t 2

Урок по теме: «Производная. Физический и геометрический смысл
производной. Касательная к графику функции».
Ф.И.О. учителя: Банникова Дарья Дмитриевна
Дата проведения: 04.02.13
Класс: 10 «Б»
Цели урока:
 Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по
теме производная. Геометрический и физический смысл производной.
 Выделить наиболее существенные понятия, закономерности, ведущие
идеи по данной теме.
 Подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.
 Развить умение принимать самостоятельное решение при выборе
способов решения задачи.
 Воспитать аккуратность при записи в тетради и на доске, тактичность при
анализе ответов одноклассников,
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска,
дидактический
материал.
Структура урока:
1. Организационный момент – 2 мин.
2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний – 10 мин.
3. Повторение и анализ основных фактов – 8 мин.
4. Обобщение и систематизация понятий, знаний и их применение для
объяснения новых фактов и выполнение практических заданий – 20 мин.
5. Подведение итогов урока – 5 мин.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Деятельность учителя
Проверка готовности класса к
уроку. Ознакомление с темой
урока и планом урока.
Деятельность учащихся
2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний
Сейчас мы проведем работу на
1. Заполнить пропуски.
повторение формул, правил
𝑢′
(𝑥 𝑝 )′ = 𝒑𝑥 𝑝−1
(𝑙𝑛𝑢)′ =
дифференцирования,
𝒖
геометрического и физического
1 ′
1
𝒖′
смысла производной.
(log 𝑎 𝑢)′ =
(𝑥) = − 𝒙𝟐
𝑢∙𝑙𝑛𝑢
Работает весь класс по
′
1
карточкам (Приложение 1), с
(cos 𝑢)′ = 𝑢′ ∙ (−𝒔𝒊𝒏𝒖)
(√𝑥) = 𝟐 𝑥
√
последующей проверкой на
электронной доске (Флипчарт.
(𝑐)′ = 𝟎
(sin 𝑢)′ = 𝑢′ ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒙
Страница 2).
𝑢′
(𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′
(𝑡𝑔𝑢)′ = 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒖
(𝑢 ∙ 𝑣)′ = 𝒖′𝑣 + 𝒗′𝑢
𝑢 ′
(𝑣 ) =
𝑢′ 𝑣−𝑣′𝑢
𝒗𝟐
(𝑐𝑡𝑔𝑢)′ =
−𝑢′
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒖
𝑠 ′ (𝑡) = 𝒗(𝒕)
(𝑒 𝑢 )′ = 𝒖′ ∙ 𝒆𝒖
𝑣 ′ (𝑡) = 𝒂(𝒕)
(𝑎 𝑥 )′ = 𝒂𝒙 ∙ 𝑙𝑛𝑎
𝑓 ′ (𝑥0 ) =tg𝜶
2. Напишите уравнение касательной к
графику функции f(x)
y = f(x0) + f’(x0)(x-x0)
Проверка карточек.
Проверка домашнего задания.
Есть вопросы по домашнему
заданию? (Ответить на
имеющиеся вопросы учащихся).
3. Повторение и анализ основных фактов.
Анализ ошибок самостоятельной
и домашней работы.
Решение заданий с обоснованием
у доски.
′
′
(√2х)
(√2х) =
(2𝑥 )′
1∙2
2 ∙ √2𝑥
=
1
√2𝑥
(2𝑥 )′ = 2𝑥 ∙ 𝑙𝑛2
′
5 − 2𝑥 6
(
)
1 − 𝑥3
((x − 4)log 2 3𝑥)′
5 − 2𝑥 6
(
) =′
1 − 𝑥3
−12𝑥 5 (1 − 𝑥 3 ) − (−3𝑥 2 )(5 − 2𝑥 6 )
=
(1 − 𝑥 3 )2
−12𝑥 5 + 12𝑥 8 + 15𝑥 2 − 6𝑥 8
=
=
(1 − 𝑥 3 )2
6𝑥 8 + 15𝑥 2 − 12𝑥 5
=
(1 − 𝑥 3 )2
((x − 4)log 2 3𝑥)′ =
= log 2 3𝑥 +
(𝑠𝑖𝑛2 𝑥)′
3 ∙ (𝑥 − 4)
3𝑥 ∙ 𝑙𝑛2
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
) =′
2
1 1
= ( − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) =′
2 2
1
= 0 − ∙ 2(−𝑠𝑖𝑛2𝑥) =
2
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥
(𝑠𝑖𝑛2 𝑥)′ = (
4. Обобщение и систематизация понятий, знаний и их применение для
объяснения новых фактов и выполнение практических заданий.
Сейчас мы с Вами вспомним
физический и геометрический
смысл производной и начнем с
нахождения касательной к
графику функции.
Решаем задание с обоснованием
у доски:
Общее уравнение касательной имеет вид:
у = 𝑓(х0 ) + 𝑓 / (х0 )(х − х0 )
(Приложение 2).
Составить уравнение
касательной к графику функции
у = х2 − 2х − 3
в точке х0 = 2.
𝑓(х0 ) = 𝑓(2) = 4 − 4 − 3 = −3
𝑓 / (х) = 2х − 2
𝑓 / (х0 ) = 𝑓 / (2) = 4 − 2 = 2
Получим уравнение искомой касательной
у = −3 + 2(х − 2)
у = −3 + 2х − 4
у = 2х − 7
Теперь вспомним чему равен
тангенс угла между касательной
и положительным направлением
оси Ох?
f’(x0) = tgα
Запишем теперь в тетрадь, что
f’(x0) выражает и угловой
коэффициент касательной,
который обозначается k. т.е.
k = f’(x0) = tgα
Решаем задания с обоснованием
у доски:
Найдите угловой коэффицент
касательной, проведенной к
графику функции 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
в точке х0 =1.
Найдите угловой коэффицент
касательной, проведенной к
графику функции 𝑔(𝑥) = 4𝑥 3 +
5 в точке с ординатой 9.
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
𝑔′(𝑥) = 2𝑥
𝑔′(𝑥0 ) = 2
k=2
4x3+5=9
4x3=9-5
4x3=4
x3=1
x=1
𝑔′(𝑥) = 12𝑥 2
𝑔′(𝑥0 ) = 12
k=12
Найдите острый угол, который
образует с осью ординат
касательная к графику функции
g(x) в точке х0, если
𝑓(𝑥) = 2√𝑥 , x0=3.
Теперь вспомним если нам задан
закон движения s(t), то как нам
найти скорость и ускорение?
Запишем в тетрадях, что s(t) =
x(t)
Решаем задание с обоснованием
у доски:
Материальная точка движется по
закону
2
х(t) = t -1. Определите 1)
скорость точки в момент, когда
ее координата равна 3 м. 2)
координату точки в момент,
когда ее скорость равна 8 м/c.
𝑓′(𝑥) =
1∙2
=
1
2 ∙ √𝑥 √𝑥
1
√3
𝑓 ′ (𝑥0 ) =
=
3
√3
𝑡𝑔𝛼 = 30°
90° − 30° = 60°
s’(t)=v(t)
v’(t) = a(t)
х(t) = t2-1
t2-1=3
t2=3+1
t2=4
t = ±2
t0=2
х’(t) =2t
х’(t0) =4
v=4м/c.
v(t)=2t
2t=8
t=4
t0=4
x(t0)=16-1=15
x(t)=15м.
5. Подведение итогов урока
Опрос по теоретическим
положениям темы урока:
1.Назовите формулу уравнения
касательной к графику функции?
2.Если нам задан закон
движения, то как найти скорость
и ускорение?
3.Как найти угловой
коэффициент касательной,
проведенной к графику функции
f(x) в точке x0?
4.Как найти тангенс угла между
касательной и положительным
направлением оси Ох если нам
задана функция f(x)?
Задание для домашней работы:
Блок 1 № 2,4,6
* Дополнительная задача.
Материальная точка движется
1
по закону x(t) = t3 + 4t + 1.
3
Определите 1) скорость точки
в момент, когда ее ускорение
равно нулю. 2) ускорение
точки в момент, когда ее
скорость равна 5 м/c.
у = 𝑓(х0 ) + 𝑓 / (х0 )(х − х0 )
s’(t)=v(t)
v’(t) = a(t)
k = f’(x0)
f’(x0) = tgα
1
x(t) = t3 + 4t + 1
3
x’(t) = t2 + 4
a(t)=2t
2t =0
t=0
v(t)=4 м/c
1
x(t) = t3 + 4t + 1
3
x’(t) = t2 + 4
t2 + 4=5
t2 =5-4
t2 =±1
t0=1
a(t0)=2 м/c2.
Приложение 1
1. Заполнить пропуски.
(𝑥 𝑝 )′ = __𝑥 𝑝−1
1 ′
1
(𝑥) = − __
′
(√𝑥) =
1
__√𝑥
𝑢′
(𝑙𝑛𝑢)′ =
(log 𝑎 𝑢)′ =
__
__
𝑢∙𝑙𝑛𝑢
(cos 𝑢)′ = 𝑢′ ∙ ____
(𝑐)′ = __
(sin 𝑢)′ = 𝑢′ ∙ ____
(𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢__𝑣
(𝑡𝑔𝑢)′ =
(𝑢 ∙ 𝑣)′ = __𝑣 + __𝑢
(𝑐𝑡𝑔𝑢)′ =
𝑢 ′
(𝑣 ) =
𝑢′ 𝑣−𝑣′𝑢
__
𝑢′
________
−𝑢′
________
𝑠 ′ (𝑡) = _____
(𝑒 𝑢 )′ = __
𝑣 ′ (𝑡) =_____
(𝑎 𝑥 )′ = __𝑙𝑛𝑎
𝑓 ′ (𝑥0 ) =______
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0.
________________________________
Приложение 2.
1. Составить уравнение касательной к графику функции у = х2 − 2х − 3 в
точке х0 = 2.
2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1 в точке х0 =1.
3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
𝑔(𝑥) = 4𝑥 3 + 5 в точке с ординатой 9.
4. Найдите острый угол, который образует с осью ординат касательная к
графику функции g(x) в точке х0, если 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 , x0=3.
5. Материальная точка движется по закону х(t) = t2-1. Определите 1) скорость
точки в момент, когда ее координата равна 3 м. 2) координату точки в момент,
когда ее скорость равна 8 м/c.
1
6. Материальная точка движется по закону x(t) = t3 + 4t + 1. Определите 1)
3
скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю. 2) ускорение точки в
момент, когда ее скорость равна 5 м/c.