Раздел 1. Матрицы и определители.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА
______________________________________________________________________
Кафедра "Высшая математика и информатика"
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор
________________ Ф.Ф.Хараева
« »___________ 2014 г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
«Линейная алгебра»
Направление подготовки: 080100.62 Экономика
Профиль подготовки (для бакалавров): 1. Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
2. Финансы и банковское дело
3. Налоги и налогообложение
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная/заочная
Выпускающая кафедра: 1. «Общеэкономические дисциплины»
2. «Налоги и налогообложение»
3. «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит»
Трудоемкость дисциплины (з.е.): 4
Нальчик 2014
2
Распределение трудоемкости дисциплины по семестрам и видам учебной работы
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (АЗ) (всего),
в том числе:
Лекции (ЛК)
% лекционных часов от АЗ по дисциплине
Лабораторные работы (ЛР)
Практические занятия: (ПЗ)
Семинарские занятия (СЗ)
Текущий контроль (тестирование) (ТК)
% интерактивных форм обучения от АЗ по
дисциплине
Самостоятельная работа (СР) (всего),
в том числе:
Курсовая работа: (КР)
Курсовой проект: (КП)
Расчетно-графические работы (РГР)
Расчётная часть лаб. работ (РЧЛР)
Научно-исследовательская работа
НИР)
Другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточной аттестации (экзамен):
Общая трудоемкость дисциплины и
трудоемкость по семестрам:
Для ОФО
Всего
з.е.
час
1,5
54
з.е.
1,5
Семестр 2
час
54
1
36
1
36
0,5
18
0,5
18
1,75
63
1,75
63
0,75
4
27
144
0,75
4
27
144
з.е.
час
з.е.
час
0.44
16
0.44
16
0.22
8
0.22
8
0.22
8
0.22
8
3,30
119
3,30
119
0,25
4
9
144
0,25
4
9
144
Для ЗФО
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (АЗ) (всего),
в том числе:
Лекции (ЛК)
% лекционных часов от АЗ по дисциплине
Лабораторные работы (ЛР)
Практические занятия: (ПЗ)
Семинарские занятия (СЗ)
Текущий контроль (тестирование) (ТК)
% интерактивных форм обучения от АЗ по
дисциплине
Самостоятельная работа (СР) (всего),
в том числе:
Курсовая работа: (КР)
Курсовой проект: (КП)
Расчетно-графические работы (РГР)
Расчётная часть лаб. работ (РЧЛР)
Научно-исследовательская работа
НИР)
Другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточной аттестации (экзамен):
Общая трудоемкость дисциплины и
трудоемкость по семестрам:
ФГОС-3
Всего
Курс 1
3
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью освоения дисциплины «Линейная алгебра» является: приобретение у будущего
специалиста необходимых базовых навыков для того, что бы расширить кругозор, повысить
уровень мышления и общую культуру для ориентации в профессиональной деятельности и
успешной карьеры.
Для достижения поставленной цели при изучении дисциплины решаются следующие задачи:

освоить основные приемы расчетов рисковых ситуации при помощи математического
аппарата;

научить применять
экономических задач;
все
математические
методы,
для
решения
конкретных

дать представление об основах математики;

научить конструировать и анализировать важнейшие математические алгоритмы.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина «Линейная алгебра» находится в базовой части основной образовательной
программы. Данная дисциплина изучается в начале учебного процесса на 1 курсе, дисциплина
полностью опирается на школьный курс алгебры и геометрии на курс математического анализа . В
начале освоения дисциплины, студент должен
знать:
- основные понятия линейной алгебры с элементами аналитической геометрии;
- основные применения математических функций;
- использование понятия производной;
- основные приложения дифференциальных уравнений.
уметь:
- решать основные математические задачи и примеры;
- проводить анализ задач посредством вычислительного аппарата;
- рассчитывать вероятностные ситуации экономических задач.
владеть навыками:
- математического анализа;
- построения основных моделей.
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра»
Изучение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных
компетенций:
1.Владение культурой мышления, способность к общению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
2.Способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9).
Формирование профессиональных компетенций: способность осуществлять сбор, анализ и
обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1.Знать:
 методы дифференциального и интегрального исчисления;
 ряды и их сходимость, разложение элементарных функций в ряд;
 методы решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка;
 методы линейной алгебры и аналитической геометрии;
 виды и свойства матриц,
 системы линейных алгебраических уравнений,
ФГОС-3
4





N-мерное линейное пространство, векторы и линейные операции над ними;
основные понятия линейной алгебры с элементами аналитической геометрии;
основные применения математических функций в экономике;
использование понятия производной в экономике;
основные приложения дифференциальных уравнений в экономической динамике.
2.Уметь:
 исследовать функции, строить их графики;
 исследовать ряды на сходимость;
 решать дифференциальные уравнения;
 использовать аппарат линейной алгебры и аналитической геометрии;
 решать основные математические задачи и примеры;
 проводить анализ экономических и прикладных задач посредством
вычислительного аппарата;
 рассчитывать вероятностные ситуации экономических задач.
3.Владеть навыками:
 аппаратом дифференциального и интегрального исчисления,
 решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка;
 решения задач линейной алгебры и аналитической геометрии;
 математического анализа;
 построения основных моделей многоотраслевой экономики.
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
1
2
3
Раздел
дисциплины
Раздел1. Матрицы
и определители.
Раздел2. Системы
линейных
уравнений.
Раздел3.
Элементы
матричного
анализа.
Неделя семестра
№
п/п
Семестр
4.1.1. ОБЩАЯ ТРУДОЕМКОСТЬ ДИСЦИПЛИНЫ ОФО составляет 4 з. е.,144 часов.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Лк.
(ч.)
Сем.
(ч.)
СР.
(ч.)
2
1-5
12
6
21
2
6-12
12
6
21
2
13-18
12
6
21
Формы текущего
контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Опрос, решение задач
Опрос, решение задач,
выполнение тестов,
рейтинг-контроль №1
Опрос, решение задач,
выполнение тестов,
рейтинг-контроль
№2,экзамен.
4.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
КУРС
4.1. ОБЩАЯ ТРУДОЕМКОСТЬ ДИСЦИПЛИНЫ ЗФО составляет 4 з. е.,144 часов.
Формы текущего
Виды учебной работы,
контроля успеваемости
№
Раздел
включая самостоятельную
(по неделям семестра)
п/п
дисциплины
работу студентов и
Форма промежуточной
трудоемкость (в часах)
аттестации (по
семестрам)
ФГОС-3
5
Лк.
(ч.)
1
2
3
Сем.
(ч.)
СР.
(ч.)
Раздел 1.
Матрицы и
1
2
2
39
Опрос, решение задач
определители.
Раздел 2. Системы
Опрос, решение задач,
линейных
1
3
3
40
выполнение тестов
уравнений.
Раздел 3.
Элементы
Опрос, решение задач,
1
3
3
40
матричного
выполнение тестов
анализа.
4.2 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» ДЛЯ ОФО/ЗФО
РАЗДЕЛЫ
ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Матрицы и определители.
1
Тема1. Понятие матрицы. Операции
над матрицами. Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Тема2.Определители
квадратных
матриц. Свойства определителей.
0.5
Кол-во
часов
36
18
+
18
2
72
+
Тема 1. Основные понятия и
определения. Система n линейных
уравнений с n переменными.
0.5
18
+
Тема 2. Метод обратной матрицы и
формулы Крамера. Метод Гаусса.
0.5
18
Тема 3. Система m линейных
уравнений с n переменными
0.5
1
+
1
линейных
Тема 4.Модель Леонтьева
многоотраслевой экономики
(балансовый анализ).
+
2
+
3
+
+
2
18
+
+
2
18
+
+
0.5
Раздел3. Элементы матричного
анализа.
1
Тема1.Векторы на плоскости и в
пространстве. N-мерный вектор и
векторное пространство.
0.25
Тема 2.Размерность и базис
векторного пространства. Переход к
0.25
ФГОС-3
Σ
общее колво
компетенци
й
1
+
0.5
Раздел
2.Системы
уравнений.
ПК 4
Кол-во
з/е
ОК 9
ТЕМЫ,
ОК 1
Компетенции
36
9
9
1
+
+
1
+
+
2
1
6
новому базису.
Тема 3.Евклидово пространство.
Линейные операторы.
0.25
Тема 4.Собственные векторы и
собственные значения линейного
оператора.
0.25
9
ИТОГО
ВЕС КОМПЕТЕНЦИИ (Λ)
4
+
1
9
144
8
0.42
5
0.26
+
1
6
0.32
19
1
5.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий ДЛЯ ОФО/ЗФО
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование раздела
дисциплины (модуля)
Раздел 1. Матрицы и
определители.
Раздел 2.Системы
линейных уравнений.
Раздел3. Элементы
матричного анализа.
Лекц.
Занятия
+
Лаб.
занятия
Практич. Семинар. Тестов. Самост.
Занятия
занятия контроль работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Трудое
мкость,
часы
12
Трудое
мкость,
часы
2
5.2. Лекции ДЛЯ ОФО/ЗФО
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование
раздела дисциплины
(модуля)
Раздел 1. Матрицы и
определители.
Содержание раздела
Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители
квадратных матриц. Свойства определителей. Обратная
матрица. Ранг матрицы.
Раздел 2.Системы
Основные понятия и определения. Система n линейных
12
3
линейных уравнений уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и
формулы Крамера. Метод Гаусса. Система m линейных
уравнений с n переменными. Модель Леонтьева
многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Раздел3. Элементы Векторы на плоскости и в пространстве. N-мерный вектор и
12
3
матричного анализа.
векторное пространство. Размерность и базис векторного
пространства. Переход к новому базису. Евклидово
пространство. Линейные операторы. Собственные векторы
и
собственные
значения
линейного
оператора.
Квадратичные формы. Линейная модель обмена.
36
8
Итого:
1
Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по данной дисциплине не предусмотрен.
№
Наименование
раздела Наименование лабораторных работ
Трудоемкость,
п/п дисциплины (модуля)
часы
1.
2.
3.
Итого:
ФГОС-3
7
№
п/п
1.
2.
3.
№
п/п
1.
2.
3.
5.3. Практические (семинарские) занятия ДЛЯ ОФО/ЗФО
раздела Наименование практических (семинарских) Трудоемк Трудоемк
занятий
ость,
ость,
часы
часы
Раздел 1. Матрицы и
Основные
операции
над
матрицами.
6
2
определители.
Нахождение ее определителя по правилу
треугольника и Лапласса.
Раздел 2.Системы линейных
Нахождение решений СЛУ по методу
6
3
уравнений
Крамера, обратной матрицы, методу Гаусса.
Раздел 3. Элементы матричного Вычисление
размерности
и
базиса
6
3
анализа.
векторного
пространства.
Линейнозависимые и независимые вектора.
18
8
Итого:
5.4. Самостоятельная работа ДЛЯ ОФО/ЗФО
Наименование
раздела Вид работы (курсовой проект, курсовая Трудоем Трудоем
дисциплины (модуля)
работа,
реферат,
расчетно-графическая
кость,
кость,
работа, др.)
часы
часы
Раздел 1. Матрицы и
Реферат по теме
21
39
определители.
Раздел 2.Системы линейных
Расчетная работа по методам решения СЛУ
21
40
уравнений
Раздел3. Элементы матричного Расчетная работа
21
40
анализа.
63
119
Итого:
Наименование
дисциплины (модуля)
5.5. Примерные тематики рефератов:
1. Основные сведения о матрицах. Виды матриц.
2. Действия над матрицами.
3. Определители квадратных матриц и способы их вычисления.
4. Свойства определителей.
5. Невырожденные матрицы.
6. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.
7. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы.
8. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
9. Основные понятия и определения.
10. Матричная запись системы линейных уравнений.
11. Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей. Формулы
Крамера.
12. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
13. Декартова прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.
14. Векторы. Координаты вектора.
15. Линейные операции над векторами.
16. Скалярное произведение векторов и его свойства.
17. Угол между двумя векторами.
18. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов. Векторное и
смешанное произведения.
19. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
20. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Общее уравнение прямой.
21. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых.
22. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс,
гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
23. Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости.
ФГОС-3
8
24. Взаимное расположение двух плоскостей: условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
25. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в
пространстве.
26. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения
прямой, проходящей через две точки.
27. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых.
28. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
29. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, эллиптический параболоид,
цилиндрическая поверхность, конус.
6.ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
Текущий контроль успеваемости и качества подготовки студентов в форме ответов на
вопросы и обсуждения подготовленных докладов (рефератов) проводится на семинарских
занятиях для получения необходимой информации о выполнении ими графика учебного процесса,
оценки качества учебного материала, степени достижения поставленной цели обучения и
стимулирования самостоятельной работы студентов.
Промежуточная аттестация студентов проводится в виде рейтинг – контроля, который
проводится в два этапа.
Текущий контроль: контрольные работы
Формы контроля: рейтинговое оценивание.
ФГОС-3
9
Перечень заданий к рейтинг-контролю №1
Найти пределы функций:
1)
; 2)
4)
; 3)
; 5)
, 6)
;
; 7)

Составить уравнение касательной к кривой

Показать, что функция
значение у’(0).

Найти значение дифференциала функции у(х) в точке

Исследовать на экстремумы функцию:

Найти

Для функции

Вычислить интегралы:
1)
4)
ФГОС-3
на
отрезке
.
в точке, где х=1.
удовлетворяет уравнению
[-1,5]
, и найти
. Если
.
наибольшее
и
наименьшее
значение
функции:
провести полное исследование и построить график.
; 2)
; 5)
; 3)
;
; 6)
; 7)
.
10

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Исследовать ряды на сходимость:
a)
; b)

; c)
; d)
Исследовать ряды на сходимость, определить характер сходимости:
а)
; b)
.

Найти область сходимости ряда

Даны комплексные числа
.

Вычислить

Решить уравнения: а)

Найти

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Найти решение задачи Коши:

Найти решение задачи Коши:

Найти общее решение дифференциального уравнения:
ФГОС-3
.
.
. Найти: а)
; б)
в)
; г)
.
общий
; б)
.
интеграл
дифференциального
.
,
,
уравнения:
.
,
.
.
11

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Найти решение задачи Коши:
.
,
,
.

Найти полный дифференциал функции

Найти

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
частные
производные
.
от
сложной
функции
,
в точке
.

Исследовать функцию

Найти производную
от неявной функции

Вычислить интеграл
, где

Вычислить статические моменты однородной плоской пластины
на экстремум.
.
.
.

Вычислить интеграл
, где
.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
.

Вычислить интеграл
и
ФГОС-3
, где
.
-. отрезок прямой, соединяющий точки
12

Вычислить массу части кривой
, если плотность равна

Вычислить работу силы
при перемещении материальной точки вдоль
.
Вычислить интеграл
, где
до точки

- дуга кривой
, от точки
.
Вычислить площадь поверхности части параболоида
плоскостью

и
.
окружности

, заключенной между точками
, отсеченной
.
Вычислить интеграл
, где
пирамиды
- внутренняя сторона
.

Построить на плоскости Оху область интегрирования заданного интеграла:

Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и
изменённом порядках интегрирования.

Вычислить объём тела, ограниченного данными поверхностями:

Изобразить на чертеже данное тело и область интегрирования.

Найти центр тяжести однородной плоской пластины , ограниченной указанными линиями

Найти моменты инерции
для однородной плоской пластины (плотность р=5),
ограниченной указанными линиями:

Найти массу тела, ограниченного поверхностями:
плотность р=

если
.
В каждой точке линии L на материальную точку единичной массы действует сила
Вычислить работу, совершаемую этой силой при движении точки
по линии L из т. А в т. В, если

Найти
, div , rot , а также rot
векторного поля
ФГОС-3
, если
в точке М(1,-2,0) для скалярного поля U и
13
 По формуле Гаусса-Остроградского вычислить поток вектора
пирамиды ABCD, если
через поверхность
А(0;0;0), В(1;0;2), С(0;0;2), D(0;1;2).
Перечень заданий к рейтинг-контролю №2 по дисциплине «Математический анализ»
 Найти матрицу   , если:

1 0
 ,
  2 3
а)   
3  2
 ,   2,   3;
  
5  7
1 1
 1 3 8
2
 ,   
 ,   3,   2;
 4 1 0
 0  3 5
б)   
 1 0 2
3



в)     1 1 0  ,    2
 3 0 1
1



2

0
0  ,   5,   1.
 1  2 
1
 Умножить матрицы:
 2  1  3 0 

;
а) 
5   4 2 
1
б)
 4 5

  7 1 0 1
 ;
в)   3 1   

2
0
1
5


 1 0


 2  1  3 0 1 

 
;
1  1 5 2 
3
 1 0 1

1 5 
3
    2 1 0  ;
г) 
 6  2 7  0 3 2


6  2
0  3
 1 1

 

1  1
1
1 ;
д)  4 0
 1 2  1  0  4
7 

 
1   11  2 
 3 0

 

е)  1 2  1   1
5;
  1 4 0    7
0 


0
1 3


2
ж)  0 1
 1 1  1


 10 1 13 


1
5
 6
  3 1  4


1
 1 0


 0 2  10  .
 1 0
0 

 Вычислить определитель:
а)
ФГОС-3
1 2
;
0 1
б)
1 2
;
2 1
в)
2 3
;
4
6
14
7 5
;
10 7
г)
1
ж)
1
3
3
1
1
4
д)
2 3
;
100 100
1
;
з)
2
1
2
 12
3
 13
0,1
1
е)
и)
;
0,01
;
0,1
5
25
1
 15
5
;
ab a b
.
ab ab
к)
 Решить систему методом Гаусса:
x y z0
x  2 y  2z  1
x  2 y  3z  2
а)
x  y  2z  1
б) 2 x  2 y  3 z  1
x  2 y  4z  1
3x1  5 x 2  3x 3  1
2 x1  x 2  2 x 3  4
x1  2 x 2  2 x 3  1
в)
 4 x1  6 x 2  3x 3  3

г)
4 x1  x 2  6 x 3  2
6 x1  2 x 2  7 x 3  4
Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если х  [0;  ],
f (x)=
Csin x, если х  [0;  ].
Найти: а) константу С; б) Р (Х  [  /3; 5  /4]); в) M[Х]; г) функцию распределения F(x).
 Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если x<5,
f (x)=
C/x5, если х  5.
Найти: а) константу С; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(2<Х<10); д) функцию распределения F(x).
 Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если x<1,
f (x)=
C e-2x, если х  1.
Найти: а) константу С; б) P (|X|  2); в) функцию распределения F(x).

1)
Функция распределения НСВ Х имеет вид:
0, если x<2,
F (x)= (x – 2)2, если 2  х  3
1, если x>3
0, если х  2,
 3
 x  2x
F ( x)  
, если 0  х  1
2)
 3
1, если x  1.
Найти: а) P (0,5  X  2,5); б) M[X]; в) D[X].
ФГОС-3
15
Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов.

Дан закон распределения случайного вектора (X,Y) дискретного типа:
yj
xi
-1
1
0
0,1
0,35
1
0,05
0,25
2
0,05
0,2
а) Найти: Р (Х= -1, Y=1), P(X=1, Y>0), P(X  Y), P(XY  0).
б) Найти безусловные законы распределения каждой из компонент случайного вектора (X,Y).
в) Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y.
г) Построить условный закон распределения случайной величины Y при условии Х=1 и найти
условное математическое ожидание M[Y/X=1].
д) Найти математическое ожидание случайного вектора (mx, my), дисперсии DX, DY каждой
компоненты, ковариацию KXY и коэффициент корреляции  XY.

Дан закон распределения случайного вектора (X,Y):
yj
xi
-1
0
1
0
0,3
p
0,35
1
0,12
0,05
0,03
Найти: р, Р (Х=0, Y=0), P(X  Y), P(X  0, Y=1).
Выполнить задания б) – д) из предыдущей задачи для данного случайного вектора.

Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – количество выпадений
нечетного числа очков, Y – количество выпадений единицы. Построить закон
распределения случайного вектора (X,Y). Найти Р(X  Y).

Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: Х – индикатор четного
числа выпавших очков (Х=1, если выпало четное число, и Х=0 – в остальных случаях), Y –
индикатор числа очков, кратного трем (Y=1, если выпало число, кратное трем, и Y=0 в
противном случае). Построить закон распределения случайного вектора (X,Y) и
безусловные законы распределения компонент. Зависимы или нет случайные величины Х
и Y? Вычислить mX, mY, DX, DY,  XY.

Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле равна 0,6. Случайные величины: Х – число промахов, Y –
индикатор попадания при первом выстреле (Y=1, если при первом выстреле было
попадание в мишень, и Y=0 – в остальных случаях). Построить закон распределения
случайного вектора (X,Y) и безусловные законы распределения компонент. Вычислить mX,
mY, DX, DY,  XY. Зависимы или нет случайные величины Х и Y?

Производится два независимых выстрела по цели с вероятностью попадания в цель, равной
0,6 при первом выстреле и 0,8 при втором. Случайные величины: Х – число попаданий при
первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. Построить закон
распределения случайного вектора (X,Y).

Из колоды в 36 карт наугад достают одну карту. Случайные величины: а) Х – число
вынутых тузов, Y – число вынутых крестовых карт; б) Х – число вынутых тузов, Y – число
вынутых карт-картинок. Построить закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти
коэффициент корреляции  XY. Выяснить, зависимы Х и Y или нет.
ФГОС-3
16
Определения его компонент:
yj
xi
0
1
3
P(X=xi)
0
0,1
0,15
0,3
1
0,3
P(Y=yj)
0,25
Заполнить пустые клетки в таблице. Найти mX, mY, KXY. Зависимы или нет Х и Y?

В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты.
Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых
дефектов.

Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из
большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того,
что она бракованная.

Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий:
А1 - выпало число 5; А2 – выпало число, кратное трем; А3 – выпало число, меньшее
5.
Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее
число очков. Рассмотрим события: А1 – выпавшее число кратно трем; А2 –
выпавшее число нечетно; А3 – выпавшее число не меньше трех; А4 – выпавшее
число не больше двух; А5 – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих
событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят

события  2,,  3, А1А2, А1+А2, А1А3, А1+А3, А1А4, А1+А4, А1А5, А2А3, А2А5, А2+А5,
А3А4, А3+А4, А3А5, А3+А5, А4+А5, А1+А2+А5.

Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки.
Наблюдаемый результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим
события: А1 – число бракованных калькуляторов не более трех; А2 – бракованных
калькуляторов – три; А3 – число бракованных калькуляторов не менее двух; А4 –
есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А5 – есть хотя бы один калькулятор с
браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными.
Сформулировать, в чем состоят события  1,  2,  4,  5, А1А3, А1+А3, А2А3,
А2+А3, А1А5, А1+А5, А2+А4, А2А5, А3А4, А3+А4.

Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4
различных дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных
дефектов. Рассмотрим события: А1 – обнаружен один дефект; А2 – обнаружено два
дефекта; А3 – обнаружено три дефекта; А4 – обнаружены все дефекты; А5 –
обнаружен хотя бы один дефект; А6 – обнаружено не менее двух дефектов; А7 –
обнаружено не более двух дефектов. Выяснить, какие события являются попарно
несовместными. Сформулировать, в чем состоят события  4,  5,  7, А1А5,
А1+А5, А1А6, А1+А6, А1А7, А1+А7, А3А4, А3+А4, А5А7, А5+А7, А6А7, А6+А7,
А2+А3+А4.
 Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.1. Событие Аk –
элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4; событие В – разрыв цепи.
Выразить событие В в алгебре событий А1, А2, А3, А4.
2
1
4
3
Рис. 1
ФГОС-3
17
 Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Событие Аk –
элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4,5; событие В – разрыв цепи.
Выразить событие В в алгебре событий А1, А2, А3, А4, А5.
1
2
3
4

5
Рис. 2
Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара.
Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В
среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что
наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов.
Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного
срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти
вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного
срока.

Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа
выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2%
брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое
изделие этой фабрики окажется бракованным.
 Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку.
Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и
существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан
дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет
признан дефектным.

В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и
треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из нее извлекается
шар. Найти вероятность того, что он – черный.

Из урны, содержащей 5 белый и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну,
содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад
шар из второй урны окажется белым.

Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных
шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара.
Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары
были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

 Дан закон распределения ДСВ Х:
хi
рi
ФГОС-3
-1
0,2
0
р
2
0,3
18
Найти: а) вероятность р; б) Р (Х  0); в) Р(-1<X<3); г) P(-2  X<0); д) P(X>-1); е) функцию
распределения F(x). Построить график функции распределения и полигон. Вычислить М [Х] и
D[Х].

хi
рi
Дан закон распределения ДСВ Х:
1
2
3
5
0,2
0,1
0,4
0,3
Найти: а) Р (Х>2); б) Р(1,5    3, 5); в) Р (Х<4); г) Р(2  Х<5); д) функцию
распределения; е) M[Х]; ж) D[Х]. Построить график функции распределения и полигон.
 Дан закон распределения ДСВ Х:
хi
рi
0
р1
2
р2
3
¼
Найти р1 и р2, если М [Х]=1. Найти: а) P(-1<X<3); б) P(0<X  3); в) P(2  X<4); г) D[Х].
Построить график функции распределения.
 По формуле Стокса вычислить циркуляцию вектора
по треугольнику АВС, если
, А(0;0;0), В(2;0;-2), С(2;2;-2).
 Лотерея выпущена на сумму 1200 руб. Цена одного билета 15 руб. Ценные выигрыши
падают на 20 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша, если куплено 2
билета.
 На сборку поступило 1500 деталей с первого автомата и 1000 деталей со второго. Первый
автомат дает 0,2% брака, а второй – 0,4%. Найти вероятность того, что наугад взятая
деталь окажется бракованной.
 Подбрасывается 5 игральных костей. Найти вероятность того, что выпадет более одной
«шестерки».
 Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу.
Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места.
 Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб
выпадает с вероятностью
. Для случайного числа появлений герба построить ряд
распределения, многоугольник распределения и функцию распределения.
 Изготовленное изделие считается изделием высшего сорта, если отклонение его размеров
от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения
размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону с параметрами
и
. Определить среднее число изделий высшего сорта среди изготовленных 10
ФГОС-3
19
изделий.
Дана функция распределения
.

Найти м.о.

Среди 10 собранных агрегатов 4 нуждаются в дополнительной смазке. Пусть
число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу
и вероятность
.
отобранных из общего числа. Найти м.о.
распределения случайной величины
и
. Как называется закон
?

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5.
Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от
его вероятности не более, чем на 0,02.

Из поступивших в ремонт 9 механических часов 6 нуждаются в общей чистке
механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы,
нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает
дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов и
найти дисперсию

.
По выборке построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму,
проверить гипотезу о нормальном распределении для уровня значимости
,
определить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с
доверительной вероятностью
8
11
14
17
20
23
26
29
10
12
15
20
18
16
11
9
Задана дискретная двумерная случайная величина (Х,У):
У\Х
1
6
9
2
0,05
0,1
0,2
4
0,1
0,06
0,04
5
0,03
0,07
0,05
Найти:
а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х;
ФГОС-3
8
0,08
0,2
0,02
20
б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение У;
в) корреляционный момент;
г) коэффициент корреляции;
е) уравнения линейных среднеквадратических регрессий;
ж)условные математические ожидания
,
.
Непрерывная двумерная случайная величина
распределена равномерно внутри
прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 15 и 30,
параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность распределения
вероятности; b) плотности распределения составляющих; c) условные плотности
распределения составляющих;d) функцию распределения
.
Задана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины
Найти: a) функцию плотности совместного распределения
; b) вероятность попадания
случайной точки в прямоугольник, определяемый неравенствами:

:
.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной
величины
:
в квадрате
вне квадрата
. Найти: a) параметр
составляющих; c) корреляционный момент.
; b) математические ожидания
Итоговый контроль: экзамен.
Формы контроля: письменная работа
Перечень вопросов для подготовки к экзамену.
1. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.
Свойства сложения векторов.
2. Понятие линейной зависимости векторов.
3. Линейные комбинации двух и трех векторов. Линейная зависимость четырех векторов.
4. Понятие базиса. Аффинные координаты.
5. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой.
6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
7. Окружность.
8. Эллипс.
9. Нормальное и общее уравнение окружности. Эллипс - фокус, эксцентриситет, вершины.
10. Гипербола.
11. Парабола.
12. Кривые гиперболического типа. Асимптоты гиперболы. Парабола – фокус, директрисы.
13. Производная.
14. Приложения производной. Дифференциал функции
15. Неопределенный интеграл
16. Определенный интеграл.
17. Дифференциальные уравнения
18. Основные сведения о матрицах.
19. Понятие матрицы. Виды матриц.
20. Теорема Крамера.
ФГОС-3
;
21
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
ФГОС-3
Ранг матрицы.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Операции над матрицами.
Векторы на плоскости и в пространстве.
Теорема Кронекера-Капелли.
Квадратичная форма.
Обратная матрица.Алгоритм вычисления обратной матрицы.
n-мерный вектор и векторное пространство.
Размерность и базис векторного пространства
Уравнения прямой проходящие через две данные точки.
Уравнение линии на плоскости.
Система линейных однородных уравнений. Свойства и определение.
Теорема Евклидового пространства. Определение Евклидового пространства.
Переход к новому базису.
Основная задача межотраслевого баланса.
Фундаментальная система решения.
Определение и теорема
Символика математической логики и ее использование.
Множество действительных чисел. Комплексные числа, действия с ними.
Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.
Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Ф-ла Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел.
Функция. Область ее определения. Способы задания.
Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции.
Класс элементарных функций.
Числовые последовательности и их пределы. Свойства сходящихся последовательностей.
Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие
величины.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых. Основные теоремы о пределах функций.
Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.
Определение непрерывности функции. Классификация точек разрыва функции.
Непрерывность суммы, произведения и частного двух функций. Непрерывность сложной
функции.
Непрерывность элементарных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего
и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
Числовой ряд. Сумма ряда.
Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак
Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Применение рядов к приближенным вычислениям.
Понятие о рядах Фурье. Формула Эйлера-Фурье.
Приложение функциональных рядов.
Предмет теории вероятностей.
Случайные события. Алгебра событий.
Аксиоматическое определение вероятности. Классическое определение вероятности.
Формулы комбинаторики. Геометрические вероятности. Условная вероятность. Правило
умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Формула Пуассона.
Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
22
73. Понятие случайной величины. Закон распределения.
74. Функция распределения случайной величины.
75. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Плотность
распределения.
76. Роль и назначение числовых характеристик случайной величины.
77. Математическое ожидание и его свойства.
78. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
79. Дискретные случайные величины: биномиальное распределение, геометрическое
распределение, распределение Пуассона.
80. Непрерывные случайные величины: равномерное распределение, показательное
распределение, нормальное распределение.
81. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
82. Системы случайных величин.
83. Функция распределения и плотность распределения вероятностей двумерной случайной
величины.
84. Условные законы распределения.
85. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент,
коэффициент корреляции.
86. Двумерное нормальное распределение.
87. Регрессия.
88. Неравенство Чебышева.
89. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
90. Предмет и задачи математической статистики.
91. Генеральная и выборочная совокупности.
92. Способы отбора. Вариационный ряд.
93. Статистическая функция распределения. Графическое изображение статистических рядов.
94. Основные понятия теории оценок. Классификация точечных оценок. Метод моментов.
95. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы.
96. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения нормального распределения.
97. Статистическая гипотеза.
98. Статистический критерий проверки гипотезы. Ошибки первого и второго рода.
99. Уровень значимости статистического критерия. Мощность критерия.
100.
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
№
п/п
Наименование (автор, название)
Основная литература
1. Скрыдлова Е.В. Линейная алгебра. – М.: Феникс, 2012
2. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа.
3.
1.
2.
3.
4
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа,
-431с.
Дополнительная литература
. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:
Наука, -200с
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т. 1. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии. – Дрофа, -203с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.
2.Дифференциальное и интегральное исчисление. – Дрофа, -521с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т. 3.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК.-
ФГОС-3
Кол-во
Год
в библиздания
ке
2012
5
2008
1
2009
1
2006
2008
2007
2004
23
5
6
7
8
9
1
2
3
4
Дрофа, -433с
Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.М.: Физматлит, -144с..
Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория вероятностей и ее инженерные
приложения. - М.: Высшая школа,
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, -326с
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, -463с.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.:
Наука, -206с.
Интернет-ресурсы
Карчевский Е.М., Карчевский М.М. Лекции по линейной алгебре
и
аналитической
геометрии.
Электронный
учебник.
(http://kpfu.ru/docs/F974037543/A_G_Ne_.pdf )
Конев В.В. Линейная алгебра Электронный учебник. – Томск, 2008
(http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/index1.htm)
Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра.
Электронный учебник – М.,2005
(http://www.inm.ras.ru/vtm/lection/all.pdf)
Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. –М., 2011
(https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/ff4/Umnov-AnGeom-iLinAl-arph0duocc9.pdf)
2001
2006
2008
2007
2007
2012
2008
2005
2011
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)
1.
1.1.
1.2.
2.
2.1.
2.2.
Лекционные занятия
Комплект электронных презентаций/слайдов,
Аудитория, оснащенная презентационной техникой
Практические занятия
Компьютерный класс,
Презентационная техника (проектор, экран, компьютер/ноутбук),
Рабочая учебная программа по дисциплине «Линейная алгебра» составлена в соответствии с
требованиями Федерального Государственного образовательного стандарта ВПО с учетом
рекомендаций ПрООП ВПО по направлению 080100.62 –«Экономика»
Автор(ы) Думаева Л.В.
Рецензент(ы) Анисимов Д.А.
Заведующий кафедрой ВМИ: Д.А. Анисимов
ФГОС-3
24
Рабочая учебная программа рассмотрена на заседании учебно-методического совета Института
протокол № 9 от «27» мая 2014г. и признана соответствующей требованиям Федерального
Государственного образовательного стандарта и учебного плана по направлению 080100.62
«Экономика»
Председатель УМС
______________ Ф.Ф. Хараева
Программа согласована с УМУ
______________ Ф.Я. Шаваева
ФГОС-3