Обучение через заним…

Обучение через занимательные открытия
Вашему вниманию предлагаются некоторые работы учащихся 7
класса ГБОУ лицея №1575 г. Москвы, выполненные под
руководством учителя математики Бирюковой М.А. в рамках
исследовательской познавательной деятельности. Эти работы
можно демонстрировать на фестивалях науки в игровой форме.
Геометрический конструктор «Танграм»
Барабаш Максим, ГБОУ лицей 1575 г. Москва
В наше время очень много людей увлекаются головоломками. Они любимы
не только детьми, но и взрослыми. До бурного развития настольных игр и
появления компьютерных, одним
из основных развлечений была
игра-головоломка "Танграм".
"Танграм" - это одна из самых
популярных игр из серии так
называемых
«геометрических
конструкторов». Буквально слово
танаграм (кит.七巧板, пиньинь qī
qiǎo bǎn) означает "семь дощечек
мастерства".
"Танграм"
-
головоломка,
состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым
образом для получения другой, более сложной, фигуры (человека,
животного, предмет домашнего обихода, буквы или цифры и т. д.). Фигура,
которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или
внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два
условия: первое — необходимо использовать все семь фигур "танграма", и
второе — фигуры не должны перекрываться между собой.
"Танграм"
-
очень
древняя
игра-
головоломка. Она появилась в Китае
более 4000 лет назад, хотя первое
печатное упоминание о нем встречается
в китайской книге, изданной в 1813 году.
Появление танграма на западе относят не
ранее чем к началу XIX столетия, когда
эти головоломки попали в Америку на
китайских и американских судах.
Название "танграм" возникло в Европе,
от слова "тань" (что означает «китаец») и корня - "грамма" (в переводе с
греческого "буква"). Слово «танграм» впервые было использовано в 1848
году Томасом
Хиллом,
в
дальнейшем
президентом Гарвардского
университета, в его брошюре «Головоломки для обучения геометрии».
Сначала "танграм" использовали не для развлечения, а для обучения
геометрии.
Работа с головоломкой "Танграм" развивает различные мыслительные
процессы - сопоставление, обобщение, установление последовательности,
определение отношений "целое"-"часть", логическое мышление, нагляднообразное мышление, воображение, внимание, понимание цвета, величины и
формы, комбинаторных способностей.
Фрактал
Бегишев Руслан, ГБОУ лицей 1575 г. Москва
Фрактал – это геометрическая фигура, обладающая
свойством
бесконечного самоподобия, то есть каждый элемент этой фигуры подобен ей
в целом. Фракталы следует отличать от прочих геометрических фигур,
ограниченных конечным числом звеньев.
Сам же термин «Фрактал» (лат. fractus — дроблёный), был введен для
обозначения нерегулярных самоподобных множеств американским и
французским математиком, лауреатом премии Вольфа по физике, отцом
фрактальной геометрии, Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил
широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная
геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием
компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти
структуры.
Алгебраические фракталы:
Свое название эти фракталы получили за то, что их строят, на основе
алгебраических формул. Поведение таких фракталов хаотично, без каких
либо тенденций.
Классический образец фрактала:
Множество Мандельброта
Множество Жюлиа
Стохастические фракталы:
Для моделирования природных объектов могут использоваться
стохастические (случайные) фракталы.
Стохастический фрактал на
основе множества Жюлиа
В природе, фрактальными свойствами обладают такие объекты, как:
кораллы, морские звезды и ежи, морские раковины, цветы и растения
(брокколи, капуста), плоды (ананас), кроны деревьев и листья растений,
кровеносная система и бронхи людей и животных, границы географических
объектов (стран, областей, городов), береговые линии, горные хребты,
снежинки, облака, молнии, образующиеся на стеклах узоры, кристаллы,
сталактиты, сталагмиты и геликтиты.
Геометрические фракталы:
История фракталов началась именно с геометрических фракталов, которые
исследовались математиками в XIX веке. Этот тип фракталов получается
путем простых геометрических построений.
Снежинка Коха (Рисунки автора)
Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она
получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье
шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году.
Дерево Пифагора (Рисунок автора)
Этот фрактал, основан на фигуре, известной как пифагоровы штаны.
Впервые фигура построена голландским учителем математики Альбертом
Босманом в 1942 году при помощи линейки. Данную фрактальную фигуру он
назвал в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая
тройка касаясь квадратов охватывает прямоугольный треугольник, данные
конфигурации традиционно используются, чтобы изобразить теоремы
Пифагора. Одним из свойств дерева Пифагора является то, что площадь
первого квадрата равна сумме площадей квадратов на каждом последующем
уровне.
Треугольник Серпинского (Рисунки автора)
Треугольник Серпинского - один из двумерных аналогов множества Кантора,
предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.
Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Арифметическая прогрессия из костяшек домино
Карпов Арсений, ГБОУ лицей 1575 г. Москва
Вы видите на рисунке шесть косточек домино, выложенных по
правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух
половинах каждой косточки) возрастает на 1. Ряд состоит из следующих
чисел очков:
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же
величину, называется арифметической прогрессией. В нашем ряду каждое
число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая
«разность».
Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых
прогрессий.
Например, можно составить такие прогрессии:
Это прогрессия с разностью 2, начинающаяся с косточки 0-0.
Это прогрессия с разностью 1, начинающаяся с косточки 1-2.
Начальные косточки арифметических прогрессий, удовлетворяющих
вышеуказанному правилу (возрастают (или убывают) на одну и ту же
величину) могут быть следующие:
А) для прогрессий с разностью 1:
0-0
1-1
0-1
2-0
1-0
0-3
0-2
1-2
Б) для прогрессий с разностью 2:
0-0
2-1
3-0
0-4
1-3
2-2
3-1
1-4
3-4
0-2
3-2
2-4
3-5
3-4
0-1
Всего 6-косточковых арифметических прогрессий можно составить 23.
Эллипс
Чешков Леонид, ГБОУ лицей 1575 г. Москва
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от
которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса,
есть величина постоянная.
Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси
координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси
ОХ, при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс
становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с
центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай
эллипса.
Отрезок F1F2 = 2с, где
, называется фокусным расстоянием.
Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b –
малой осью эллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом
эллипса.
Эллипс можно нарисовать с помощью веревки, 2-х кнопок и карандаша,
используя тот факт, что F1K+ KF2 есть величина постоянная.
Иоганн Кеплер предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что
эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из
фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил, что все планеты движутся по
эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал
эллипсом, в фокусе которого расположена Земля.
Треугольные числа
Кувшинников Георгий, ГБОУ лицей 1575 г. Москва
Материал подготовлен на основе статьи Гиндикина С.«Арифметика на
клетчатой бумаге» журнала «Квант» 1979 год № 4
Номинация по разделу «Архив» «Толковый словарь
Способ представления чисел фигурами на клетчатой бумаге уходит корнями
в глубокую древность – к математике Древнего Вавилона, Египта, Греции.
Конечно, тогда математики не разлиновывали глиняные таблички или
папирусы на клетки, а составляли фигуры из точек.
В клинописных табличках вавилонян содержится способ вычислять сумму
первых n натуральных чисел: 1+2+3+…+n. Такие суммы стали называть
треугольными числами, поскольку из точек, соответствующих слагаемым,
можно составить треугольник. На клетчатой бумаге удобнее нарисовать
фигуру, напоминающую лестницу: в каждом следующем ряду лестницы на
одну клетку больше, чем в предыдущем.
Чтобы сосчитать число клеток в лестнице (равное искомой сумме), нужно
нарисовать еще одну такую же лестницу, но перевернутую, после чего
совместить обе лестницы. Зубцы лестниц соединятся, и получится
прямоугольник, у которого длина одной стороны равна n,а другой n + 1. В
таком прямоугольнике n(n+1) клеток; в лестнице же – вдвое меньше, т.е.
n(n+1)
n(n+1)
. Таким образом, 1+2+3+…+n = (
).
2
2