Из опыта работы учителя математики М.Ф.Ханиной

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Гимназия №1»
Из опыта работы
учителя математики Ханиной Марины
Федоровны
Методы решения неопределенных
уравнений
Рузаевка 2013
1
Содержание
I.
II.
Введение.
Методы решений уравнений в целых числах.
1. О Диофанте и диофантовых уравнениях.
2. Уравнения первой степени с двумя неизвестными в общем виде:
6-7
а) алгоритм Евклида (метод остатков);
б) метод рассеивания;
в) решение задач на деление с остатком.
3. Решение неопределенных уравнений степени выше первой:
а) решение уравнений с двумя переменными как
квадратных, относительно одной из переменных;
б) решение уравнений методом разложения на множители;
в) метод бесконечного спуска
4. Пифагоровы тройки.
5. Великая теорема Ферма.
III.
Заключение.
Приложение.
Список литературы
2
Введение
Развивающая функция обучения не просто требует от учителя изложения знаний в
определенной систем , а предполагает также учить учащихся мыслить , искать и находить
ответы на поставленные вопросы . добывать новые знания . опираясь на уже известные.
Уместно в связи с этим привести слова французского ученого М. Монтеня: « Мозг, хорошо
устроенный, стоит больше, чем мозг хорошо наполненный».
Известно, что на развитие познавательной активности и творческого мышления решающее
значение оказывает рассмотрение различных способов решения задач , ознакомление с
различными методами , существующими в математических исследованиях , и закрепления их
в практической деятельности.
Известный математик-педагог Д.Пойа в книге «Как решать задачу» писал: «Что значит
владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и
требующие известной независимости мышления, здравого смысл, оригинальности,
изобретательности».
Обучение должно в разумной мере проходить в форме повторного открытия, а не простой
передачей суммы знаний. Надо изучать учебную дисциплину не столько ради лишних фактов,
сколько ради процесса их получения, и тогда, по словам Б. Рассела, предмет предстанет как
могучее орудие познания.
Обучение в школе должно руководствоваться формулой: « Овладение = Усвоение
+Применение знаний на практике». Эффективным средством обучения и развития является
организация учебных исследований, цель которых состоит в том, чтобы помочь учащимся
самостоятельно открыть новые знания и способы деятельности, углубить и систематизировать
изученное.
Тема «Решение уравнений в натуральных и целых числах» недостаточно полно изложена в
действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах,
так и в заданиях на экзаменах. В данной работе выделены основные методы решений
уравнений в натуральных и целых числах и приводится система тренировочных упражнений
для закрепления каждого из рассмотренных методов. При решении уравнений в натуральных
и целых числах степени выше первой можно условно выделить следующие методы решения:
1.
2.
3.
4.
Метод рассеивания.
Метод остатков.
Метод разложения на множители.
Решение уравнений с двумя переменными, как квадратных относительно одной из
переменных.
5. Метод бесконечного спуска.
3
ІІ. Методы решений уравнений в целых числах.
1. О Диофанте и диофантовых уравнениях.
Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант
Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории
чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают,
что он жил в 3 в.н. э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь
Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей
надгробную надпись на его могиле:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей -и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:
1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х=х,
Откуда х=84 - вот сколько лет жил Диофант.
Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой только 6
сохранились до наших дней. Эти книги были открыты в Венеции в 1463г.
Региомонтаном, который в связи с этим писал, что в произведении Диофанта
сосредоточен « весь цвет арифметики, искусство неизвестной».
«Арифметика» посвящена некоему Дионисию, обращаясь к которому ,Диофант пишет:
«Зная, достопочтеннейший Дионисий, что Вы очень усердно изучаете задачи,
касающиеся чисел, я взялся изложить природу их и могущество, начиная с самых
основ, на которых все это покоится. Это, может быть, покажется более трудным, чем
есть на самом деле потому, что еще неизвестно. Начинающие склонны скоро терять
мужество. Но Вы легко разберетесь в этом благодаря устремлению Вашего ума и моим
пояснениям».
В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В первой
изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй
степени. Остальные же пять книг содержат в основном неопределенные уравнения. В
этих уравнениях еще нет систематической теории неопределенных уравнений, методы
решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-нибудь одним
решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным.
4
В школьных учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений
и доказательств проводится не на конкретных примерах, a в общем виде. И может
возникнуть впечатление, что и сами математические открытия делаются обычно в
общем виде. А в действительности дело обстоит далеко не так. До того как изложить
общий способ решения задачи или доказательства теоремы, математик очень часто почти всегда – ищет частные примеры, подтверждающие или опровергающие его
мысль. Если пример приведет к опровержению мысли – поиск продолжают в новом
направлении, а если пример подтвердит ее – ищут общее доказательство.
Вот и мы сначала попробуем решить частный пример.
На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100
кг гвоздей, не вскрывая ящики?
Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным путем.
Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг будет x штук; по 17 кг – y штук, по
40 кг – z штук. Всего выдано 100 кг, отсюда уравнение:
16x+17y+40z=100, и что делать с этим уравнением – совершенно не понятно.
Но можно рассуждать и так. Ящиков по 40 кг не может быть больше двух. Ибо
40*3=120, это больше чем надо. И два тоже не может быть, т. к. 40*2=80, 100-80=20, а
20 кг можно набрать, только вскрыв хотя бы один ящик.
Может быть, взять один ящик по 40 кг, а оставшиеся 60 кг набрать, комбинируя ящики
по 16 и 17 кг: если взять один ящик по 17 кг, то останется 43 кг и набрать их ящиками по
16 кг невозможно; если взять два ящика по 17 кг, то 60-17*2=26 и целых ящиков по
16кг не получится ; если же взять три ящика по 17 кг, то останется 9 кг, которые
придется выдавать, вскрыв какой - нибудь ящик. Получается, что ящики по 40 кг нам
вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только
по 16 и17 кг. Значит, получается уравнение:
16x+17y=100,
100 не делится ни на 16, ни на 17, и, значит, надо посмотреть, что будет, если из 100
вычитать 17, 17*2, 17*3, 17*4, 17*5. Если разность будет делиться на 16, то задача
имеет решение, если нет, то кладовщику придется вскрывать хотя бы один ящик. 83 на
16 не делится, 66 – не делится, 49 – не делится, но 32=16*2, и задача решена:
17*4+16*2=100, т. е. надо выдать четыре ящика по 17 кг и два ящика по 16кг. Это
решение единственное, т. е. других вариантов нет.
Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, пойти
дальше другим путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг, т. е. подобрать такое число,
делящееся на 16, которое ближе всего к 100 , то окажется, что до 100 не хватает 4 кг,
значит, четыре ящика из этих шести надо заменить четырьмя ящиками по 17 кг, и
получим тот же результат.
Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение.
Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, во
второй, любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут
оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики.
Этому разделу положил начало Диофант.
5
Раздел математики называют «диофантовым анализом», в свою очередь
диофантовый анализ является частью исключительно интересного раздела
современной математики – теории чисел. В теории чисел созданы специальные
методы решения диофантовых ( их еще называют неопределенными ) уравнений.
2. Уравнение первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными
ax +by +c=0,
(1)
где a и b – целые числа, отличные от нуля, а с – произвольное целое. Будем считать,
что коэффициенты a и b не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно,
если общий наибольший делитель этих коэффициентов d=(a,b) отличен от единицы, то
справедливы равенства a=a1d, b=b1d; уравнение (1) принимает вид
(a1x+b1y)d+c=0
и может иметь целые решения только в том случае, когда c делится на d. Таким
образом, в случае (a,b)=d все коэффициенты должны делиться нацело на d , и,
сокращая на d , придем к уравнению
a1 x+b1 y+c1=0
(c1 = ).
коэффициенты которого a 1и b 1 взаимно просты.
Рассмотрим сначала случай, когда c=0. Уравнение (1) перепишется так:
ax+by=0
(1 *)
Решая это уравнение относительно x , получим
x= - .
Обозначим через t ( =t), тогда x= -bt. Ясно, что x будет принимать целые значения
(t=0, 1,
2,…). Тогда y=
=at.
Мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (1*)
x=-bt, y=at (t=0, 1, 2,…).
Перейдем теперь к случаю, когда c 0.
Покажем прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (1)
достаточно найти какое – нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числаx 0,y 0
, для которых
ax 0+by 0 +c=0.
Теорема I.Пусть a и b взаимно простые и
– какое – нибудь решение уравнения
ax+by+c=0,тогда формулы x= x 0 - bt, y=y 0 +at при t=0, 1,
2,… дают все решения
уравнения (1).
Доказательство.
Пусть
- произвольное решение уравнения (1). Тогда из равенств ax+by+c=0 и ax
0+by 0+c=0
получаем ax-ax 0+by 0-by=0 ; y-y 0=
.
6
Так как y-y 0 – целое число и числа a и b взаимно просты, то x-x0 должно нацело
делиться на b , т. е. x-x 0 имеет вид x-x 0=- bt, где t – целое . Но тогда
y-y 0=
=at,
и получаем
x=x 0-bt, y=y 0+at.
(2)
Таким образом доказано, что всякое решение
проверить, что всякая пара чисел
имеет вид (2). Остается еще
, получаемая по формулам (2) при целом t=t1 ,
будет решением уравнения (1). Чтобы провести такую проверку, подставим величины
x=x 0-bt1, y=y 0+at1 в левую часть уравнения: ax 1+by 1+c=ax 0-abt 1+ by 0+abt 1+c=ax 0+by
0+c.
Но так как
- решение, то ax0+by0+c=0 и, следовательно,ax1+by1+c=0 , т. е.
– решение уравнения (1), чем теорема полностью доказана.
Итак, если известно одно решение уравнения ax +by +c=0, то все остальные решения
найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид
x=x 0-bt, y=y 0+at (t=0, 1, 2,…).
Заметим, что в случае, когда с=0, найденные раньше формулы решений
y=at (t=0, 1, 2,…)
могут быть получены из только что выведенных формул x=x 0-bt,
x=-bt,
y=y 0+at (t=0, 1,
2,…),если выбратьx 0=y 0=0, что можно сделать, т. к. значения x=0, y=0 являются,
очевидно, решением уравнения ax+by=0 .
Как же найти какое
– нибудь одно решение уравнения (1) в общем случае, когда c 0 . Начнем с примера.
а) Алгоритм Евклида.
Пусть дано уравнение:127x-52y+1=0.
Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.
Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби
Правильную дробь
:
=2+
.
заменим равной ей дробью .
Тогда получим:
=2+
.
Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной
дробью
:
=2+
=2+
.
Теперь исходная дробь примет вид:
= 2+
Повторим те же рассуждения для дроби
=3+ = 3+
Тогда:
=2+
.
:
.
.
7
Выделяя целую часть неправильной дроби , =1+ , придем к окончательному
результату:
= 2+
.
Мы получим выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной
дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби – одну пятую, превратим
получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной
дроби
2+
:
=2+
-
= 2+ =
=
,
=-
Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда
127*9-52*22+1=0.
Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x-52y+1=0 следует, что x=9,
y=22 будет решением этого уравнения и, согласно теореме, все его решения будут
содержаться в прогрессиях x=9+52t, y=22+127t, (t=0, 1, 2,…).
Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения
решения уравнения ax +by +c=0 надо разложить отношение коэффициентов при
неизвестных в цепную дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки,
подобные тем, которые были проведены выше.
Приведенный метод носит название метода последовательного деления с остатком
или алгоритма Евклида, поскольку он впервые был изложен в его « Началах».
Отметим преимущество и недостаток цепных дробей по сравнению, например, с
десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой
системой счисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в
теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не
получили, т. к. для них нет удобных правил выполнения арифметических действий,
которые имеются для десятичных дробей.
б ) Метод рассеивания
В Индии, где (как и в Китае) неопределенные уравнения решались в связи с
астрологическими запросами и расчетами, ставился вопрос о нахождении именно
целочисленных решений неопределенных уравнений. Намеки на общее решение
диофантовых уравнений первой степени, т. е. вида , встречаются в трудах индийского
астронома Ариабхатты, подробное же решение предложили индийские математики
Брахмагупта и Бхаскара. Общий метод для решения в целых числах неопределенных
(диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами был назван в
Индии методом рассеивания (в смысле размельчения) .
Воспользуемся этим методом для решения следующей задачи:
8
«Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8
равна 13».
В задаче требуется найти все целые решения уравнения
19x-8y=13
(1)
Выражая y - неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом
через x , получим:
y=
(2)
Нам нужно теперь узнать, при каких целых значениях x дроби, составляющие значение
y являются тоже целыми числами. Перепишем уравнение(2) следующим образом:
y= 2x+
.
(3)
Из уравнения (3) следует, что y при x целом принимает целое значение только в том
случае, если выражение
=y1 ,
является целым числом, скажем y1 . Полагая
(4)
вопрос сводим к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными x и y 1;
его можно записать так:
3x-8y1=13
(5)
Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) то преимущество, что 3 –
наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в
(1), т. е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при x (19) был
заменен остатком от деления на 8.
Продолжая тем же способом, мы получим из (5) :
x=
= 2y1+
.
(6)
Итак, неизвестное x при целом y1 только тогда принимает целые значения
, когда
есть целое число, скажем y2:
= y2
(7)
или
3y2-2y1=13
(8)
y1=
=y2+
Далее,
(9)
Полагая
=y3
(10)
получим уравнение
y2-2y3=13
(11)
Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных уравнений, т.к. один из
коэффициентов равен 1.
Из (11) получаем:
y2=2y3+13
(12)
Отсюда видно, что y2 принимает целые значения при любых целых значениях y3. Из
равенств (6), (9), (12), (3) путем последовательных подстановок можно найти
следующие выражения для неизвестных и уравнения (1):
x=2y1+y2=2(y2+y3)+y2=3y2+2y3=3(2y3+13)+2y3=8y3+39
y=2x+y1=2(8y3+39)+y2+y3=19y3+91.
9
Таким образом, формулы
x=8y3+39,y=19y3+91
при y3= 0, 1, 2,… дают все целые решения уравнения (1).
В следующей таблице приведены примеры таких решений.
Y3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
7
15
23
31
39
47
55
63
71
y
15
34
53
72
91
110
129
148
167
Этот прием почти полностью совпадает с методом индийцев и был назван ими
методом рассеивания (размельчения) именно потому, что неопределенное уравнение
сводится к цепи уравнений со все уменьшающимися по абсолютной величине
коэффициентами. К решению неопределенного уравнения первой степени сводятся
иногда задачи, связанные с практикой и повседневной жизнью человека.
Вот один пример.
«Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19 р. У него имеются лишь 15
трехрублевок, у кассира же – лишь 20 пятирублевок. Можно ли расплатиться и как?»
Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения:
3x-5y=19,
где x 15, y 20.
Решение:
x=
=6+y+
=6+y+y1
3y1-2y=1,
Далее,
y=
=y1+
=y1+y2,
y1-2y2=1, y1=2y2+1,
откуда
x=5y2+8, y=3y2+1.
Ввиду того, что x и y должны быть положительными и, учитывая условие задачи, легко
установить, что
0 y2 2,
т. е. y2 может принимать только два значения: 0 и1. Отсюда вытекает только два
возможных решения:
x
8
13
y
1
4
А вот еще одна задача.
«Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только четыре
гири весом в 3 г и семь гирь весом в 5 г?»
Решим диофантово уравнение:
3x+5y=28.
Имеем:
x=
=9-y+
=9-2y+
10
=y1, y=3y1-1.
x=9-2(3y1-1)+y1=11-5y.
Итак,
x=11-5y1, y=3y1-1.
Из условий задачи вытекает, что
1
нельзя давать отрицательные значения ( это
привело бы к отрицательному y). Далее должно быть y1 3, для того, чтобы x не был
отрицательным. Значит, 0 y1 2.
Однако, y1=0 и y1=1 противоречат условию задачи x 4. Таким образом, возможно
только y1=2. При этом x=1, y=5 – единственное решение задачи.
Ревизия кооператива.
Задача
При ревизии торговых книг кооператива одна из записей оказалась залитой чернилами
и имела такой вид:
Невозможно было разобрать число проданных метров, но несомненно, что число это
не дробное; в вырученной сумме можно было различить только последние три цифры,
да установить еще, что перед ними были три какие – то другие цифры.
Может ли ревизионная комиссия по этим следам установить запись?
Решение:
Обозначим число метров через x . Вырученная сумма выразится в копейках через
4936x.
Число, выражаемое тремя залитыми цифрами в записи денежной суммы, обозначим
через y . Это, очевидно, число тысяч копеек, а вся сумма в копейках изобразится так:
1000y+728.
Имеем уравнение
4936x=1000y+728,
или, после сокращения на 8,
617x-125y=91.
В этом уравнении x и y – числа целые и притом y не больше 999, т. к. более чем из трех
цифр оно состоять не может. Решаем уравнение, как раньше было указано:
125y=617x-91,
y=5x-1+
=5x-1+
(Здесь мы приняли
=5x-1+2t
=5-
,т. к. нам выгодно иметь возможно меньшие остатки.
Дробь
11
Есть целое число, а т. к. 2 не делится на 125, то
должно быть целым числом, которое мы и обозначили через t ). Далее из уравнения
=t
имеем:
17-4x=125t
x=4-31t+
=4-31t+t1,
где
t1=
,
и, следовательно,
4t1=1-t, t=1-4t1;
x=125t1-27; y=617t1-134.
Мы знаем, что
100 y 1000.
Следовательно,
100 617t1-134 1000,
откуда
t1
.
Очевидно, для t 1 существует только одно целое значение:t1=1,
и тогда x=98, y=483 т. е. было отпущено 98 метров на сумму 4837 р. 28 к. Запись
восстановлена.
Покупка почтовых марок.
Задача
Требуется на 5 рублей купить 20 штук почтовых марок – 40-копеечных, 25-копеечных и
5-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?
Решение:
В этом случае у нас имеется два уравнения с тремя неизвестными:
,
где x –число марок 40-копеечных, y - 25-копеечных, z - 5-копеечных. Вычитая из
первого уравнения, деленного на5, второе, получим одно уравнение с двумя
неизвестными:
7x+4y=80.
Находим y:
12
y=20-
.
Очевидно, - число целое. Обозначим его через t . Имеем:
y=20-7t, x=4t.
Подставляем выражения для x и y во второе из исходных уравнений:
4t+20-7t+z=20
получаем:
z=3t.
Т. к. x
y
и z 0 , то нетрудно установить границы для t:
0
,
откуда заключаем, что для t возможны только два целых значения: t=1 и t=2.
Соответствующие значения x, y и z таковы:
t
1
2
x
4
8
y
13
6
z
3
6
4*40+13*25+3*5=500,
8*40+6*25+6*5=500.
Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами.
Покупка фруктов.
Задача
На 50 рублей куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы: арбуз, штука –
5 руб. ; яблоки, штука – 1 руб.; сливы, штука – 10 коп. Сколько фруктов каждого вида
было куплено?
Решение:
Обозначим число арбузов через x, яблок через y и слив через z, составим два
уравнения:
.
деленного на 10, второе, получим одно уравнение с
двумя неизвестными:
.
Дальнейший ход решения:
y=
t=
==44-5x+
,
=44-5x+4t,
x=1-9t.
y=44-5(1-9t)+4t=39+49t.
Из неравенств 1-9t
устанавливаем, что-
и следовательно,t=0 . Поэтому x=1, y=39.
Подставив эти значения x и y во второе уравнение, получаем: z=60.
Итак, куплены были 1 арбуз,39 яблок, 60 слив.
13
Отгадать день рождения.
Задача
Умение решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий
математический фокус.
Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца –
на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату
рождения.
Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля, то он выполняет следующие
выкладки:
9*12=108, 2*31=62, 108+62=170.
Это последнее число, 170, он сообщает вам, и вы определяете задуманную дату. Как?
Решение:
Задача сводится к решению неопределенного уравнения 12x+31y=170 в целых
положительных числах, причем число x месяца не больше 31 , а номер месяца y не
больше 12.
x=
=14-3y+
=14-3y+t, (t=
)
2+5y=12t
y=
=2t-2*
=2t-2t1, ( =
)
1-t=5 t1,
t=1-5 t1,
y=2(1-5 t1)- 2t1=2-12 t1,
x= 14-3(2-12 t1)+1-5 t1=9+31 t1.
0
и0
, находим границы t1:
-
.
Следовательно,
t1=0, x=9, y=2.
Дата рождения 9-е число второго месяца, т. е. 9 февраля.
Проанализируем решение данных задач.
1) Основное уравнение заменялось рядом неопределенных уравнений, у которых все
три коэффициента становились не больше (по модулю), чем у предыдущего.
2) Уравнение имело целые, а потом и натуральные решения;
3) Т.к. в последнем уравнении коэффициент при одной из переменных оказался
равным 1 значит, что данное уравнение разрешимо в целых числах (очевидно, что
уравнения ax+y=c и x+by=c всегда имеют целые решения);
4) В формулах общего диофантового уравнения содержалось частное решение.
Мы овладели практикой нахождения целочисленных решений линейного уравнения с
двумя неизвестными, руководствуясь следующим алгоритмом:
а) данное уравнение разрешают относительно переменной с наибольшим
коэффициентом ( по модулю);
б) в полученном уравнении выделяют целую часть, а дробную часть обозначают за
новую переменную, в результате получается новое неопределенное уравнение;
14
в) последнее уравнение решают, руководствуясь пунктами а) и б) до тех пор, пока один
из коэффициентов не будет равен 1;
г) поочередно выражаем все переменные через последнюю неизвестную, пока не
сформируем ответ.
в) Решение задач на деление с остатком.
Задача 1. При делении двузначного числа на 6 в остатке получилось число, равное
цифре его десятков, а при делении того же числа на 10 частное было равно 3, а остаток
цифре единиц делимого. Найдите все такие двузначные числа.
Решение:
Обозначим искомое число через
. Тогда
Из второго уравнения получаем:
10x+y=30+y, x=3.
Преобразуем первое уравнение:
30+y=6q+3, 27+y=6q.
Отсюда цифра y нечетна и делится на 3 т. е. y=3 или y=9 .
Ответ: 33, 39.
Задача 2.
Если числа 826 и 4373 разделить на одно и то же натуральное число, то получатся
соответственно остатки 7 и 8 . Найдите все значения делителя.
Решение: Запишем соответствующие равенства:
826=bq1+7, 4373=bq2+8,
где b – неизвестный делитель,q1 и q2 – неполные частные.
Тогда
bq1=819, bq2=4365.
Разложим числа 819 и 4365 на простые множители:
819=32*7*13, 4365=32*5*97.
Следовательно, общими делителями чисел 819 и 4365 являются числа 1, 3 и 9. Но
общие делители, равные 1 и 3, невозможны, т. к. остаток должен быть меньше
делителя. Остается число 9.
Ответ: 9.
Задача 3.
При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 –
остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?
Решение:
Положим a=6q+r,
где остаток r удовлетворяет неравенству 0
. Переберем все возможные
значения r.
Случай r=0 невозможен, иначе число a делится на 2 и на 3.
15
Случай r=1 – тоже, т. к. тогда a при делении на 3 дает в остатке 1 , а не 2.
По аналогичным причинам отпадают случаи r=2, r=3, r=4.
Случай r=5 возможен, например, при a=5 или a=11.
Ответ: 5.
Задача 4.
Докажите, что два натуральных числа при делении на их разность дают одинаковые
остатки.
Решение:
Обозначим эти числа через a и b, где a
.
Тогда a=(a-b)q1+r1, b=(a-b)q2+r2.
Вычтем почленно эти равенства:
a-b=(a-b)( q1- q2)+( r1- r2).
Отсюда разность r1- r2 делится на a-b.
Но r1
, r2
, поэтому разность r1- r2 по модулю меньше
a-b.
Следовательно, она может делиться на a-b только в одном случае - когда r1- r2=0, r1 =
r2.
3. Решение неопределенных уравнений степени выше первой.
а) Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из
переменных.
Задача 1.Решите в целых числах
5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0.
Решение:
Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это
достаточно трудоемкая работа, поэтому это уравнение можно решить другим
методом. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x
5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0,
x1,2=
=
.
Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант этого
уравнения равен нулю, т.е. -9(y+1)2=0, отсюда y=-1. Если y=-1,то x=1.
Ответ: (1;-1)
Задача 2. Решите в целых числах уравнение
x2+xy+y2=x2y2.
Решение: 1) Очевидно,x=0, y=0 – решение уравнения. Перепишем уравнение в виде
(y2-1)x2-yx-y2=0
(*)
Исследуем уравнение (*).
1-й случай. Если y2-1=0 , то y=1, y=-1.
При y=1имеем x+1=0, x=-1, x
.
При y=-1 имеем –x+1=0, x=1, x
,(1 ; 1) .
16
2-й случай. Если y2-1
, то
y
(1)
Уравнение (*) является квадратным относительно переменной x , тогда
x1,2=
=
Так как y
.
, то 4y2-3=a2, где
.
Найдем целые значения переменной y,удовлетворяющие уравнению
4y2-a2=3, (2y-a)(2y+a)=3.
(1)
y=1 (a=1) или
y=1 (a=1)
(2)
y=-1 (a=-1) или
y=
y=-1 (a=1).
уже найдены.
Значит, данное уравнение имеет три пары решений: (0;0), (-1;1), (1;1).
Ответ: (0;0), (-1;1), (1;1).
Задача 3. Решите уравнение 5x2-2xy+2y2-2y+1=0.
Решение: Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно x с
коэффициентами, зависящими от y ,
5x2-2(y+1)x+2y2-2y+1=0.
Найдем четверть дискриминанта
-5(2y2-2y+1)=-
=
.
Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда
-
, отсюда следует y= , затем находим x= .
Ответ:
.
б) Метод разложения на множители.
Задача 1. Решите уравнение в целых числах:
x2-y2=91.
Решение: Разложим левую часть данного уравнения на множители:
(x-y)(x+y)=91. Так как 91=1*91=91*1=7*13=13*7=-1*(-91)=-91*(-1)=
=-7*(-13)=-13*(7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:
1)
(46; 45);
2)
(46; -45);
17
3)
(-46; - 45);
4)
(-46; 45);
5)
(10; 3);
6)
(10;-3);
7)
(-10;-3);
8)
(-10; 3);
Ответ: (46; 45), (46; -45), (-46; -45), (-46; 45), (10; 3), (10; -3), (-10; -3), (-10; 3).
Задача 2.Решите в целых числах x3+91=y3.
Решение:
Перепишем данное уравнение в следующем виде: y3- x3=91, разложим левую часть
на множители: (y-x)(y2+xy+x2)=91. Заметим, что y2+xy+x2=(y+ )2+ x2
y
при любых x;
. Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем:
1)
решая данную систему, получаем (5; 6), (-6; -5) ;
2)
система не имеет решений в целых числах;
3)
решения в целых числах нет;
4)
решая данную систему, получаем (-3 4), (-4 3).
Ответ: (5; 6), (-6; -5), (-3 4), (-4 3).
Задача 3. Решите в целых числах xy = x+y .
18
Решение:
Перепишем данное уравнение в следующем виде:
xy- x- y+1=1.
Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки:
x(y-1)-(y-1)=1 (y-1)(x-1)=1.
Следовательно,
(2 2)
(0 0).
Ответ: (2 2), (0 0).
в) Метод «бесконечного спуска».
Для доказательства многочисленных теорем, которые Ферма сформулировал в
теории чисел, он ввел метод бесконечного спуска. В чем же заключается этот
метод? К примеру, надо доказать, что какое – то уравнение не имеет натуральных
решений. И пусть из предположения, что у данного уравнения все же есть решение
в натуральных числах, можно вывести, что у него есть еще меньшее, тоже
натуральное решение. Тогда из существования этого меньшего решения делается
вывод о существовании еще меньшего решения и т. д. Но так как натуральные
числа не могут неограниченно уменьшаться, то сделанное предположение неверно
и решения данного уравнения в натуральных числах не существует.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме:
предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный
процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен чем – то
кончаться.
Часто метод бесконечного спуска принимается в более простой форме.
Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что
«остановиться» не можем.
Историческая справка. Метод бесконечного спуска изобрели, по- видимому,
древнегреческие математики. Есть основания полагать, что Ферма пытался
доказать свою великую теорему именно этим методом.
Применим метод бесконечного спуска к решению уравнения.
Задача. Решить в целых числах уравнение 4x3-2y3-z3=0.
Решение: Здесь левая часть уравнения не разлагается на целые множители и
вообще не поддается преобразованиям.
Запишем данное уравнение в виде
19
z3 =2(2x 3-y3).
(1)
3
Следовательно, z - четное, значит должно делиться на два, т. е. z=2z1 , z1
4x3-2y3-8z13=0
2 x3- y3-4 z13=0,
(*)
Из уравнения (*) видно, что y четное, т. е. y=2y1, y1
.
2x3-8
x3-4
y13-4z13=0,
y13-2z13=0,
Тогда
(**)
Из уравнения (**) следует, что x четное, т. е. x=2x1, x1
.
8x13-4y13-2z13=0,
z13=2(2x13-y13).
Получаем уравнение вида (1).
Из всех проделанных рассуждений можно сделать следующие выводы. В – первых,
числа x, y, z должны быть четными. Во – вторых, числа x1, y1, z1 , т. е. ,
удовлетворяющие этому уравнению, тоже четные.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (1), четные, и сколько раз
мы не делили бы их на 2, получаем числа, которые так же делятся на 2.
Единственное число, обладающее этим свойством - есть нуль.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение x=0, y=0, z=0.
Ответ:(0; 0; 0).
Задача.
Решите в целых числах уравнение x3-3y3-9z3=0.
(*)
Решение: Видно, что левая часть уравнения (*) не поддается никаким
преобразованиям. Поэтому, исследуя характер целых чисел, получим:
x3=3(y3-3z3) .
Число x3 кратно 3, значит и число x кратно 3, т.е.
x=3x1
(1)
Подставим (1) в (*)
27x13-3y3-9z3=0,
9x13-y3-3z3=0
(**)
y3=3(3x13- z3).
Тогда y3 кратно 3, а значит и y кратно 3, т. е.
y=3y1
(2)
Подставим (2) в (**)
9x13-27y13-3z3=0.
Из этого уравнения следует, что z3 кратно 3, а значит и z кратно 3, т. е. z=3z1.
Из всех проделанных рассуждений можно сделать вывод, что
1) числа x ,y, z кратны 3;
2) числа x1, y1, z1 , т.е.
тоже кратны 3.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (*), кратны 3, и,
сколько раз мы не делили бы их на 3, получаем числа кратные 3. Единственное
целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение
данного уравнения (0; 0; 0).
20
Ответ: (0; 0; 0).
4. Пифагоровы тройки.
Мы знаем, что общие теории никогда не возникают на пустом месте. Сначала
появляются отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимающие, что
наступило время перехода от таких задач к общим приемам и методам.
Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже
второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте
(известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал):
Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот
треугольник – прямоугольный.
Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических
измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и
тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На
веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке С, где надо было
построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном
строителям, забивали второй колышек в точке В (СВ=4) и натягивали веревку так, чтобы
АС=3 и АВ=5.
Треугольник с такими длинами сторон называют египетским.
Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора:
если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то
такой треугольник является прямоугольным.
И действительно, числа 3, 4 и 5 – корни уравнения x2+y2=z2.
Возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений?
Нетрудно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения.
А есть ли еще такие тройки чисел? Нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать
остальные два? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они
нашли ответы на них. Знал это и Пифагор.
Один из путей решения уравнения x2+y2=z2 в целых числах оказался довольно простым.
Запишем подряд квадраты натуральных чисел ( «квадратные числа», как говорили
древние), отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность
между последовательными квадратами:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196… .
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27… .
В нижней строке также есть квадратные числа. Первое из них 9=32, над ним 16= 42 и
25= 52, знакомая нам тройка 3, 4, 5. Следующее квадратное число в нижней строке 25,
21
ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12,
13.Если продолжить строку квадратных чисел и подсчитать соответствующие разности,
то во второй строке найдем 49= 72, этому числу отвечают в строке квадратов 576= 242 и
625= 252. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.
Теперь мы имеем право сформулировать такую теорему:
Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.
Составлять такие строки – довольно трудоемкое занятие. По формулам находить такие
тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы – правила были известны уже две с
половиной тысячи лет назад.
Проверим, что, если χ – нечетное число, то y =
и z=
.
Проверим также, что в этом случае равенство x2+y2=z2 выполняется, т. е. числа,
найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас
неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора»,
а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже
известные нам тройки:
если x=3 , то y=
, z=
если x=5 , то y=
=12, z=
=5, получилась первая пифагорова тройка;
–=13 - вторая тройка;
если x=7, то y=
- третья тройка.
Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40 и z=41.
Проверим наши вычисления:
92+402=412.
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только
некоторых пифагоровых троек.
Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
x2=z2-y2.
Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y
,которые мы обозначим так, что получится такая система:
(при этом надо иметь в виду, что a
). Из этого следует, что наименьшим значением
числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2.
Вычислим x, y, z . Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский
треугольник». А теперь составим таблицу
Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников
b \ a
2
3
4
5
6
1
3, 4, 5
6, 8, 10
8, 15, 17
10, 24, 36
12, 35, 37
2
―
5, 12, 13
12, 16, 20
20, 21, 29
24, 32, 40
3
―
―
7, 24, 25
―
27, 36, 45
4
―
―
―
―
―
22
Ясно, что таблицу можно расширить и вправо, и вниз. Подчеркнем главное –
уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных
значений длин сторон прямоугольных треугольников.
5.Великая теорема Ферма.
Перейдем теперь к одной из самых знаменитых задач диофантова анализа, получившей
название Великой теоремы Ферма. Начнем с истории возникновения этой теоремы.
Пьер Ферма (1601 – 1665), выдающийся французский математик, был одним из ученых,
которые в XVII в. развили метод координат и заложили основы высшей математики. Он
является одним из создателей теории чисел, т. е. той ветви математики, в которой
изучаются свойства целых чисел.
Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в
частности «Арифметика» Диофанта, изданная в 1621 г. Баше де Мезириаком. На одной из
страниц второй книги своего произведения Диофант решает следующую задачу: «Найти
два квадрата, сумма которых тоже является квадратом».
На полях вышеуказанной страницы экземпляра «Арифметики» Диофанта, которым
пользовался Ферма, имеется собственноручная заметка последнего: «Наоборот,
невозможно разложить куб (т. е. z3) на два куба или биквадрат (т. е. z4) на два биквадрата
и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем
же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но
поля книги слишком узки, чтобы его изложить».
Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение
xn + yn= zn
не имеет целых решений для n
.
Это предложение и было названо «Великой, или большой теоремой Ферма» или
«Последней теоремой Ферма». Сам Ферма знал о ее связи с задачей о площади
целочисленного прямоугольного треугольника. Одно из его замечаний к Диофантовой
«Арифметике» гласит: «Площадь прямоугольного треугольника в числах не может быть
квадратом (целого числа)». Ферма показал затем, что это утверждение эквивалентно
великой теореме для n=4, и доказал его.
Его доказательство – единственное полное теоретическо – числовое доказательство
Ферма, которое дошло до наших дней. Здесь он применил новый метод – метод
бесконечного спуска.
Начиная с XVIII в. были сделаны большие усилия для доказательства теоремы Ферма.
Эйлер ее доказал для n=3 и n=4. Для n=5 доказательство было сделано в 20-х годах XIX в.
Лежандром и Дирихле. В 1847 г. Французский математик Г. Ламэ дал доказательство для
n=7.
23
Известный успех был достигнут в рассматриваемой задаче немецким математиком Е.
Куммером, наметившим общий подход к проблеме, с помощью которого он нашел
доказательства для всех простых чисел, содержащихся между 3 и 100. Широкая
известность « Большой теоремы Ферма» и нездоровый ажиотаж к поискам ее
доказательства возникли в 1907 г., когда за ее решение была объявлена премия в 100000
немецких марок. Эта премия из – за ряда инфляций в Германии была в последствии
аннулирована.
В 1960 г. Посредством вычислений, выполненных на ЭВМ, было найдено, что эта теорема
верна для всех n
, а несколько позже для n
.
Конец XX в. ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать
великую теорему Ферма наконец – то увенчались успехом!
В 1995 г. В одном из ведущих математических журналов – «Анналы математики» - было
опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь
номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства
принадлежала английскому математику Э. Уайлсу, профессору Принстонского
университета. На последнем этапе к работе подключился Р. Тейлор, профессор
Оксфордского университета.
Идеи Уайлса опирались на замечательную связь между уравнением Ферма x n+yn= zn и
эллиптическими кривыми, задаваемыми уравнением y2=x(x-an)(x-cn).
Так завершилась 350–летняя история доказательства великой теоремы.
Великая теорема Ферма носит как будто бы частный характер. Но попытки ее
доказательства обогатили математику новыми идеями, методами, теориями. В этом и
состоит непреходящее значение великой теоремы.
24
III. Заключение.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Ферма. Именно он
поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределенных
уравнений только в целых числах. Но это не было изобретением Ферма – он только
возродил интерес к поиску целочисленных решений. А, вообще, задачи, допускающие
только целые решения, были распространены во многих странах в очень далекие от
нас времена. Древние математики находили в большинстве случаях одно, реже
несколько решений неопределенных задач и в основном подбором. Правда за этим
подбором, как правило, стояла система, разгадав которую, можно записать все
искомые решения уравнения.
Решение неопределенных уравнений – очень увлекательная задача. Рассмотрение
теории диофантовых уравнений необходимо и весьма полезно для формирования
математической культуры. Процесс решения диофантовых уравнений позволяет
проводить содержательные исследования на базе относительно элементарных
средств; развивать логическое мышление, прививать навыки самостоятельной работы,
решать задачи практической направленности и др.
Я считаю, что материал, представленный в работе, может использоваться как
учащимися, интересующимися математикой, для самостоятельного изучения, так и в
работе математических кружков и при проведении элективных занятий.
Для работы на занятиях можно предложить, например, задачи из учебника начала прошлого
века А. Малинина и К. Буренина (несколько задач приводится в приложении). Также в
приложении дается конспект урока в 7 классе «Уравнения первой степени с двумя
неизвестными.» Автор учебника: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И.
Шабунин. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012.
25
Приложение.
Избранные задачи на диофантовы уравнения из «Руководства алгебры» для гимназий,
реальных училищ и учительских институтов (составители А. Малинин и К. Буренин.
Москва. 1913)1.
Решите в целых числах уравнения:
Решите в целых положительных числах системы уравнений:
9.
7x+11y=75.
10.
9x+4y=43.
11.
5x+63y=-1.
12.
33x-22y=5.
13.
85x+51y=103.
14.
5x+2y=55.
15.
3x+2y=10.
16.
5x-11y=4.
19.
-3x-8y=17.
20.
17x+25y=109.
21.
92x-115y=3.
Решите в целых положительных числах системы уравнений:
32.
33.
36.
43. Определите целые положительные значения коэффициентов и в уравнении, при
которых.
44. Разложите число 100 на такие две части, чтоб одна делилась без остатка на 7, а
другая на 13.
46. Найдите общий вид чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3, а при
делении на 7 дают в остатке 4.
56. Фунт чаю одного сорта стоит 3,5 р., а другого 2,5 р. Сколько можно купить фунтов
чаю того и другого сорта на 37 р. 50 к.?
60. В каком отношении нужно сплавить серебро 56-й и 84-й пробы, чтобы получить
серебро 72-й пробы?
74. Найдите общий вид чисел, кратных 7, которые при делении на 5, 6 и 8 дают остатки
3, 1 и 5.
26
83. На 100 руб. куплено индеек, гусей и кур, всего 100 штук; за индейку платили 3 р. 50
к., за курицу 50 к., гусей же купили по 4 р. за 3 штуки. Сколько куплено индеек, гусей и
кур?
85. Некто купил кресла, столы и стулья всего на 385 р., платя по 5 р. за стул, по 17 р. за
кресло и по 60 р. за стол; стульев было втрое больше, чем кресел и столов вместе.
Сколько куплено каждого рода мебели?
1Нумерация
задач оригинального текста соблюдена, а орфография изменена.
27
План – конспект урока алгебры в 7 классе.
Тема урока: Уравнения первой степени с двумя
неизвестными.(слайд 1)
Автор учебника: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра. 7
класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения
уравнения с двумя переменными, научить составлять уравнение по условию задачи, научить
узнавать, является ли пара чисел решением уравнения.
Развивающие: развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического
материала; умения анализировать, сопоставлять; развитие наблюдательности, внимания,
математической речи учащихся; формирование математической культуры, потребности
приобретения знаний.
Воспитательные: воспитание самостоятельности, активности, заинтересованности учащихся
на всех этапах урока; формирование таких качеств личности как организованность,
ответственность, аккуратность; формирование навыков само- и взаимоконтроля.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку (Приложение 1).
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация прежних знаний.
а) Фронтальный опрос (слайд 2):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Какое равенство называют уравнением?
Что называют корнем уравнения?
Что значит решить уравнение?
Сколько корней может иметь уравнение?
Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.
Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?
б) Задание классу: решить старинную задачу (слайд 3)
Задача о жизни Диофанта.
Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после
седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын,
умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4
года. Сколько лет прожил Диофант?
Задача сводится к решению уравнения :
+
+
( Ответ: 84 года).
28
Чем же знаменит Диофант?
3. Историческая справка. (слайд 4)
Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой
важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В
сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах
содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад
Диофанта в математику. Что же это за уравнения?
Рассмотрим шутливую задачу. (слайд 5)
Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал,
сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их
питомцев?
Какое бы вы составили уравнение? (Обсуждение с классом). Необходимо ввести две
переменные: χ – число инопланетян, y- число питомцев, тогда получим уравнение 3x+2y=15.
Ребята, давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев (слайд 6) ?
3χ+2y=15. Выразим y через χ: y=
y=6, при χ=2, y
и далее воспользуемся методом перебора: при χ=1,
, при χ=3, y=3. Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина
и 3 питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными.
Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется
найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он
изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют
диофантовыми уравнениями.
4. Изучение нового материала.
а ) Работа с учебником. Предложить учащимся рассмотреть Задачу 1 на стр. 214.
Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя
переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с
определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя
переменными. (слайд 7). Привести примеры линейных уравнений с двумя переменными.
Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя
переменными (слайд 8).
б) Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (учащиеся дают
определение).
в) Работа с учебником: Задача 2 стр. 215.
Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными. (Слайд 9)
29
г) Физкультминутка для глаз.
д) Работа в парах. (слайд 10).
Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов):
1) x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5, 4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8.
е) Работа по учебнику.
№ 615 (1; 3), № 616 (2; 4): 2) y=
пары решений (x;
, пары решений (x;
), где x – любое число ; 4) y=
), где x – любое число, № 617(1; 3):1) x=
;(2;3), 3) y=
,
; (1; 5),
(3; 2).
5. Самостоятельная работа (слайд 11):
I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида
получится?» Решите задачу методом подбора.
II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
« В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После
того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех
стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом
подбора.
(слайд 12) Самопроверка:
I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы и 2 букета по 5 роз.
II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.
6. Итог урока.(слайд 13)
Обобщение пройденного материала на уроке.
а) какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
б) что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
в) как записывается это решение?
Выставление отметок.
7. Домашнее задание.§33 (до задачи 3), №615 (2), № 616 (1;3), № 617 (2; 4),
дополнительно, для сильных учащихся, №625. (слайд 14)
30
IV. Список литературы
1. Факультативный курс по математике: учеб. Пособие для 7-9 кл. сред. шк./ сост. И.
Н. Никольская. – М.: Просвещение, 1991.
2. «Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика»
(ПС) – 2001, -№21, с. 28-32.
3. «Линейные уравнения с двумя переменными» А. Пономаренко/ «Математика» (ПС)
– 2002, -№6, с. 27-32.
4. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия.: Кн. Для
учащихся 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ Н. Я. Виленкин, Л. П.
Шибасов, З. Ф. Шибасова – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1996.
5. Занимательная алгебра. Перельман Я. И. – М.: АО «Столетие», 1994.
6. Решение уравнений в целых числах. А. О. Гельфонд/ Изд – во «Наука» Главная
редакция физико – математической литературы, М.: 1978.
7. Глейзер Г. И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. – М.:
Просвещение, 1982.
8. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для уч – ся 7-9 кл. сред. шк. –
М.: Просвещение, 1990.
9. «Решение уравнений в натуральных и целых числах» В. Малинин/ «Математика»
(ПС) -2001,-№22, стр. 25-28.
10. «Задачи с целыми числами» Е. Галкин/ «Математика» (ПС)-2000,-№6, стр.4-6.
11. «Энциклопедия для детей» Т.11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.:
Аванта+, 2002, стр. 163-174.
31