Текст диплома в формате doc
advertisement
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» филиал ФГБОУ ВПО «МГИУ» в г. Сергиевом Посаде Кафедра прикладной математики и информатики ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА По специальности Прикладная математика и информатика на тему «Разработка и исследование математических моделей прыжковоштокового транспортного средства» Студент-дипломник Барыбин Иван Андреевич / _______________ / (подпись) Руководитель работы к.т.н Чернявский Юрий Михайлович / _______________ / (подпись) Консультант _____________________________________________ / ___________________ / (должность, ученая степень, звание) (Ф.И.О.) "ДОПУСКАЕТСЯ К ЗАЩИТЕ" Заведующий кафедрой профессор _______________________ А.Н.Безгинов (подпись) "_____"_____________ 2012 г. Сергиев Посад 2012 (подпись) 2 АННОТАЦИЯ В данной работе построены математические модели различных фаз движения прыжково-штокового транспортного средства. Выполненные численные исследования для различных конструкций данного устройства в широком диапазоне скоростей движения позволили сделать вывод о принципиальной реализуемости данного устройства, выявили диапазон допустимых скоростей движения ПШТС, позволили сравнить разные конструкции амортизирующего устройства, а также сформулировать требования к корректирующим реактивным соплам. 3 Содержание Перечень условных обозначений…………………………………………………………….. ..….4 ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………. ……5 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ В ВОЗДУХЕ…………………………... ……7 1.1. Движение без учета сил сопротивления воздуха……………………………………… ……7 1.2. Движение с учетом сил сопротивления воздуха……………………………………… ……8 1.3. Методы для решения дифференциальных уравнений……………………………….. ……9 1.3.1.Метод Эйлера……………………………………………………………………….……9 1.3.2. Модифицированный метод Эйлера……………………………………………...…..10 1.3.3. Методы Рунге-Кутта……………………………………………………………...…...11 1.4. Результаты расчетов в воздухе и в вакууме………………………………………….. …..11 1.5. Расчет затрат энергии…………………………………………………………………… …..14 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТА С ПОВЕРХНОСТЬЮ…………………. ….16 2.1. Общие положения………………………………………………………………………. ….16 2.2. Разработка математической модели…………………………………………………… ….16 2.3. Расчет допустимых перегрузок при использовании упругого амортизатора………. ….18 2.4. Расчет допустимых перегрузок при использовании пневматического амортизатора ….21 2.5. Выводы…………………………………………………………………………………... ….23 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПШТС С КОРРЕКТИРУЮЩЕЙ СИЛОЙ…………. ….24 3.1. Общие положения………………………………………………………………………. ….24 3.2. Построение математической модели………………………………………………….. ….24 3.3. Грубая модель с корректирующий силой……………………………………………... ….27 3.4. Решение системы дифференциальных уравнений……………………………………. ….30 3.5. Результаты расчетов…………………………………………………………………….. ….32 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………... ….42 Список использованных источников………………………………………………………… ….43 4 Перечень условных обозначений ДО – датчики ориентации; ДУ – дифференциальное уравнение; ПШТС – прыжково-штоковое транспортное средство; РД – реактивные двигатели для корректировки траектории; СДУ – система дифференциальных уравнений; СУ – система уравнений; 5 ВВЕДЕНИЕ Целью настоящей работы является разработка математических моделей прыжковоштокового транспортного средства (ПШТС) и исследование на их основе требований к конструкции и возможностей использования этого устройства. Прототип ПШТС известен более ста лет. Подобное устройство, приводимое в действие только мускульной силой человека, было изобретено еще в начале ХХ века и пользовалось в то время значительной популярностью. Первые образцы поступили в продажу в Европе еще до Первой Мировой войны. Его конструкция довольно проста и представлена на рисунке ниже. Человек становится на специальные подножки и держится за ручки. При приземлении после прыжка шток вдвигается внутрь, сокращая пружину. Затем пружина распрямляется, придавая оператору импульс для следующего прыжка. Пример прыжка на таком устройстве представлен на фотографии ниже. В настоящее время производится основанная на том же принципе игрушка для подростков «Pogo-stick». Сейчас модели пого-стиков все более совершенствуются. Помимо обычных – на пружине, существуют модели со встроенным пневматическим 6 амортизатором. Силу прыжка такого пого-стика можно регулировать. Профессиональные спортсмены могут совершать на нем прыжки до 2,5 метров в высоту. В 30-е годы прошлого столетия была предпринята попытка оснастить это устройство бензиновым двигателем. Подобное устройство даже было принято на вооружение в итальянской армии в качестве транспортного средства для десантников. Но от его использования вскоре отказались из-за очень высокого травматизма. Человеческой реакции недостаточно, чтобы успевать управлять таким устройством. В последнее время вновь возник интерес к прыжково-штоковому транспортному средству. Современный технологический уровень позволяет оснастить ПШТС кроме двигателя еще и датчиками ориентации, микроконтроллером с программой управления и корректирующими двигателями, например реактивными, на сжатом воздухе. Эта идея была высказана в повести «Переэкзаменовка» изобретателем из Ставрополя Кучером П.А. (http://samlib.ru/k/kucher_p_a/173008pereekzamenovka.shtml). Данная работа как раз и решает задачи определения некоторых требований к конструкции такого устройства, пределов рабочих скоростей и затрат энергии на движение. ПШТС отличается от обычного пого - стика наличием двигателя, автоматической системы управления (АСУ) и реактивных корректирующих двигателей. Идея об управлении в полете с помощью маневровых пневматических сопел около 40 лет назад реализована в конструкции платформ для десантирования техники. А в космонавтике, таким образом сделана система ориентации и полета для скафандров. К скафандру цепляется рама с соплами, АСУ и гироскопом. Весь полет, от момента отрыва до приземления, оператор ПШТС движется по инерции. Менять ориентацию объекта, крутить, поворачивать, корректировать траекторию можно за счет реактивной тяги. Но сам человек на такое точное управление не способен. Нужен процессор и система точной ориентации. Еще одна проблема - центр тяжести системы постоянно меняется. Люди разные, оператор в полете может двигать руками, длина штока меняется и пр. Это тоже должно автоматически учитываться. Также в момент ускорения и торможения позвоночный столб оператора должен совпадать с вектором ускорения. То есть, ПШТС стартует и врезается в землю под совершенно определенным углом. Этот угол также должен рассчитываться автоматически. За короткий срок (доли секунды) верно посчитать углы и снова задать нужную ориентацию способна только автоматика. В верхней части траектории, оператор задает направление и длину следующего прыжка. Внизу автоматика производит ориентацию, торможение и разгон по расчетным данным. Для всего этого требуется построить математические модели для различных фаз движения устройства. Модель движения ПШТС можно разбить на две составляющие части. Первая часть – модель свободного полета в воздухе, от момента отрыва от земли до момента приземления. Из этой модели мы можем найти максимальную высоту подъёма, горизонтальное перемещение, время полета, нагрузки на позвоночник оператора. Вторая часть – движение при касании с землей, от момента приземления до момента отрыва от земли. Здесь мы можем найти угол приземления, угол отталкивания, время разворота ПШТС, построить зависимости угловой, линейной скорости, расстояния от центра масс до земли и угла поворота от времени. 7 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ В ВОЗДУХЕ Движение прыжково-штокового транспортного средства можно разделить на две фазы – свободный полет в воздухе и движение при контакте с землей. На участке свободного полета, если не считать корректирующих импульсов сжатого газа, то движение аппарата практически не отличается от движения тела, брошенного под углом к горизонту. 1.1. Движение без учета сил сопротивления воздуха Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения a=g; проекции ускорения на координатные оси равны ах = 0, ау = -g [9]. y 0 x Рис.1.1. Схема движения в воздухе. Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) как показано на рис.1.1. Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом: где – начальная скорость; α – угол бросания; – горизонтальная составляющая скорости; 8 – вертикальная составляющая скорости; t – время полета. Координаты тела, следовательно, изменяются так: где – перемещение по оси Х; – начальное положение по оси Х; – перемещение по оси Y; – начальное положение по оси Y; 1.2. Движение с учетом сил сопротивления воздуха После отрыва от земли на оператора ПШТС действуют только две силы – сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Следовательно, (1.1) где – масса ПШТС вместе с оператором, – ускорение ПШТС, – сила тяжести, – сила сопротивления воздуха, Сила сопротивления направлена в противоположную сторону от вектора скорости и пропорциональна квадрату скорости. (1.2) где – коэффициент сопротивления воздуха, – скорость ПШТС, Установившаяся скорость падения человека массой 90 кг при падении плашмя равна приблизительно 40 м/с, а при падении в вертикальном положении – около 60 м/с. Отсюда можем получить значения коэффициента сопротивления k [8]. В первом случае он будет равен 0.52 кг/м, а во втором – 0.23 кг/м. Так как на разных этапах прыжка вектор скорости по разному направлен по отношению к положению тела оператора, то для расчетов можем принять усредненное значение коэффициента сопротивления k = 0.38 кг/м. Запишем уравнение (1.1) с учетом (1.2) в проекциях на горизонтальную и вертикальную ось. 9 где – масса ПШТС вместе с оператором, – коэффициент сопротивления воздуха, – скорость ПШТС, – горизонтальная составляющая ускорения, - вертикальная составляющая ускорения. Теперь можно записать СДУ, моделирующих свободный полет тела с учетом сопротивления воздуха. 1.3. Методы для решения дифференциальных уравнений Одношаговые методы предназначены для решения ДУ первого порядка вида где при начальном условии . С помощью этих методов вычисляют последовательные значения y, соответствующие дискретным значениям независимой переменной X [1]. 1.3.1. Метод Эйлера Это простейший метод, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритм других, более эффективных методов. Метод Эйлера основан на разложении y в ряд Тейлора в окрестности : Если значение шага мало, то члены, содержащие во второй или более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальное условие. Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении от начальной точки. Этот процесс можно 10 продолжить, используя соотношение и делая сколь угодно много шагов. Ошибка метода имеет порядок содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасываются. , так как члены, 1.3.2. Модифицированный метод Эйлера Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке наклон касательной уже не таков, каким он был в точке . Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, например, используя среднее значение производной в начале и конце интервала. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала . Вычислив среднее значение между этим значением производной и её значением в начале интервала, найдем более точное значение ; Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить и иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора по формуле (1.4). Кажется очевидным, что, сохранив член с и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с , надо знать вторую производную . Ее можно аппроксимировать конечной разностью Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий . Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода, имеет порядок . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления . Более высокая точность может быть достигнута, если пользователь готов потратить дополнительное машинное время на лучшую аппроксимацию производной путем сохранения большего числа членов ряда Тейлора. Эта же идея лежит в основе методов Рунге-Кутта. 1.3.3. Методы Рунге-Кутта Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо каким-то образом вычислить n-ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечноразностной форме достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемою 11 интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала , т. е. между и . Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала. Метод Рунге-Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой идеи. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Наиболее распространенным из них является метод, при котором удерживаются все члены, включая Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок . Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле где Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно. По сравнению с ними метод Рунге-Кутта имеет важное преимущество, так как обеспечивает более высокую точность, которая с лихвой оправдывает дополнительное увеличение объема вычислений. Более высокая точность метода Рунге-Кутта часто позволяет увеличить шаг интегрирования . Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. Чтобы обеспечить высокую эффективность вычислительного процесса, величину следует выбирать именно из соображений максимальной допустимой ошибки на шаге. Такой выбор часто осуществляется автоматически и включается как составная часть в алгоритм, построенный по методу Рунге-Кутта. 1.4. Результаты расчетов в воздухе и в вакууме Система уравнений (1.3) с учетом начальных условий была численно решена методом Рунге-Кутта. Данный метод был реализован в среде Delphi 7 [11]. Метод можно использовать для систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения ДУ более высоких порядков, так как любое ДУ n-го порядка можно свести к n дифференциальным уравнениям первого порядка. Например, в ДУ второго порядка: 12 Можно принять z=dy/dx. Тогда: и получаем два уравнения первого порядка: где . Задача Коши в этом случае содержит два начальных условия: Формулы Рунге-Кутта будут иметь вид Коэффициенты K и L будут рассчитываться по следующим формулам Здесь где – шаг интегрирования. Далее приведены графики, характеризующие траекторию движения ПШТС в воздухе и в вакууме для скоростей v=10м/с, v= 20м/с, v=30м/с. Красная кривая характеризует перемещение ПШТС в вакууме, зеленая кривая – в воздухе.На рис.1.2. видно, что при скорости движения 10 м/с разница в перемещении в воздухе и в вакууме будет несущественной, примерно 1м, то есть 5% на каждом прижке. 13 Рис.1.2. Перемещение в воздухе и в вакууме при горизонтальной скорости 10м/с. На рис.1.3 видно, что при скорости перемещения 20м/с разница в перемещении в воздухе и в вакууме составляет около 20м или 25% от длины прыжка. То есть потери на сопротивление воздуха здесь в 5 раз больше чем при скорости 10м/с (см. рис.1.2). Рис.1.3. Перемещение в воздухе и в вакууме при горизонтальной скорости 20м/с. На рис.1.4 видно, что при скорости перемещения 30м/с разница между перемещением в воздухе и перемещением в вакууме составляет около 70м, что сотавляет почти 40% от длины прыжка. В данном случае силы сопротивления воздуха оказывают существенное влияние на перемещение ПШТС. 14 Рис.1.4. Перемещение в воздухе и в вакууме при горизонтальной скорости 30м/с. Следовательно, из исследования модели движения в воздухе можно сделать вывод,, что движение с горизонтальной скоростью более 10м/с допустимо, но не экономично. 1.5. Расчет затрат энергии. Из-за сопротивления воздуха скорость в точке приземления будет меньше начальной скорости при отталкивании, кроме того, будут потери на трение в пневматическом штоке, следовательно, потери энергии, которые нужно восполнять на каждом прыжке, будут равны где – масса ПШТС вместе с оператором, – горизонтальная составляющая скорости в начальный момент времени, – горизонтальная составляющая скорости в конечный момент времени, – вертикальная составляющая скорости в начальный момент времени, – вертикальная составляющая скорости в конечный момент времени. Затраты энергии на движение прямо зависят от КПД механизма рекуперации, запасающего энергию при торможении при приземлении и отдающего при отталкивании от поверхности земли. На рис.1.5 представлен график, полученный в результате расчета зависимости затрат энергии в диапазоне скоростей движения от 1 до 20 м/с при КПД рекуператора 80%. 15 Рис.1.5. Зависимость затрат энергии от скорости движения. В этом случае при скорости движения 5м/с (18км/час) расход бензина составит около 2,5 литров на 100 км. При увеличении скорости расход топлива возрастает по экспоненте и при скорости движения 20м/с (72 км/час) будет требоваться уже около 6 литров на 100 км. Следовательно, движение со скоростями, большими, чем 5 км/час допустимо, но неэкономично. 16 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТА С ПОВЕРХНОСТЬЮ 2.1. Общие положения Построим модель движения ПШТС при касании с землей. Для этого сделаем следующие допущения: 1) Пренебрегаем всеми непотенциальными силами, в частности, силой сопротивления воздуха и силами трения 2) Коэффициент жесткости амортизатора постоянен 3) Отталкивание только за счет амортизатора 4) Движение прыгалки рассматриваем, как движение точки в центре масс 5) Шток массы не имеет, то есть, когда он вдвигается в прыгалку, положение центра масс не меняется Известно, что наиболее экономичные прыжки получаются при угле отталкивания в 45 о. Следовательно, угол приземления будет также близок к 45о . Значит, за время торможения и последующего отталкивания устройство должно развернуться на 90 о относительно точки касания земли штоком как показано на рис.2.1. Рис.2.1. Схема движения ПШТС при контакте с землей. 2.2. Разработка математической модели. Так как нижняя точка штока неподвижна, лучше будет рассматривать движение в полярных координатах r – расстояние от точки касания до центра масс, - угол поворота ПШТС относительно вертикальной оси. Кинетическая энергия точки в полярных координатах записывается (2.1) где – масса ПШТС вместе с оператором. Потенциальная энергия, так как силой тяжести мы пренебрегаем, энергию амортизатора, следовательно, зависит только от r где - положение центра масс в момент касания штоком земли. содержит только 17 Тогда Лапласиан будет выглядеть так: Так как непотенциальными силами мы пренебрегаем, то будут справедливы уравнения Лагранжа-Эйлера После преобразований получаем (2.2) где , исходя из начальных условий, равно Из уравнения (2.3) выразим угловую скорость и подставим в уравнение (2.2) Для целей грубой оценки в (2.4) членом с линейное ДУ 2-й степени можно пренебречь. Тогда получаем которое имеет решение Из начальных условий где – проекция на ось ПШТС вектора скорости в момент касания. Получаем решение 18 При условии, что ПШТС может прыгать в высоту до = 25м и шток имеет предельную длину = 2 м, оценим необходимый коэффициент жесткости для оператора массой 70кг и «прыгалки» массой 10кг. 2.3. Расчет допустимых перегрузок при использовании упругого амортизатора. Тренированный человек может выдержать перегрузки до 25g в течение очень короткого времени порядка 0,1-0,2 с. При увеличении или максимума перегрузки, или длительности ее воздействии, вероятность травмы значительно повышается. Далее приведены графики, характеризующие перегрузки при разных скоростях передвижения ПШТС [2]. На рис.2.2 изображен график ускорения при скорости движения 10м/с. Из графика видно, что уже при этой скорости перегрузки почти достигают разрешенного максимума. Данные были взяты из книги «Теория и практика подготовки парашютистов» [8]. 19 Рис.2.2. Перегрузки при скорости движения 10м/с. На рис.2.3 изображен график ускорения при скорости движения 20м/с. Из графика видно, что движение с этой скоростью недопустимо, так как перегрузки превышают допустимое значение на 15g. 20 Рис.2.3. Перегрузки при скорости движения 20м/с. На рис.2.4 изображен график ускорения при скорости движения 10м/с. Из графика видно, что движение с этой скоростью также недопустимо, так как перегрузки превышают допустимое значение почти в 2.5 раза. 21 Рис.2.4. Перегрузки при скорости движения 30м/с. 2.4. Расчет допустимых перегрузок при использовании пневматического амортизатора. Из предыдущих графиков видно, что при упругом амортизаторе перегрузки значительно превышают допустимый максимум уже при скорости большей 10 м/с. Поэтому было принято решение заменить упругий амортизатор пневматическим, который способен обеспечить постоянное ускорение. Выведем формулу для расчета постоянного ускорения ПШТС. Из курса школьной физики нам известно, что перемещение рассчитывается по формуле где - перемещение, - начальное положение, - начальная скорость, - время, 22 – ускорение. Аналогично запишем формулу для длины штока h После преобразований из этой формулы находим ускорение . Оно будет рассчитываться следующим образом Время контакта с поверхностью будет рассчитываться по формуле На рис.2.5 приведен график, характеризующий зависимость ускорения от скорости передвижения ПШТС. Из графика видно, что перегрузки будут укладываться в допустимые нормы даже при скорости более 20м/с. Также были получены оценки для времени воздействия перегрузок. График, характеризующий зависимость времени действия перегрузок от скорости движения показан на рис.2.6. Рис.2.5. Зависимость перегрузок от скорости передвижения. 23 Рис.2.6. Зависимость времени действия перегрузок от скорости передвижения. 2.5. Выводы. Были разработаны упрощенные математические модели ПШТС для конструкции с упругим амортизатором, который обеспечивает переменное ускорение, а также для пневматического амортизатора, обеспечивающего постоянное ускорение при торможении и отталкивании. При реализации постоянного ускорения при торможении возможны значительно большие скорости движения, например, при скорости горизонтального движения до 20 м/с перегрузки вполне укладываются в допустимые рамки, что наглядно видно из представленных на этом плакате графиков. Исследования упрощенной модели для конструкции с упругим амортизатором показывают, что скорости движения более 10м/с с таким амортизатором недопустимы, так как перегрузки будут слишком велики. 24 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПШТС С КОРРЕКТИРУЮЩЕЙ СИЛОЙ 3.1. Общие положения За время контакта с землей устройство должно развернуться на 90 о, а кроме того, для исключения кувыркания в полете, в момент отрыва от земли угловая скорость устройства должна быть нулевой. Разворот можно обеспечить отклонением штока от линии траектории перед касанием с землей, как показано на рисунке, а вот для гашения угловой скорости необходимо воздействие корректирующей силы . Эту силу могут обеспечить, например, корректирующие реактивные двигатели на сжатом воздухе. Если точка касания будет лежать на траектории свободного движения, то есть если устройство будет приземляться ровно под к горизонту, то угловая сила, которая будет поворачивать ПШТС, не возникнет. Значит, угловая скорость будет равна 0 и ПШТС полетит в обратном направлении. Чтобы этого избежать, необходимо приземляться не под к горизонту, а с каким-то отклонением , то есть под углом к горизонту, как показано на рис.3.1. Рис.3.1. Отклонение от траектории в момент приземления. Здесь АВ – линия траектории, С – точка действительного приземления, отклонение от траектории, , скорость в момент приземления, тангенциальная составляющая скорости. составляющая скорости. радиальная Была построена математическая модель, позволяющая учесть влияние такой силы на движение устройства при контакте с замлей. 3.1. Построение математической модели. Так как нижняя точка штока неподвижна, лучше будет рассматривать движение в полярных координатах r – расстояние от точки касания до центра масс, - угол поворота ПШТС относительно вертикальной оси. 25 Кинетическая энергия T точки в полярных координатах записывается следующим образом [15]. где m – масса оператора вместе с устройством; угловая скорость устройства при развороте; линейная скорость центра масс Далее составляем уравнения движения. Простым и удобным методом составления уравнений движения систем с одной степенью свободы является применение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Если же система обладает несколькими степенями свободы, то применение теоремы не позволяет решить поставленную задачу. Принцип Даламбера и метод кинетостатики позволяет составить динамические уравнения движения с несколькими степенями свободы. В аналитической механике, используя вариационный принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики), можно составить уравнения движения для любых систем с любым числом степеней свободы, а тот же принцип, но в обобщенных координатах, справедлив для голономных систем. Однако применение трех последних методов связано с трудностями вычисления сил инерции системы, что существенно ограничивает применение этих методов. Процесс составления дифференциальных уравнений и их решение значительно упрощаются при использовании дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах или уравнений Лагранжа второго рода [7]. Для вывода уравнений запишем принцип Даламбера – Лагранжа в обобщенных координатах. Здесь s – число степеней свободы системы. Принимая во внимание, что Fi = -miai = -midVi / dt, получаем: где – обобщенные силы; – скорость; - обобщенные координаты; - координаты. Далее обобщенные силы инерции в левой части нужно выразить через кинетическую энергию. Это впервые сделал Лагранж, который доказал, что для систем с голономными связями обобщенные силы инерции равны Получаем ДУ движения системы в обобщенных координатах, которые названы уравнениями Лагранжа второго рода 26 то есть, материальная система с голономными связями описывается уравнениями Лагранжа второго рода по всем s обобщенным координатам. Отметим важные особенности полученных уравнений. 1. Уравнения (3.2) - это система обыкновенных ДУ второго порядка относительно s неизвестных функций qj(t), полностью определяющих движение системы. 2. Число уравнений равно числу степеней свободы, то есть движение любой голономной системы описывается наименьшим числом уравнений. 3. В уравнения (3.2) не нужно включать реакции идеальных связей, что позволяет, находя закон движения несвободной системы, выбором обобщенных координат исключить задачу определения неизвестных реакций связей. 4. Уравнения Лагранжа второго рода позволяют указать единую последовательность действий для решения многих задач динамики, которую часто называют формализмом Лагранжа. В нашем случае смеем 2 степени свободы, q1 = r, а q2 = .Тогда уравнения Лагранжа запишутся так Q1 и Q2 –обобщенные силы системы. Обобщенная сила Q1 –в данном случае связана с силой торможения штока и направлена по радиусу, обобщенная сила Q2 – направлена по касательной, гасит угловую скорость. Определим, что в данном случае представляет обобщенные силы. Так как работа A по определению есть произведение обобщенной силы Qi на элементарное приращение координат qi, то можно записать, что Для линейного перемещения формула работы примет вид где А1 – работа при линейном перемещении; Тогда , отсюда получаем, что Аналогично получаем формулу для работы при угловом перемещении 27 где А2 – работа при линейном перемещении; Получаем, что Следовательно Подставляем выражения (3.4 для Q1 и (3.5) для Q2 в систему (3.3). Вместо T подставляем выражения (3.1) для кинетической энергии. Получаем Силу торможения штока можно расписать в виде произведения массы на массы m на ускорение a. Ускорение, в свою очередь, из соображения, что в нижней точке движения штока радиальная скорость должна быть равна 0, можно представить в виде где -скорость штока в момент приземления; h-длина штока. Подставляем выражение (3.7) в систему (3.6) и после преобразований получаем конечную СДУ (3.8) движения транспортного средства: где m-масса оператора, r-расстояние от земли до центра масс, -ускорение штока, -угловая скорость штока при развороте, -угловое ускорение, -скорость штока в момент приземления, h-длина штока. 28 3.3. Грубая модель с корректирующий силой. Для нахождения этого отклонения построим грубую модель движения ПШТС при касании с землей. В данной модели примем, что ПШТС движется только по окружности, а расстояние от центра масс до точки касания с землей r при этом не изменяется. Так как радиального движения в данной модели не имеется, то первое уравнение в системе (3.8) можно не учитывать, и движение устройства полностью описывается вторым уравнением из системы (3.8), т.е: Выразим отсюда угловое ускорение: Интегрируем это выражение по t, получаем: Интегрируем еще раз по t, получаем (где и - коэффициенты, определяемые из начальных условий) Начальные условия следующие где – время приземления; - угол приземления; - угловая скорость в момент приземления. При t=0 можно найти коэффициенты и В момент отрыва от земли для обеспечения заданной горизонтальной скорости движения конечный угол поворота устройства должен быть равен . В тоже время, чтобы исключить вращение оператора в свободном полете, момент вращения в момент отрыва должен отсутствовать, то есть должно выполняться условие равенства нулю угловой скорости 29 Следовательно, в момент времени t=T Отсюда мы можем определить угол отклонения от траектории, который обеспечит при некоторой постоянной корректирующей силе одновременное выполнение этих условий. Из второго уравнения (3.9) получим где -угол, на который необходимо развернуться; -угловая скорость; - время разворота; - угловое ускорение/торможение. Так как время торможения и разгона равно, то Выразим конечную угловую скорость через начальную угловую скорость и угловое ускорение После преобразований запишем (3.10) в виде Вычтя уравнение (3.11) из (3.12), получим или, после подстановки начальных условий: В результате получим уравнение для угла отклонения, при котором при постоянном угловом ускорении (а значит, в рамках данной модели при постоянной корректирующей силе) обеспечивается нужный угол поворота и нулевая угловая скорость в момент отталкивания: 30 Данное уравнение было решено методом дихотомии при и результате было определено начальное отклонение от траектории движения [13]. .В Значение корректирующей силы при данном угле можно получить следующим образом. Из второго закона Ньютона Где Следовательно Тогда, с учетом (3.13) запишем формулу для расчета силы Для значений корректирующая сила должна быть равной примерно 600 Н. , получим, что 3.4. Решение системы дифференциальных уравнений. В предыдущем подразделе, мы рассмотрели грубую модель движения ПШТС при контакте с землей и, исходя из нее, определили угол отклонения и корректирующую силу, которые обеспечивают нужный угол отталкивания и отсутствие вращения в конечный момент времени. Однако, так как перемещения вдоль радиуса при контакте с поверхностью довольно значительные, эта грубая модель может быть далека от реальности. Кроме того, при реальном движении ПШТС неизбежны погрешности в выдерживании нужного угла отклонения от траектории. Следовательно, мы должны иметь возможность динамически изменять корректирующую силу, чтобы обеспечить нужный угол отталкивания и отсутствие вращения в конечный момент времени. Поэтому нам необходимо иметь возможность решать систему уравнений () в исходном виде. Теперь рассмотрим общую модель, когда шток движется по окружности, и при этом его длина меняется. Из системы (3.8) получим систему ДУ второй степени 31 Чтобы перейти к ДУ первой степени, сделаем замену переменных Получим Начальными условиями в нашей модели будут: Запишем (3.15) в виде (3.16) где Для численного решения системы (3.16), (как было показано в разделе 1.3) можно использовать метод Рунге-Кутта [1]. Положим 32 Отсюда При начальных условиях 33 В итоге мы получаем зависимость угловой скорости и линейной скорости штока от времени, зависимость расстояния от земли до центра масс r от времени, а также зависимость угла от времени. Конкретные решения зависят от способов, которым будет задана корректирующая сила. Для начала рассмотрим как будет себя вести ПШТС при условиях, определенных для грубой модели в предыдущем подразделе. 3.5. Результаты расчетов. Для расчетов были рассмотрены 3 варианта задания корректирующей силы. 1. Постоянная корректирующая сила как в грубой модели. Данный вариант не подходит, так как не удовлетворяет требованиям математической модели. 2. Динамическая корректирующая сила, которая рассчитывалась как среднее арифметическое между силой, необходимой для разворота ПШТС и силой, требуемой для гашения угловой скорости. В данном случае метод Рунге-Кутта не сходится. 3. Динамическая корректирующая сила, которая половину времени контакта с землей обеспечивала разворот ПШТС, а вторую половину времени гасила угловую скорость. Далее показаны графики тестовых расчетов для начальной скорости перемещения 10м/с и отклонения от траектории в 15 о.Графики были построены в среде Delphi 7 [6]. На рис.3.2 изображен график, характеризующие перемещение центра масс ПШТС. 34 Расстояние до центра масс м 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Время 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Рис.3.2. Перемещение центра масс ПШТС для отклонения 15. На рис.3.3 представлен график изменения угловой скорости ПШТС. Из графика видно, что в момент отрыва штока от земли угловую скорость не удается погасить полностью, поэтому погасить её до 0 придется уже в полете. 35 Рис.3.3. Угловая скорость ПШТС для отклонения 15. На рис.3.4 изображен график угла поворота. Из графика видно, что устройство приземляется под углом 60 к горизонту, разворачивается на 75 относительно точки касания и отталкивается под 45 как и было задумано в математической модели. 36 Рис.3.4. Угол разворота ПШТС для отклонения 15. 37 Рис.3.5. Корректирующая сила для отклонения 15. Следующий график характеризует зависимость затрат энергии на разворот устройства относительно точки касания с землей в зависимости от угла отклонения (рис.3.6). 38 Рис.3.6. Интегральная сила. Из графика видно, что минимальные затраты энергии на коррекцию разворота будут при угле отклонения от траектории в 27о. Далее приведены графики изменения угла поворота, корректирующей силы, угловой скорости для этого случая. На рис.3.7 изображен график, характеризующий перемещение центра масс ПШТС. Видно, что траектория центра масс при угле отклонения от траектории в 27о мало отличается от траектории при угле отклонения от траектории в 15 о. 39 Расстояние до центра масс м 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Время 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Рис.3.7. Перемещение центра масс ПШТС для отклонения 27. На рис.3.8 изображен график угла поворота при угле отклонения от траектории в 27 . Из графика видно, что устройство приземляется под углом 72 к горизонту, разворачивается на 63 относительно точки касания и отталкивается под 45, как и было задумано в математической модели. о 40 Рис.3.8. разворота ПШТС для отклонения 27 На рис3.9 представлен график, характеризующий угловую скорость ПШТС для отклонения 27. Из графика видно, что значение угловой скорости в момент отрыва от земли будет почти в 2 раза меньше чем при отклонении в 15. Значит погасить угловую скорость в данном случае будет гораздо легче. 41 Рис.3.9. Угловая скорость ПШТС для отклонения 27. На рис.3.10 изображен график корректирующей сила для отклонения 27. Если сравнить этот график с графиком для отклонения 15, то можно сделать вывод, что затраты энергии на разворот ПШТС в последнем случае будут намного меньше, чем для отклонения 15. 42 Рис.3.10. Корректирующая сила для отклонения 27. 43 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной работе была разработаны и исследованы математические модели движения ПШТС в воздухе и при контакте с землей. Были выполненные численные исследования для различных конструкций данного устройства для различных скоростей движения, которые позволили сделать вывод о возможной реализуемости данного устройства, выявили диапазон допустимых скоростей движения ПШТС, позволили сравнить разные конструкции амортизирующего устройства, а также сформулировать требования к корректирующим реактивным соплам. Таким образом, можно сделать следующие выводы: Разработанные математические модели позволяют исследовать различные фазы движения прыжково-штокового транспортного средства. В результате проведенных исследований математических сформулированы требования к конструкции такого устройства. моделей были Проведенные расчеты позволили определить диапазон допустимых скоростей горизонтального движения, перегрузки при котором может выдержать тренированный человек. Получены оценки затрат энергии при различных скоростях движения. Рассчитан режим воздействия корректирующей силы, а также оптимальный угол отклонения от траектории в момент касания с землей, при котором затраты на корректировку разворота минимальны. Разработанные математические модели и алгоритмы могут быть использованы как основа для построения управляющего автомата прыжково-штокового транспортного средства 44 Список использованных источников 1. Т.Шуп, «Решение инженерных задач на ЭВМ»,издательство «Мир»,1982. 2. И.Ф. Образцов, «Проблемы прочности в биомеханике», высшая школа, 1988. 3. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г., «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи», 1990. 4. Дж. Холл, Дж. Уатт, «Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений», 1979. 5. С. Бобровский, «Технологии Delphi 2006. Новые возможности», издательство «Питер», 2006. 6. Д. Осипов, «Delphi. Профессиональное программирование», издательство «Символ-Плюс», 2006г. 7. С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова «Дифференциальные уравнения», МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 8. Д. Т. Жорник, К. В. Лушников, «Теория и практика подготовки парашютистов», издательство «ДОСААФ», Москва, 1969 9. Е.П.Разбитная, В.С.Захаров, «Основы классической механики. Учебное пособие для студентов физ.-мат.фак.пед.вузов.-Владимир: ВГПУ, 1998. -116с. 10. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Редакторы Дж. Холл и Дж. Уатт. Перевод с англ. В.В. Поспелова Б.П. Герасимова под редакцией А.Д. Горбунова. М. Наука, 1979. 11. Архангельский А.Я. Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. – М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. 12. М.Е. Фленов, «Библия Delphi», издательство СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 13. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: ”Наука”, Главн. ред. физ.-мат. лит., 1982/ 14. В.В. Фаронов, «Turbo Pascal: Учебное пособие», издательство «Питер», учебное пособие, 2012. 15. В.М. Старжинский. «Теоретическая механика. Краткий курс по полной программе» ВТУЗОВ. 1980:
