Учебно-методический материал по теме «Способы перевода чисел в

Учебно-методический материал по теме «Способы перевода чисел в
системы счисления с различными основаниями».
Пояснительная записка
Способы перевода чисел, записанных в системе счисления с основанием
«а» в систему счисления с основанием «в», традиционно вызывают у
учащихся трудности.
Если переводы из десятичной системы в двоичную и обратные довольно
хорошо освещены в литературе, то рекомендации по методам более сложных
взаимо-обратных переводов, в том числе и в системы счисления с
произвольным (любым) основанием, практически отсутствуют.
Тем не менее, задачи такого плана охотно используются составителями
различных тестовых и конкурсных работ, в том числе ГИА и ЕГЭ.
В своем учено-методическом материале я попыталась логически
сопоставить основные способы перевода чисел в различные системы и
показать учащимся довольно четкие закономерности, помогающие в
решении этих вопросов
Двоичная система счисления.
Сначала рассмотрим известную нам, десятичную систему
счисления и правила ее построения:
В ней используются 10 цифр и позиционная система представления чисел,
при которой имеет значение место (позиция, разряд), где стоит цифра.
Пример: 10 цифр – от 0 до 9.
275=2*10^2+7*10^1+5*10^0
Цифра Основание системы счисления
Пример числа:3715 = 3000+700+10+5
3
7
1
5
Разряды
В компьютерах используют двоичную систему счисления, где
только 2 цифры - 0 и 1- (включено и выключено)
Пример: число 5 – перевести в двоичную систему.
1*2^2+0*2^1+1*2^0
5
101
7
6
5
128
64
32
2^7
27
105
2^6
Способы перевода.
4
3
2
1
2^5
0
16
8
4
2
1
2^4
2^3
2^2
2^1
2^0
11011
1101001
Перевод двоичных чисел в десятичную систему.
1
2^6
0
1
1
1
0
0
2^5
2^4
2^3
2^2
2^1
2^0
1*64+1*16+1*8+1*4=92
Ученики решают примеры по индивидуальным карточкам.
Восьмеричная система счисления.
Восьмеричная система счисления применяется для того,
чтобы число или текст, записанные в двоичной системе, было бы
легче прочитать и написать, так как большое кол-во нулей и единиц
людям использовать тяжело.
Поэтому двоичную запись разделяют на группы по 3 разряда,
начиная с младшего, и к каждой группе ставят в соответствие
цифру от нуля до семи. (Всего 8 цифр)
Пример: 1 011 100 101 101
1
3
4
5
5
Минимальное число в 3 разрядах:
000-0
8 цифр
Максимальное число в 3 разрядах:
111-7
Всего получается 8 цифр, что и дало название «Восьмеричная
система счисления»
Шестнадцатеричная система счисления.
Так же как и восьмеричная система счисления служит для
сокращения двоичной записи и для повышения её наглядности.
Шестнадцатеричная система счисления стала появляться в связи с
возникновением 32, 64 разрядных процессоров.
Двоичное число разделяется, на группы по 4 и каждой 4
ставится в соответствии одна цифра, но так как максимально
четыре двоичных разряда - это 1111-15, а такой цифры нет, то в
шестнадцатеричной системе счисления цифры от 10 до 15
обозначается латинскими буквами.
Использование букв латинского алфавита связанно с
математическим понятием ЦИФРЫ.
Цифрой в математике считается некоторое обозначение
числа, причём только одним знаком. Поэтому у людей двузначное
число - 2 цифры, трёхзначное- 3 и т.д. В средние века арабские
математики ввели понятие «0», придумали рисунки для
обозначения чисел от 0-9, и эти рисунки стали называть арабскими
цифрами, после чего началось развитие алгебры.
Однако с появлением компьютерных технологий и двоичной
системы счисления, возникла необходимость в сокращённой записи
двоичных кодов, т.е. в 8-чной, а затем в 16-чной системах
счисления. Но если с 8-чной проблем не было (цифры 0-7 людям
уже были известны), то в 16-чной возникла необходимость
обозначение одним знаком (цифрой) чисел 10, 11….15. По причине
всемирного распространения английского языка были выбраны
буквы латинского алфавита от A-F
Десятичная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Двоичная
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Шестнадцатеричная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Пример: 1 0101 1110 1101 1110
Способы перевода.
И в восьмеричную и в шестнадцатеричную систему счисления
десятичное число можно переводить двумя способами:
1. Используя в качестве промежуточной - двоичную.
Пример: 38810
1 1000 0100=18416
11310
1 110 001=1618
2. Напрямую, т.е. делением на 8 или на 16 до получения целого
остатка
Пример: 388 16
32 24 16
68 16 1
64 8
4
113 8
8
14
33
-8
-32
6
8
1
1
Если после проверки учитель выясняет достаточную степень усвоения этого
материала учениками, можно перейти к более сложной теме:
Система счисления с произвольным основанием.
Зная общие принципы построения систем счисления каждое
десятичное число можно представить в виде, который бы
соответствовал системе счисления с любым произвольным
основанием.
Пример: 38810=3*10^2+8*10^1+8*10^0 –проведем аналогию:
6048=6*8^2+0*8^1+4*8^0 – здесь мы видим
разложение числа на степени восьмерки, с коэффициентами в
интервале 0-7
Представим это число в системе с основанием «5»:
Способ 1: 388 5
35 77 5
38 5 15 5
=30235
35 27 15 3
3 25
0
2
Способ 2: 5^4 5^3 5^2 5^1 5^0
625 125 25 5
1
388=3*5^3+0*5^2+2*5^1+3*5^0=30235
Пример:
Дано число 5 в двенадцатеричной системе счисления, где цифра  заменяет 10, а цифра - 11
Переведите это число в десятичную систему счисления.