Конспект урока по теме: «Композиция функций» Тип: Тема: Цели:

Конспект урока по теме: «Композиция функций»
Тип: урок ознакомления с новым материалом;
Тема: «Композиция функций».
Цели: формирование знаний о композиции функций; развитие умений
распознавать сложную функцию, представлять сложные функции в виде
композиций элементарных функций, составлять сложную функцию из набора
элементарных;
воспитание
добросовестного
отношения
к
учебе,
самостоятельности при работе с учебной литературой.
Оборудование: опорный конспект по теме: «Композиция функций», набор
матрешек, плакат с изображением схемы композиции функций, мел, доска.
Структура урока:
1. Постановка темы и целей урока (3 мин.);
2. Подготовка к изучению нового материала (5 мин.);
3. Ознакомление с новым материалом (20 мин);
4. Первичное осмысление и применение изученного материала (10 мин);
5. Подведение итогов урока (4 мин.);
6. Постановка домашнего задания (3 мин.);
7. Резерв.
Ход урока
Основное
содержание учебного
материала
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1. Постановка темы и целей урока
После проверки готовности класса Записывать тему урока
к уроку сообщает, что на данном
уроке будет рассмотрена тема
«Композиция функций». Ставится
задача:
научиться
распознавать
сложную функцию, представлять
ее
в
виде
композиции
элементарных, составлять ее из
набора элементарных, находить ее
область определения. Говорит, что
композиция функций встречается
повсеместно, но, самое главное,
что с ней можно столкнуться в
заданиях ЕГЭ.
2. Подготовка к изучению нового материала
Просит
вспомнить
обучающихся Обучающиеся говорят, что к
какие
функции элементарным
относятся к элементарным.
линейная
относятся:
(𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏),
квадратичная
(𝑦 = 𝑎𝑥 2 +
обратная
+𝑏𝑥 + 𝑐),
𝑘
пропорциональность (𝑦 = ),
𝑥
(𝑦 = 𝑥 𝑛 ),
степенная
тригонометрические
Задание:
Найдите
Предлагает устно выполнить
значение
функции задание.
все
и
обратные им.
Выполняют задание:
Ципрун К.:
3
𝑓(𝑥) = 2𝑥−5 при 𝑥 =
𝑓(0) =
0; 3.
3
−3
=
= −0,6.
0−5
5
Зубарева И.:
Поясняет,
этих
что
заданий
осознанного
выполнение
поможет
усвоения
𝑓(3) =
3
= 3.
2∙3−5
для
нового
материала.
3. Ознакомление с новым материалом
Предлагает
расположение
двух
рассмотреть Слушают
объяснения
матрешек, учителя,
внимательно
вложенных одна в другую. Таким смотрят на модели
образом, одна матрешки – имеет
простую структуру, две матрешки,
когда,
одна
находится
внутри
другой, имеет более сложную
структуру и т. д. Чем больше
матрешек внутри, тем сложнее
получается и структура. То же
самое можно сказать и о функции.
Давайте
рассмотрим
следующую функцию:
𝑦 = √cos(2𝑥 − 5)
Мы,
вспомнили
элементарные
основные
функции
и
их
свойства, какие из них мы можем
увидеть
в
составе
формулы?
данной
для Никифоров В.: в состав
данной функции входят
(вопрос
Никифорова В.)
Учитель
соглашается
с следующие
элементарные
ответом Никифорова и говорит, функции: 𝑦 = √𝑥, 𝑔 = cos 𝑥 ,
что
одна
функция
как
бы ℎ = 2𝑥 − 5.
«вложена» в другую: 𝑦 в 𝑔, 𝑔 в ℎ, Строит
y(x)= √𝑥
y(x)
g(x)
g(x)=cos x
h=2x-5
h(x)
Предлагает
записать
функция
𝑢 = 𝑔(𝑥) определение
определена
на функций.
множестве 𝑋 и 𝑈 –
То
композиции
Записывают определение в
осмыслив тетради, осмысливают его.
есть,
область ее значений. определение, сделать вывод, что
Пусть далее, функция мы повсеместно встречаемся с
𝑦 = 𝑓(𝑢) определена композицией функций (сложной
на
множестве
𝑈. функцией). Но, можно составлять
Поставим
в композицию не только из двух
соответствие каждому функций, но и более.
𝑥 из 𝑋 число 𝑓(𝑔(𝑥)).
для
предложенной задачи:
т.е. образовалась композиция.
Определение: Пусть
диаграмму
Предлагает
рассмотреть
2
Тем
самым
на функции:
множестве 𝑋 будет
задана функция
Рожкова
𝑓(𝑔(𝑥)). Ее называют отличия
функций
том,
что
в
и
эти
данных различие состоит в том, что
сходства
подкоренные
функций.
или
Просит
ответить на вопрос: Как найти Матушкин
Обозначается:
значение
этой
точке х нужно: 1) вычислить
Иными значение выражения 𝑥 − 2 в
вывод:
словами, сначала нужно найти этой
значение
для
х? функции в фиксированной
точке
(фиксирует на доске)
Делает
А.:
в нахождения значения данной
функции
фиксированной
выражения
А. различны.
Матушкина
сложной функцией.
𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓 ∘ 𝑔
сходство
Просит Рожкову Н. назвать функции обе степенные, а
𝑦=
композицией
состоит
𝑦 = √𝑥, 𝑔 = √𝑥 − 2
Н.:
функции
g(х)=х-2,
точке;
а значение
2)
корня
найти
из
потом найти значение функции f= полученного числа.
g (x) , которая сама по себе
является функцией. В подобных
случаях
говорят,
что
задана
сложная функция f (g(х)).
В
нашем
примере
(записывает на доске) f(u)=
Записывают в тетради то,
что учитель пишет на доске.
u
где и= g(х)=х-2.
Переменную
внутренней
и
называют
переменной
или
промежуточной (соответственно,
внутренней или промежуточной
функцией),
внешней
а
f(и)
называют
функцией.
Таким
образом:
Изображают схему в тетради
Y = f ( g ( x ) ) - сложная функция
основная переменная
внутренняя функция
4. Первичное осмысление
и применение изученного материала
внешняя функция
Задание
1:
Даны Предлагает ученикам выполнить
функции: 𝑦(𝑥) = √𝑥, задание
2
𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑔(𝑥) =
𝑥 2 − −3𝑥 + 5.
Составьте следующие
композиции: 𝑦(𝑓(𝑥)),
𝑓(𝑦(𝑥)), 𝑔(𝑓(𝑦(𝑥)))
составление
композиции функции. Предлагает,
для
лучшего
запоминания, Слушают пояснения учителя
обозначать для себя, что будет
являться
внешней
функцией,
внутренней переменной, основной
переменной.
Просит
Ответы:
на
выполнить
у
доски Акишина П. выходит к доске
задания Акишину П., Фильцину и выполняет задание:
2
𝑦(𝑓(𝑥)) = √ ,
𝑥
П., Рубанюка П..
отсюда,
𝑦(𝑓(𝑥))
внешняя функция,
𝑦−
𝑓(𝑥) −
2
Давайте сравним 1 и 2 пример, внутренняя
функция,
,
√𝑥
заметим, что в общем случае получаем:
4
6
𝑔 (𝑓(𝑦(𝑥))) = −
𝑦(𝑓(𝑥)) ≠ 𝑓(𝑦(𝑥)).
𝑥 √𝑥
2
2
𝑦( ) = √
𝑥
𝑥
+ 5.
𝑓(𝑦(𝑥)) =
Фильцина
П.
выходит
к
доске и выполняет задание:
отсюда,
𝑓(𝑦(𝑥))
внешняя функция,
внутренняя
𝑓−
𝑦(𝑥) −
функция,
получаем:
2
2
𝑓( ) =
𝑥
√𝑥
Рубанюк П. выходит к доске
и выполняет задание:
𝑔 (𝑓(𝑦(𝑥))) − это
композиция трех функций,
замечаем, что 𝑔 − внешняя
функция,
𝑓(𝑦(𝑥)) −
внутренняя
𝑓(𝑦(𝑥))
получаем:
мы
функция,
уже
знаем,
2
2
√
√
2
𝑔 ( 𝑥) = ( 𝑥) − 3 ∙
4
=𝑥−
6
√𝑥
2
√𝑥
+ 5=
+ 5.
Управляет работой обучающихся,
Задание 2:
Даны функции: 𝑦 = просит не торопиться и быть
√𝑥, 𝑢 = sin 𝑥 , 𝑧 =
внимательными,
следит
𝑥 5 , ℎ = 2𝑥 − 7.
дисциплиной в классе.
за
Выполняют
задания
на
Соотнесите формулу
местах, сверяют ответы, с
функции
доской,
с
пояснения,
композицией
функций,
объясните:
дают
ответ Отмечает, какие ошибки были выбран тот
сделаны и почему. Анализирует, вариант.
Формула функции:
еще раз обращает внимание на
1) √sin(2𝑥 − 7)5
ключевые моменты.
почему
или
устные
был
иной
2) √2 sin ℎ5 − 7
3) sin √(2𝑥 − 7)5
Композиция:
а) 𝑦(ℎ(𝑢(𝑧(𝑥))))
б) 𝑢(𝑦(𝑧(ℎ(𝑥))))
в) ℎ(𝑢(𝑦(𝑧(𝑥))))
г) 𝑦(𝑢(𝑧(ℎ(𝑥))))
Кодопозитив:
1) – г;
2) – а;
3) – б.
Предлагает
Задание 3:
выполнить
Ушакову
задание
у
Д.
доски,
2
Пусть 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 . предварительно, просит указывать
Найдите выражение внешнюю функцию, внутреннюю
𝑥−1
для: 𝑓 (𝑥+1) ;
Ушаков Д. решает пример,
переменную.
делая
Ответ:
𝑥−1
2 ⋅ (𝑥 2 + 1)
𝑓(
)=
(𝑥 + 1)2
𝑥+1
все
необходимые
Следит за выполнением задания. пояснения:
Ходит
по
необходимые
классу,
дает 𝑓 (𝑥−1), отсюда, 𝑓 − внешняя
𝑥+1
пояснения
отстающим.
𝑥−1
функция,
−
𝑥+1
промежуточная переменная,
т.е.,
необходимо
вместо
подставить
𝑥 в 𝑓
𝑥−1
,
𝑥+1
получаем:
𝑥−1
𝑥−1 2
𝑓(
)=1+(
) =
𝑥+1
𝑥+1
=1+
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
=
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
=
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
=
2𝑥 2 + 2
2 ⋅ (𝑥 2 + 1)
=
(𝑥 + 1)2
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
5. Подведение итогов урока
Фронтальным опросом вместе с
обучающимися подводит итоги
урока:
1) Мамай Я., чем мы занимались 1) Мамай Я.: сегодня на
сегодня на уроке?
уроке
мы
рассматривали
тему:
«Композиция
функций»
2) Теплова В., как по-другому
можно
назвать
композицию 2) Теплова В.: композицию
функций?
функций
еще
называют
сложной функцией.
3) Ципрун К., как ты понял, что
такое композиция функций?
3)
Ципрун
композицией
К.:
под
функций
он
понимает
функцию
от
функции,
т.е.
функция
выступает
в
качестве
4) Хачатрян В., как обозначается переменной.
композиция функций?
4) Хачатрян В.: композиция
функций
обозначается
𝑓(𝑔(𝑥)) или 𝑓 ∘ 𝑔, где 𝑓 −
внешняя функция, а 𝑔(𝑥) −
внутренняя (промежуточная
5) Зубарева И., приведи пример переменная)
композиции двух функций.
5) Зубарева И. приводит
пример:
С учетом работы во время урока
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
комментируются и оцениваются 𝑓 ∘ 𝑔 = ln 𝑥 2 , 𝑔 ∘ 𝑓 = (ln 𝑥)2
ответы учащихся Никифорова В.,
Рожковой
Акишиной
Н.,
Матушкина
А.,
П., Фильциной
П.,
Рубанюка П., Ушакова Д..
6. Постановка домашнего задания
Дает пояснение по выполнению Записывают
Задания:
1) Пусть 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , домашнего
обучающихся
𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1.
задания,
домашнее
просит задание, слушают пояснения
внимательно учителя.
выражение просмотреть записи в тетради.
Найдите
для:
Решение
а) 𝑓(𝑔(𝑥));
задания:
б) 𝑔(𝑓(𝑥));
1.
в) 𝑓 2 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥);
внутренняя функция, 𝑓(𝑥) =
2)
на
𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1 −
𝑓(𝑥)
= 𝑥 2 − внешняя функция.
отрезке
Т. о. 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑥 3 + 1)2 .
Функция
задана
а)
домашнего
[−1; 0].
Найдите
область
задания
функции:
𝑓(𝑥 − 1);
б) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1 − внешняя
функция,
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −
внутренняя функция.
Т. о. 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑥 2 )3 + 1 =
= 𝑥 6 + 1.
в) 𝑓 2 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥) = (𝑥 2 )2 +
+(𝑥 3 + 1)2 = 𝑥 6 + 𝑥 4 +
2𝑥 3 + 1.
2. Пусть 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1, тогда
𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)).
𝐸(𝑓) = 𝑓(𝐸(𝑔(𝑥))).
Т.о.
𝐸(𝑓(𝑥 − 1))
= 𝑓 (𝐸(𝑔(−1))):
𝑥 − 1 = −1
𝑥 = 0.
𝐸(𝑓(𝑥 − 1)) = 𝑓 (𝐸(𝑔(0))):
𝑥−1=0
𝑥 = 1.
𝐸(𝑓) = [0; 1].
Ответ: 𝐸(𝑓) = [0; 1].
7. Резерв
Задание:
На случай досрочного выполнения
Пусть 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 2 . всем классом или отдельными
Найдите
выражение учениками заданий и обеспечения
для:
𝑥 ∙ 𝑓(𝑥 2 − 5𝑥 + занятости и развития наиболее
+2).
подготовленных
планируется
учащихся
использовать
дополнительные задания.