Компетентностно-ориентированные тестовые задания по геометрии для 9 класса по теме «Окружность»

Компетентностно-ориентированные тестовые
задания по геометрии
для 9 класса по теме «Окружность»
Валиуллина Лилия Хайдаровна
учитель математики
НРМОБУ «Сентябрьская СОШ»
ХМАО-Югра, Нефтеюганского р-на
п.Сентябрьский
2014г.
1. Задание с выбором одного правильного ответа из предложенных вариантов:
Выберите верное утверждение:
1) Прямая, проходящая через две точки окружности называется диаметром ;
2) Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется
касательной к окружности;
3) Центр окружности – это середина окружности;
4) Угол, вершина которого лежит на окружности называется вписанным углом.
Правильный ответ: 2.
За правильный ответ - 1 балл, за неправильный - 0 баллов.
2. Задание с множественным выбором правильных ответов.
Какие три из перечисленных утверждений верны для окружности, описанной
около треугольника?
1) ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон
треугольника;
2) окружность называется описанной около треугольника, если она касается всех
его сторон;
3) около любого треугольника можно описать окружность;
4) Ее центр лежит в точке пересечения биссектриса
внутренних углов
треугольника;
abc
5) Ее радиус вычисляется по формуле 𝑅 =
, где abc – сторон треугольника ,S
4S
– его площадь;
𝑆
6) Ее радиус вычисляется по формуле 𝑅 = , где S – площадь треугольника, а p
𝑃
– полупериметр.
Правильный ответ: 1,3,5.
За правильный ответ - 1 балл, за неправильный - 0 баллов.
3.
Задание с выбором наиболее правильного ответа из предложенных
вариантов.
Выберите наиболее правильный ответ.
Дуга окружности – это…
1) часть окружности, выделенная ее точками;
2) часть окружности, ограниченная двумя ее точками.
Правильный ответ: 2
За правильный ответ 1 балл, за неправильный 0 баллов.
4. Задание c альтернативным ответом:
Если вы согласны с утверждением, отвечаете «да», если не согласны «нет».
Фигура
Можно ли описать
окружность около
данной
геометрической
фигуры
да
нет
Можно ли
вписать
окружность в
да
нет
Любой треугольник
Любой четырехугольник
Прямоугольник
Квадрат
Ромб
Правильный многоугольник
Модельный ответ:
Фигура
Любой треугольник
Можно ли описать
окружность около
данной
геометрической
фигуры
да
нет
да
+
+
Любой четырехугольник
Можно ли
вписать
окружность в
+
Прямоугольник
+
Квадрат
+
нет
+
+
+
Ромб
+
Правильный многоугольник
+
+
+
За правильный ответ - 2 балла, если допущена одна ошибка – 1 балл, если 2
ошибки 0 баллов.
5. Задание на установление соответствия.
Установите соответствие между геометрическими фигурами и формулами
для вычисления их площадей:
1
1
𝜋ℛ 2
2
2
360
a) 𝜋𝒟 𝑏) 2𝜋ℛ 𝑐) 𝜋𝒟 2 𝑑)
1.
𝛼
2.
∙ 𝛼 𝑒) 𝜋ℛ2
3.
Ответ: 1___________, 2___________, 3__________
Правильный ответ: 1-d, 2-e, 3-b
За правильный ответ - 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
6. Задание на установление правильной последовательности:
Установите правильную последовательность решения задачи.
Построить шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку AB.
1. Построить точки А2 , А3 , А4 , А5 , А6 на окружности так, чтобы выполнялось
равенство
А1 А2 =А2 А3 =А3 А4 =А4 А5 = А5 А6 , не меняя раствора циркуля.
2. Соединить последовательно построенные точки.
3. Отметить на ней произвольную точку А1 .
4. Построить окружность радиуса АВ.
Правильный ответ: 4, 3, 1 ,2.
За правильный ответ 1 балл
За неправильный - 0 баллов.
7. Задание на сортировку:
Расположите номера заданий по возрастанию полученных градусных мер углов.
1. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность.
1
2. Центральный угол, который опирается на дугу, равную окружности.
3
3. Меньший угол четырехугольника вписанного в окружность, если два угла этого
угла четырехугольника 60° и 140°.
4. Угол правильного многоугольника, если длины этого многоугольника равны
радиусу описанной окружности.
Правильный ответ: 3, 2, 1, 4.
За правильный ответ 1 балл
За неправильный 0 баллов.
8.
Задание на исключение лишнего.
Найди лишнее:
3
2
1
.
.
ю
.
о
л
..
юОтвет: ___________________
. варианта ответа:
Два
4
.
1. Некасание окружности и сторон угла - 3
2. Окружность и угол имеют две общие точки - 4
За правильный ответ – 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
9.
Задание на завершение предложения:
Закончите фразу:
Окружность и прямая имеют одну общую точку, если:
1. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности.
2. Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
3. Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.
Правильный ответ: 2
За правильный ответ - 1 балл
За неправильный ответ - 0 баллов.
10.
Задание на дополнение.
Внесите пропущенные числа, слова:
Если диаметр круга увеличить в ____ раза, то его площадь _________________ в 16
раз.
Правильный ответ: 4, увеличится.
За правильный ответ - 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
11. Задание с неструктурированным ответом.
Составьте верное утверждение, расположив слова в правильном порядке:
Круга, часть, дугой, радиусами, круговой, с, ограниченная, соединяющими, дуги,
концы, сектор, и, двумя, круга, центром, это.
Правильный ответ:
Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с
центром круга – это круговой сектор.
За правильный ответ – 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
12. Задания с лишними данными.
Вычислите длину окружности описанной около прямоугольника если диагональ
прямоугольника равна 13 см, а длинна одной стороны равна 5 см.
Какие данные в задаче лишние?
Бланк ответа:
Лишние данные:
________________________________________________________________
Решение задачи:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_____________________________________________
Ключ к ответу:
Лишние данные. Задачу можно решить без данных о длине стороны
прямоугольника.
Решение:
1) 𝑅 = 13: 2 = 6,5 (см);
𝐶 = 2𝜋𝑅;
𝐶 = 2𝜋 ∙ 6,5 = 13𝜋 (см);
2) 𝐶 = 𝜋𝐷 = 13𝜋 (см);
Ответ: 13𝜋 см
Критерии оценивания:
2 балла:
– Лишние данные в задаче отобраны правильно.
– Применены верные формулы.
– Задача решена без вычислительных ошибок, получен верный ответ.
1 балл:
– Лишние данные в задаче отобраны правильно.
– Применены верные формулы.
– Допущена вычислительная ошибка.
0 баллов:
– Все случаи решения не соответствующие указанным выше критериям.
13. Задание с кратким ответом.
Длина окружности, описанной около квадрата с диагональю 8 см, равна
____________
Правильный ответ: 8𝜋 см.
За правильный ответ - 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
14. Задание с противоречивыми данными.
B
2
Решите задачу по данным на рисунке. Найдите площадь
трапеции и радиус окружности, вписанной в трапецию не
изменяя данные AB=5, BC=2.
C
4,5
5
Модельный ответ:
Только около равнобедренной трапеции можно описать
A
D
окружность, поэтому если CD=4,5, задача нерешаема,
7
3 K
т.е. CD=5.
В равнобедренную трапецию можно вписать
окружность если боковая сторона равна средней линии трапеции.
𝐵𝐶+𝐴𝐷
2+10
𝑚=
=
=6≠5
2
2
Поэтому AD=8
Решаем задачу с другими данными.
а) Площадь трапеции находится по формуле:
𝑆 =𝑚∙ℎ
B
C
2
ℎ = 𝐵𝐾 = √52 − 32 = 4 (По теореме Пифагора)
𝑆 = 5 ∙ 4 = 20
5
5
Ответ: 20
A
D
3 K
5
б) 𝑆 = 𝑝 ∙ 𝑟, где 𝑝 полупериметр
𝑆
20
𝑟= = =2
𝑃
10
Ответ: 2
Критерии оценивания:
3 балла – если правильно исправлены данные, задача решена верно.
2 балла – если правильно исправлены данные, решена первая часть задачи, в
другой допущена вычислительная ошибка.
1 балл – если правильно исправлены данные, для решения одной части
использована правильная формула, но допущена вычислительная ошибка.
0 баллов – решение не соответствует предыдущим критериям.
15. Задание с недостаточными данными.
A
По данным рисунка решите задачу.
Найдите BC, если ∠BAO = 30°.
Модельный ответ:
Т.к. 𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝐵 и 𝐴𝐶 ⊥ 𝑂𝐶, то 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 касательные. 𝐴𝐵 =
𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝑂 = ∠𝐶𝐴𝑂 (по свойству отрезков касательных,
B
проведенных к окружности из одной точки A)
C
Т.к ∠𝐵𝐴𝑂 = ∠𝐶𝐴𝑂 = 30°, то ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°.
Т.к ∠𝐵𝐴𝐶 = 60° и 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, то ⊿𝐵𝐴𝐶 равносторонний.
O
BC=BA=AC
1 случай. Пусть AB=5см, то BC=5см
2 случай. Пусть OB=3см, то AB=6см. (катет противолежащий углу в 30° равен
половине гипотенузы)
3 случай. Пусть OA=6см, то 𝐴𝐵 =
𝑂𝐴
𝑐𝑜𝑠 30°
=
6
√3
2
=
12
√3
=
√3
3
= √3.
Критерии оценивания:
2 балла – обоснована недостаточность данных, рассмотрены все три случая,
нет вычислительных ошибок.
1 балл - обоснована недостаточность данных, рассмотрены любые два случая,
нет вычислительных ошибок.
0 баллов - все случаи решения не соответствующие указанным выше
критериям.
16. Расчетные задания закрытой формы с выбором ответа.
Найдите радиус описанной окружности, периметр, площадь и радиус вписанной
окружности для квадрата со стороной 6 см.
Варианты ответов:
1.
2.
3.
4.
3√2 ;
4√2;
3√2 ;
2√2 ;
24;
24;
24;
24;
36;
36;
36;
36;
√3.
3.
3.
√3.
Правильный ответ: 3
За правильный ответ – 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
17. Задание на вычисление ответа.
Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром
и радиусами 𝑅1 и 𝑅2 , 𝑅1 < 𝑅2 . Вычислите площадь кольца, если 𝑅1 = 1,5 см и 𝑅2 =
2,5 см.
Ответ: 1) __________, 2) ___________.
Модельный ответ:
𝑅1
𝑆больш. круга = 𝜋𝑅22
𝑆меньш. круга = 𝜋𝑅12
𝑆кольца = 𝜋𝑅22 − 𝜋𝑅12 = 𝜋(𝑅22 − 𝑅12 )
𝑅2
Если 𝑅1 = 1,5 см и 𝑅2 = 2,5 см, то 𝑆кольца = 𝜋(2,52 − 1,52 ) = 𝜋(2,5 − 1,5)(2,5 +
1,5) = 4𝜋 (см2 ).
Ответ: 𝜋(𝑅22 − 𝑅12 ); 4𝜋 (см2 ).
За праильный ответ – 1 балл
За неправильный ответ – 0 баллов.
18. Комбинированные задания.
1.
1) Выберите верные утверждения :
а) Если диаметр окружности равен 3 см, то ее длина равна 6π.
б) Если радиус окружности уменьшить на 6 см, то ее длина уменьшится на 6π.
в) Площадь вписанного в окружность квадрата равна 24 см2 , тогда площадь
круга, ограниченного данной окружностью, равна 8π.
г) Если диаметр окружности равен 48 см, то периметр правильного
шестиугольника, вписанного в окружность, равен 24 см.
Ответ: _____________.
2) Если утверждение неверно, то измените в условиях числовые значения так,
чтобы заключение осталось верным.
Ответ: а)________, б)________, в)________, г)________.
Правильный ответ:
1) Верных утверждений нет.
2) а) 6см; б) 3; в) 16 см2 ; г) 24.
Критерии оценивания:
2 балла – сделан правильный выбор, правильно изменены числовые значения.
1 балл – сделан правильный выбор
0 баллов - все случаи решения не соответствующие указанным выше
критериям.
2. Сформулируйте вопрос к задаче, ответом к которой могут быть следующие
данные 𝟐𝟖°, 𝟗𝟎°. Решите задачу, вычислите недостающий ответ.
Из точки K к окружности с центром в точке O проведена касательная KM и
секущая KN.
Модельный ответ:
M
K
N
O
1)
Найдите углы треугольника ⊿KMO, если ∠𝑁𝐾𝑀 =
28°.
Недостающий ответ: ∠𝑀𝑂𝐾 = 62°
M
K
O
N
2)
a) Найдите углы треугольника ⊿𝐾𝑀𝑁, если
∠𝑀𝑁𝐾 = 28°.
Недостающий ответ:
∠𝑀𝐾𝑁 = 62°.
б) Найдите углы треугольника
⊿𝐾𝑀𝑁, если ∠𝑀𝐾𝑁 = 28°.
Недостающий ответ:
∠𝑀𝑁𝐾 = 62°.
Критерии оценивания:
2 балла – правильно сформулирован вопрос, рассмотрены все случаи решения и
вычислен недостающий ответ
1 балл – правильно сформулирован вопрос, рассмотрен один случай решения и
вычислен недостающий ответ
0 баллов - все случаи решения не соответствующие указанным выше
критериям.
3. Определите, верно ли решена задача. Если решение не верно, приведите
верное решение.
Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь
сечения 314 мм2 , чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
Решение:
Дано: Круг (O;𝑅2 ), 𝑆2 = 314мм2 .
Круг (O;𝑅1 ), 𝐷1 = 18,5 мм.
Найдите: 𝑅2 − 𝑅1
Решение:
314
𝑆2 = 𝜋𝑅22 = 314 ⟹ 𝑅22 =
≈ 100 ≈ 𝑅2 = 10 мм.
𝜋
𝐷1 = 18,5 мм; 𝐷2 = 2𝑅2 = 20 мм.
𝑅2 − 𝑅1 = 𝐷2 − 𝐷1 = 20 − 18,5 = 1,5 (мм).
Ответ: 1,5 мм.
Модельный ответ:
Дано: Круг (O;𝑅2 ), 𝑆2 = 314мм2 .
Круг (O;𝑅1 ), 𝐷1 = 18,5 мм.
Найдите: 𝑅2 − 𝑅1
Решение:
314
𝑆2 = 𝜋𝑅22 = 314 ⟹ 𝑅22 =
≈ 100 ≈ 𝑅2 = 10 мм.
𝜋
𝐷1 = 18,5 мм; 𝐷2 = 2𝑅2 = 20 мм.
𝐷2−𝐷1
𝐷
𝐷
20−18,5
1,5
𝑅2 − 𝑅1 = 2 − 1 =
=
=
= 0,75 (мм).
2
2
2
2
2
Ответ: 0,75 мм
Критерии оценивания:
За верное решение – 1 балл
За неверное решение – 0 баллов.
19. Мини-кейс с вариантами ответов.
Выясните какие из следующих уравнений задают окружность:
а) 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 = 25
б) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9
в) 2𝑥 2 + 2𝑥 2 = 0
г) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 = 0
Варианты ответов:
1.
а); б) 2. а); в)
3. в); г)
4. б);г)
Правильный ответ: 1
Модальный ответ:
а) Уравнение 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 = 25 имеет вид (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 ,
где a=0, b=1, r=5≠0, следовательно, это уравнение задает окружность.
б) Разделив обе части уравнения 4𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9 на 4, получим уравнение 𝑥 2 +
9
3
𝑦 2 = , которое имеет вид (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 , где 𝑎 = 0, b=0, 𝑟 = ≠ 0.
4
2
Следовательно, это уравнение задает окружность.
в) Равенство 2𝑥 2 + 2𝑥 2 = 0 выполняется только при x=0, y=0, т.е. данному
уравнению удовлетворяют координаты только одной точки (0;0).
Следовательно, это уравнение не задает окружность.
г) Левая часть уравнения 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 = 0 при любых значениях x и y больше нуля,
а правая часть равна 0. Поэтому точек, координаты которых удовлетворяют
данному уравнению, не существует. Следовательно, уравнение 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 = 0
не задает окружность.
Критерии оценивания:
20. Мини-кейс без вариантов ответов.
Родители во дворе строили бассейн круглой формы диаметром 4 метра и
глубиной 1 м. Решили, дно и стены бассейна выложить кафельной плиткой.
Кафельная плитка одной и той же торговой марки выпускается трех разных
размеров. Плитки упакованы в пачки. Пользуясь данными таблицы определите
какую наиболее дешевую сумму заплатят родители за кафельную плитку, если:
1) Выкладывать только дно бассейна.
2) Выкладывать только стены бассейна.
3) Выкладывать дно и стены бассейна.
Размер плитки (см x см)
20 x 20
20 x 30
30 x 30
Количество плиток в пачке
25
16
11
Цена пачки
604 р.
595 р. 20к.
594р.
Эталонный ответ:
1. Выберем наиболее дешевую плитку. Рассмотрим все варианты:
1) Цена одной плитки 20х20 равна 604 : 25 = 24,16 руб., ее площадь равна 400
кв. см, поэтому цена одного кв. см. равна 24,16 : 400 = 0,0604 руб.
2) Цена одной плитки 20х30 равна 595,2 : 16 = 37,2 руб., ее площадь равна
600 кв. см, поэтому цена одного кв. см. равна 37,2 : 600 = 0,062 руб.
3) Цена одной плитки 30х30 равна 594 : 11 = 54 руб., ее площадь равна 900
кв. см, поэтому цена одного кв. см. равна 54 : 900 = 0,06 руб.
Следовательно, наименьшую цену имеет плитка размером 30х30. Поскольку
1 кв. м. = 10 000 кв. см, цена одного квадратного метра этой плитки равна
0,06 · 10 000 = 600 руб.
2. Площадь круга находится по формуле 𝑆 = 𝜋𝑅2 , в нашем случае 𝑅 = 2,
то площадь дна бассейна 𝑆 = 3,14 ∙ 22 = 3,14 ∙ 4 = 12,56 ≈ 13 (м2 ).
Т.к. цена одного квадратного метра этой плитки равна 600 рублей, то
для дна бассейна потребуется 13 ∙ 600 = 7 800 (руб. )
3. Площадь стенки бассейна 𝑆 = 𝐶 ∙ ℎ, где C – длина окружности, а глубина
равна h=1.
𝑆 = 2𝜋𝑅 = 2 ∙ 3,14 ∙ 2 = 3,14 ∙ 4 ≈ 13 (см2 )
Т.е. для выкладывания стен бассейна плиткой потребуется 7800 рублей.
4. Чтобы выложить и дно и стены бассейна плиткой потребуется:
7800 ∙ 2 = 15600 рублей
Ответ: 1) 7800 рублей
2) 7800 рублей
3) 15600 рублей
Критерии оценивания:
3 балла – выбрана плитка наименьшей цены, использованы верные
формулы для вычисления площади дна и стены бассейна, нет вычислительных
ошибок.
2 балла – выбрана плитка наименьшей цены, использованы верные
формулы для вычисления площади дна и стены бассейна, имеются
вычислительные ошибки.
2 балл – допущена вычислительная ошибка при выборе плитки
наименьшей цены, использованы верные формулы для вычисления площади дна
и стены бассейна и при их вычислении не допущено ошибок.
1 балл - выбрана плитка наименьшей цены.
0 баллов – все случаи решения не соответствующие указанным выше
критериям.
21. Задание со свободно конструируемым ответом.
Даны окружность радиуса 𝓇 и прямая a, не проходящая через центр O
окружности. Расстояние от точки O до прямой a равно d. Сколько точек
пересечения могут иметь данные окружность и прямая?
H
A
B
d
r
r
O
p
Модельный ответ:
d>r, где d-расстояние от центра окружности до
прямой a.
Отложим на прямой p отрезки 𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 =
√𝑟 2 − 𝑑 2 .
По теореме Пифагора 𝐴𝑂 = √𝑂𝐻2 + 𝐻𝐴2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) = 𝑟,
𝐵𝑂 = √𝑂𝐻2 + 𝐻𝐵2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) = 𝑟.
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟 ⟹ 𝐴 и 𝐵 лежат на окружности ⟹ прямая 𝑝 и окружность
имеют две общие точки.
Других общих точек прямая p и окружность не имеют. Докажем это:
пусть существует еще одна общая точка C, тогда ⊿𝐴𝑂𝐶 −
равнобедренный, его медиана 𝑂𝐷 ⊥ 𝑝, но это невозможно, так как из точки O к
прямой p можно провести только один перпендикуляр.
Вывод. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше
радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
H
M
p
б) d=r
𝑑 = 𝑂𝐻 = 𝑟 ⇒ 𝐻 лежит на окружности ⇒
прямая 𝑝 и окружность имеют одну общую точку.
d=r
O
Других общих точек нет, иначе для любой точки M
прямой p, отличной от H, OM>OH (как любая наклонная
больше перпендикуляра) ⇒ точка M не лежит на окружности.
Вывод. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу
окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
H
M
в) d>r
𝑂𝐻 > 𝑟 ⟹ т. к. 𝑂𝑀 > 𝑂𝐻 ⟹ 𝑂𝑀 > 𝑟 ⟹
точка 𝑀 не лежит на окружности.
p
d
O
Вывод. Если расстояние от центра окружности до
прямой больше радиуса окружности, то прямая и
окружность не имеют общих точек).
r
Шкала оценивания
№
Решение
H
A
B
d
r
r
1
O
точки.
p
Вывод. Если расстояние
от центра окружности до
прямой меньше радиуса
окружности, то прямая и
окружность имеют две общие
Балл
1
H
A
B
d>r, где d-расстояние от
центра окружности до прямой a.
Отложим на прямой p
отрезки 𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 = √𝑟 2 − 𝑑 2 .
По теореме Пифагора 𝐴𝑂 =
√𝑂𝐻2 + 𝐻𝐴2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) =
p
d
r
r
O
𝑟,
2
𝐵𝑂 = √𝑂𝐻2 + 𝐻𝐵2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) = 𝑟.
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟 ⟹ 𝐴 и 𝐵 лежат на окружности ⟹ прямая 𝑝 и
окружность имеют две общие точки.
2
Вывод. Если расстояние от центра окружности до
прямой меньше радиуса окружности, то прямая и
окружность имеют две общие точки.
d>r, где d-расстояние от
центра окружности до прямой
d
a.
r
r
Отложим на прямой p
O
отрезки 𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 = √𝑟 2 − 𝑑 2 .
По теореме Пифагора
𝐴𝑂 = √𝑂𝐻2 + 𝐻𝐴2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) = 𝑟,
𝐵𝑂 = √𝑂𝐻2 + 𝐻𝐵2 = √𝑑 2 + (𝑟 2 − 𝑑 2 ) = 𝑟.
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟 ⟹ 𝐴 и 𝐵 лежат на окружности ⟹
прямая 𝑝 и окружность имеют две общие точки.
Других общих точек прямая p и окружность не
имеют. Докажем это: пусть существует еще одна общая
точка C, тогда ⊿𝐴𝑂𝐶 −
равнобедренный, его медиана 𝑂𝐷 ⊥ 𝑝, но это невозможно,
так как из точки O к прямой p можно провести только
один перпендикуляр.
H
A
3
B
p
3
Вывод. Если расстояние от центра окружности до
прямой меньше радиуса окружности, то прямая и
окружность имеют две общие точки.
H
4
d=r
O
M
p
Вывод. Если расстояние от
центра окружности до прямой
равно радиусу окружности, то
прямая и окружность имеют
1
только одну общую точку.
H
M
p
d=r
d=r
𝑑 = 𝑂𝐻 = 𝑟 ⇒
𝐻 лежит на окружности ⇒
прямая 𝑝 и окружность
O
5
имеют одну общую точку.
2
Вывод. Если расстояние от центра окружности до прямой
равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют
только одну общую точку.
H
M
p
d=r
𝑑 = 𝑂𝐻 = 𝑟 ⇒
𝐻 лежит на окружности ⇒
прямая 𝑝 и окружность имеют одну общую точку.
d=r
O
Других общих точек нет, иначе
для любой точки M прямой p, отличной от H, OM>OH (как
любая наклонная больше перпендикуляра) ⇒ точка M не
лежит на окружности.
6
3
Вывод. Если расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу окружности, то прямая и
окружность имеют только одну общую точку.
H
M
d
7
8
O
d>r
r
p
Вывод. Если расстояние от
центра окружности до прямой
больше радиуса окружности, то
прямая и окружность не имеют
общих точек).
1
2
H
M
d
O
r
общих точек).
p
𝑂𝐻 > 𝑟 ⟹ т. к. 𝑂𝑀 > 𝑂𝐻 ⟹ 𝑂𝑀 >
𝑟⟹
точка 𝑀 не лежит на окружности.
Вывод. Если расстояние от
центра окружности до прямой
больше радиуса окружности, то
прямая и окружность не имеют