Структурное моделирование и оптимальное

На правах рукописи
Узенгер Алексей Андреевич
СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМИ
РЕЖИМАМИ ЖИДКОГО МЕТАЛЛА В ГАЗОВЫХ
ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПЕЧАХ ДЛЯ ПЛАВЛЕНИЯ
АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ
Специальность 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Самара – 2008
Работа выполнена на кафедре “Автоматика и управление в технических системах” ГОУ ВПО “Самарский государственный технический университет”
Научный руководитель:
– Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор
Рапопорт Эдгар Яковлевич
Официальные оппоненты:
– доктор технических наук, профессор
Галицков Станислав Яковлевич
– кандидат технических наук, доцент
Базаров Александр Александрович
Ведущая организация:
ГОУ ВПО Саратовский государственный технический университет,
г. Саратов
Защита диссертации состоится 19 декабря 2008г. в 9 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 в Самарском государственном
техническом университете по адресу: 443010, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара,
ул. Первомайская, 18, корп. №1 и на официальном сайте www.samgtu.ru.
Отзывы на автореферат в двух экземплярах заверенные печатью просим направлять по адресу: 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244,
СамГТУ, Главный корпус, ученому секретарю диссертационного совета
Д 212.217.03.
Автореферат разослан 18 ноября 2008г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
к.т.н., доцент
Н.Г. Губанов
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ
РАБОТЫ
Диссертация посвящена математическому моделированию, разработке
алгоритмов и систем оптимального управления процессами нагрева жидкометаллической ванны газовой отражательной печи для алюминиевых
сплавов.
Актуальность работы. Современная технология производства ответственных изделий из алюминиевых сплавов в металлургической промышленности предъявляет весьма жёсткие требования к свойствам полуфабрикатов. Как показывают теоретические и практические исследования,
определяющую роль в формировании требуемых свойств изделия играют
процессы приготовления сплавов в плавильных агрегатах, в качестве которых в крупносерийном производстве используются, в основном, высокопроизводительные газовые отражательные печи ванного типа. Важнейшим фактором, самым существенным образом влияющим на эффективность основных технологических операций в газовых отражательных печах и во многом определяющим качество будущего изделия, является
температура расплава, от которой, в первую очередь, зависят эффективность сложных процессов рафинирования жидкометаллической ванны в
процессе плавки, а также интенсивность газонасыщения расплава и засорения его примесями, величина угара металла и другие негативные процессы термохимических взаимодействий расплава с различными веществами в рабочем пространстве агрегата.
Ярко выраженные температурные зависимости указанных явлений
определяют очень узкий оптимальный температурный диапазон жидкометаллической ванны для приготовления расплава требуемого качества.
Определяющая роль температуры расплава и жёсткие требования к точности её поддержания на требуемом уровне приводят к актуальной задаче
высококачественного контроля температурных режимов работы плавильного агрегата, которая в условиях значительной инерционности и сложной
динамики процессов теплопередачи в газовых отражательных печах, а так
же в связи с серьёзными техническими трудностями непрерывного измерения температуры в агрессивной жидкометаллической среде, может быть
решена только путём построения специальных систем автоматического
управления температурой жидкого металла.
Степень разработанности данной проблемы в настоящее время совершенно недостаточна. Практически отсутствуют исследования динамических характеристик газовых отражательных печей как объекта управления
температурой расплава с учётом взаимосвязанных процессов теплообмена
в системе «газ - кладка - металл» и способов структурного моделирования
управляемых процессов; остаются открытыми вопросы выбора критериев
3
оптимальности; разработки методик синтеза и реализации алгоритмов и
систем автоматического регулирования температурой жидких алюминиевых сплавов.
Сказанное определяет актуальность темы диссертационной работы,
посвященной решению комплекса этих задач в целях разработки математического и алгоритмического обеспечения и средств реализации систем
автоматического управления температурными режимами приготовления
алюминиевых сплавов в газовых плавильных агрегатах.
Цель работы. Целью диссертационной работы является математическое и структурное моделирование процесса нагрева жидкометаллической
ванны в газовых отражательных печах для алюминиевых сплавов как объекта управления температурой жидкого металла с распределёнными параметрами и разработка на этой основе алгоритмов и систем автоматической
оптимизации температурных режимов плавильного агрегата.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
1. Разработка проблемно-ориентированных на задачи управления математических моделей взаимосвязанных процессов внешнего и внутреннего
теплообмена в системе «газ – кладка - жидкий металл».
2. Структурное моделирование и вывод передаточных функций процесса
нагрева жидкометаллической ванны как объекта управления с распределёнными параметрами.
3. Исследование возможностей дробно-рациональных приближений
трансцендентных передаточных функций распределённого объекта управления.
4. Разработка и исследование программных алгоритмов оптимального по
быстродействию управления нагревом жидкометаллической ванны.
5. Синтез замкнутых систем автоматической оптимизации процессов
нагрева жидкого металла.
6. Компьютерное моделирование процессов автоматического управления
температурными режимами работы плавильного агрегата.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического анализа, аппарата преобразований Лапласа, теории теплопроводности, классической теории автоматического
управления, теории оптимального управления, структурной теории систем
с распределёнными параметрами.
Научная новизна. Диссертационная работа расширяет и углубляет
теоретические представления в области оптимального управления процессами нагрева жидких алюминиевых сплавов в газовой плавильной печи.
Полученные в работе результаты позволяют на качественно более высоком уровне решать инженерные задачи синтеза систем автоматического и
4
автоматизированного управления процессом нагрева жидкометаллической
ванны плавильного агрегата.
В диссертации получены следующие основные результаты, отличающиеся научной новизной:
1. Разработана проблемно-ориентированная на задачи управления математическая модель учитывающая, в отличие от известных, взаимосвязанные процессы энергообмена в системе «газ – кладка - металл», описываемые алгебраическими уравнениями энергетического баланса для эффективных и результирующих тепловых потоков излучающих сред и поверхностей совместно с системой дифференциальных уравнений теплопроводности в частных производных для температурных полей в металлической
ванне и кладке печи.
2. Методами структурной теории систем с распределёнными параметрами выполнено структурное моделирование процесса разогрева жидкометаллической ванны как объекта управления температурой расплава, отличающиеся использованием типовых распределённых x  блоков для описания передаточных функций процессов теплопроводности в кладке и
нагреваемом металле.
3. Получены точные в рамках предлагаемых линеаризованных математических моделей выражения для трансцендентной передаточной функции
объекта управления с выходом по температуре жидкого металла в любой
точке по глубине ванны.
4. Предложены удовлетворительные по точности чебышевские дробнорациональные приближения простой структуры к трансцендентным передаточным функциям объекта управления, определяемые, в отличие от известных, в классе характеристик мнимых частот.
5. На основе альтернансного метода точного решения краевых задач оптимизации систем с распределёнными параметрами разработаны алгоритмы оптимального по быстродействию управления процессом нагрева
жидкого металла, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную
точность равномерного приближения конечного температурного распределения по глубине ванны к требуемому за минимально возможное время
в условиях заданных ограничений на управляющие воздействия по расходу топлива и максимальную температуру расплава.
6. Выполнен структурно-параметрический синтез системы автоматической оптимизации процесса нагрева жидкометаллической ванны по критерию быстродействия с учётом неполного измерения состояния объекта
управления.
Практическая полезность работы. Прикладная значимость проведенных исследований определяется следующими результатами:
- разработана инженерная методика расчетов алгоритмов оптимального
по быстродействию управления процессом нагрева жидких алюминиевых
5
сплавов газовой отражательной плавильной печи в условиях, соответствующих реальным технологическим требованиям;
- разработано специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для автоматизированного расчета алгоритмов оптимального управления процессом нагрева жидкометаллической ванны;
- предложены реализуемые структуры замкнутых систем автоматической
оптимизации процесса нагрева жидкого металла;
- обоснована целесообразность практического применения полученных в
работе алгоритмов оптимального управления.
Реализация результатов работы. Результаты работы использованы в
проектных разработках перспективных систем управления процессами
плавки и литья алюминиевых сплавов на Самарском металлургическом
заводе ОАО «СМЗ» (г. Самара), а также в учебном процессе СамГТУ при
подготовке инженеров по специальности «Управление и информатика в
технических системах» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на III Всероссийской научной конференции
«Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006), II
Международном форуме (VII Международная конференция) «Актуальные
проблемы современной науки» (Самара, 2006), IV Всероссийской научной
конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007), XIII Международной научнопрактической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных
«Современная техника и технологии» (Томск, 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в
том числе 4 в журналах из перечня, рекомендованного ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав
и заключения, изложенных на 138 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунка, 7 таблиц, список литературы из 100 наименований и
2 приложения.
На защиту выносятся следующие положения:
- математические модели и структурное представление процесса нагрева
жидкометаллической ванны в газовых плавильных отражательных печах
для алюминиевых сплавов как объекта управления температурой расплава
с распределёнными параметрами;
- трансцендентные передаточные функции линеаризованных моделей
объекта управления и их чебышевские дробно-рациональные приближения;
- алгоритмы оптимального по быстродействию управления процессами
нагрева жидкого металла, гарантирующие заданную точность равномер6
ного приближения к требуемому распределению температур по глубине
ванны в условиях заданных ограничений на управляющие воздействия и
максимальную температуру расплава;
- метод структурно-параметрического синтеза замкнутых систем автоматической оптимизации процесса нагрева алюминиевого расплава с неполным измерением состояния.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается выбор темы и ее актуальность, формулируется цель и основные задачи работы, характеризуется практическая
значимость полученных результатов, приводятся основные положения,
выносимые на защиту.
В первой главе приводится общее описание объекта управления,
приведен обзор работ, посвященных исследованию рассматриваемых плавильных агрегатов. Рассмотрены факторы, влияющие на качество слитков
из алюминиевых сплавов, показано, что важнейшим из них является температура жидкой ванны, неравномерность распределения которой по объёму не должна превышать 10÷30˚С.
Рассмотрены современные методы контроля температуры жидкометаллической ванны (термопары, тепловизоры).
Обосновывается актуальность задачи оптимального управления температурой металла. Показано, что опубликованные до настоящего времени работы не содержат эффективных решений этой проблемы.
Во второй главе решается задача математического и структурного
моделирования нагрева жидкометаллической ванны в газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов как объекта управления температурой расплава.
Рис. 1 - Система «газ – кладка – металл»
В основу построения математической модели объекта управления, в
качестве которого рассматриваются температурные режимы жидкого расплава, положены взаимосвязанные уравнения внешнего и внутреннего
7
теплообмена в рабочем пространстве и в ванне печи. Соответствующая
система алгебраических уравнений относительно тепловых потоков в системе «газ – кладка – металл» получается из уравнений энергетического
баланса для эффективных и результирующих излучений участвующих в
теплообмене поверхностей и сред (зональный метод расчета, метод сальдо-потоков). При анализе теплообмена в рабочем пространстве печей используются результаты, полученные подобным методом для упрощенного
представления печи системой, состоящей из однородной излучающей среды, окруженной составляющими замкнутый объем лучевоспринимающей
поверхностью металла и кладкой печи (рис. 1).
Получены выражения, позволяющие вычислить тепловые потоки,
идущие на разогрев соответственно кладки и ванны, которые имеют вид:
(1)
qК   01 TГ4  TК4   0 2 TК4  TМ4 ,
qM
Здесь

   T
0 3
4
Г
 TM4


    T
0 4
4
К
 TМ4

.
(2)
 K  Г 1  1   Г 1   M 
 M  K 1   Г 
, 2 
,
A
A
  1   Г 
  1  1   Г 1   K 
, 4  M K
,
3  M Г
A
A
A  1  1   Г 1   K 1   Г 1   M   1    ,
1 
где  0 - постоянная Стефана – Больцмана;  M ,  K ,  Г - степень черноты
металла, кладки и излучающей среды;
1


HK
- степень развития кладки;
HB
H B , H K - поверхность металла и кладки; TM , TK , TГ - усредненные эффективные абсолютные температуры соответственно поверхности ванны,
кладки и излучающей среды. Температуры участвующих в теплообмене
поверхностей металла и кладки считаются одинаковыми для всех точек
поверхности и равными соответствующим среднеэффективным величинам. В выражениях (1), (2) TГ представляет собой в каждый момент времени некоторую среднеэффективную температуру излучателя, которая
должна выбираться так, чтобы обеспечить в этот момент времени действительный среднеэффективный температурный напор в печи, согласно
выражению:
 3
B  ' QHP  V Г СУ У TT
1
TГ4 
TK4 
TM4  max
Q,
(3)
 1   3
 1   3
 0  1   3 H K

8

B
Bmax
нормированный расход топлива; B - расход топлива; BVГ СУ TУ - предгде Bmax - номинальный (максимальный) расход топлива; Q 
ставляет собой потери тепла с уходящими газами, а B ' QHP - вводимое в
печь количество тепла с учетом других потерь.
Полученное выражение (3) позволяет представить среднеэффективную температуру излучателя как функцию среднеэффективной температуры металла TM , кладки TK и расхода топлива B , в зависимости от безразмерной температуры У уходящих газов. Значение безразмерной температуры уходящих газов У  0,45 было получено совместным решением уравнения А.В. Кавадерова для температурного напора, при основном
допущении отсутствия тепловыделения в зоне теплообмена, и зависимости температурного напора от температуры излучающей среды.
Процесс нагрева жидкометаллической ванны описывается двумерным
уравнением теплопроводности (4) с граничными условиями второго рода
(5) при внешнем воздействии по тепловому потоку qM . Решение задачи
теплопроводности осложняется трапецеидальной формой поперечного
сечения ванны.
TM x, y, t 
 2TM x, y, t 
 2TM x, y, t 
 ax
 ay
,
(4)
2
t
x
y 2
l2  l1
x, t  0,
R
 T0  const,
0  x  R, 0  y  l1 
TM x, y, t  t 0
TM x, y, t 
 0,
x
x 0
TM x, y, t 
 0,
y
y 0
TM x, y, t 
q
 M ,
x
x
xR
TM x, y, t 
 0.
N
ED
(5)
Здесь a x и a y - коэффициенты температуропроводности для жидкого металла по соответствующим осям; x и  y - соответствующие коэффициенты теплопроводности; N – нормаль к теплоизолированной скошенной
границе ванны; R – глубина ванны.
В реальных конструкциях агрегатов ванна отличается от прямоугольного параллелепипеда, имея заметный скос в поперечном сечении ABED
(рис. 2), “отрезающий” у прямоугольного сечения около 25% его площади.
9
Рис. 2 - К расчету температурного поля ванны с жидким металлом в печи
Получено приближённое аналитическое решение этой задачи, описывающее температурное поле по глубине ванны при постоянной величине
теплового потока qM на её поверхности следующим выражением:
a t

n 1
 2n 2 M 
qM R 

 1
 aM t
 x 
R 2 
,
TM x, t   T0 
cos n  1  e
(6)
 2  2
2 2


M  R
 R 
n 1  n



отличающимся лишь неравенством   1 от соответствующей переходной
функции типового распределённого объекта, моделируемого линейным
одномерным уравнением теплопроводности для неограниченной пласти2  l2
ны, где  
- коэффициент скоса ванны,   1,25 ; aM , M - коэфl1  l2
фициент температуропроводности и теплопроводности для жидкого металла.
Записав уравнения (1) ÷ (3) в приращениях и применив преобразования Лапласа, получим линейную систему уравнений теплового баланса в
изображениях:
~
 T~Г  p   K1T~K  p   K 2T~M R, p   K 3Q
 p
~
~
~
~







q
p

K
T
p

K
T
p

K
T
R
, p ,
(7)
 K
4 Г
5 K
6 M
q~  p   K T~  p   K T~  p   K T~ R, p 
7 Г
8 K
9 M
 M
где
3
3
Bmax  ' QHP  V Г СУ У TT
 1TKO
 3TMO
K1 
K

K

,
,
,
2
3
3
 1   3 TГO3
1   3 TГO3
4 0  1   3 H K TГO


3
3
3
, K5  4 0 1   2 TKO
, K6  4 0 2TMO
,
K 4  4 01TГO
3
3
3
, K8  4 0 4TKO
, K9  4 0  3   4 TMO
.
K 7  4 0 3TГO
10

Системе уравнений (7) отвечает представленная на рис. 3 структурная
схема рассматриваемого объекта управления с входным сосредоточенным
воздействием по расходу топлива и распределенной управляемой величиной, в роли которой фигурирует температурное поле жидкометаллической
ванны.
Рис. 3 - Структурная схема газовой отражательной печи как объекта
управления температурным полем жидкого металла
Структура объекта включает в своём составе три динамических звена,
с передаточными функциями типовых распределённых x  и x  блоков
~
~
~
TM x, p 
TK  p 
TM R, p 
Wx K  p   ~
, Wx M  p   ~
и W xM  x , p   ~
, связываюqK  p 
qM  p 
qM  p 
~
щими соответственно, температуру TK  p  внутренней поверхности кладки с тепловым потоком q~K  p  ; температуру поверхности жидкого металла
~
TM R, p  и температуру металла в любой точке x  0, R по глубине ванны с тепловым потоком q~  p  .
M
С использованием операторного метода решения уравнений теплопроводности для неограниченной пластины с краевыми условиями второго рода получены на основании (6) точные выражения для передаточных
11
функций WxM x, p  и Wx M  p  в форме следующих трансцендентных зависимостей от комплексной переменной:
M 2
W xM  x, p  
ch  X x  p
 1

,
 M R p
 M p sh  R p
(8)
WxM  p  
 1
1
,

 M R p
 M p th  R p
(9)
x2
R2
,  X ( x) 
- постоянные времени.
aM
aM
aM
Процессы, связанные с разогревом кладки, затрагивают тонкий по
глубине слой её внутренней поверхности, поэтому можно рассматривать
кладку как полуограниченное тело. Для нахождения Wx K  p  решалось
где  M 
, R 
операторным методом одномерное уравнение теплопроводности (10) для
бесконечной пластины с граничными условиями второго рода (11) при
задании на поверхности кладки теплового потока q K в (1).
TK x, t 
 2TK x, t 
,
 aK
t
x 2
0  x  , t  0,
(10)
TК x, t 
q t 
T x, t 
  К , lim К
 0,
x 
x

x
К
x 0
(11)
где a K ,  К - температуропроводность и теплопроводность кладки печи.
В результате получено следующее выражение для передаточной
функции Wx K :
Wx K  p  
где  K 
1
K p
2K
,
(12)
- постоянная времени.
aK
По структурной схеме объекта (рис. 3) с найденными передаточными
функциями блоков (8), (9) и (12) получена передаточная функция жидкометаллической ванны в газовой отражательной печи для алюминиевых
сплавов, рассматриваемой в качестве объекта управления температурным
полем жидкого расплава:
12
W M  x, p  
~
T M  x, p 

~
Q p 

ch  X x  p  
K K  1 
  1
K3K7 

1   K 5  4 8 

K7   K p 
  M R p
 M p sh  R p  







1
1  K  K K  1 1   K  K 6 K 7    1 
5
1 4
  9



K
 K p  
 M p th  R p
4
  M  R p




  


 
    1
K 4 K 8  1  (13)
1
 

 K 7

1

K

5

K 7   K p 
 M p th  R p  
   M  R p


Управляющим воздействием на входе объекта является нормирован~
ный расход газа Q p  , а в качестве управляемой величины на его выходе
фигурирует распределённая по глубине ванны температура металла
~
TM ( x, p) . Передаточная функция (13) представляет собой весьма сложную
трансцендентную функцию комплексной переменной, непосредственное
использование которой в целях анализа и синтеза систем управления оказывается затруднительным.
В третьей главе решается задача поиска удовлетворительных по точности простых дробно-рациональных приближений передаточной функции объекта управления.
В роли критерия качества приближения принималось максимальное
значение ошибки равномерного приближения, на оси частот
J b   max S  j, bx   W  j , x  ,
(14)

K
  K 2  6
K4

0, 
амплитудно-фазовых характеристик W  j, x  и S  j , bx  объекта
управления (13) и искомой дробно-рациональной функции заранее фиксируемой структуры, заданной с точностью до размерности и величины вектора неизвестных параметров bx   b0 , b1 ...bn  , выбираемых в зависимости от координаты x точки контроля температуры металла.
Задача наилучшего приближения формулируется для каждого фиксируемого значения x  xC  const как задача отыскания такого вектора параметров b, который бы минимизировал критерий (14).
Переход от передаточных функций WM x, p  и S  p, bx  к вещественным изображениям с заменой комплексной « p » на действительную
13
переменную «  » приводит к более простой чебышевской задаче минимизации ошибки равномерного приближения к нулю разности соответствующих характеристик мнимых частот на подходящем действительном отрезке  H , B  :
J b   max S  , bxC   W  , xC   min ,
  H , B 
(15)
b
где дробно-рациональная аппроксимация выражается в виде:
b  b   b3 2
,
S  , b   1 2
 1  b4  b5 2


(16)
и на основании (13)
W M  , x  

ch  X x   
K K 
  1
K3K7 

1   K 5  4 8 


K7 
  M R 
 M  sh  R   






1  K  K K  1 1   K  K 6 K 7    1 
5
1 4
9


K 4   M  R 
 K   
 M





 K  
1


 
th  R   

1
 
    1
K 4 K 8  1  (17)
1
 

 K 7

1

K

5

K 7   K  
 M  th  R   
   M  R 


Решение задачи равномерного приближения (15) с использованием
свойств чебышевского альтернанса сводится к решению системы нелинейных уравнений (18) и (19) с помощью итерационной процедуры следующего алгоритма:
1. Решается система (18) относительно параметров b 0 и минимакса

K
  K 2  6
K4

 
J b0 . Координаты экстремальных точек  q достижения максимума в (15)
считаются заданными.
q
S  q , b 0  W  q , xC   1   J b 0 ; q  1, n  1;   1,
(18)

 

 
где n-размерность вектора параметров b.
2. Уточняется расположение экстремальных точек  q , т.е. решается система (19) относительно точек  q , для значений b 0 , полученных на
предыдущем шаге:

 


S  q , b 0  W  q , xC  0; q  2, n .

14
(19)
Для определения параметров b1 ÷ b5 задача (15), численно решалась в
пакете MATHCAD. Решение задачи (15) представлено в таблице 1.
Таблица 1. Результаты решения задачи аппроксимации (15) при номинальных значениях параметров объекта
X
b1
b2
b3
b4
b5
0
9,47  10 3
3,42  10 4
 8,58  10 6
5,46  10 5
1,26  10 9
0,2
340 ,318
9,46  10 3
3,42  10 4
 6,70  10 6
5,47  10 5
1,21  10 9
0,4
1,36  10 3
9,46  10 3
3,42  10 4
 9,00  10 5
5,47  10 5
1,07  10 9
0,6
3,06  10 3
9,47  10 3
3,41  10 4
9,26  10 6
5,45  10 5
8,58  10 8
0,8
5,45  10 3
9,51  10 3
3,39  10 4
2,48  10 7
5,40  10 5
6,32  10 8
8,51  10 3
4,13  10 7
9,58  10 3
3,35  10 4
Погрешность аппроксимации
20 lg W  jw, xC   20 lg S  jw, b 
E w 
20 lg W  jw, xC 
5,28  10 5
3,52  10 8
x
R
0
1
(20)
не превышает 5% для всех xC  0, R .
Рис. 4 иллюстрирует переходные характеристики (21) объекта, вычисленные при найденных значениях b1 ÷ b5 передаточной функции (16) для
S  p, b и заданной начальной температуре TMO  923 K .
TM ( x, t )  TMO  k1  k 2t  k3e  t ch  t   k 4 e  t sh  t  ,
где  
k4 
(21)
2
b4
1 b4  4b5
,  
, k1  b2  b1b4 , k2  b1 , k3  b1b4  b2 ,
2b5
2
b5
b1b42  b2b4  2b3  2b1b5
и предполагается, что b42  4b5 .
 4b5
Рассмотрен также случай, когда не учитывается влияние теплопередачи от кладки печи, т.е. при K1  K 8  0 в (17).
Изменения параметров b1, b2, b4 и b5 по глубине ванны незначительны,
и их зависимостями от пространственной координаты можно пренебречь.
Зависимость b3 x  с большой точностью можно принять линейной. Параметры аппроксимированной модели примут следующий вид:
b1  9,515  10 3 , b2  3,408  10 4 , b3 x   1,551  10 7  1,018  10 8 x,
(22)
b4  5,423  10 5 , b5  8,977  10 8.
b42
15
1-
x
x
x
x
x
x
 1; 2  0,8 ; 3 -  0,6 ; 4 -  0,4 ; 5 -  0,2 ; 6 -  0 .
R
R
R
R
R
R
Рис. 4 - Переходные характеристики (справа – без учета влияния
теплопередачи от кладки печи).
Четвертая глава посвящена сравнительному анализу полученных результатов с экспериментальными данными.
В каждом опыте температура жидкого металла контролировалась в
сливном кармане печи. На рис. 5 представлены опытные и расчетные кривые температуры металла в плавильной печи при импульсном возмущении по расходу газа. Соответствующие переходные функции получены
для глубины L погружения термопары в кармане печи на 100 и 200 мм.
Полученные экспериментальные переходные характеристики температуры металла достаточно близки к расчетным данным. Ошибки во всех
случаях не превышают 10 ÷ 15ºC.
В работе, в качестве датчиков температуры рассмотрены современные
термопары погружения ТП 0395. Пренебрегая малой величиной запаздывания датчиков, мы будет считать термопару погружения апериодическим
звеном первого порядка с передаточной функцией вида
1
WD  p  
.
(23)
30 p  1
16
Передаточная функция термопары (23) используется при моделировании замкнутой системы.
1 - B = 0,055
нм 3
нм 3
нм 3
, L = 100мм; 2 - B = 0,139
, L = 100мм; 3 - B = 0,106
,
с
с
с
L = 100мм; 4 - B = 0,139
нм 3
нм 3
, L = 200мм; 5 - B = 0,131
, L = 200мм.
с
с
Рис. 5 - Экспериментальные кривые переходных функций металла в печи.
Пятая глава посвящена разработке алгоритмов оптимального управления процессом нагрева жидкометаллической ванны по критерию быстродействия.
Для распределённого объекта, описываемого аппроксимирующей передаточной функцией
b  b p  b3 x  p 2
S  p, bx   1 2
(24)
p 1  b4 p  b5 p 2


(коэффициенты b зависят от глубины ванны x), ищется такое управляющее воздействие Q* (t ) , стеснённое ограничениями Qmin  Q(t )  Qmax ,
 
t  0, t 0 , где Qmin , Qmax - минимальное и максимальное значение безразмерного расхода топлива, которое за минимально возможное время
17
0
t min

min
QQmin ,Qmax 
t 0 Q  обеспечивает заданную абсолютную точность 
 
приближения результирующего температурного состояния T x,t 0 жидкометаллической ванны к требуемому распределению температур T * x  :
 
max T x, t 0  T * x    .
x0, R 
(25)
Для отыскания алгоритмов оптимального управления используется
разработанный Э.Я. Рапопортом альтернансный метод решения краевых
задач оптимизации систем с распределёнными параметрами в условиях
заданной точности равномерного приближения конечного состояния объекта к требуемому.
В классе определяемых известными условиями оптимальности релейных управляющих воздействий Q* (t ) альтернансный метод определяет
двух интервальный алгоритм оптимального управления
Q , t  0, t1 ,
Q* t    max
(26)
Qmin , t  t1 , t 2 ,
для диктуемых типичными технологическими требованиями значений  :
 2    1 в (25). Здесь 1 ,  2 - минимально достижимые значения  при
релейных управлениях Q(t ) с одним и двумя интервалами постоянства
соответственно.
Согласно альтернансным свойствам T x,t 0 , выполняется при управлении (26) равенства
T (0, t1 , t 2 )  T * 0    ,
(27)
T ( R, t1 , t 2 )  T * R    .
 
для результирующих температур на дне x  0 и на поверхности x  R
ванны, которые можно рассматривать как систему уравнений для отыскания параметров t1 и t2 алгоритма (26).
Зависимость T x, t1 , t2  определяется здесь сверткой известной импульсной переходной функцией объекта (24) и управляющего воздействия
(26), определяемой в виде:
T x, t1 , t 2   TMO 


 Qmax k1  k 2t 2  k3e  t2 ch  t 2   k 4 e  t2 sh   t 2   Qmax  Qmin  

 k1  k 2 t 2  t1   k3e
ch t 2  t1   k 4 e
 t2 t1 
18
 t2 t1 

sh  t 2  t1  .
(28)
В результате численного решения системы уравнений (27), (28) выполненного в среде MATCAD, получены следующие результаты:
t1  1245 c , t2  3270 c .
Характер температурного поля в оптимальном процессе иллюстрируется рис. 8.а. Как видно из рис. 8.а, температура поверхности ванны превышает допустимый предел в 44K при оптимальном по быстродействию
нагреве жидкого металла в печи, что приводит к необходимости фазовых
ограничений.
1 - x R  1 ; 2 - x R  0,8 ; 3 - x R  0,6 ; 4 - x R  0 .
Рис. 8 - Оптимальный по быстродействию процесс разогрева
жидкометаллической ванны (б – с ограничением на допустимую температуру).
В работе рассматривается задача оптимального по быстродействию
управления нагревом ванны с учётом ограничения на максимальную температуру (рис. 8.б):
max T x, t   TDOP .
(29)
xo, R 
Алгоритм оптимального управления определён вместо (26) в форме
(30):
 Qmax, t  0, t1 ,

*
Q t   QT t , t  t1 , t 2 ,
(30)
 Q , t  t , t ,
2 3
 min
19
где QT t   1   2  e  t - управление на участке t  t1 ,t 2  движения по
ограничению (29), вычисляемое вместе с первым моментом t1 достижения
равенства (29) из условия своего определения.
Решение задачи оптимального по быстродействию управления с фазовым ограничением на максимальную температуру выполнялось также альтернансным методом и сводится к решению подобной (27) системы уравнений, относительно неизвестных t2 , t3 :
T (0, t1 , t 2 , t3 )  T * 0    ,
T ( R, t1 , t 2 , t3 )  T * R    ,
(31)
где T x, t1 , t 2 , t3  описывается аналогичной (28) свёрткой более сложного
вида:
T x, t1 , t 2 , t 3   TMO 
t1


 Qmax 1t1  t  d1  d 2 e  t1 ch  t1   d 3 e  t1 sh  t1  dt 

0
t2

 
1


  2  e  t 2 t  d1  d 2 e  t 2 ch  t 2   d 3 e  t 2 sh  t 2  dt 
(32)
t1
t3


 Qmin 1t3  t  d1  d 2 e  t3 ch  t3   d 3 e  t3 sh  t3  dt.

t2
Здесь

2
2b b  b b  b b b
b
b4
1 b4  4b5
,  
, d1  b1 , d 2  3  b1 , d3  2 5 3 4 1 4 5 ,
2b5
b5
2
b5
b5 b42  4b5
и предполагается, что b42  4b5 .
В результате численного решения задачи в среде MATCAD получены
следующие результаты: t1  1172 c , t2  2016 c , t3  2650 c .
Характер температурного поля в оптимальном процессе с учётом
ограничения на максимальную температуру иллюстрируется рис. 8.б.
В шестой главе рассматривается задача синтеза замкнутой системы
автоматической оптимизации (САО) процесса нагрева жидкометаллической ванны по критерию быстродействия с неполным измерением состояния объекта.
При двух интервальном управлении (26) синтез САО осуществляется
по алгоритму
20
Q* 
Qmax  Qmin Qmax  Qmin

sign S1 T1 , T2  ,
2
2

 

S1 T1 , T2   c1 T1*  T1 t   c2 T2*  T2 t  .
(33)
(34)
С функцией переключения S1 T1 ,T2  , формируемой в виде линейной
комбинации сигналов обратной связи с коэффициентами передачи c1 и c 2
по отклонениям температур T1 и T2 от их заданных значений T1* и T2* в
любых двух точках x1 и x2 по глубине ванны. Переключение Q * в расчётные моменты времени t1 и t2 оптимальной программы (26) при
S1 T1 , T2   0 обеспечивается установкой соответствующих величин c1 и
c2 .
Рис. 9 - Функциональная схема САО с фазовыми ограничениями на допустимую
температуру
ОУ – объект управления (жидкометаллическая ванна газовой отражательной печи
для алюминиевых сплавов), УСП – управляемый силовой преобразователь, D –
температурный датчик, БФ – блок формирования задержанной обратной связи.
При выборе x1  R и x2  0 , т.е. при контроле температур поверхности и дна ванны, коэффициенты обратной связи c1 и c 2 связываются, согласно равенствам (27), следующим соотношением:
c2 T R, t1   T * R   
 *
,
(35)
c1
T 0     T 0, t1 




где все величины в правой части определены расчётом программного оптимального управления при заданном начальном температурном состоянии ванны.
21
При необходимости ввода фазового ограничения на максимальную
температуру структура САО дополняется блоком нелинейной задержанной обратной связи по температуре поверхности (рис. 9).
Показано, что при задержке слива жидкого металла в раздаточную
печь релейная САО с требуемой точностью обеспечивает стабилизацию
температурного состояния жидкометаллической ванны. Результаты компьютерного моделирования процессов управления в САО с учётом различных возмущающих воздействий, подтверждают удовлетворительное
качество работы замкнутой системы управления.
Заключение
В работе получены следующие основные результаты:
1. Разработана математическая модель и выполнено структурное представление процесса нагрева жидкометаллической ванны в газовых плавильных отражательных печах для алюминиевых сплавов как объекта
управления температурой расплава с распределёнными параметрами.
2. Получены точные в рамках исследуемых линеаризованных математических моделей выражения для трансцендентных передаточных функций
объекта управления.
3. Предложены удовлетворительные по точности дробно-рациональные
чебышевские приближения передаточных функций объекта.
4. Разработаны алгоритмы оптимального по быстродействию управления
процессом нагрева жидкометаллической ванны, в условиях заданной точности приближения к требуемому распределению температур по её объёму.
5. Выполнен структурно-параметрический синтез замкнутой системы
автоматической оптимизации процесса нагрева расплава с неполным измерением температурного поля ванны.
6. Разработано специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение для автоматизированного расчёта алгоритмов оптимального управления процессом нагрева жидкометаллической ванны.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих
работах:
1. Рапопорт Э.Я., Узенгер А.А. Чебышевская аппроксимация частотных
характеристик газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов
// Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №2(20) – 2007, с.168-174.
ISSN 1991-8542
2. Узенгер А.А. Аналитическое решение задачи Штурма-Лиувилля в системе Maple // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды
III Всероссийской конференции. Ч.4: Математические модели в информационных технологиях. – Самара: СамГТУ, 2006, с.103-107.
22
3. Узенгер А.А. Динамика процессов нагрева жидкой ванны в газовых
печах // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №41 – 2006, с.180184. ISBN 5-7964-0873-9
4. Узенгер А.А. Динамические свойства газовой отражательной печи для
алюминиевых сплавов // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”,
№1(19) – 2007, с.170-174. ISSN 1991-8542
5. Узенгер А.А. Математическое описание процессов нагрева жидкой
металлической ванны в газовых печах как объекта с распределенными
параметрами // XIII Международная научно-практическая конференция
студентов, аспирантов и молодых ученых “Современные техника и технологии”, 26-30 марта 2007г. Труды в 3-х т. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007 Т.2., с.456-458.
6. Узенгер А.А. Распределённая математическая модель газовой отражательной печи // Математическое моделирование и краевые задачи: M33
Труды IV Всероссийской конференции с международным участием. Ч.2:
Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. – Самара: СамГТУ, 2007, с.153-157.
7. Узенгер А.А. Распределённая математическая модель процессов
нагрева жидкой металлической ванны в газовых печах // Математическое
моделирование и краевые задачи: M33 Труды IV Всероссийской конференции с международным участием. Ч.2: Моделирование и оптимизация
динамических систем и систем с распределенными параметрами. – Самара: СамГТУ, 2007, с.150-153.
8. Узенгер А.А. Расчет динамики процессов нагрева металлического изделия в газовой отражательной печи // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №40 – 2006, с.174-178. ISBN 5-7964-0796-1
9. Узенгер А.А. Структурное моделирование процессов нагрева жидкой
металлической ванны в газовых печах // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го Международного форума (7-й Международной
конференции молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части
1 - 3: Математика. Математическое моделирование. Механика. – Самара.:
Изд-во СамГТУ, 2006, с.226-231.
Разрешено к печати диссертационным советом Д 212.217.03
протокол № 9 от 14 ноября 2008г.
Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100. Заказ № 769.
ГОУ ВПО “Самарский государственный технический университет”
Типография СамГТУ
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
23