325моя статья РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ИСТЕЧЕНИЯ РАЗНЫХ

УДК 533.17
РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ИСТЕЧЕНИЯ РАЗНЫХ ПО ХИМИЧЕСКОМУ СОСТАВУ И СТРОЕНИЮ ГАЗОВ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И СОПЕЛ
А.М. Боровской
Институт Электрофизики и Электроэнергетики Российской Академии Наук
В последние десятилетия получили широкое практическое применение плазмотроны – генераторы низкотемпературной плазмы, предназначенные для нагрева газов до
высоких температур; принцип действия которых: эл. дуга, температура которой достигает несколько тысяч градусов, при взаимодействии с плазмообразующим газом, происходит его интенсивный нагрев. Для плазмотронов большой мощности это возможно,
если обеспечивается стойкость его электродов. Одним из способов организации эффективного процесса нагрева рабочего газа является вихревая стабилизация дуги, суть которой в том, что дуга горит в цилиндрическом или в коническом канале, в который газ
подводится тангенциально. Таким образом, при движении в канале газ имеет осевую и
окружную составляющие скорости, при этом благодаря центробежной силе основная
масса относительно холодного (более плотного) газа течёт вдоль стенки канала. Дуга,
являясь источником горячего (более разреженного) газа, располагается вблизи оси канала. Экспериментальные и теоретические данные свидетельствуют, что при правильном выборе геометрии канала вихревая стабилизация дуги позволяет эффективно
нагревать рабочий газ, обеспечивая сжатие столба дуги и фиксацию его по оси сопла
плазмотрона и является одной из основных характеристик плазмотрона. По хим. воздействию на электроды плазмотрона все плазмообразующие среды разделяют на
инертную, восстановительную и окислительную группы. При работе в инертной среде,
например, с аргоном или гелием, электроды плазмотронов из вольфрама практически
не изнашиваются; а плёнкозащитные катоды плазмотронов обладают высокой стойкостью в активных средах, например, в воздухе, в углекислом газе или в азоте. В этой
связи вызывают интерес невыявленные зависимости газодинамических параметров рабочих газов от их хим. состава и строения при различных условиях истечения газов из
разнообразных отверстий и сопел, т.к. физически истечение газов существенно отличается от истечения жидкости. В опытных исследованиях применяется доведённая до
технологического использования модель генератора плазмы с техническими характеристиками: мощностью до 10кВт и массовым расходом рабочего газа 3г/с , определяющими среднемассовую температуру разогретого газа, т.е. плазмы, порядка от 2500 до
4000 К. В ходе этих исследований истечения разогретого газа происходят в дозвуковом
режиме, т.к. скорость истечения газа меняется от 10 до 1000м / с , но не превышает
скорости звука; поэтому возникает задача изменения геометрических параметров канала истечения для достижения звуковой скорости газа с целью максимального охлаждения и сжатия столба эл. дуги плазмотрона. На рисунке 1 представлена упрощённая схема этой опытной установки с отверстием диаметром D2 , из которого течёт газ; температура газа внутри трубы T1  2500К ;4000К ; а на выходе давление газа соизмеримо с
атмосферным давлением ( p2 ~ 105Па ); при этом диаметр отверстия D2 необходимо подобрать такой, чтобы газ на выходе разогнался до звуковой скорости с массовым расходом струи вылетающего газа Qm . С целью сравнения газодинамических свойств в
качестве исследуемых газов были выбраны: воздух, углекислый газ, азот, кислород,
параводород, водород, фтор и аргон.
Рисунок 1. Упрощённая схема опытной установки
Для решения этой задачи составляем следующую систему уравнений, предполагая
идеальность газа:

Qm  1  V1    D12 / 4

2
(1), где:
Qm   2  V2    D2 / 4

2
2
c p  T1  V1  c p  T2  V2  c p  T0  h0

2
2




V1 - скорость течения газа внутри трубы; 1 - плотность газа внутри трубы; T1 - температура газа внутри трубы; V2 - скорость течения газа на выходе;  2 - плотность газа на
kR
выходе; T2 - температура газа на выходе; c p 
 Const - удельная теплоём( k 1)  
кость газа при постоянном давлении;
k - показатель адиабаты газа;
R  8,31 Дж /( К  моль) - универсальная газовая постоянная;  - молярная масса газа; h0 энтальпия заторможенного газа, т.е. полная энтальпия газа; T0 - температура торможения газа. Первые два уравнения системы (1) для определения расхода газа, а последнее
уравнение этой системы – уравнение энергии для адиабатного процесса. Путём математических выкладок (подробно см. приложение) из второго уравнения системы (1) получаем:
4  Qm
(2)
   2  V2
В случае решения подобной задачи для реальных газов получается следующая система уравнений:

Qm  1 ( p1 , T1 )  V1    D12 / 4

2
(3), где:
Qm   2 ( p2 , T2 )  V2    D2 / 4

2
2
h1 ( p1 , T1 )  V1  h2 ( p2 , T2 )  V2  h0 ( p0 , T0 )

2
2
D2 
h1 - энтальпия газа внутри трубы; h2 - энтальпия газа на выходе; p0 
1  V12
 p1 - дав2
ление заторможенного газа, т.е. полное давление газа внутри трубы; D2 вычисляется по
формуле (2) так же, как и в случае с идеальными газами (математические выкладки см.
в приложении). Если учитывать приближение Ван-дер-Ваальса, предполагающее введение в уравнение состояния идеального газа (уравнение Клайперона-Менделеева) некоторых поправок, согласующих газодинамические свойства реальных газов с идеальными, то решение этой задачи сводится к решению системы уравнений (1), такой же,
как и в случае с идеальными газами, но при решении задач с применением приближения Ван-дер-Ваальса сначала выразим 1 из уравнения Ван-дер-Ваальса:
p  b  R  T1
a~  b 3 a~
 1  2  12  1
 1  p1  0 (4), где:
3



a~ и b - экспериментальные константы, которые учитывают отклонение свойств реаль~
ных газов от свойств идеальных газов; при этом отношение a~ / V 2 имеет размерность
~
давления ( V - объём газа) и учитывает притяжение микрочастиц газа в результате их
межмолекулярного взаимодействия, а b - константа-поправка на собственный объём
молекул, учитывающая межмолекулярное отталкивание на близких расстояниях. Затем
находим V1 , T0 , T2 , V2 так же, как и в случае с идеальными газами, при этом находим
 2 из уравнения Ван-дер-Ваальса:
p  b  R  T2
a~  b 3 a~
  2  2   22  2
  2  p2  0 (4)
3



В итоге, вычисляем D2 по формуле (2), так же, как и в случае с идеальными газами и,
используя [2], [13] и [14], рассчитываем константы a~ и b для рассматриваемых газов
(результаты расчётов представлены в таблице 1).
Таблица 1
Газ
воздух
углекислый газ ( CO2 )
азот ( N 2 )
кислород ( O2 )
параводород ( H 2 )
нормальный водород ( H 2 )
фтор ( F2 )
аргон ( Ar )
a~ , Па  м 6 / моль 2
1,3078
0,3652
0,1367
0,1371
0,0245
0,0237
0,1136
0,1326
5
b , 10  м 3 / моль
11,4127
4,2804
3,8617
3,1585
2,6495
2,5381
2,8117
3,1341
Далее на рисунках 2 – 9 представлены графические зависимости диаметра отверстия D2 от температуры внутри трубы T1 для рассматриваемых газов
( T1  2500К ;4000К ).
Рисунок 2. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с воздухом
Рисунок 3. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
Рисунок 4. Зависимость диаметра отверстия
D2
Рисунок 5. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с
от температуры внутри трубы T1 в случаях с
в случаях с
CO2
N2
O2
Рисунок 6. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с параводородом
H2
Молекулы параводорода и нормального водорода состоят из двух атомов водорода, т.е. одинаковы по хим. составу, но небольшое различие атомов параводорода объясняется разной взаимной ориентацией их ядерных спинов [3], [4].
Рисунок 7. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с нормальным водородом
H2
Зависимости диаметра отверстия D2 от температуры внутри трубы T1 для нормального водорода и параводорода в случае реального газа существенно не отличаются
друг от друга (см. рисунки 6 и 7 соответственно).
Рисунок 8. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с
F2
В случае реального газа график этой зависимости – сложная кривая, представляющая собой совокупность вогнутой и выпуклой парабол, а диаметр отверстия в случае
реального газа много больше, чем в случае идеального газа (см. рисунок 8), т.к. молекулы фтора состоят из двух одинаковых атомов, т.е. хим. элементов, принадлежащих
VII группе таблицы Менделеева и поэтому являющихся галогенами.
Рисунок 9. Зависимость диаметра отверстия
D2 от температуры внутри трубы T1
в случаях с
Ar
Графики зависимости диаметра отверстия D2 от температуры внутри трубы T1 для
аргона во всех случаях представляют собой выпуклые параболы, а диаметр отверстия в
случае реального газа немного больше, чем в случае идеального газа (см. рисунок 9),
т.к. аргон является инертным, т.е. атомным газом, атомы которого принадлежат VIII
группе таблицы Менделеева.
В итоге очевидно, что зависимости диаметра отверстия D2 от температуры внутри трубы T1 для идеальных газов и газов с учётом Ван-дер-Ваальсовского приближения
почти совпадают для всех рассматриваемых газов, т.к. температуры внутри трубы T1
превышают их критические температуры; а графики для реальных газов в основном заметно отличаются от графиков в идеальных случаях; при этом зависимости диаметра
отверстия D2 от температуры внутри трубы T1 для идеальных случаев представляют
собой выпуклые параболы, а в случаях реальных газов графики этой зависимости – в
основном выпуклые или вогнутые параболы, за исключением фтора.
Далее на рисунках 10 – 17 представлены графические зависимости температуры
газа на выходе T2 от температуры внутри трубы T1 для рассматриваемых газов
( T1  2500К ;4000К ).
Рисунок 10. Зависимость температуры воздуха -
Рисунок 11. Зависимость температуры
T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
CO2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 12. Зависимость температуры
N 2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 13. Зависимость температуры
O2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 14. Зависимость температуры параводорода
H 2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 15. Зависимость температуры нормального водорода
H 2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 16. Зависимость температуры
F2 - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Рисунок 17. Зависимость температуры
Ar - T2 на выходе от температуры внутри трубы T1
Для всех рассматриваемых газов графические зависимости их выходной температуры T2 от температуры внутри трубы T1 для идеальных и реальных газов заметно отличаются друг от друга, при этом зависимости выходной температуры T2 от температуры внутри трубы T1 для идеального газа и с учётом приближения Ван-дер-Ваальса
очень близки и представляют собой прямые, а для большинства рассматриваемых реальных газов – это сложные кривые, кроме азота и аргона, графики которых прямолинейны.
Используя параметры газа на выходе из отверстия или сужающегося сопла, полученные в процессе решения задачи истечения газа (см. рисунки 2 – 17), т.е. зная диаметры выходных отверстий и выходные температуры, можно найти распределения
скоростей и температур на оси струи, распространяющейся в покоящейся среде, т.е. в
u max 6,4  d 0

воздухе при Tср  20С и pср  p2  1атм . Из выражения
(см. формулу
u0
x
(380) из источника [1]) видно, что струя в пределах начального участка (1) (см. рисунок
60 из источника [1]) при x  6,4  d0  6,4  D2 ещё не полностью развита, поэтому, учитывая формулу (380) из источника [1] и формулу (10-8) из источника [12], получим:
umax ( x)  u0  V2 ; hmax ( x)  h2
 Tmax ( x)  T2 ;
в пределах переходного участка (2) при x  6,4  d0 ;7  d0  :
6,4  u0  d0 6,4  V2  D2
umax (x) 

; hmax ( x)  h2
x
x
на основном участке (3), т.е. при x  7  d0  7  D2 :

 u  uср 


 hср  u max  uср 
h  hср
6,4  u0  d 0 6,4  V2  d 0
u max ( x) 

x
x
;
hmax
Tmax ( x)  T2 ;
Prт

hmax  hср  Koef  umax  uср 
Prт
, где:
umax - скорость на оси струи; hmax - энтальпия на оси струи; Tmax - температура на оси
струи; hср - энтальпия на оси струи; h - энтальпия в произвольной точке струи; uср - скорость окружающей среды (по условию задачи uср  0 - покоящаяся среда); u - скорость
в произвольной точке струи; Koef - коэффициент пропорциональности между избыточной энтальпией и избыточной скоростью; Prт - турбулентное число Прандтля (для
осесимметричных
hmax  Koef  u
0 ,8
max
струй
Prт  0,8
,
а
для
плоских
струй
Prт  0,5 );
 hср  при x  7  d0  7  D2 (в начальном сечении основного участка):
0 ,8
h2  Koef  umax
x  7d 0
 hср  Koef 
h2  hср
u
0 ,8
max x  7  D2
 hmax 
h2  hср
0,8
 umax
 hср
0,8
umax x7D2
 hmax (x)
 c , если газ идеальный или Ван - дер - Ваальсовский
Tmax (x)   p
T  (h (x), p)
, если газ реальный
max
p 1атм
 max
На основании полученных математических зависимостей, связывающих скорость
и температуру истекающей газовой струи от её удалённости от выходного отверстия
или сопла, т.е. от продольной координаты этой струи, были построены графические газодинамические зависимости, характеризующие распределения скорости и температуры вдоль оси газовой струи, распространяющейся в покоящейся воздушной среде при
Tср  20С и pср  p2  1атм , для всех рассматриваемых газов при различных темпера-
турных режимах внутри трубы: T1  2500К ; T1  3000К ; T1  4000К , которые продемонстрировали постоянство скорости и температуры вылетающих из выходных отверстий или сужающихся сопел газов только на коротких участках, не превышающих
6,4  D2 и 7  D2 соответственно, а дальше наблюдается резкое снижение их скоростей и
температур. Совпадение скоростей вылетающих реальных газов с идеальными в данных условиях достаточно убедительно, но при этом не наблюдается совпадения температур вылетающих реальных газов с идеальными в этих же условиях. Графически полученные газодинамические зависимости представляют собой совокупность короткого
прямолинейного участка, параллельного оси абсцисс, и вогнутой гиперболы для всех
рассматриваемых газов в идеальных случаях и при всех рассматриваемых температурных режимах, а реальные кривые несколько отличаются от идеальных, т.к. графически
представляют собой совокупность короткого прямолинейного участка, параллельного
оси абсцисс, и сложные: либо слабо вогнутые кривые, либо примыкающие почти прямые участки, что указывает на наличие особенностей газодинамических свойств у разных рассматриваемых газов, которые, очевидно, объясняются их различием по хим. составу и строению микрочастиц этих газов; причём эти специфические свойства особенно заметны на графических газодинамических зависимостях, полученных для фтора,
который является чрезвычайно химически активным неметаллом и самым сильным
окислителем, а также самым лёгким элементом из группы галогенов.