Решение. Δу = f(x 0 +Δx) – f(x 0 )

Производная функции
Промежутки вида (а; b), ( - ∞; а), (а; +∞) называются интервалами.
Окрестностью точки х0 называется любой интервал, содержащий эту
точку. Например, окрестностью точки – 1 является интервал ( - 2; 0).
Рассмотрим функцию у=f(x). Пусть х0 – фиксированная точка из области
определения этой функции, х – произвольная точка из некоторой окрестности
точки х0, причем х≠х0.
Разность х – х0 называется приращением аргумента в точке х0.
Приращение аргумента в точке х0 обозначается Δх. Δх=х – х0, откуда х=х0+Δх.
Разность f(x) – f(x0) называется приращением функции в точке х0:
Δу=f(x) – f(x0)=f(x0+Δх) – f(x0).
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется число, к которому
∆𝑦
стремится отношение при Δх, стремящемся к нулю.
∆𝑥
Производная функции y=f(x) обозначается f ‘ (x), у',
𝑓 ′ (𝑥0 ) =
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑑𝑦 𝑑𝑓(𝑥0 )
,
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )
∆𝑥
, при Δх0.
∆𝑓(𝑥0 )
∆𝑥→0
∆𝑥
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется
дифференцируемой (от латинского differentia – разность) в точке x0; при этом
она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim
Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или - ∞ ), то при условии, что
функция в точке х0 непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке
х0 бесконечную производную.
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти приращение функции f(x)=3x - 1 в точке х0,
соответствующей приращению аргумента Δх.
Решение. Δу= f(x0+Δх) – f(x0)=3(x0+Δх) -1-(3x0 – 1)=3Δх.
Ответ: 3Δх
Пример 2. Найти приращение функции f(x)=x2 и приращение аргумента
Δх в точке х0=2, если х=1,9.
Решение. Δх=х – х0=1,9 – 2= - 0,1. Δf= f(x0) – f(x)=f(1,9) – f(2)=
=1,92 – 22= - 0,39.
Ответ: Δх= - 0,1. Δf= - 0,39.
Пример 3. Найти производную линейной функции y=kx+b.
Решение. Δу = f(x0+Δx) – f(x0) = k(x0+Δx)+b - kx0- b = kΔx.
∆𝑦
𝑘∆𝑥
∆𝑦
Найдем отношение
=
= 𝑘. Отношение
не зависит от Δx, при
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
любом значении Δx оно равно k. Следовательно, (𝑘𝑥 + 𝑏)′ = 𝑘.
Ответ: (𝑘𝑥 + 𝑏)′ = 𝑘
Пример 4. Найти производную функции 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Решение. Δу = f(x0+Δx) – f(x0) = a(x0+Δx)2+b(x0+Δx)+c – (ax02+bx0+c) =
= 2ax0Δx+a(Δx)2+bΔx.
Найдем отношение
Если Δх0, то
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
2𝑎𝑥0 Δ𝑥+𝑎(Δ𝑥)2+𝑏Δ𝑥
∆𝑥
= 2ax0+aΔx+b.
 2ax0+b, т.е. f ‘(x0)=2ax0+b.
Ответ: (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏
4
Пример 5. Найти производную функции 𝑓(𝑥) = .
Решение. Δу = f(x0+Δx) – f(x0) =
Найдем отношение
4 ′
𝑓 ′(𝑥) = ( ) =
𝑥
∆𝑦
∆𝑥
4
𝑥0 +∆𝑥
−4
=
(𝑥0 +∆𝑥)𝑥0
−
4
𝑥0
=
𝑥
−4∆𝑥
(𝑥0 +∆𝑥)𝑥0
∆𝑦
. При Δх0
∆𝑥
.

−4
𝑥0 2
. Следовательно,
−4
𝑥2
4 ′
Ответ: ( ) =
𝑥
−4
𝑥2
Пример 6. Найти производную функции 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Решение. 𝑓 ′(𝑥) =
∆𝑦
∆𝑥

1
2√𝑥0
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )
∆𝑥
1
′
. Следовательно, (√𝑥) =
=
√𝑥0 +∆𝑥−√𝑥0
∆𝑥
=
1
√𝑥0 +∆𝑥+√𝑥0
. При Δх0
2√𝑥
′
Ответ: (√𝑥) =
1
2√𝑥
Упражнения
1. Найдите приращение Δу функции f(x) в точке х0, если:
2
6
1) 𝑓(𝑥) = − , 𝑥0 = −2, ∆𝑥 = 0,1
2) 𝑓(𝑥) = − , 𝑥0 = 1, ∆𝑥 = 0,6
3) 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥 2 , 𝑥0 = 5, ∆𝑥 = −0,6
4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 3, 𝑥0 = 3, ∆𝑥 = −0,2
𝑥
𝑥
1
5) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, 𝑥0 = 5, ∆𝑥 = 0,01
6) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 1, 𝑥0 = , ∆𝑥 = −0,8
7) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2, 𝑥0 = 0,2, ∆𝑥 = 0,5
8) 𝑓(𝑥) =
4
2
𝑥2
2
, 𝑥0 = 2, ∆𝑥 = 0,1
10) 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥, 𝑥0 = −1, ∆𝑥 = 0,4
9) 𝑓(𝑥) = − 1, 𝑥0 = −2, ∆𝑥 = −0,9
𝑥
2. Найдите приращение Δx аргумента и приращение функции Δу в точке х0,
если:
1) 𝑓(𝑥) = cos 2 𝑥, 𝑥0 =
2𝜋
3
; 𝑥=
3𝜋
4
𝑥
2
𝜋
𝜋
4
3
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2 , 𝑥0 = 2,1; 𝑥 = −1,3
7) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1, 𝑥0 = 1,22; 𝑥 = 1,345
9) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
6
4
4) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥0 = 2,5; 𝑥 = 2,6
3) 𝑓(𝑥) = 5 − , 𝑥0 = −2,4; 𝑥 = 1,2
5) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥, 𝑥0 = ; 𝑥 =
𝑥
𝑓(𝑥) = + 8, 𝑥0 = −4,9; 𝑥 =
2)
−3,4
− 𝑥, 𝑥0 = −1,8; 𝑥 = 0,4
𝜋
2𝜋
3
3
8) 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥, 𝑥0 = ; 𝑥 =
10) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
3
− 𝑥, 𝑥0 = 1,5; 𝑥 = 0,5
3. Пользуясь определением производной, найдите значение производной
функции в точке a:
1) 𝑓(𝑥) = 3, 𝑎 = 10
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥, 𝑎 = 1
3) 𝑓(𝑥) = 1 − , 𝑎 = 0
4) 𝑓(𝑥) = −2,5𝑥 − 2, 𝑎 = −2
5) 𝑓(𝑥) = −6, 𝑎 = 1
6) 𝑓(𝑥) = −5𝑥, 𝑎 = 7
7) 𝑓(𝑥) = 𝜋, 𝑎 = −4
8) 𝑓(𝑥) = 2 +
9) 𝑓(𝑥) = √8, 𝑎 = −5
10) 𝑓(𝑥) = −4,2𝑥 + 3, 𝑎 = −6
2
3𝑥
4
, 𝑎=1
4. Пользуясь определением производной, найдите значение производной
функции в точке a:
1) 𝑓(𝑥) = (3 + 𝑥)2 , 𝑎 = −2
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
6
− 0,2𝑥 + 8, 𝑎 = 3
2) 𝑓(𝑥) =
4) 𝑓(𝑥) =
6−6𝑥−12𝑥 2
6
4𝑥 2
5
−
𝑥
10
, 𝑎 = −3
+ 1, 𝑎 = −1
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 = 2, 𝑎 = 0
6) 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥)2 , 𝑎 = −1,5
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − (𝑥 + 2)2 , 𝑎 = −0,5
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 4), 𝑎 = 1
9) 𝑓(𝑥) =
6𝑥 2 −3𝑥+9
3
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1, 𝑎 = 0,25
, 𝑎 = −2
5. Пользуясь определением производной, найдите значение производной
функции в точке a:
5
2) 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑎 = 0,01
1) 𝑓(𝑥) = , 𝑎 = 0,1
𝑥
1
4) 𝑓(𝑥) = √4𝑥, 𝑎 = 0,04
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + , 𝑎 = 0,2
𝑥
1
6) 𝑓(𝑥) = √9𝑥 + 1, 𝑎 = 1
5) 𝑓(𝑥) = − + 1, 𝑎 = −1
𝑥
3
8) 𝑓(𝑥) = −√0,01𝑥, 𝑎 = 100
7) 𝑓(𝑥) = + 𝑥 2 , 𝑎 = 52
𝑥
2
6
9) 𝑓(𝑥) = 3 − , 𝑎 = −0,5
10) 𝑓(𝑥) = − , 𝑎 = −0,1
𝑥
𝑥
6. Решите уравнение f ‘(x)=0:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥
2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 4)2
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 12𝑥 2
5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 8
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥
7) 𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)2 − 4
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
9) 𝑓(𝑥) = −
3
2
3
2
𝑥2
5
+
10𝑥 3
3
1
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 3 𝑥 3 + 5𝑥
3
7. Решите неравенство f ‘(x)≤0, если:
1) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 + 𝑥 + 2
4) 𝑓(𝑥) =
7) 𝑓(𝑥) =
√𝑥
4
5) 𝑓(𝑥) =
1+𝑥
√𝑥−3
4
√𝑥
2
5
𝑥−2
8) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥
2
10) 𝑓(𝑥) =
2) 𝑓(𝑥) =
3) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥
6) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 1
2
9) 𝑓(𝑥) = − 𝑥
𝑥
+1
8. Задайте функцию формулой, если производная этой функции равна:
1
1) 2
2) - 6
3) x+1
4)
6) 2x
7) - x
8) x - 1
9) 4 −
2 √𝑥
+2
1
√𝑥
5) 2х+2
10)
1
√𝑥
+3
− 9𝑥