как из графика функции

ГУО «Липеньский УПК детский сад – средняя школа»
Факультативное занятие по математике
Преобразования 𝒚 = |𝒇(𝒙)| и 𝒚 = 𝒇(|𝒙|)
графика квадратной функции
( 8 класс)
Учитель: Дивак Татьяна Николаевна
2015 год
Тема занятия: Преобразования 𝑦 = |𝑓(𝑥)| и 𝑦 = 𝑓(|𝑥|)
графика квадратной функции (программа «Универсальный учебный
графопостроитель»)
Цель: учащиеся по известному графику функции y=f(x) должны научиться
строить графики функций: 𝑦 = |𝑓(𝑥)| и 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) , где
f(x)=a(x+m)2+n и уметь читать свойства функций по построенным графикам;
развивать у школьников умение организовывать и планировать свою
деятельность; развивать математическую речь при комментировании решения;
воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование: “Универсальный учебный графопостроитель”
Эпиграф к уроку: “Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил
ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию.”
Я. Коменский
Ход занятия
1. Организационный момент.(1 мин)
Вступительное слово.
Добрый день, ребята. Я рада вас видеть здоровыми, в чудесном настроении, мне
импонируют ваши улыбки. Если вы готовы к познанию глубин математики, к
сотрудничеству, как между собой, так и со мной, тогда я вас приглашаю в
путешествие по одному из уголков страны « Математика». И это такой
интересный уголок, как преобразования графика функции y=x2.
А на каких преобразованиях мы с вами сфокусируем наше внимание, вы
определите сами и это будет темой нашего занятия.
2. Ориентировочно – мотивационный этап (3 мин)
Функций различных много, но мы с вами на уроках недавно изучили квадратную
функцию y=ax2+bx+c.
И знаем, что для построения графика квадратной функции y=ax2+bx+c.
мы выделяем квадрат двучлена, то есть, представляем функцию в виде:
y=a(x+m)2+n и строим график этой функции с помощью преобразований
графика функции y=x2 , таких как y=-f(x), y=kf(x), y=f(x+a), y=f(x)+a . Получим
соответственно графики функций: y = ax2 ,y = a (x+m)2,
y = a(x+m)2 +n.
Но в сборнике заданий для выпускного экзамена на пятом уровне есть такие
задания, как построить график функции: 𝑦 = |𝑥 2 − 4𝑥|; 𝑦 = 𝑥 2 + 4|𝑥| − 6
и указать свойства этих функций.
И так, с какими преобразованиями квадратной функции вы хотели бы
познакомиться и научиться строить графики этих функций ? Ребята предлагают
изучить преобразования: 𝑦 = |𝑓(𝑥)| и 𝑦 = 𝑓(|𝑥|)
Знаем
y=ax2+bx+c.
Хотим узнать
𝑦 = |𝑓(𝑥)|; 𝑦 = |ax 2 + bx + c|
y=a(x+m)2+n
y=-f(x)
y=kf(x)
y=f(x+a)
y=f(x)+a
𝑦 = 𝑓(|𝑥|) ; y=ax2+b|𝑥|+c
Узнали
Итак, тема нашего занятия будет следующая: «Преобразования
𝑦 = |𝑓(𝑥)| и 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) графика квадратной функции».
И наша основная задача: научиться строить графики функций 𝑦 = |ax 2 + bx + c| ;
y=ax2+b|𝑥|+c и уметь читать свойства данных функций по построенным
графикам.
3. Этап актуализации опорных знаний и способов деятельности (6 мин)
Для того чтобы успешно справиться с поставленной задачей, мы должны
актуализировать наши знания.
Разгадывают кроссворд
1. Что является графиком функции y=a(x+m)2+n?
2. y=ax2+bx+с – есть … функция.
3.Независимая переменная функции.
4. Представление функции в виде графика есть её графическое … .
5. Число точек пересечения параболы с осью абсцисс, если Д > 0.
6. Куда направлены ветви параболы при а< 0?
7.Как называется точка, в которой плавно сходятся ветви параболы?
8.Название выражения b2 -4ac .
9. График функции y=a(x+m)2+n получается из графика функции y=x2
путём последовательных… .
10. Вторая из координат точки на плоскости.
11.Модуль числа есть его … величина.
12. Какое преобразование графика функции задаёт формула y=kf(x)?
13. Параболу y=-2(x-1)2 можно получить из параболы y=-2x2 …
вдоль оси абсцисс на одну единицу вправо.
14. Свойство монотонной функции.
1.П
2.к
в
а
д
4.и
6.в
7.
в е
8. д
р
и
ш
с
Р
3.А
З
5.Д
Н
И
К
9.
12.р
а
с
П
10. О
11. а
Б
т
я
ж
Е
13.с
Д
14. у
б
Ы
а
а
р
о
в
и
н
р
р
р
с
н
в
в
р
т
г
б
е
а
н
у
р
б о
а я
м е
а ж
л
а
н
е
т
н
и
а
и
м
и
н
а
н
т
е
д
о
и
и
а
о
и
л
е
г
н
б
н
ю
р
а
т
а
т
н
з
а
а
о
о
и
м
е
е
з
я
в
а
н
и
й
Ребята, а теперь прочитаем слова в выделенном столбце кроссворда.
Вопрос: какая юбилейная дата будет праздноваться в мае?
4. Операционно – познавательный этап. (15 мин)
В программе «Учебный графопостроитель» построить график функции
y=+2(x-3)2 -8 путём последовательных преобразований параболы y=x2 .
Ученики работают за компьютерами в группах по два человека. Затем проводится
коллективное обсуждение построенных алгоритмов, составляется оптимальный
план работы, который записывается на доске.
1. Строим параболу y=x2
2. Строим параболу y=2x2 ;
Преобразование: y=kf(x)
3.Строим параболу y=2(x-3)2 ;
Преобразование: y=f(x+а)
2
4.Строим параболу y=2(x-3) -8 ;
Преобразование: y=f(x)+а
Используя памятку, сформулировать свойства данной функции.
Памятка для ученика
Свойства квадратной функции
Свойством квадратной функции является…, ветви которой направлены… при
а…0.
1. Область определения.
2. Область значений.
3.Координаты вершины параболы.
4.Уравнение оси симметрии параболы.
5. Наибольшее и наименьшее значения функции.
6.Точка пересечения с осью Оу.
7. Точки пересечения с осью Ох.
8. Промежутки возрастания, убывания.
9. Промежутки знака постоянства.
5.Физкультминутка. ( 3 мин)
1. Не поворачивая головы, «начертите глазами» три параболы, ветви которых
направлены вверх и три параболы, ветви которых направлены вниз.
2. Используя руки как ветви параболы, изобразите:
а) параболу y=x2 ;
б) параболу y=2x2 ;
1
в) параболу y= x2 ;
2
1 2
г) параболу y= x ;
8
1
д) параболу y=− x2 ;
5
е) параболу y=-8x2 ;
6.Применение новых знаний в учебной деятельности (8 мин)
Задача 1.
Используя построенный график функции y=+2(x-3)2 -8 , с помощью
преобразования 𝑦 = |𝑓(𝑥)| ,построить график функции 𝑦 = |2(x − 3)2 − 8|
и
2
сделать вывод: как из графика функции y=+2(x-3) -8
получить график функции 𝑦 = |2(x − 3)2 − 8| ?
Вывод: Для построения графика функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)| надо построить график
функции y=f(x) , затем оставить ту его часть, которая лежит выше оси Ох, а
часть графика, которая лежит ниже оси Ох отобразить симметрично относительно
этой же оси Ох.
Поэтому график функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)| совпадает с графиком функции y=f(x)
на тех промежутках, где f(x)>=0 , а на тех промежутках, где f(x)<0
график функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)| получается из графика функции y=f(x)
с помощью симметрии относительно оси Ох.
𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) ≥ 0,
По определению имеем: |𝑓(𝑥)| = {
−𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) < 0.
Учащиеся читают свойства функции 𝑦 = |2(x − 3)2 − 8| по построенному
графику.
Задача 2. С помощью ввода формулы с клавиатуры, построить график функции
y=x2-2x-3. и используя преобразования 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) получить график функции
𝑦 = 𝑥 2 − 2|𝑥| − 3
Сделать вывод: как из графика функции y=x2-2x-3 получить график функции
𝑦 = 𝑥 2 − 2|𝑥| − 3
Вывод: для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) надо построить график
функции y=f(x) , затем оставить только ту его часть, которая лежит справа от оси
Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси Оу.
Другими словами:
Если х≥ 0, то |𝑥| = 𝑥 , поэтому 𝑓(|𝑥|) = 𝑓(𝑥), то есть при х≥ 0 графики
функций 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) и y=f(x) совпадают.
Если х<0 , то |𝑥| = −𝑥>0 и поэтому график функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) симметричен
графику функции y=f(x) относительно оси ОУ.
7. Контрольно – коррекционный этап ( 6 мин)
Решение задач со сборника.
а) Построить график функции 𝑦 = −𝑥 2 + 4|𝑥| − 6 и указать её область
значений;
б) Построить график функции 𝑦 = |𝑥 2 − 4𝑥|
и указать её свойства.
8..Подведение итогов занятия. (1 мин)
Знаем
Хотим узнать
2
y=ax +bx+c.
𝑦 = |𝑓(𝑥)|; 𝑦 = |ax 2 + bx + c|
y=a(x+m)2+n
y=-f(x)
y=kf(x)
y=f(x+a)
y=f(x)+a
𝑦 = 𝑓(|𝑥|) ; y=ax2+b|𝑥|+c
8. Оценочно – рефлексивный этап.(2 мин)
- Какие цели мы ставили в начале урока?
- Мы их достигли?
-Вспомните самый трудный этап занятия.
- Какие проблемы остались нерешёнными?
- На что обратить внимание на следующем занятии?
Узнали
Как строить
графики функций
𝑦 = |ax 2 + bx + c|,
y=ax2+b|𝑥|+c .
Умеем читать
свойства этих
функций по
построенным
графикам.