 

Семинар 7. Движение в центральном поле. Падение на центр
Задача 1. Выразить эффективную потенциальную энергию Uef f  r  частицы m
через её начальную кинетическую энергию T0 и угол 0 между начальным радиус-вектором r0 и её начальным импульсом p0 . При каких условиях движение частицы может быть прямолинейным в центральном поле U  r  ?
Задача 2. Исследовать движение частицы m в центральном поле
U r  
kr 2
2
Найти эффективную потенциальную энергию Uef f  r  . При каких энергиях движение будет финитным при каких инфинитным? Найти точки остановки радиального движения при энергии E . Рассмотреть два случая: k  0 и k  0 .
Задача 3. Тело m находится в кулоновском поле притяжения U  r    / r
   0 . Построить график зависимости "эффективной" потенциальной энергии
Uef f  r  при заданном значении полного момента импульса M  M 0 , включая
случай M 0  0 . На каком расстоянии r от центра поля, величина Uef f  r  имеет
минимальное значение  Uef f 
min
и чему оно равно? При каких энергиях частицы
E движение будет инфинитным или финитным. Определить расстояние от центра
поля до точек поворота в зависимости от энергии частицы E . При какой энергии
E движение будет происходить по окружности и чему равен радиус этой окруж-
ности?
Задача 4. Тело массой m находится в кулоновском поле притяжения U    / r .
В начальный момент времени тело находилось на расстоянии r0  2 м от центра
1
поля. Его кинетическая энергия была равна T0  4 Дж , а угол 0 между начальным радиус вектором r0 и начальной скоростью v0 составлял 300 . Известно, что
на
расстоянии
r1  1 м
эффективная
потенциальная
энергия
тела
равна
U eff  r1   2 Дж . Чему равна истинная потенциальная энергия тела на том же рас-
стоянии? Чему равна полная энергия тела E0 ? Каково движение тела – финитное
или инфинитное? Каково значение экстремальных точек траектории тела (точек
поворота)?
Задача 5. Исследовать закон движения частицы массой m в центрально r 2 a2 
симметричном поле: U  r   U0  2  2  ;  a, b  0 . Построить графики зависиr 
b
мости U  r  и Uef f  r  . Определить области финитного и инфинитного движения.
Определить наименьшее rmin и наибольшее rmax расстояние до центра поля в зависимости от энергии E .
Задача 6. При каких значениях момента возможно финитное движение частицы
массой m в центральном поле U  r   
a
, a  0, b  0 ?
b  r2
Задача 7. Найти период радиальных колебаний материальной точки массой m ,
движущейся
с
энергией
E
и
моментом
M
в
центральном
поле
a2
U  r   2  br 2 , a, b  0 .
r
Задача 8. Вычислить время падения частицы m на центр поля притяжения
U r     / r 2 , если при t  0 частица находилась на расстоянии r t  0  r0 и
имела скорость v t  0  v 0 , причем вектор начальной скорости направлен от
центра поля. Выяснить, при каких условиях падение возможно.
2
Задача 9. Определить время падения на центр поля притяжения U r     / r
частицы массы m , которая в момент времени t  0 покоилась и находилась на
расстоянии r0 от центра поля.
3
Домашнее задание
Задача 1. Исследовать движение частицы массой m в центрально-симметричном
 r 2 a2 
поле: U  r   U0   2  2 
r 
 b
 a, b  0 . Построить графики зависимости U  r  и
Uef f  r  . Определить области финитного и инфинитного движения. Определить
наименьшее rmin и наибольшее rmax расстояние до центра поля в зависимости от
энергии E .
Задача 2. При каких значениях момента возможно финитное движение частицы
 R2 
массой m в центральном поле U  r   U 0 ln 1  2  , U 0  0 ?
r 

4