теор вер задачи учит

Задачи и вопросы для уроков
1. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и
черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?
2. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей.
Какова вероятность того, что среди них окажется по крайней мере одна кость
с шестью очками?
3. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность, что
оно: а) одинаково читается как слева направо, так и справа налево; b) состоит
из нечетных цифр; c) четное?
4. Среди кандидатов на предстоящую конференцию студентов 3
первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава
наудачу выбирают 5 человек. Какова вероятность того, что: а) будут
выбраны одни третьекурсники; b) все первокурсники попадут на
конференцию; с) не будет выбрано ни одного второкурсника?
5. Из колоды карт (их 36) наугад вынимают 2 карты. Найти
вероятность, что среди них окажется хотя бы одна дама.
6. Из колоды карт (их 36) наудачу вынимают 5 карт. Найти вероятность
того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки?
7. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти
вероятность того, что: а) в полученной выборке все карты бубновой масти; b)
окажется хотя бы один туз.
8. Из пяти карточек, на которых написаны цифры от 1 до 5, случайно
выбирают три карточки и раскладывают их в порядке поступления в ряд
слева направо. Найти вероятность того, что появится: а) число 123; b) число,
не содержащее цифры 5; с) число, состоящее из последовательных цифр; d)
четное число; e) число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3.
9. Колоду из 36 карт поделили случайным образом на две равные
части. Найти вероятность того, что: а) в каждой половине по 2 дамы; b) в
одной половине одна дама, а в другой – 3; c) все 4 дамы в одной части
колоды.
10. За круглый стол случайным образом рассаживают 10 человек,
найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом.
11. Семь человек рассаживаются наудачу на скамейке. Какова
вероятность того, что два определенных человека будут сидеть рядом?
12. 5 мужчин и 5 женщин случайным образом рассаживаются в ряд на
10 мест. Найти вероятность того, что: а) никакие два мужчины не будут
сидеть рядом; b) все женщины будут сидеть рядом.
13. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление
любого числа на регистре равновероятно, найти вероятность того, что: а) во
всех разрядах стоят нули; b) во всех разрядах стоят одни и те же числа; с)
регистр содержит ровно две одинаковые цифры.
14. Парадокс де Мере. Подбрасывают три игральные кости и
подсчитывают сумму выпавших очков. Де Мере заметил, что появление
одиннадцати очков возможно при шести комбинациях (6-4-1, 6-3-2, 5-5-
1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3) и появление двенадцати очков возможно при шести
комбинациях (6-5-1, 6-4-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4). Объяснить
парадоксальность ситуации, которая состоит в том, что вероятности
появления в сумме 11 и 12 очков не равны.
15. В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них
независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второго) этаже.
Какова вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; b) все вышли
на одном этаже; c) все вышли на 9 этаже; d) на втором, третьем и четвертом
этажах не выйдет ни одного человека; e) двое выйдут на восьмом этаже?
16. Двенадцать студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным
образом занимают очередь в столовой. Какова вероятность, что между
Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?
17. Числа 1, 2, 3, …, 9 записаны в случайном порядке. Найти
вероятности того, что: а) числа записаны в порядке возрастания; b) числа 1 и
9 стоят рядом и в порядке возрастания; с) на четных местах стоят четные
числа; d) сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от
концов равна 10.
18. На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы Е, Е, Л, П, П.
Какова вероятность того, что при случайном выкладывании этих букв в ряд
получится слово ПЕПЕЛ?
19. Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем
все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в
случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово
МАТЕМАТИКА?
20. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятность того, что: а)
выпадут 3 единицы, две тройки и одна пятерка; b) выпадут различные
цифры; с) выпадут три одинаковые цифры.
21. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент
знает 50. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов
студент знает: а) все вопросы; b) два вопроса.
.22. В кондитерской имеется 7 видов пирожков. Покупатель выбил чек
на 4 пирожка. Считая, что любой заказываемый набор пирожков
равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал: а)
пирожки одного вида; b) пирожки разных видов; c) по два пирожка
различных видов.
23. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить
вероятность того, что ровно на двух костях выпадет 6 очков.
24. При проведении фуршета на стол поставили пять бокалов
шампанского, три бокала белого вина и два бокала красного вина. К столу
подошли семь человек и взяли по одному бокалу. Найти вероятность того,
что на столе осталось по одному бокалу каждого напитка. (Будем
предполагать, что для каждого из гостей все напитки одинаково
привлекательны).
25. На заводе работает 30000 рабочих и служащих. Показать, что на
данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми
инициалами фамилии, имени и отчества.
26. В коробке 6 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу
вынимают 2 карандаша. Какова вероятность того, что все они разных цветов?
27. Из множества чисел {1, 2, …, 100} выбирается два числа. Какова
вероятность того, что второе число больше первого, если выбор
осуществляется без возвращения?
28. На отрезке [0,5] случайно выбирается точка. Найти вероятность
того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6
единиц.
29. Стержень длины l разломан в двух наугад выбранных точках. Найти
вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.
30. (Задача о встрече) Два студента условились встретиться в
определенном месте между 14 и 15 часами дня. Пришедший первым ждет
второго в течении 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что
встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего
прихода?
31. Один раз подбрасывается игральная кость. События А = {выпало
простое число очков}, B = {выпало четное число очков}. Вычислить
вероятность P(A|B).
32. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить
равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет
сбит.
33. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки –
независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что
оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.
34. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые
события: А= {на трех костях выпадут разные грани}, B = {хотя бы на одной
из костей выпадет шестерка}. Вычислить P(B|A) и P(A|B).
35. В группе учатся 10 студентов. Для решения задачи у доски любого
из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. В
группе три отличника. Найти вероятность того, что вторую задачу к доске
пойдет решать отличник, при условии, что первую задачу тоже решал
отличник.
36. Бросается игральная кость. Пусть событие А = {появление четного
числа очков}, событие В = {появление более трех очков}. Зависимы или нет
события А и В?
37. Игральная кость подброшена дважды. Зависимы ли случайные
события А = {число очков при первом бросании равно 5} и В = {сумма очков
при двух бросаниях равна 9}?
38. Пусть Р(А) = 1/2, P(B) = 1/3. Верно ли, что P( A  B)  3 / 8 ?
39. События А и В независимы, Р(А) = Р(В) = 1/4. Найти P( A  B ) .
40. P( A  B) будет больше в случае А и В независимых или А и В
несовместных?
41. Из колоды карт (36 карт) подряд вытаскиваются две карты.
Рассматриваются события: А = {первая карта имеет пиковую масть}, В = {обе
карты красного цвета}. Зависимы ли события А и В?
42. В ящике имеются две партии по 100 деталей, в каждой из которых
по 10 бракованных деталей. Из ящика извлечена одна деталь. Зависимы ли
случайные события А = {извлеченная деталь из первой партии} и В
={извлеченная деталь бракованная}?
43. В ящике имеются две партии по 100 деталей. В первой партии – 10
бракованных деталей, во второй – 20 бракованных. Из ящика извлечена одна
деталь. Зависимы ли случайные события А = {извлеченная деталь из первой
партии} и В = {извлеченная деталь бракованная}?
44. В группе из 1 000 человек 452 имеют текущие счета, 336 –
депозитные счета, а 302 – и текущие, и депозитные. Определить, являются ли
события {обладание текущим счётом} и {обладание депозитным счётом}
независимыми?
Ответы
1. 7/9; 2 0,902; 3. а) 1/100; b) 5/144; с) 1/2; 4. а) 1/143; b) 2/91; с) 12/143;
5. 0,213;
6. 0,000064; 7. а) 0,264∙10−2; b) 0,2813; 8. а) 1/60; b) 2/5; c) 1/20; d) 2/5; e)
9/10;
9. а) 0,3974; b) 0,4987; с) 0,1039; 10. 2/9; 11. 2/7; 12. а) 2(5!)2/10!; b)
6∙(5!)2/10!;
13. a) 10−8; b) 10−7; c) 0,17; 15. a) 0,41; b) 0,00195; c) 0,00024; d) 0,1526;
e) 0,07178; 16. 1/11; 17. a) 1/9!; b) 1/9; c) 1/126; d) 1/945; 18. 1/30; 19. 24/10!;
20. а) 0,0013; b) 0,0154; с) 0,3215; 21. a) 0,573; b) 0,36;
22. а) 1/30; b) 1/6; c) 1/10; 23. 0,151; 24. 0,25; 26. 9/13; 27. 0,5; 28. 0,32;
29. 0,25; 30. 11/36; 31. 1/3; 32. 1/4; 33. 1/3; 34. 1/2; 60/91; 35. 2/9; 36.
Зависимы;
37. Зависимы; 38. Верно; 39. 13/16; 40. В случае несовместных А и В;
41. Зависимы, несовместны; 42. Независимы; 43. Зависимы;
44. Не являются.