09-06-02

Тема 6. Квадратные неравенства
09-06-02. Алгебраический метод решения квадратных
неравенств
Теория
2.1. Примеры квадратных неравенств, рассмотренные в предыдущем параграфе
позволяют сделать следующий общий вывод.
Множество решений квадратного неравенства вида
ax 2  bx  c  0
где a b c — фиксированные числа, причем a  0 может быть:
а) пустым множеством;
б) точкой;
в) промежутком конечной длины;
г) объединением двух бесконечных промежутков;
д) всей числовой прямой.
Аналогичные выводы можно сделать относительно множества решений квадратных
неравенств вида
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
Для получения решений конкретного квадратного неравенства можно сначала
получить равносильное ему квадратное неравенство с положительным коэффициентом
при x 2 , затем представить график соответствующей квадратной функции найти корни
соответствующего квадратного уравнения, когда они существуют, после чего получить
ответ.
2.2.* Разберем решение квадратного неравенства
(1)
ax 2  bx  c  0 a  0
алгебраическим методом.
Дискриминант b 2  4ac квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 обозначим через D , то
есть
D  b 2  4ac
Выделив полный квадрат, получим
2
b  b2

a x 
 c  0
 
2a  4a

или
2
b  D

a x   
0
(2)
2a  4a

Последнее неравенство (2) равносильно исходному (1). Рассмотрим теперь, шесть
возможных случаев. Сначала разберем те из них, когда a  0 .
Случай 1. Пусть a  0 и D  0 .
Тогда a x  2ba   0 при всех x , число  4Da  0 , а поэтому неравенство (2) верно для
всех действительных значений x , так как в этом случае левая часть неравенства (2) есть
сумма двух положительных чисел. Равносильное неравенство (1) при D  0 также верно
для всех действительных чисел.
2
Случай 2. Пусть a  0 и D  0 . Разделив обе части неравенства (2) на число a  0 ,
получим равносильное неравенство
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

Квадратное уравнение
(3)
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

имеет корням числа
b  D
x1 
2a
и
b  D
x2 

2a
причем x1  x2 .
Отсюда следует, что левая часть уравнения может быть разложена на два множителя.
Тогда само уравнение запишется в виде
( x  x1 )( x  x2 )  0
Значит, парабола y  ( x  x1 )( x  x2 ) пересекает ось Ox в точках x1 и x2 , а так как
коэффициент при x 2 равен 1, то ее ветви направлены вверх (рисунок 1). Следовательно,
множество решений неравенства (3) и равносильного ему неравенства (1) есть
объединение
( x1 )  ( x2 )
двух бесконечных промежутков с исключенными концами.
2
Случай 3. Пусть a  0 и D  0 . В этом случае неравенство имеет вид a x  2ba   0 .
Поэтому неравенство (2), а следовательно, и неравенство (1) верно для всех
действительных чисел x   2ba (рисунок 2).
2.3.* Разберем теперь случаи решения квадратного неравенства ax 2  bx  c  0 , когда
a0.
Случай 4. Пусть a  0 и D  0 . Тогда левая часть неравенства (2) отрицательна при
любом значении x , а поэтому неравенство (2), а вместе с ним и неравенство (1) не имеют
решений.
Случай 5. Пусть a  0 и D  0 . Разделив обе части неравенства (2) на число a  0 и
изменив знак неравенства на противоположный, получим равносильное неравенство
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

(4)
2
2
b   D

Квадратное уравнение a x    
  0 перепишем в виде
2a   2a 

2
2
b   D

a x    

2a   2a 

Отсюда
b
D
D
x



2a
2a
2a
так как a  0 . Следовательно, корнями уравнения будут числа
b  D
b  D
иx2 

2a
2a
причем x1  x2 . Для решения неравенства (4) мы можем снова использовать рисунок 1, но
x1 
выбирать уже те значения x , для которых значения функции y  ( x  x1 )( x  x2 )
отрицательны. Это будут значения, заключенные между x1 и x2 . Таким образом, при
a  0 и D  0 множество решений неравенства (1) есть интервал ( x1  x2 ) , где
b  D
b  D
иx2 

2a
2a
2
Случай 6. Пусть a  0 и D  0 . В этом случае неравенство имеет вид a x  2ba   0 .
x1 
Поэтому неравенство (4) и равносильное ему неравенство (1) при a  0 не имеют
решений.
2.4.* Проведенное в пунктах 2.2 и 2.3 исследование квадратного неравенства вида
2
ax  bx  c  0 , a  0 , позволяет представить ответ в виде следующего правила.
Пусть D  b 2  4ac — дискриминант квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 , и при
D  0 числа x1 , x2 — корни этого уравнения, причем x1  x2 . Тогда решением
квадратного неравенства ax 2  bx  c  0 является:
- при D  0 и a  0 пустое множество;
- при D  0 и a  0 множество всех действительных чисел;
- при D  0 и a  0 интервал ( x1  x2 ) ;
- при D  0 и a  0 объединение двух бесконечных промежутков.
Аналогично можно записать в виде правила ответ для остальных случаев квадратного
неравенства. Эти правила позволяют свести решение квадратного неравенства к решению
соответствующего квадратного уравнения, после чего можно сразу записать ответ.
Пример 1. Найдем решения неравенства
 x 2  x  1  0
Составим и решим квадратное уравнение  x 2  x  1  0 , x 2  x  1  0 , D  1 1 4  5 ,
x1  12 5 , x2  12 5 . Так как коэффициент при x 2 отрицательный и D  0 , то по правилу
ответом является интервал

1 5
2

 12 5 .
Пример 2. Найдем решения неравенства
x 2  2 x  3  0
Составим квадратное уравнение x 2  2 x  3  0 . Тогда D  22  4  3  8  0 . Так как
коэффициент при x 2 положительный и D  0 , то по правилу ответом является множество
всех действительных чисел.
2.5.** Разберем, как использовать общие правила решения квадратных неравенств в
задачах с параметрами.
Пример 3. Найдем при каждом значении параметра a множество решений
неравенства
(a  1) x 2  ax  a  1  0
Данное неравенство является квадратным, если a  1  0 . При a  1  0 , то есть a  1 ,
неравенство имеет вид  x  2  0 , откуда x  2 . Следовательно, при a  1 множеством
решений данного неравенства является промежуток (  2] .
Пусть a  1  0 . Составим квадратное уравнение (a  1) x 2  ax  a  1  0 . Найдем его
дискриминант D  a 2  4(a 2  1)  4  3a 2 . Найдем решения неравенства D  0 или
4  3a 2  0 . Это неравенство равносильно неравенству a 2 
 
2
3
2
 0 . Поэтому D  0 при
a   

 

 23  и D  0 при a   23  23  .
Разберем теперь четыре случая.
Случай 1. Пусть a  1  0 и D  0 . Одновременно эти условия выполняются при
2   2


a   
 

3  3


(рисунок 3). По правилу при каждом таком значении a множество решений исходного
неравенства пусто.
Случай 2. Пусть a  1  0 и D  0 . Одновременно эти условия выполняются при
a  23  . По правилу при каждом таком значении a множеством решений исходного

2
3

неравенства является множество всех действительных чисел.
Случай 3. Пусть a  1  0 и D  0 . Одновременно эти условия выполняются при
a  1 23 (рисунок 4). При каждом таком значении a квадратное уравнение


 43a
(a  1) x 2  ax  (a  1)  0 имеет корни x1   a2(
a 1)
2
и x2 
 a  4 3 a 2
2( a 1)
, причем x1  x2 . По
правилу множество решений исходного неравенства запишется в виде ( x1 ]  [ x2 ) .
Заметим, что при a  23 корни x1 и x2 равны, и тогда объединение ( x1 ]  [ x2 )
совпадает с множеством всех действительных чисел.
Случай 4. Пусть a  1  0 и D  0 . Одновременно эти условия выполняются при
a   23 1 . При каждом таком значении a квадратное уравнение (a  1) x 2  ax  a  1  0

 43a
имеет корни, которые теперь в порядке возрастания будут выглядеть так: x1   a2(
и
a 1)
2
 4 3 a
. Записанные в этом виде корни x1 и x2 удовлетворяют неравенству x1  x2 .
x2   a2(
a 1)
2

По правилу при каждом значении a из промежутка  23 1 множество решений
исходного неравенства запишется в виде [ x1  x2 ] .
Заметим, что при a   23 корни x1 и x2 равны, а поэтому множество решений
исходного неравенства состоит из одной точки
2
2
x1 


2
2 3
3 1 3


Подведем итог проделанной работе и запишем окончательный ответ:
при a   23 решений нет;

при a  
при a 


2
3
2
3
решение x  22 3 ;

1 множество решений
 a  4  3a 2 a  4  3a 2 



2(a  1) 
 2(a  1)
при a  1 множество решений (  2] ;

при a  1
2
3
 множество решений


a  4  3a 2   a  4  3a 2
  
 



2(a  1)   2(a  1)


при a 
чисел.

2
3

 множество решений совпадает с множеством R всех действительных
от
от
от
от
Контрольные вопросы
1.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2  bx  c  0
a и дискриминанта?
2.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2  bx  c  0
a и дискриминанта?
3.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2  bx  c  0
a и дискриминанта?
4.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2  bx  c  0
a и дискриминанта?
в зависимости
в зависимости
в зависимости
в зависимости
Задачи и упражнения
1. Решите неравенство:
а) x 2  1  0 ; б) x 2  x  0 ;
в) x 2  x  1  0 ; г) 2 x 2  4 x  1  0 ;
д) 3  x  x 2  0 ; е) 5 x 2  6 x  1  0 ;
ж) 2 x 2  5 x  2  0 ; з) x 2  1996 x  1995  0 .
2
2.* Для каких значений a неравенство x2  (a  1) x  a 41  0 имеет единственное
решение?
3.* Решите систему неравенств:
а) 3x 2  4 x  1  0 4 x 2  3x  1 б ) 3x 2  3x  1  0 3x 2  x  0

4.* При каких значениях a неравенство (a  2) x 2  ax  a  0 выполняется при любом
значении x ?
5.** При каких значениях a неравенство (a  1) x 2  (a  1) x  a  0 имеет единственное
решение?
Ответы и указания