Document 605382

Темы для изучения
Цель
Абсолютно твердое тело, момент инерции, ось вращения,
крутильные колебания, жесткость пружины, угловой
коэффициент упругости, момент инерции шара, момент
инерции диска, момент инерции цилиндра, момент инерции
стержня, момент инерции двух материальных точек.
Определите:
1. угловой коэффициент упругости спиральной
пружины;
2. момент инерции
a. диска, двух цилиндров, шара и стержня;
b. двух материальных точек (зависимость
момента инерции от расстояния до оси
вращения). Центр силы тяжести лежит на
оси вращения.
Принцип
Измеряется период колебания,
определяется момент инерции.
на
основе
которого
Оборудование
Вращающийся вал
Шар
Диск
Полый цилиндр
Сплошной цилиндр
Стержень с подвижными грузами
Динамометр, 2,5 Н
Световой барьер со счетчиком
Источник питания 5 В/2,4 А
Треножник «PASS»
Цилиндрическая опора «PASS»
02415.01
02415.02
02415.03
02415.04
02415.05
02415.06
03060.02
11207.30
11076.99
02002.55
02002.55
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Установка и ход работы
Соберите установку как показано на Рис. 1. Для
определения углового коэффициента упругости закрепите
стержень во вращающемся валу, а две гирьки расположите
симметрично относительно оси вращения. Стержень
вращается на 180º вокруг оси. Измерьте силу при помощи
динамометра. При измерении динамометр должен находится
под прямым углом к плечу рычага.
Для измерения периода колебаний на тело прикрепите
листок бумаги (ширина ≤ 3 мм). Разместите тело так, чтобы
листок находился точно под световым барьером. Для
светового барьера выберите режим
тело на 180º.
Рис. 1: Экспериментальная установка для определения момента инерции различных тел.
. Отклоните
Измерьте время полупериода для каждого случая, усреднив
значения измерений. Исходя из требований к безопасности и
устойчивости, не рекомендуется перегибать пружину на ±
720º.
Рис. 2: Зависимость момента силы спиральной пружины от
угла вращения.
Теория и расчет
Момент импульса равен
T
d
L.
dt
(1)
Момент импульса выражается через угловую скорость  и
тензор моментов инерции Iˆ :
L  Iˆ .
В данном случае  направлена в сторону основной оси
инерции (оси z), поэтому у L только одна составляющая:
LZ  I Z   ,
где I Z - Z-составляющая основного тензора момента инерции
тела.
Для данного случая уравнение (1) имеет вид:
TZ  I Z
где  - угол вращения.
d 2
d
 IZ
,
dt
dt 2
Период и частота колебаний соответственно равны
В диапазоне действия закона Гука момент силы спиральной
пружины равен:
(2)
TZ   D  
T  2
где D - угловой коэффициент упругости.
f 
На основе графика (Рис. 2) функции
Y  A B X
находим тангенс угла наклона
B  0,0265 Н  м / рад.
(см.(2))
IZ
D
1
D

2
IZ
Если  x, y, z  - плотность тела, то момент инерции I Z
находится как
IZ 
Угловой коэффициент упругости равен:
 x y  x, y, z dxdydz
2
2
D  0,0265 Н  м / рад.
Уравнение движения имеет вид:
d 2
dt
2

D
 0.
IZ
(3)
Начало координат лежит в центре тяжести.
Для шара с радиусом
r  0,070 м
и массой
m  0,761 кг ,
IZ 
2
mr 2  1,49 10 3 кгм 2 .
5
Экспериментальное значение
I Z  1,48 10 3 кгм 2 .
Для диска с радиусом
r  0,108 м
и массой
Рис. 3: Зависимость момента инерции равных масс (с m =
0,214 кг каждая) от расстояния между ними.
m  0,284 кг ,
IZ 
m 2
r  1,66 10 3 кгм 2 .
2
Экспериментальное значение
I Z  1,68 10 3 кгм 2 .
Для сплошного цилиндра с радиусом
r  0,0495 м
и массой
m  0,367 кг ,
IZ 
1
mr 2  0,45 10 3 кгм 2 .
2
Экспериментальное значение
I Z  0,44 10 3 кгм 2 .
Для полого цилиндра с двумя радиусами
rвн  0,046 м
rвнешн  0,050 м
и массой
m  0,372 кг ,
IZ 
2
1  2
m rв н  rв нешн   0,86 10 3 кгм 2 .


2
Экспериментальное значение
I Z  0,8110 3 кгм2 .
Для материальной точки с массой m на расстоянии a от
оси вращения получаем:
Для стержня длиной
I Z  ma 2
l  0,6 м
и массой
m  0,133 кг ,
m 2
I Z  l  3,99 10 3 кгм 2 .
12
Экспериментальное значение
I Z  3,98 10 3 кгм2 .
(4)
На основе графика (Рис. 3) функции
Y  A  BX 2
находим тангенс угла наклона
B  0,441 кг
и пересечение с осью
A  0,0043 кг / м 2 .
(см.(4))