Председатель Ученого совета математико

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«12» мая_2011
г.
Программа вступительного экзамена
по специальности 01.01.02
«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное
управление »
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического
факультета СПбГУ, протокол № 5 от 12.05.2011 г.
Программа утверждена на заседании
кафедры математической физики
протокол № 4
от «6» мая 2011 г.
Заведующий кафедрой,
Уральцева Н.Н.
Санкт-Петербург
2011
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ
по кафедре математическая физика
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 01.01.02 "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ"
2011 год
1. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений.
Продолжение решений.
2. Линейные дифференциальные уравнения. Линейные однородные
уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
3. Линейные системы. Метод Эйлера. Матричный метод.
Метод Лагранжа.
4. Зависимость решений от начальных данных и параметров.
Непрерывная зависимость решений от начальных данных
и параметров. Дифференциаруемость решений по начальным
данным и параметрам. Теорема Коши.
5. Автономные системы. Траектории. Предельные циклы.
6. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость по первому
приближению.
7. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка.
8. Элементы вариационного исчисления. Функция Лагранжа
(лагранжиан). Условия экстремума. Уравнения ЭйлераЛагранжа. Энергия. Импульс. Гамильтониан. Уравнения
Гамильтона-Якоби.
9. Задачи оптимального управления. Принцип максимума
Понтрягина.
10. Элементы функционального анализа.
Банаховы и гильбертовы пространства, различные виды
сходимости в них. Ограниченные и компактные операторы.
Теория Фредгольма. Спектральная теорема для компактного
самосопряженного оператора. Интегральные операторы и их
свойства.
11. Общие сведения об уравнениях в частных производных.
Примеры уравнений математической физики. Классификация
уравнений второго порядка. Канонический вид уравнения
в точке.
12. Задача Коши.
а) Абстрактная теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых
пространств. Теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых
пространств аналитических функций. Теорема
Коши-Ковалевской для уравнений второго порядка.
Свободные поверхности и характеристики.
Теорема Хольмгрена. Канонический вид уравнений второго
порядка в окрестности точки.
б) Уравнение теплопроводности. Принцип максимума для
начально-краевой задачи и задачи Коши. Теорема
единственности. Явный вид решения задачи Коши.
Решение задачи Коши с ненулевой правой частью.
Анализ решений.
в) Волновое уравнение. Теорема единственности. Формулы
Д'Аламбера для струны и полуструны. Решение трехмерной
задачи Коши методом сферических средних. Решение
двумерной задачи Коши методом спуска. Решение задачи
Коши с ненулевой правой частью. Анализ решений.
13. Уравнение Лапласа.
а) Свойства гармонических функций. Преобразование Кельвина.
Прямая и обратная теоремы о среднем. Принцип максимума.
Постановка задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности.
Решение задачи Дирихле для шара. Неравенство Гарнака и
теорема Лиувилля. Теорема об устранимой особенности.
Теоремы о сходимости гармонический функций.
б) Субгармонические функции. Решение задачи Дирихле методом
Перрона. Регулярные граничные точки.
в) Гармонические полиномы и сферические функции. Оператор
Бельтрами и его свойства. Ортонормированная система
сферических функций и ее полнота.
14. Теория потенциала для уравнения Лапласа.
Поверхности Ляпунова. Поверхностные потенциалы и их свойства.
Интеграл Гаусса. Скачок потенциала двойного слоя. Нормальная
производная потенциала простого слоя. Интегральные уравнения
теории потенциала. Разрешимость задач Дирихле и Неймана для
уравнения Лапласа. Объемный потенциал и его свойства.
Понятие о сингулярных интегральных операторах. Вторые
производные объемного потенциала.
15. Задача Штурма-Лиувилля.
Пространства Соболева в одномерном случае. Классическая и
обобщенная постановки задачи Штурма-Лиувилля. Фредгольмова
разрешимость и теоремы Фредгольма для задачи Штурма-Лиувилля.
Собственные числа и собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля. Функция Грина для задачи Штурма-Лиувилля.
Теорема Стеклова. Метод Фурье для пространственно одномерных
нестационарных уравнений. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля.
Функции Бесселя. Сферические функции в трехмерном пространстве.
16. Пространства Соболева.
Операция усреднения. Финитные функции. Соболевские производные
и их свойства. Пространства Соболева. Неравенство Фридрихса.
Теоремы вложения и теоремы о следах. Теорема об эквивалентных
нормировках. Анизотропные пространства Соболева.
17. Ообобщенные решения эллиптических задач второго порядка.
Обобщенная постановка задачи Дирихле и Неймана.
Фредгольмова разрешимость и теоремы Фредгольма для обобщенных
решений. Метод Галеркина для задачи Дирихле. Обобщенная
задача на собственные функции, полнота системы собственных
функций формально самосопряженного оператора. Гладкость
обобщенных решений.
18. Прямые методы вариационного исчисления.
Слабая полунепрерывность снизу и коэрцитивность функционалов.
Теоремы существования минимума в вариационной задаче для
всего пространства, выпуклого замкнутого множества,
поверхности уровня другого функционала. Необходимые условия
экстремума в пространстве, на выпуклом множестве, на
поверхности уровня. Примеры.
19. Нестационарные залачи.
Обобщенные решения начально-краевой задачи для
параболических уравнений. Теоремы единственности и
существования для слабых и сильных решений. Методы
Галеркина и Фурье. Обобщенные решения начально-краевой
задачи для гиперболического уравнения. Теоремы
единственности и существовании решения. Метод Галеркина
и метод Фурье.
20. Обобщенные функции.
Пространства основных и обобщенных функций. Действия
над обобщенными функциями. Полнота пространства
обобщенных функций. Фундаментальное решение
дифференциального оператора. Обобщенные функции
медленного роста. Преобразование Фурье обобщенных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.: Высшая школа, 1991.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том IV, части I и II.
М.: Наука, 1981.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М.: Наука, 1979.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. М.: Наука, 1983.
5. Михлин С. Г. Курс математической физики. М., 1968.
6. Михлин С.Г. Уравнения в частных производных. М., 1977.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1967.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
9. Избранные главы анализа и высшей алгебры.
Под редакцией М.З. Соломяка. Л., 1981.
10. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям в частных производных. Дополнительные
главы. М., 1985.
11. А.Куфнер, С.Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М., 1988.
12. Либ Е. Лосс М. Анализ. Новосибирск, 1998.
13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.
М., 1976.
14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. М., 1989.
15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т.1-4. М., 1977.
16. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов
с частными производными. Т.1-4. М., 1986.
Зав. кафедрой
Н.Н. Уральцева