Дуга окружности – это… А) часть окружности, выделенная точками Б) часть окружности, ограниченная двумя точками В) часть окружности, ограниченная хордами 5. Определить на сколько дуг делят окружность две точки, лежащие на окружности. Выбрать правильный ответ: А) на одну Б) на две 6. Как изображается хорда на чертеже окружности? А) прямой линией Б) дугой окружности В) отрезком с концами, лежащими на окружности Контрольная работа № 2 по теме « Треугольники» Приложение № 12 Цель : выявить степень обученности учащихся по теме «Треугольники». Вариант 1. Вариант 2. 1. а) В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 4,3 см. Периметр треугольника равен 15,7 см. Определите стороны треугольника. б) В окружности проведены два радиуса ОА и ОВ, угол между которыми 40*, и хорда АВ. Найти величины углов между хордой и радиусами. 1. а) В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны в 2 раза. Периметр треугольника равен 24,8 см. Определите стороны треугольника. б) В окружности проведены два радиуса ОА и ОВ, хорда АВ. Угол между радиусом ОА и хордой АВ равен 50*. Найти величины углов: между хордой АВ и радиусом ОВ; между радиусами ОА и ОВ. 2 а) Отрезки АВ и СД пересекаются и имеют общую середину - точку О. Докажите, что ДАО = СВО. 2. а) Дано: АД – биссектриса А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ=АС. Доказать: ДВ=ДС. б) Отрезки MN и PK являются диаметрами окружности с центром в точке А. Докажите, что хорды MP и NK равны. б) Отрезки MN и PK являются диаметрами окружности с центром в точке А. Известно, что МРА = 34. Найдите величину АКN 3. а) Начертите равнобедренный остроугольный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВМ к боковой стороне АС. 3. а) Начертите равнобедренный тупоугольный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите высоту из вершины угла А. б) Начертите равнобедренный тупоугольный треугольник АВС с основанием ВС и тупым углом А.С помощью циркуля и линейки проведите: а) высоту треугольника АВС из вершины угла В; б) медиану треугольника АВС к стороне АВ ; в) биссектрису треугольника АВС из угла А. б) Начертите равнобедренный остроугольный треугольник МДК с основанием МК и острым углом Д. С помощью циркуля и линейки проведите: а) медиану треугольника МДК к стороне МД; б) биссектрису треугольника МДК из угла К ; в) высоту треугольника МДК из вершины М. Критерии оценивания: «3»- правильно выполненные задания №1а, №2а, «4»- правильно выполненные задания №1аб, №2б, №3а. «5»- правильно выполненные задания №1аб, №2б, №3б. Приложение №13 Содержание буклета Элементы треугольника. < А, < В, < С – углы треугольника АВ, АС, ВС – стороны треугольника Признаки равенства треугольников. Почти вся геометрия со времен «Начал» Евклида строится на основе трех признаках равенства треугольников. Первый признак Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. О применении признаков равенства треугольников Признаки равенства треугольников находят применение в различных областях жизни, облегчают физический труд человека Задача1 Приложение №14 При постройке кровель, мостов, подъемных кранов скрепляют опорные брусья или балки так чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное? Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Поясним, что это означает.Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем (рис.1). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 2).Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников. Именно поэтому лучшее расположение балок такое. Задача2. От пункта А, расположенного на берегу, к пункту В, лежащему на острове, требуется провести телефонную связь. Как не переплывая на остров, определить необходимое количество (длину) телефонного кабеля? Какой признак равенства треугольников здесь можно использовать? (Пункты А и В расположены на берегах, а кабель прокладывается по дну реки, т. е. условно ищем длину отрезка АВ) Провесив прямую АС, отложим АС = СА1. < САВ измерим астролябией (или теодолитом) и через точку А1 провесим прямую А1В1 так, чтобы < СА1В1 = < САВ. Тогда треугольник АВС равен треугольнику А1В1С (по стороне и двум прилежащим углам). Искомая длина кабеля А1В1. Задача 3 Найти длину острова АВ, не переплывая на остров. На берегу выберем точку С, из которой видны точки А и В (рис. 4), провесим прямые АС и ВС. Отложим СА1 = СА, СВ1 = СВ. Расстояние А1В1 будет равно искомому расстоянию АВ, т. к. треугольник АВС равен треугольнику А1В1С по двум сторонам и углу между ними (СА1 = СА, СВ1 = СВ, угол ВСА равен углу А1СВ1, как вертикальные) Задача 4 .При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500 м. Верно ли сделан вывод? Докажите. Задача 5 Для нахождения расстояния от точки В до дерева А на другой стороне реки отметили на местности точки C, D и F так, чтобы точка С была серединой отрезка BD и угол BDF был бы равен углу АВС. Наметив прямую AF, проходящую через точку С, измерили одну из сторон треугольника FDC и приняли ее длину за расстояние АВ. Какую сторону измерили? Докажите предположение. Задача 6 . На рисунке ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Объясните способ измерения озера. Докажите, что АВ=ЕF. . Задача 7 Попробуйте следующую задачу решить самостоятельно. От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры? Приложение №15 Задачи на построение Построение треугольников по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить треугольник, нужно сначала уметь строить отрезок, равный заданному, и угол,равный заданному. Конечно, можно это сделать с помощью линейки с делениями и транспортира, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без делений. Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа: • анализ; • построение; • доказательство; • исследование Анализ и исследование задачи необходимы так же,как и само построение. Необходимо посмотреть, в каких случаях задача имеет решение, а в каких – решения нет. 1. Построение отрезка, равного заданному. Схема №1 2. Строим угол, равный заданному, с помощью циркуля и линейки. Схема №2. А вот теперь перейдем к построению треугольников по трем элементам. 3. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Схема №3. Дано Требуется Построение построить 1. Построить угол А, равный заданному углу. 2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b. 3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с. 4. Соединить с помощью линейки точки В и С. Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними. Самостоятельная работа к схеме 3. Вариант 1. Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4см, С = 35o. Вариант 2. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см,ДЕ = 5 см, Д = 110o. Подсказка. Перед построением треугольника необходимо сделать «от руки» чертеж треугольника, где показаны все заданные элементы. 4. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Схема 4. Дано Требуется построить Построение 1. Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Построить угол А, равный заданному. 3. Построить угол В, равный заданному. Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С. Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам. Самостоятельная работа к схеме 4. Вариант 1 Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 130o,О = 20o. Вариант 2 Построить треугольник ВСР, если< С = 15o,< Д = 50o, СД =3 см. 5. Построение треугольника по трем сторонам. Схема 5. Дано Требуется построить Построение 1. Построить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Из точки А провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку b. 3. Из точки В провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку a, обе окружности пересекаются в точке С. Построили треугольник АСВ по трем сторонам. Самостоятельная работа к схеме 5. Вариант 1. Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2см, ЕО = 3 см. Вариант 2 Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4см, ОМ =7 см Литература: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия,7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений - 15 изд.-М. : Просвещение, 2011. 2. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др Изучение геометрии,7-9 класс.-м.,Просвещение,1997г. 3. Глейзер Г.И. История математики в школе,7-8 класс.- М : Просвещение, 1982г. 4. А.И.Ершова, В.В.Голобородько, А.С. Ершова Алгебра.Геометрия. 7 класс- изд.8, М.: Илекса, 2008г. 5. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Рабочая тетрадь. 7 класс (пособие для учащихся общеобразовательных учреждений)-М.: Просвещение, 2010г. 6. Б.Г.Зив, В.М.Мейлер Дидактические материалы по геометрии 7 класс,- М.: Просвещение, 1998г. 7. А.В.Фарков Контрольные работы, тесты, диктанты по геометрии ( к учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия.7-9 классы»),- М.: изд.»Экзамен», 2009г. 8. Е.М. Рабинович Геометрия, 7-9 классы.(задачи и упражнения на готовых чертежах).- М.-Харьков, изд. Илекса, 2008г. 9. Поурочные разработки по геометрии. 7 класс -2-ое издание переработанное и доп.- М.: ВАКО, 2006( В помощь школьному учителю) 10. Семёнов Е. Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся. - М. : Просвещение, 1998. 11. Устьев Г. М. Планиметрия в упражнениях на готовых чертежах. -М.: Московский репетитор, 1991. Список литературы для учащегося 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 – 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010. Зив Б.Г.. Дидактические материалы по геометрии 7 класс. М.: Просвещение, 2011. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьные курс геометрии. М.: Просвещение, 1992 Кулагин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.3000 конкурсных задач по математике. М.: Рольф,2007 “Все вопросы геометрии” – энциклопедический словарь. Ресурсы интернет. Электронные образовательные ресурсы. Интернет ресурсы 1. http://pedsovet.su/rtr/7-186-1 2.Математика: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». http://mat.lseptember.ru. Инфор­мация и материалы интернет-ресурсов: 3. Министерство образования и науки РФ: http://www.mon.gov.ru/ 4. Федеральное государственное учреждение «Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций»: http://www. informika.ru/ 5. Тестирование on-line: 5-11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo/ 6.Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu. samara.ru/~nauka/ 7.Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru/ 8.Сайт энциклопедий: http://www.encyclopedia.ru/
