Математика - Воронежский государственный архитектурно
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно – строительный университет
Кафедра высшей математики
Н.Н. Некрасова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
(с программой)
для студентов 2-го курса заочной ускоренной
формы обучения всех специальностей
Часть 3
Воронеж 2009
2
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания, программа и контрольные задания по курсу
высшей математики для студентов специальности ПГС(С), ЭУН(С) и ЭУП(С)
заочного факультета ускоренной формы обучения состоят из четырех разделов:
дифференциальные уравнения; ряды (контрольная работа №5); линейная алгебра;
теория вероятностей (контрольная работа №6).
В каждом разделе содержатся краткие сведения по теории и приводятся
рекомендации по решению, входящих в контрольные работы. Номер варианта
совпадает с последней цифрой зачетной книжки студента. По третьей части курса
высшей математики студент сдает экзамен, предъявляя экзаменатору зачтенные
контрольные работы №5 и №6.
Программа третьего семестра
1. Дифференциальные уравнения.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок уравнения.
Понятие решения уравнения. Начальные условия и задача Коши. Теорема о
существовании решения задачи Коши. Общее и частное решения
дифференциального уравнения. Основные типы дифференциальных уравнений
первого порядка, допускающие решение с помощью интегралов.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение
порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение
линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами и специальной правой частью.
2. Ряды.
Числовые ряды. Основные определения и формулировки. Сумма ряда.
Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости. Признак
расходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. Достаточные признаки
сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды, абсолютная и
условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница.
Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды, радиус
сходимости. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение
степенных рядов. Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных
функций.
3. Линейная алгебра.
Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение
матриц. Обратная матрица. Матричная форма записи систем линейных
уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Линейные пространства, линейная
зависимость и независимость системы векторов.
Базис. Линейные
преобразования (операторов). Собственные векторы и собственные значения
линейного преобразования. Нахождение собственных значений и векторов по
матрице линейного пеобразования.
3
4. Теория вероятностей.
Формулы комбинаторики Случайные события. Классическое, статистическое и
геометрическое определения вероятности события. Теоремы сложения и
умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса. Повторение
испытаний, формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функция
распределения, её свойства. Плотность распределения непрерывной случайной
величины и её свойства. Числовые характеристики случайных величин. Основные
законы распределения случайных величин. Нормальное распределение.
Библиографический список
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. Ч.1,2. – М.: наука, 2001. – 432 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – Ч. 2. – М.: Высшая школа, 1999. – 352 с.
3. Шипачев В.С. Курс высшей математики. Учебник / Под ред. А.Н.
Тихонова. – М.: 2002. – 600 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Наука, 1998. – 474 с.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 5
1-10. Найти общие решения дифференциальных уравнений.
1.
а) sin xdx cos ydy 0 ;
б) y x ln x 2 y .
2.
а) x 9 y 2 dx y (4 x 2 )dy 0 ;
б) y y tgx sin 2 x.
3.
б) y 2 yy 0.
5.
6.
а) xy x 2 y 2 y :
y
а) y 2 x 2 ;
x
а) y 2 y 3e2 x 0 ;
а) ydx ( xy x )dy 0 ;
7.
8.
9.
а)
а)
а)
4.
y ( x 2 4) xy x 2 4 ;
( x 2 y)dx xdy 0 ;
ydy xdx 0 ;
б) (1 x 2 ) y xy 2.
б) 2 xy y ( y )2 1.
б) y x y 0.
б) x 3 y x 2 y 1.
б) y sin 2 3x.
б) y (e x 1) y .
4
10.
а)
y y e2 x ;
б)
11-20. Решить задачу Коши.
y y y 3e 2 x ;
y (0) 0,
11.
12.
13.
14.
x( y 1) y 0.
y (0) 1 .
y 2 y 37 y 37 x 2 33 x 74;
y (0) 0, y (0) 1 .
y 4 y 13 y 26 x 5;
y (0) 1, y (0) 0 .
y 9 y 18 y 26 cos x 8 sin x;
y (0) 0, y (0) 2 .
16.
17.
y 0, y 1 .
4
4
y 3 y ( 40 x 58)e 2 x ;
y (0) 1, y (0) 2 .
y 3 y 2 y sin x 7 cos x;
y (0) 2, y (0) 7 .
18.
19.
20.
y 2 y 5 y xe 2 x ;
y (0) 1, y (0) 1 .
y 4 y 12 y 8 sin 2 x;
y (0) 0, y (0) 0 .
y 5 y 6 y 12 cos 2 x;
y (0) 1 y (0) 3.
15.
y 4 y sin 2 x;
21-30. Исследовать сходимость числового ряда
un .
n 1
21.
n2
un
.
(3n)!
24.
n 3 4n
un
.
(n 1)!
3n 2
27. un
5n 4
n!
un n .
22.
5
1
25. un
.
(n 1) ln( n 1)
n 3
.
28.
2n
5n 1
23. un
.
3n 2
n2 1
.
26. un 2
n 10
n2
.
29. un
(n 1)!
n3
un 3
.
n 2
1
( n 2 1) 5 3n
.
30. un
n!
31-40. Определить интервал сходимости степенного ряда
an x n .
n 1
31. an
2
n
(n 1)
( 2n )!
34. an n .
n
37.
40.
2
5n
an n .
n
n!
an n .
2
.
n
3
.
(n 1)!
n 1
.
35. an n
3 ( n 2)
32. an
38. an
2n
.
n(n 1)
33.
36.
1
.
(n 2)3n
n2
an
.
n(n 1)
an
39. an
n
.
3n ( n 1)
5
Контрольная работа № 6
41-50. Решить систему матричным способом.
3x1 2 x2 4 x3 21
3x1 2 x2 5 x3 5
41. 3x1 4 x2 2 x3 9 .
42. 2 x1 3x2 4 x3 12 .
2 x x x 10
x 2 x 2 x 1
1 2
1
3
2
3
43.
4 x1 x2 4 x3 19
2 x1 x2 2 x3 11 .
x x 2x 8
1 2
3
45.
2 x1 x2 2 x3 8
x1 x2 2 x3 11.
4 x x 4 x 22
1 2
3
47.
2 x1 x2 3x3 0
3x1 4 x2 2 x3 1 .
x 5 x x 3
1
2
3
49.
x1 x2 x3 4
3x1 5 x2 6 x3 36.
x 4 x 2 x 19
1
2
3
44.
2 x1 x2 2 x3 0
4 x1 x2 4 x3 6.
x x 2x 4
1 2
3
46.
2 x1 x2 3x3 9
x1 5 x2 x3 20 .
3x 4 x 2 x 15
1
2
3
48.
3x1 5 x2 6 x3 8
3x1 x2 x3 4 .
x 4 x 2 x 9
1
2
3
50.
3x1 x2 x3 11
5 x1 x2 2 x3 8.
x 2 x 4 x 16
1
2
3
51-60. Найти преобразование, выражающее y1 , y2 , y3 через x1 , x2 , x3 .
z1 5 x1 x2 3x3
51. z2 x1 2 x2 x3
z 3 x 2 x3
52.
53.
y1 6 z1 z2 z3
y2 2 z1 z2 3z3 .
y3 z1 2 z2
z1 3x1 2 x2 x3
y1 4 z1 2 z2 3z3
z2 2 x1 x2 3x3
y2 2 z1 3z2 z3 .
z3 x1 5 x2 4 x3
y3 3z1 z2 2 z3
z1 x1 x2 2 x3
y1 5z1 z2 z3
z 2 2 x 2 3 x3
y2 z1 2 z2 6 z3 .
z3 7 x1 x3 4 x3
y3 8 z1 z2 5z3
6
z1 x1 2 x2 3x3
54. z2 3x1 x2 2 x3
z3 4 x2 5 x3 x3
55.
y2 z1 3z2 2 z3 .
y3 2 z1 z2 3z3
z1 3x1 2 x2 4 x3
y1 5z1 17 z2 10 z3
z2 6 x1 11x2 12 x3
y2 10 z1 20 z2 .
z3 3x1 7 x2 2 x3
y3 8 z1 9 z2 18 z3
z1 x2 5 x3
56.
y1 3z1 2 z2 4 z3
z2 6 x1 2 x2 x3
z3 x1 8 x3
z1 8 x1 x2 x3
57. z2 5 x1 x2 2 x3
z3 6 x1 5 x2
z1 6 x1 3x2 x3
58. z2 x1 2 x2 5 x3
z3 3x2 10 x3
z1 5 x1 x2 2 x3
59. z2 2 x1 3x2 4 x3
y1 3z1 z2 z3
y2 z1 8 z2 9 z3 .
y3 2 z1 3z2 5z3
y1 2 z1 z2
y2 z2 12 z3 .
y3 3z1 2 z2 z3
y1 z1 z2 z3
y2 2 z1 3z2 5z3 .
y3 10 z1 5z3
y1 2 z1 19 z2 z3
y2 3z1 4 z2 27 z3 .
z3 x1 2 x2 3x3
y3 2 z1 3z2 z3
z1 2 x1 4 x2 x3
y1 z1 16 z2 5z3
60. z2 3x1 x2 2 x3
y2 3z1 2 z2 z3 .
z3 x1 2 x3 3x3
y3 z1 3z2 2 z3
61-70. Найти собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования, заданного матрицей A.
2 1 1
0 .
61. A 0 1
0
2
1
0
2 1
1 1 .
62. A 0
0
2 3
2 2
0
3 1.
63. A 2
2 1
3
7
5 7 0
1
0 .
64. A 3
12
6 3
2 19 30
65. A 0 5 12 .
0
2 5
2 0
3
1 0 .
66. A 2
15 7 4
1 2 12
67. A 0
4 3 .
0 5 6
1 8 23
68. A 0 5 7 .
0 3 1
0 5
4
69. A 7 2 9 .
3
0 6
70.
1 1 16
A 0 1 1 .
0 1 3
71. В папке у прораба среди 100 нарядов на производство работ находится
один разыскиваемый. Из папки случайным образом извлечены 10 нарядов.
Какова вероятность того, что среди них окажется нужный?
72. На строительных лесах лежат 12 красных, 8 белых и 10 огнеупорных
кирпичей. Наугад берут два кирпича. Какова вероятность того, что взятые
кирпичи разного цвета, если известно, что не взяты огнеупорные кирпичи?
73. Вероятность того, что в течение одной смены возникает неполадка
башенного крана, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни
одной неполадки за три смены?
74. В бригаде каменщиков 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам
наудачу отбирают 7 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных
лиц окажется 3 женщины?
75. В упаковке 10 крашенных и 6 только прогрунтованных оконных блоков.
Выбирают случайно два блока. Какова вероятность того, что оконные блоки
будут одинаковыми?
76. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется
кратным 2, либо 5, либо тому и другому числу одновременно.
77. Производственное собрание из n человек садится за круглый стол. Найти
вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
78. Жилой дом состоит из 5 подъездов, в двух из них еще не пущено
отопление. Приемная комиссия случайным образом заходит в два подъезда.
Найти вероятность того, что комиссия зайдет в те подъезды, где отопление уже
работает?
8
79. В партии из 50 смесителей 5 бракованных. Из партии выбираются наудачу
6 смесителей. Определить вероятность того, что среди этих 6 смесителей 2
окажутся бракованными?
80. На строительной площадке складированы плиты перекрытий в количестве
80 штук, среди которых есть 5 бракованных (с трещиной). Краном поднимают
для погрузки плиту. Найти вероятность того, что эта плита окажется: а)
бракованной; б) годной.
81-90. Три плотника могут изготовить одно и то же изделие. Вероятность
представить готовое изделие без брака для них, соответственно, равны
p1 , p2 , p3 . Составить закон распределения случайной величины X – числа
готовых изделий без брака, найти ее математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
81. p1 0,9; p2 0,2; p3 0,4.
82. p1 0,8; p2 0,3; p3 0,5.
83. p1 0,7; p2 0,4; p3 0,9.
84. p1 0,6; p2 0,5; p3 0,7.
85. p1 0,5; p2 0,6; p3 0,3.
86. p1 0,4; p2 0,7; p3 0,8.
87. p1 0,3; p2 0,8; p3 0,6.
88. p1 0,9; p2 0,8; p3 0,5.
89. p1 0,8; p2 0,2; p3 0,6.
90. p1 0,7; p2 0,5; p3 0,8.
91-100. Задана функция распределения F (x ) случайной величины X.
Найти функцию плотности f (x) , математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
0,
0,
x0
x
91. 2 sin x, 0 x 6 .
92. 1 cos x, x 3 2 .
x 3
1
,
x
1,
2
6
0,
0,
x
x0
x
93. 2 cos2 , x 3 .
94. sin x, 0 x 2 .
2
2
x
1,
1,
x 3
2
2
0,
x
2
95. sin x, 2 x 2 3 .
x 2
1,
3
0,
x 2
96. 2 sin x, 2 x 11 6 .
x 11
1,
6
9
0,
x 2
97. 1 cos x, 2 x 5 .
2
x 5
1,
2
0,
x 5
2
99. cos x, 5 x 3 .
2
x 3
1,
0,
x 2
98. sin x, 2 x 3 .
2
x 3
1,
2
0,
x
2
100. 1 sin x, x 0.
2
x0
1,
101-110. Даны: математическое ожидание a и среднее квадратическое
отклонение нормально распределенной случайной величины X. Найти: а)
вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( , ) ; б)
вероятность того, что абсолютная величина отклонения X a окажется меньше
.
101. a 15; 5; 11; 21; 6.
102. a 14; 4; 10; 20; 10.
103. a 13; 3; 9; 19; 4.
104. a 12; 5; 8; 18; 10.
105. a 11; 3; 7; 17; 6.
106. a 10; 4; 6; 16; 10.
107. a 9; 5; 5; 15; 8.
108. a 8; 2; 4; 14; 6.
109. a 7; 3; 3; 13; 6.
110. a 10; 4; 8; 20; 8.
10
I. Дифференциальные уравнения
Уравнение вида
F ( x, y, y,..., y ( n ) ) 0,
(1)
n
где x – аргумент, y y(x) – искомая функция, а y’,y’’,…,y – ее производные,
называется дифференциальным уравнением n – го порядка. Если уравнение (1)
можно разрешить относительно старшей производной, то оно примет вид
(1’)
y ( n ) ( x, y, y , y ,..., y ( n 1) ).
Дифференциальное уравнение вместо производных может содержать
дифференциалы dx и dy. В частности напомним, что производную принято
dy
записывать через дифференциалы с помощью формулы y
.
dx
Функция y (x), обращающая уравнение (1) в тождество, верное при
всех x из некоторого интервала, называется решением этого уравнения. График
этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном
виде
уравнением ( x, y ) 0, то оно обычно называется интегралом
дифференциального уравнения.
Примером простейшего дифференциального уравнения может служить
уравнение y’=f(x). Так как интегрирование есть действие обратное
дифференцированию, то решение такого уравнения получается интегрировани-ем
обеих его частей: y f ( x)dx F ( x) C , где F(x) первообразная функции f(x), а
C есть произвольная постоянная.
Если уравнение имеет вид y ( n ) f ( x ) , то его решение получается
интегрированием обеих его частей n раз. В результате получаем выражение
y ( ...( f ( x)dx)...) dx C1 x n 1 C 2 x n 2 ... C n ,
содержащее
n
произвольных постоянных.
Пример. Найти общее решение уравнения y 4x.
Решение. Выполним первое интегрирование y 4 xdx 2 x C1; а
затем второе интегрирование
2
y (2 x 2 C1 )dx 2 x 2dx C1 dx x 3 C1 x C2 .
3
Можно доказать, что дифференциальное уравнение n-го порядка, как
правило, имеет не одно, а бесчисленное множество решений, зависящих от n
произвольных постоянных.
Общим решением уравнения n – го порядка называется семейство функций
y f ( x, C1 , C2 ,...,Cn ), которое при любом наборе произвольных постоянных
C1 , C2 ,...,Cn удовлетворяют исходному уравнению (1).
Частным решением дифференциального уравнения n – го порядка
называется функция
y f (x), получающаяся при подстановке некоторого
набора произвольных постоянных C1 , C2 ,...,Cn в общее решение этого уравнения.
2
11
Дифференциальные уравнения часто возникают при решении задач на
движение, ибо скорость это первая производная пути по времени, а ускорение –
это вторая производная пути по времени. Для выделения из всего множества
решений дифференциального уравнения того единственного решения, которое
соответствует истинному процессу (например, движению маятника или самолета)
исходное дифференциальное уравнение (1) часто дополняют начальными
условиями y(x0)=y0, y’(x0)=y1,…,y(n-1)(x0)=yn-1, где y0, y1, …, yn-1 числа. Это значит, что
требуется найти такую функцию y=y(x), удовлетворяющую дифференциальному
уравнению, которая в заданной точке x0 удовлетворяет также и всем начальным
условиям. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей
Коши.
Доказано, что если функция n+1 переменной (x,y,y1,y2,…,yn-1) - правая
часть уравнения (1’), определена и непрерывна в окрестности точки
x0,y0,y1,y2,…,yn-1, то задача Коши с начальными условиями разрешима.
На практике для решения задачи Коши сначала находят общее решение
дифференциального уравнения, а затем подбирают произвольные постоянные так,
чтобы получившееся частное решение удовлетворяло заданным началь-ным
данным. Ниже мы покажем как этот метод осуществляется на конкретных
примерах.
1. Дифференциальные уравнения 1–го порядка
Существует несколько типов уравнений первого порядка, решение которых
можно получить с помощью интегрирования. Это уравнения с разделяющимися
переменными, с однородной правой частью, линейные и некоторые другие.
Каждое из них решается своим способом. Поэтому, прежде чем применять к
конкретному дифференциальному уравнению некоторый метод решения, надо
сначала научиться правильно определять тип диффе-ренциального уравнения.
С целью правильного определения типа дифференциального уравнения,
dy
сначала избавляются от дифференциалов, деля уравнение на dx и заменяя
на
dx
y’. В результате мы придем к уравнению вида F ( x, y, y ) 0 . Из него надо
постараться выразить y’ через все остальное и привести уравнение к виду
y f ( x, y ) .
Такой вид уравнения будем называть стандартным (обычно такое
уравнение называется разрешенным относительно производной y’). Теперь ясно,
что тип уравнения полностью определяется видом функции f(x,y) от 2-х
переменных. В зависимости от тех или иных особенностей этой функции
получается тот или иной тип дифференциального уравнения.
12
1. Уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение y f ( x, y )
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если его правую часть можно разложить на множители так, чтобы
каждый множитель зависел только от одной переменной. То есть
(1.1)
y f ( x ) ( y ) .
Для решения уравнения с разделяющимися переменными надо выполнить
следующие шаги.
dy
dy
f ( x) ( y ) .
1) Заменить в формуле (1.1) y' на
. В результате получаем
dx
dx
2) Разделить переменные. Для этого делим обе части уравнения на ( y) , а
затем умножаем обе части на dx . В результате мы получаем уравнение
dy
f ( x)dx . Цель такого преобразования заключается в том, чтобы
( y)
получить уравнение, в котором разные переменные находятся в разных частях
уравнения (переменные разделены).
3) Интегрировать каждую часть уравнения по своей переменной. В результате
мы получим общий интеграл уравнения (1.1) в виде
dy
(1.2)
( y ) f ( x)dx C.
Если дифференциальное уравнение изначально было записано через
дифференциалы и имело вид
(1.3)
f ( x) F ( y)dx ( x)( y)dy 0,
то разделить переменные, можно выполнив деление на F ( y ) ( x) .
Проинтегрировав получившееся после этого уравнение, получим общий интеграл
уравнения (1.3) в виде
f ( x)
( y )
(1.4)
( x) dx F ( y ) dy C.
Замечание. Если для некоторого значения y y0 имеем ( y0 ) 0 , то
y y0 является решением уравнения (1.1), в чем можно убедится
непосредственно. При делении уравнения (1.3) на произведение F ( y ) ( x) также
можно потерять те решения уравнения, которые обращают это произведения в
нуль.
Пример. Требуется найти все решения дифференциального уравнения
y xy 2 .
Решение. Очевидно, что y 0 является решением данного уравнения.
dy
Пусть теперь y 0 . Тогда, записав исходное уравнение в виде
xy 2 ,
dx
приведем его к уравнению с разделенными переменными. Для этого разделим обе
13
части на
y 2 и умножим на dx . Получим уравнение
переменными. После интегрирования имеем
dy
xdx с разделенными
y2
1 1 2
x C.
y 2
2
, где С –
x C
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид y 2
произвольная постоянная. Заметим, что решение y 0 не получается из общего решения ни
при каком значении постоянной С.
Пример 2. Решить уравнение (1 x 2 )dy 2 xydx 0.
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными. Разделив обе части уравнения на произведение y (1 x 2 ) , получим
уравнение:
dy 2 xdx
0.
y 1 x2
Интегрируя это уравнение, находим
y
ln C .
ln y ln(1 x 2 ) ln C или ln
1 x2
Общее решение уравнения имеет вид y C (1 x 2 ) .
2
2
2
При делении на y (1 x ) предполагалось, что y (1 x ) 0 , т.е. y 0 , 1 x 0.
Однако y 0 есть решение уравнения, в чем можно убедиться непосредственно. Это решение
получается из общего при С = 0.
2. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка. Уравнение Бернулли
Если правая часть стандартного уравнения y f ( x, y ) имеет вид
-P(x)y+Q(x), где P(x), Q(x) некоторые функции, зависящие только от x, или
просто константы, то такое дифференциальное уравнение называется линейным
(y, y’ входят в него в первой степени). Перенесем члены, содержащие y в левую
часть. Тогда уравнение примет вид
y P( x ) y Q ( x ) .
(2.1)
Для решения уравнения (2.1) используют замену (метод Бернулли)
y’=u’v+uv’,
(2.2)
y uv ,
где u u(x) и v v(x) – новые неизвестные функции переменной x . Тогда
уравнение (2.1) примет вид
uv u(v P( x )v ) Q( x ) .
(2.3)
Далее найдем функцию v=v(x) так, чтобы скобка в уравнении (2.3) обратилась в 0.
Для этого надо просто решить уравнение v’+P(x)v=0, которое, очевидно, является
уравнением с разделяющимися переменными. Подставляя найденное v(x) в
уравнение (2.3), получаем очень простое дифференциальное уравнение
14
u’v(x)=Q(x), решением которого является функция u
Q( x)
dx U ( x) C .
v( x)
Вспоминая, что y=uv, мы получаем окончательный ответ
y=uv=(U(x)+C)v(x).
Пример. Решить уравнение y y e2 x .
Решение. Это линейное дифференциальное уравнение, которое будем
решать с помощью замены (2.2). В результате исходное уравнение примет вид:
uv uv uv e 2 x ,
uv u( v v ) e 2 x .
(*)
Найдем функцию
v , приравнивая нулю выражение в скобках: v v 0.
Относительно функции v это уравнение с разделяющимися переменными.
dv
Заменяя производную функции v
и разделяя переменные, приходим к
dx
dv
dv
dx . То есть
уравнению
dx (v 0). Интегрируя, имеем:
v
v
ln v x или v e x . Тогда u’v(x)+u(v’(x)-v(x))=u’ex+( ex- ex)=u’ ex. Поэтому
уравнение (*) превращается в u’ ex= e2x или ue x e2x , откуда
u e x dx e x C.
y (e x C ) e x .
2
Пример. Найти частное решение уравнения y y x 4 , удовлетворяющее
x
4
начальному условию y (1) .
3
Решение. Поскольку данное уравнение является линейным, полагаем
y uv и, следовательно, y uv uv. Подставляя выражения y и y в
исходное уравнение, получаем
2
(2.4)
uv u(v v ) x 4 .
x
dv
dx
2
Выберем v так, чтобы v v 0, или
2 , откуда
v
x
x
dv
dx
2
v 2 x ; ln v 2 ln x ; v x .
Подставив выражение v в уравнение (2.4), для определения u получаем
уравнение ux 2 x 4 или du x 2 dx, откуда du x 2 dx, т.е.
Так как y uv , то окончательно получаем
x3
u C. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:
3
x3
y C x 2 .
3
Теперь, используя начальные условия y (1)
4
, находим С. Имеем
3
15
4 1
C 1, откуда C 1. Следовательно, частное решение нашего уравнения
3 3
имеет вид
x3 2
x5
y 1 x
или
y
x2.
3
3
Уравнение вида y’+P(x)y+Q(x)yk=0 называется уравнением Бернулли. Так
же как и линейное уравнение, оно сводится к решению двух уравнений с
разделяющимися переменными с помощью замены y=uv, y’=u’v+uv’. При этом
дальнейший ход решения, аналогичен ходу решения линейного уравнения.
Поэтому мы не будем на нем останавливаться.
3. Уравнения с однородной правой частью
Пусть правая часть f(x,y) стандартного уравнения y’=f(x,y) удовлетворяет
тождеству
f (kx, ky) f (x,y),
(3.1)
верному при всех k. Тогда такое дифференциальное уравнение называется
уравнение с однородной правой частью, или просто однородное уравнение.
Такое уравнение следует решать с помощью замены y=ux, y’=u’x+u, где
u=u(x) – новая неизвестная функция. Выполнив замену, мы получим
дифференциальное уравнение u’x+u=f(x,ux) из которого теперь надо найти u.
Оказывается, что это уравнение всегда будет уравнением с разделяющимися
переменными. Решая его, мы найдем u=U(x,C), откуда y=ux=U(x,C).
Пример. Рассмотрим уравнение 2x2y’=x2+y2. После приведения к
x2 y2
x2 y2
y
стандартному виду имеем
, откуда f ( x, y )
.
2x 2
2x 2
Проверим, что для функции f(x,y) выполнено тождество (3.1). Действительно,
(kx) 2 (ky) 2 k 2 x 2 k 2 y 2 x 2 y 2
f (kx, ky)
f ( x, y ) .
2(kx) 2
2k 2 x 2
2x2
Таким образом, наше уравнение есть уравнение с однородной правой частью и
для его решения делаем замену y=ux, y’=u’x+u. В результате возникает
x2 u 2 x2 1 u 2
дифференциальное уравнение u ' x u
, из которого надо найти u.
2x2
2
1 2u u 2 (1 u )2
Приводя это уравнение к стандартному виду, получаем u '
.
2x
2x
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая которое получаем
du
dx
. В результате после интегрирования
(u 1) 2 2 x 2
du
(u 1)
2
dx
2x2
получаем
16
1
1
C
u 1 2x
или
u 1
Следовательно, y ux x
2x
.
1 2Cx
Окончательно
получаем:
u 1
2x
.
1 2Cx
2x2
.
1 2Cx
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0.
Если уравнение не содержит явно искомую функцию y , то есть имеет вид
F(x,y’,y’’)=0 , то такое уравнение следует решать с помощью замены
y p, y p , где p p(x) - новая неизвестная функция. В результате замены
получаем уравнение F ( x, p, p) 0 первого порядка, из которого следует искать
p=p(x). Если это уравнение известного нам типа и нам удалось найти его общее
решение p=P(x,C1), где C1 – произвольная постоянная, то вспоминая формулу
замены y’=p получаем дифференциальное уравнение первого порядка y’=P(x,C1).
Оттуда, y= P(x,C1)dx. В результате последнего интегрирования в ответе
возникает еще одна произвольная постоянная C2.
Пример. Найдем частное решение уравнения
xy y x 0 ,
удовлетворяющее условиям y (0) 0, y (0) 0.
Полагая y p, y p , мы получаем дифференциальное уравнение для
нахождения p=p(x): xp p x 0. Это линейное уравнение первого порядка,
решая которое получим
C x
p 1 .
x 2
0 C1 0, C1 0. Следовательно,
Из условия y(0) p(0) 0 получаем
dy
x
x
x2
или
. Интегрируя еще раз получим y C2 . Полагая
p
dx
2
4
2
y 0 при x 0 , находим C2 0. Следовательно, искомое частное решение
1
имеет вид y x 2 .
4
Если уравнение не содержит явно независимую переменную x , то есть
уравнение имеет вид F ( y, y , y ) 0, то в этом случае делают замену
dp
y p, p p( y ), y p
pp .
dy
Подчеркнем, что в этом случае p есть функция от y, и равенство y’=p надо
понимать как y’(x)=p(y(x)), откуда y’’(x)=p’(y(x))y’(x)=p’p.
В результате замены мы придем к уравнению F ( y, p, pp) 0 , из которого
надо найти p=P(y,C1). После этого решая уравнение y’= P(y,C1) с
разделяющимися переменными мы получаем общее решение исходного
уравнения.
17
Пример. Найдем частное решение уравнения yy y 2 y 4 при условии
y (0) 1, y (0) 0. Так как уравнение не содержит x, то делаем замену y p
dp
наше уравнение преобразуется в следующее:
y p . В результате
dy
dp
yp p 2 y 4 . Мы получили уравнение типа Бернулли относительно p( y) ,
dy
решая которое найдем
p y C1 y 2 .
Из условия y(0) p( y (0)) p(1) 0 получаем, что p(1) 1 C1 12 0 ,
откуда C1 1. Следовательно,
dy
p y 2 1 или
y 2 1. Решая это уравнение с разделяющимися
dx
переменными, имеем:
1
arccos x C2 .
y
1
Полагая y (0) 1 при x 0, получаем C2 0, откуда
cos x.
y
4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y py qy 0,
(4.1)
где p и q числа.
Для нахождения решения уравнения (4.1) для него составляют
характеристическое уравнение
(4.2)
k 2 pk q 0 ,
которое получается из исходного дифференциального уравнения заменой
y , y , y соответственно на k 2 , k , 1.
Доказано, что зная корни характеристического уравнения можно сразу
выписать общее решение дифференциального уравнения (4.1). В зависимости от
дискриминанта характеристического уравнения получаются следующие три
случая.
а) Если D p 2 4q >0, то корни k1 и k 2 уравнение (4.2) вещественные и
различные, а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде
k x
k x
yo C e 1 C e 2 .
1
2
2
б) Если D p 4q =0, то уравнение (4.2) имеет два одинаковых корня
k1 = k 2 = k , а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде
18
yo ekx(C1 C2 x).
в) Если D p 2 4q <0, то уравнение (4.2) имеет комплексные корни
p
( D)
k1 i , k2 i , где ,
- обычные вещественные числа,
2
2
а общее решение уравнения (4.1) записывается в виде
yo ex (C1 cos x C2 sin x ).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка
(4.3)
y py qy f (x ),
где p и q – числа, а f (x) – непрерывная функция.
Доказано, что общее решение уравнения (4.3) складывается из общего
решения y o соответствующего однородного уравнения (4.1) и частного решения
Y неоднородного уравнения (4.3):
y yo Y .
Для нахождения частного решения можно применить метод вариации
произвольных постоянных. Однако, если в правой части уравнения (4.3) стоит
функция одного из перечисленных ниже видов, то частное решение может быть
найдено методом неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим возможные специальные виды правых частей уравнения.
1) Правая часть имеет вид
f ( x ) Pn ( x ),
где Pn ( x ) – многочлен степени n. Тогда частное решение нужно искать в виде
Y Qn ( x ) x r ,
где Qn (x ) – многочлен той же степени, что и Pn ( x ) , а r – количество совпадений
числа L=0 с корнями характеристического уравнения.
2) Правая часть имеет вид
f ( x ) ex Pn ( x ),
где Pn ( x ) – многочлен степени n. Тогда частное решение нужно искать в виде
Y Qn ( x ) x r ex ,
где Qn (x ) – многочлен той же степени, что и Pn ( x ) , а r – количество совпадений
числа L=a с корнями характеристического уравнения.
3) Правая часть имеет вид
f ( x) a cos x b sin x,
где a, b, – известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде
Y ( A cos x B sin x ) x r ,
где A, B – неизвестные коэффициенты, а r – количество совпадений числа L=i с
корнями характеристического уравнения.
4) Пусть правая часть имеет вид
f ( x ) ex ( Pn ( x ) cos x Pm ( x ) sin x ),
19
где Pn ( x ) – многочлен степени n, Pm (x ) – многочлен степени m. Тогда частное
решение следует искать в виде
Y x r ex (Q1 ( x ) cos x Q2 ( x ) sin x ),
где Q1 ( x ) и Q2 ( x ) – многочлены степени s, s max{n, m}, а r – количество
совпадений числа L=+i с корнями характеристического уравнения.
Отметим, что многочлены Q(x), о которых шла речь, имеют неопределенные
буквенные коэффициенты, которые надо подобрать так, чтобы функция Y
действительно была решением уравнения (4.3) со специальной правой частью.
Как это происходит на практике, мы покажем на примерах.
Пример. Найдем общее решение уравнения 2 y y y 4 xe 2x .
Характеристическое уравнение 2k 2 k 1 0 имеет корни
1
k1 1 и k2 . Общее решение соответствующего однородного уравнения
2
yo C1e C2
x
1
x
e 2 .
Правая часть исходного уравнения
f ( x ) 4 xe 2 x ex P( x ).
Следовательно, Y e2 x ( Ax B) так как n 1, r 0. Дифференцируя Y дважды
и подставляя производные в данное уравнение, получим:
2e2 x (4 Ax 4 B 4 A) e2 x (2 Ax 2 B A) e2 x ( Ax B) 4e2 x .
Сокращая на e 2 x и приравнивая, друг другу коэффициенты при одинаковых
степенях x и свободные члены в левой и правой частях уравнения, имеем
4
28
5 A 4 7 A 5B 0, откуда A , B .
5
25
28
4
Таким образом, Y e 2 x x , а общее решение данного уравнения
25
5
x
2
28
4
e2 x x .
25
5
Пример. Найдем общее решение уравнения y y x sin x.
Характеристическое уравнение k 2 1 0 имеет корни k1 i и k2 i .
Отсюда
общее
решение
соответствующего
однородного
уравнения
( 0, 1 ) есть yo C1 cos x C2 sin x.
Так как правая часть уравнения имеет вид
f ( x ) ex ( Pn ( x ) cos x Pm ( x ) sin x ),
где 0, 1, Pn ( x) 0, Pm ( x) x , то ей соответствует частное решение
Y x[( Ax B) cos x (Cx D) sin x] (здесь s max( n, m) max( 0,1) 1, r 1 ).
Дифференцируем Y дважды и подставляем производные в исходное
уравнение. Для нахождения неопределенных коэффициентов следует привести
подобные члены и приравнять коэффициенты в обеих частях уравнения при cos x
и x sin x. В результате мы получаем систему четырех уравнений
y C1e C2e
x
20
2 A 2 D 0, 4C 0, 2 B 2C 0, 4 A 1, из которых определяются четыре
1
1
неопределенных
коэффициента
Поэтому
A , B 0, C 0, D .
4
4
x2
x
а
общее
решение
исходного
уравнения
Y cos x sin x,
4
4
x2
x
y C1 cos x C2 sin x cos x sin x.
4
4
II Ряды
Числовые ряды
Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел
a1 a2 a3 ... an ...
an
(1.1)
n 1
Числа a1 , a2 , a3 ,..., an ,... называются членами ряда, член an с произвольным
номером – общим членом ряда.
Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его
частичные сумм Sn a1 a2 ... an ,
n=1,2,…, имеет конечный предел при
n . Величина S lim Sn называется при этом суммой ряда, а число
n
Rn S Sn an 1 an 2 ... – остатком ряда. Если предел lim Sn не существует
n
или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд
то его общий член стремится к нулю, т.е. lim an 0 .
an
сходится,
n 1
n
Отсюда вытекает признак расходимости: если an не стремится к нулю,
то ряд (1,1) расходится.
Условие lim an 0 является лишь необходимым, но не достаточным
n
условием сходимости ряда. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд, тем не
менее, может быть расходящимся.
1. Признаки ходимости знакоположительных рядов
Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными
членами.
Признак
сравнения.
Пусть
даны
два
ряда
an
n 1
и
bn
с
n 1
неотрицательными членами. Если для всех n выполняется неравенство an bn ,
21
то из сходимости большего ряда
bn
следует сходимость меньшего ряда
an ,
n 1
n 1
а из расходимости меньшего ряда
an
следует расходимость большего ряда
n 1
bn .
n 1
В качестве рядов для сравнения удобно брать геометрическую прогрессию,
aqn
(a 0), которая сходится при
q <1 и расходится при
q 1, и
n 0
гармонический ряд
1
n , который является расходящимся.
n 1
1
1
1
1
...
... сходится, т.к.
1 2 2 2 2 3 23
n 2n
1
1
1
1
an
<
,
а
геометрическая
прогрессия
знаменатель
которой
,
q
,
n
2
n 2n 2 n
2
n 1
сходится.
ln 2 ln 3
ln n
Пример 2. Ряд
...
... расходится. Так как его общий член
2
3
n
ln n
1
больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда.
n
n
Предельный признак сравнения. Если существует конечный и отличный от
a
lim n , то ряды an и
нуля предел
bn сходятся или расходятся
n bn
n 1
n 1
одновременно.
1 1
1
Пример 3. Ряд 1 ...
... расходится, так как
3 5
2n 1
1 1
1
lim
: 0,
n 2n 1 n 2
1
и гармонический ряд с общим членом
расходится.
n
1
1
1
1
2
3
... n
... сходится, так как
Пример 4. Ряд
2 1 2 2 2 3
2 n
1
1
lim n
: n 1,
n 2 n
2
1
а ряд с общим членом n сходится.
2
Пример 1. Ряд
22
Признак Даламбера. Пусть дан ряд
an
с положительными членами, и
n 1
an 1
lim
q. Тогда при q < 1 – ряд сходится; при q > 1 –
существует предел n
an
ряд расходится; при q = 1 – признак не работает, необходимо дополнительное
исследование.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
1 3 5
2n 1
2 3 ... n ...
2 2
2
2
2n 1
2n 1
Решение. Здесь an n , an 1 n 1 и
2
2
1 1
an 1
(2n 1)2n
1
2n 1 .
lim n 1
lim
q= lim
n an
n 2
2
(2n 1) 2 n 1 1
2n
Следовательно, данный ряд сходится.
Признак Коши (радикальный). Пусть an 0 (начиная с некоторого n)
и существует предел
lim n an q.
n
Тогда ряд
an
сходится, если q < 1, расходится, если q > 1. В случае, когда
n 1
q=1 – признак не работает, необходимо дополнительное исследование.
Интегральный признак Коши. Пусть an f (n ), n=N, N+1,N+2,… где
функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна на [N, ∞).
Тогда ряд
an
n 1
и интеграл
f ( x )dx
сходятся или расходятся одновременно.
N
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
1
(1.2)
p
n 1 n
сходится, если p > 1, и расходится, если p ≤ 1. Сходимость многих рядов можно
исследовать при помощи их сравнения с соответствующим рядом Дирихле (1.2).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
1
1
1
1
...
...
1 2 3 4 5 6
(2n 1) 2n
Решение. Имеем:
1
1
1
1
an
2
~ 2.
(2n 1)2n 4n 1 1 4n
2n
Так как ряд Дирихле при p=2 сходится, то на основании признака сравнения II
можно утверждать, что и данный ряд сходится.
23
2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
Доказано, что если ряд
(2.1)
a1 a2 ... an ... ,
составленный из абсолютных величин членов ряда (1.1), сходится, то ряд (1.1)
также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1.1) сходится,
а ряд (2.1) расходится, то ряд (1.1) называется условно (не абсолютно)
сходящимся.
При исследовании на абсолютную сходимость ряда (1.1) можно использовать
для ряда (2.1) все известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В
частности, ряд (1.1) сходится абсолютно, если
|a
|
n
1
lim
1 или
n | a |
n
lim
n
n
an 1.
В общем случае из расходимости ряда (2.1) не следует расходимость ряда
(1.1). Однако, если справедливы неравенства
|a
|
lim n 1 1 или lim n an 1,
n | a |
n
n
то расходится не только ряд (2.1), но и ряд (1.1).
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
b1 b2 b3 b4 ... (bn 0)
выполнены условия: 1) b1 b2 b3 ...; 2) lim bn 0 , то ряд (2.2) сходится.
n
Для остатка ряда Rn в этом случае справедлива оценка
Rn bn 1.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
2
3
4
2
3
n ( n 1)
n
2 3 4
n
1 ... ( 1) 2
...
3 5 7
2n 1
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
4
n
2 3 4
n
1 ...
...
3 5 7
2n 1
Так как по радикальному признаку Коши
n
n
1
1
n
lim
lim
,
lim
1 2
n 2n 1
n 2n 1 n
2
n
то этот ряд сходится, а, значит, исходный ряд сходится абсолютно
Пример 2. Ряд
n
(2.2)
24
1 1
1
1 ...(1)n 1 ...
2 3
n
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Но этот ряд сходится
не абсолютно, а условно, так как ряд
1 1
1
1 ... ...
2 3
n
расходится (это гармонический ряд).
3. Степенные ряды
Функциональный ряд вида
a0 a1 ( x a ) a2 ( x a ) 2 ... an ( x a ) n ...,
(3.1)
где а, a0 , a1 ,...,аn – действительные числа, называется степенным.
Основным свойством степенных рядов является следующее: если степенной
ряд сходится при x x0 , то он будет сходиться (причем абсолютно) при всяком
значении х, удовлетворяющем неравенству
(теорема Абеля).
x a x0 a
Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для
всякого степенного ряда интервала сходимости с центром, в точке
a :x, | x R | R
a R x a R , внутри которого степенной ряд
или
абсолютно сходится, и вне которого ряд расходится. На концах интервала
сходимости (в точках х а R ) сходимость надо проверять отдельно для каждого
конкретного ряда.
Число R , равное половине длины интервала сходимости – называется
радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости
ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд
сходится лишь при х=а, если же R , то ряд сходится на всей числовой оси.
Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно
пользоваться одним из следующих способов.
1. Если среди коэффициентов a1 , a2 ,..., an ,... нет равных нулю, т.е. ряд
содержит все целые положительные степени разности х-а, то
a
R lim n ,
(3.2)
n a n 1
если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
2. Если исходный ряд имеет вид
a0 a1 ( x a ) p a2 ( x a ) 2 p ... an ( x a ) np ...,
где р – некоторое определенное целое положительное число, то
R
p
an
.
n an 1
lim
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и
(3.3)
25
последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности (х-а)
любая (т.е. не образует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае),
то радиус сходимости можно находить по формуле
1
(3.4)
R
,
lim n an
n
в которой используются только те значения аn , которые отличны от нуля. (Эта
формула пригодна и в случаях 1 и 2).
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя
непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из
абсолютных величин членов исходного ряда.
Пример 1. Найдем интервал сходимости степенного ряда
1
1
x x 2 x 3 ...
2
3
1
1
Здесь аn , аn 1
. Найдем радиус сходимости ряда:
n
n 1
a
n 1
1
R lim n lim
lim 1 1.
n an 1
n n
n
n
Следовательно, по теореме Абеля ряд абсолютно сходится для значений х,
удовлетворяющих неравенству -1< x < 1. Исследуем сходимость ряда на границах
промежутка.
1 1 1
Если х =1, то получаем гармонический ряд 1 ..., который, как
2 3 4
известно, расходится.
1 1 1
Если х = - 1, то получаем ряд 1 ... . Этот ряд сходится, так как
2 3 4
удовлетворяет условиям признака Лейбница (2.2)
Таким образом, область сходимости степенного ряда определяется
неравенством 1 x 1.
III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Система линейных алгебраических уравнений и матрицы
Система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
.............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
(1.1)
Числа a ij , i 1,2,3,..., m; j 1,2,3,..., n – это коэффициенты системы, b j j=1,2,…m –
свободные члены системы.
26
Если b1 b2 ... bm 0 , то система называется однородной, если хотя бы
один из свободных членов отличен от нуля, то система называется неоднородной.
Решить систему (1.1) – значит найти набор чисел x10 , x20 ,..., xn0 , которые
обращают каждое уравнение системы (1.1) в верное числовое тождество.
Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как она всегда
имеет нулевое решение x1=0,x2=0,…,xn=0.
Матрица - это прямоугольная таблица, заполненная числами. Сами числа –
это элементы матрицы. Как во всякой таблице, в матрице есть строки и столбцы.
Строки нумеруются сверху вниз, а столбцы слева направо. Число строк и
столбцов – это размеры матрицы. Эти размеры иногда пишутся внизу справа от
матрицы.
Каждый элемент матрицы стоит на пересечении определенной строки и
определенного столбца матрицы. Если элемент стоит на пересечении i – той
строки и j – того столбца матрицы, то говорят, что числа i,j - это индексы этого
элемента.
На письме матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита
A, B, C, а их элементы малыми буквами с индексами – aij , blm , c pq .
Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов
при неизвестных:
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2 n
A
.
(1.2)
...........................
a
a
a
...
a
mn
m1 m 2 m 3
Матрица
a11 a12 a13 ... a1n b1
a
a
a
...
a
b
2n
2
A 21 22 23
,
(1.3)
...................................
a
a
a
...
a
b
mn m
m1 m 2 m 3
в которой добавлен столбец из свободных членов системы, называется
расширенной матрицей системы.
Если система (1.1) не имеет ни одного решения, то она называется
несовместной. Ответ на вопрос о совместности системы (1.1) дает теорема
Кронекера-Капелли.
Минором порядка k называется определитель, составленный из элементов
матрицы, стоящих на пересечении некоторых k строк и k столбцов этой матрицы.
Рангом матрицы называется размер (порядок) наибольшего отличного от
нуля минора матрицы .
Для того, чтобы система (1.1) была совместна необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы системы.
27
Диагональю
матрицы
называется
множество
ее элементов
вида
aii , i 1,2, , , , min( m, n), где m,n – размеры матрицы, а сами элементы aii
называются диагональными.
Если m=n, то матрица называется квадратной. Таким образом, диагональ
квадратной матрицы идет из ее верхнего левого в правый нижний угол.
Матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на
диагонали, равны нулю.
Матрица называется единичной, если она квадратная, диагональная и
все ее диагональные элементы равны единице. Единичную матрицу размера
n на n мы будем обозначать In или I.
Алгебраические действия над матрицами
Обозначим через M(m,n) множество всех числовых матриц одинакового
размера mn. Матрицы одного размера можно складывать, вычитать, умножать на
числа, в результате чего будут получаться новые матрицы того же размера.
Суммой A+B двух матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица (aij+bij). То
есть, при сложении матриц их элементы, стоящие на одинаковых местах,
складываются.
Разностью A-B двух матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица (aij-bij). То
есть, при вычитании матриц их элементы, стоящие на одинаковых местах,
вычитаются.
Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрица
A=( aij). То есть, при умножении матрицы на число, все элементы матрицы
умножаются на это число.
Элементы матриц одного размера, стоящие на одинаковых местах (то есть с
одинаковыми индексами) мы будем называть
соответственными. Легко
заметить, что выполнение определенных выше арифметических действий над
матрицами, на самом деле сводится к выполнению тех же действий над их
соответственными элементами. Поэтому эти действия над матрицами обладают
теми же свойствами, которыми обладают операции сложения вычитания и
умножения чисел. Например
A+B=B+A, A+B-C=(A+B)-C=A+(B-C), (+)(D-E)= D-E+ D - E, и так
далее.
В частности, для любых размеров m и n во множестве M(m,n) существует
нулевая матрица O, от прибавления или вычитания которой ничего не меняется.
Эта матрица состоит из одних нулей.
Для ясности проиллюстрируем сказанное на примере матриц из M(2,2).
Пусть
1 1
2 2
3 3
0 0
, B
, C
, O
A
1 1
2 2
3 3
0 0
Тогда
28
3 3 6 6 8 8 1 1
.
3 3 6 6 8 8 1 1
3A+2C-4B=
Определим теперь наиболее важное действие над матрицами, которое
кардинально отличается от предыдущих, и благодаря которому матрицы играют
такую важную роль. А именно, рассмотрим операцию умножения матриц.
Оказывается, что произведение матриц зависит от порядка сомножителей,
то есть от того, какая матрица является первым сомножителем, а какая вторым.
При этом умножение выполнимо не всегда, а лишь тогда, когда число столбцов
первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. В этом случае
говорят, что размеры матриц согласованы.
Пусть даны две матрицы A=(aij)mхl и B=(bij)pхn. Тогда, если l=p, то размеры
матриц согласованы для произведения AB, а при m=n - для произведения BA.
Определение. Пусть даны матрицы A=(aij)mхl и B=(bij)lхn . Тогда их
произведением AB называется матрица C размера mn, элементы которой
вычисляются по формуле cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ailblj, i=1,2,...,m, j=1,2,..., n.
Иными словами, для того, чтобы найти элемент произведения матриц,
стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, надо элементы i-той
cтроки первого сомножителя почленно умножить на элементы j-того столбца
второго сомножителя и получившиеся произведения сложить.
На практике сначала заполняют первую строку матрицы C=AB, для чего
умножают первую строку первого сомножителя последовательно на все столбцы
второго сомножителя. Затем заполняют вторую строку матрицы C,
последовательно умножая вторую строку первого сомножителя на все столбцы
второго и так далее.
1 2
1 3 1
.
Пример. Пусть A 3 0 , B
2
0
4
0 3
1 3 2 0
11 2 4 3 3 9
1 2
1(1) 2 2
1 3 1
3 (1) 0 2 3 3 0 0 3 1 0 4 3 9 3 .
Тогда AB 3 0
0 3 2 0 4 0 (1) 3 2
0 3 3 0
0 1 3 4 6 0 12
В то же время
1 2
1 1 3 (3) 1 0 1 2 3 0 1 3 10 1
1 3 1
3 0
.
BA
2 2 0 0 4 3 2 16
2 0 4 0 3 2 1 0(3) 4 0
То есть ABBA.
Для операции умножения матриц справедливы свойства (предполагается,
что размеры сомножителей согласованы):
A(BC)=(AB)C - свойство ассоциативности;
A(B +C - D)= AB + AC - AD - свойство дистрибутивности;
существует квадратная матрица I такая, что AI=A, IB=B для любых матриц
A и B, для которых определены (существуют) произведения AI и IB.
29
Такая матрица I выполняет роль единицы и называется единичной матрицей.
Единичная - это знакомая нам квадратная матрица In размера nn, по диагонали у
которой стоят единицы, а остальные элементы нули.
Матричные уравнения и обратная матрица
Матрицы A и B равны, если их размеры совпадают, а числа (элементы),
стоящие на одинаковых местах равны.
Пусть нам известны матрицы Amn, Bmk и Cln. Тогда имеет смысл задать
следующий вопрос: существуют ли такие матрицы X и Y, которые удовлетворяют
следующим матричным уравнениям AX=B и YA=C, и, если существуют, то как их
можно найти?
Не обсуждая написанные уравнения в общем виде, попробуем для данной
квадратной матрицы A решить вопрос о существовании так называемой
обратной матрицы A-1.
Определение. Обратной для матрицы A размера nn называется матрица
-1
A того же размера, которая удовлетворяет двум условиям
AA-1=A-1A=I,
(**)
где I единичная матрица.
Если обратная матрица для A из формулы (**) существует, то найти
неизвестные матрицы X и Y можно очень просто. Действительно, умножим обе
части уравнения AX=B слева на A-1. Тогда получим A-1AX=A-1B. Но, согласно (**),
A-1A=I и, по основному свойству единичной матрицы, I A-1AX=IX=X.
То есть X=A-1B есть решение уравнения AX=B.
Аналогично, умножая справа обе части уравнения YA=C на A-1 получаем его
решение в виде Y=CA-1.
Для окончательного решения вопроса об обратной матрице нам
понадобится одно очень интересное свойство определителя, которое мы примем
без доказательства.
Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению их
определителей.
Теперь мы готовы сформулировать следующую теорему и построить
обратную матрицу.
Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную A-1 тогда и только
тогда, когда определитель матрицы A не равен нулю. При этом обратная
матрица находится по следующей формуле
A11 A12 ... An1
1 A21 A22 ... An 2
1
A
,
(2.1)
det A ........................
A
A
...
A
2n
nn
1n
30
где Aij ( 1)i j M ij – алгебраические дополнения aij . Здесь M ij – минор элемента
aij , который получается из основного определителя вычеркиванием i – той строки
и j – того столбца, на пересечении которых стоит элемент aij .
Таким образом, первый столбец написанной матрицы составлен из
алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы A, второй
столбец составлен из алгебраических дополнений элементов второй строки
матрицы A, и так далее. Наконец, последний столбец
составлен из
алгебраических дополнений элементов последней строки матрицы A.
В заключение отметим, что квадратная матрица, определитель которой
равен нулю, называется вырожденной или сингулярной. Таким образом обратная
матрица существует только для невырожденной матрицы.
Матричная запись системы уравнений и ее решение с помощью обратной
матрицы
Пусть нам дана система уравнений вида (1.1), матрица которой равна
b1
a11 a12 a13 ... a1n
b
a a a ... a2 n
B 2 .
A 21 22 23
,
а
столбец
свободных
членов
системы
...........................
b
m
am1 am 2 am 3 ... amn
Введем матрицу столбец
x1
x
X 2 , неизвестные элементы которой надо подобрать так, чтобы выполнялось
x
n
матричное равенство AX=B.
Выясним, какие требования накладывает это матричное уравнение на выбор
неизвестных x1, x2, ..., xn. Для этого распишем подробно его левую и правую
части.
a11 a12 a13 ... a1n x1 a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a21 a22 a23 ... a2 n x2 a21x1 a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
AX
B
........................... ..........................................
a a a ... a x a x a x a x ... a x b
m
mn n
m2 2
m3 3
mn n
m1 m 2 m3
m1 1
По определению матрицы равны тогда и только тогда, когда их элементы,
стоящие на одинаковых местах равны. Это показывает, что для отыскания
неизвестных элементов матрицы X надо решить ту же систему (1.1) m– уравнений
с n– неизвестными. Таким образом, решение системы равносильно решению
матричного уравнения AX=B. Говорят, что уравнение AX=B есть матричная
запись системы уравнений (1.1).
31
В случае m=n запись системы в матричном виде позволяет предложить
новый метод ее решения с помощью обратной матрицы. А именно, матрицустолбец, составленный из неизвестных системы можно найти по формуле
X=A-1B.
При этом, чтобы воспользоваться этой формулой надо предварительно
найти обратную матрицу A-1.
Пример. Решим систему линейных уравнений матричным способом
3x1 2 x2 x3 1
x1 x2 4 x3 9 .
2 x x x 0
1
2
3
Найдем главный определитель системы:
3 2
det A 1
1
1 4 3 1 16 2 12 2 6 0.
2 1 1
Следовательно, r( A) 3. Система имеет единственное решение. Найдем
это решение матричным способом. Для этого сначала найдем матрицу A-1, если:
1
3 2
A 1
1 4 .
2 1
1
Находим Aij :
1 4
1
1
9, A13 ( 1)1 3
3,
12
1
2 1
2 1
3 1
3 2
A21 ( 1) 2 1
1,
A22 ( 1)2 2
1,
A23 ( 1)2 3
1,
1 1
2 1
2 1
2 1
3 1
3 2
A31 ( 1)31
7,
A32 ( 1)3 2
13, A33 ( 1)3 3
5.
1 4
1 4
1
1
Тогда, используя (2.1), запишем выражение для обратной матрицы
3 1 7
1
1
A 9 1 13 .
6
3 1 5
Найдем произведение
3 1 7 1 1
1
A1 B 9 1 13 9 0 .
6
3 1 5 0 2
Следовательно, x1 1, x2 0, x3 2.
A11 (1)11
1 4
3,
1
1
A12 (1)1 2
32
Понятие линейного пространства и базиса
Линейным пространством называется любое множество E, для элементов
которого a,b,c,x,y,z,… определены понятия (действия) суммы элементов x+y,
разности элементов y-z и умножения элементов на числа x. При этом действия
сложения, вычитания и умножения на числа должны обладать всеми
привычными свойствами этих действий, справедливыми для множества
обычных чисел или множества обычных векторов на плоскости или в
пространстве.
Примерами линейных пространств являются множество вещественных
чисел R, множества L2 и L3 векторов на плоскости и в пространстве, множество
M(m,n) матриц одного размера, множество непрерывных на отрезке [a,b] функций
C[a,b]. Ясно, что действия сложения, вычитания и умножения на числа в каждом
множестве свои, но все они обладают некоторыми общими свойствами: 1)
операции над элементами множества не выводят за пределы этого множества;
2) эти действия обладают известным набором свойств, справедливых для всех
линейных пространств. К этим свойствам относятся, например,
ассоциативность a+(b-c)=(a+b)-c, коммутативность a+b-c = b-c+a =
-c+b+a, дистрибутивность относительно умножения (+)(x+y-z)= x+y-z+
x+y-z, существование нулевого элемента О множества, от прибавления или
вычитания которого ничего не меняется, существование обратного элемента –
a такого, что –a+a=O, и еще несколько простых и хорошо всем знакомых
свойств, которые привычны для чисел и векторов: (-1)a = - a, 0b=O,
1x=x…
Из определения линейного пространства ясно, что, имея несколько
элементов x1, x2 , … xK , и несколько чисел c1 , c2 , … cK мы можем выполнить
следующие действия c1x1 + c2x2 + … +cK xK , в результате которых получится
некоторый элемент x того же пространства. Принято называть элемент x =
c1x1 + c2x2 + … +cK xK линейной комбинацией элементов x1, x2 , … xK .
Базисом линейного пространства E называется такой набор его элементов
e1, e2 , … en , что любой элемент x пространства E единственным образом
представляется через e1, e2 , … en в виде их линейной комбинации
x = x1 e 1 + x2 e 2 + … + xn e n .
Числа x1, x2 , … xn , согласно определению базиса, однозначно определяются
самим элементом x и базисом e1, e2 , … en . Они называются координатами
разложения x по базису или координатами x в базисе e1, e2 , … en .
Размерностью пространства называется число элементов в базисе.
Базисов в любом линейном пространстве существует бесчисленное множество, но
количество элементов в любом базисе одинаково.
Среди векторов на плоскости базис образуют любые два не параллельных
вектора. В пространстве любые три вектора, не параллельные одной плоскости.
33
Размерность пространства матриц M(m,n) равна mn. Размерность пространства
C[a,b] бесконечна.
Базисы играют основную роль в применении линейной алгебры к
практическим задачам.
Линейные преобразования
Отображение A , переводящее элементы одного линейного пространства E
в элементы другого линейного пространства F называется линейным
преобразованием или линейным оператором, если A переводит линейную
комбинацию элементов пространства E в линейную комбинацию их образов в
пространстве F . А именно
A ( c1x1 + c2x2 + … +cK xK )= c1 A x1 + c2 A x2 + … +cK A xK .
Линейные отображения - это самые простые отображения. Задание
линейного преобразования только на элементах базиса однозначно определяет его
действие на всех элементах пространства.
x1
x2
Пусть R n=M(n,1) линейное пространство матриц-столбцов вида X и
x
n
A матрица размера m на n. Тогда произведение AX=Y определено, и представляет
собой матрицу столбец из пространства R m. Таким образом, с помощью матрицы
A мы определили отображение из R n в R m. Легко проверить, что при этом
линейная комбинация столбцов переводится в линейную комбинацию их образов,
и, значит, матрица A определяет линейное отображение линейного пространства R
n в линейное пространство R m.
Показано, что это отображение, заданное матрицей, в определенном смысле
описывает все возможные линейные отображения n - мерного пространства E в m
- мерное пространство F. Поэтому в дальнейшем, говоря о линейных
отображениях, мы нередко будем заменять их связанными с ними
матрицами.
Пусть A и B – произвольные линейные преобразования в линейном
En (то есть переводящие En в En ),
пространстве
– произвольное
действительное число, а x En – любой вектор (напомним, что элементы любого
линейного пространства принято называть векторами).
Суммой линейных преобразований A и B называется преобразование C1 ,
определяемое равенством C1 ( x ) A( x ) B( x ). Обозначается C1 A B .
Произведением линейного преобразования A на число называется
преобразование C2 , определяемое равенством C2 ( x ) A( x ). Обозначается:
C2 A.
34
Произведением линейного преобразования A на линейное преобразование B
C 3 , определяемое равенством C3 ( x) B( Ax).
называется преобразование
Обозначается: C3 B A.
Преобразования C1 , C2 , C3 являются линейными.
Пример. Дано преобразование A переводящее вектор
вектор x ( x1 , x2 , x3 ) по формуле
x1 3x1 5 x2 x3
x2 x1 2 x2 3x3
x ( x1 , x2 , x3 )
в
(3.1)
x3 2 x1 3x2 4 x3
и преобразование
B,
переводящее вектор
x ( x1, x2 , x3) по формуле
x1 6 x1 3x2 x3
x2 5 x1 x2
.
x ( x1 , x2 , x3 )
в вектор
(3.2)
x3 2 x2 4 x3
Требуется найти преобразование, выражающее x1, x2 , x3 сразу через x1 , x2 , x3 .
Решение. Систему (3.1) можно записать в матричном виде
(3.3)
X A X ,
а систему (3.2) - записать в виде
(3.4)
X B X .
где A, B – матрицы этих систем.
Учитывая (3.2) и (3.3), получим
X ( BA) X .
(3.5)
То есть для нахождения преобразования, переводящего X в X” надо найти
произведение матриц B и A:
1 3 5
1 17 39 19
6 3
B A 5
1
0 1
2 3 16 23 2 .
0
2 4 2 3
4 6 16 22
Это значит, что нужное преобразование имеет вид следующей системы
x1 17 x1 39 x2 19 x3
x2 16 x1 23 x2 2 x3 .
x3 6 x1 16 x2 22 x3
1. Собственные векторы и собственные числа
линейного преобразования
35
Понятие собственного значения и собственного вектора линейного
преобразования играют важную роль и встречаются, например, в динамике и
строительной механике.
Ненулевой вектор x линейного пространства E n называется
собственным вектором линейного преобразования A , если при некотором
действительном справедливо равенство
(3.1)
Ax x.
Действительное число называется собственным значением линейного
преобразования A .
Если линейное преобразование A задано матрицей
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2 n
A
,
(3.2)
...........................
a
a
a
...
a
nn
n1 n 2 n 3
а вектор x есть матрица-столбец
x1
x
X 2 ,
...
xn
то векторное равенство (3.1) будет иметь вид
(3.3)
AX X .
Это матричное равенство равносильно следующей системе уравнений:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn x1
a x a x ... a x x
21 1 22 2
2n n
2
.
(3.4)
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn xn
Перенося члены из правой части в левую и приводя подобные члены,
получим однородную систему линейных уравнений
( a11 ) x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a x ( a ) x ... a x 0
21 1
22
2
2n n
.
(3.5)
..........
..........
..........
..........
..........
...
an1 x1 an 2 x2 ... ( ann ) xn 0
Система уравнений (3.5) имеет ненулевые решения (собственный вектор по
определению не нулевой!), тогда и только тогда, когда ее определитель равен
нулю. То есть собственными значениями могут быть только те , которые
удовлетворяют уравнению
36
a11
a21
a12
...
a1n
a22 ...
a2 n
0.
(3.6)
.............................................
an1
an 2 ... ann
Уравнение (3.6) есть уравнение n-ой степени относительно . Оно
называется характеристическим уравнением матрицы A.
Если уравнение (3.6) не имеет действительных решений, то это значит, что
данное линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных
векторов. Доказано, что если матрица A – симметрическая (т.е. совпадающая с
транспортированной),
то
все
корни
характеристического
уравнения
действительны.
Подставляя, найденные вещественные корни характеристического
уравнения (3.6) в систему (3.5) и решая ее, мы получим собственные векторы,
соответствующие выбранному собственному значению.
Пример. Определить собственные значения и собственные векторы
5 6 3
линейного преобразования A 1 0 1 .
1 2 1
Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы A :
5 6
3
1 0
1 0.
1
2 1
Раскрывая определитель, получим уравнение 3 42 2 4 0.
Один из корней найдем среди делителей свободного члена, которыми
являются числа: 1, 2, 4.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что 1 2 является корнем,
3
2
2
и, значит, 4 2 4 ( 2)( 2 2) 0
Приравнивая к нулю второй множитель 2 2 2 = 0, найдем еще два корня
2 1 3,
3 1 3 .
Найдем теперь собственный вектор, соответствующий 1 2 .
Для этого из диагональных элементов матрицы A вычтем 1 2 и по
получившейся новой матрице составим систему уравнений вида (3.5),
определитель которой равен 0.
3u1 6u2 3u3 0
u1 2u2 u3 0.
u 2u 3u 0
1
2
3
Первое уравнение системы получается из второго умножением на (-3). Отбросив
37
первое уравнение, перенесем u1 в правую часть. Считая u1 свободной
переменной u1 C приходим к системе
2u2 u3 C
.
2
u
3
u
C
2
3
C
Решая, получаем u2 , u3 0.
2
C
Первый собственный вектор
U (u1 , u2 , u3 ) C; ; 0 , где C R, C 0.
2
Остальные два вектора находятся так же и имеют вид:
1
1
V t (3;1; (2 3)), W a(3;1; (2 3)), t, a R, t 0, a 0.
3
3
IV. Теория вероятностей
Формулы комбинаторики
При подсчете вероятностей часто бывают, полезны так называемые
формулы комбинаторики, к описанию которых мы сейчас и перейдем.
Пусть имеется множество А, состоящее из n различных элементов, и пусть k
n..
Размещением из n элементов по k называется любое подмножество
множества А, содержащее k элементов, расположенных в определенном порядке.
Таким образом, одно размещение, отличается от другого либо составом
элементов, либо порядком следования элементов.
Если k=n, то размещение из n элементов по n называется перестановкой.
Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество
множества А, содержащее
k элементов. Таким образом, одно сочетание
отличается от другого только составом элементов. Порядок следования элементов
не важен.
k
Число всех возможных размещений из n элементов по k обозначается An и
вычисляется по формуле
Ank n(n 1)...( n k 1).
(1.1)
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначается Pn и
вычисляется по формуле
Pn Ann n(n 1)...1 n!.
(1.2)
Число всех возможных сочетаний из n элементов по k обозначается Cnk и
вычисляется по формуле
38
Cnk
Ank
n!
.
Pn k!(n k )!
(1.3)
Основные понятия и формулы теории вероятности
Опыт – это комплекс условий, при выполнении которых может появиться
то или иное событие. Событие называется детерминированным, если в результате
опыта оно всегда наступает.
Событие называется случайным, если в результате опыта оно может как
наступить, так и не наступить.
Теория вероятностей изучает массовые случайные события, опыт по
получению которых можно повторять как угодно много раз, а частота появления
события с ростом числа опытов приближается к некоторому пределу (свойство
устойчивости частоты).
События обозначаются большими буквами латинского алфавита.
Пример. Опыт состоит в том, что студент, прослушав курс теории
вероятностей и выполнив необходимые задания, сдает экзамен.
Возможные события: A - студент сдал экзамен на 5, B - сдал на 4, C сдал на 3, D - не сдал экзамен, E - студент сдал экзамен (на какую оценку не
важно).
Пример. Опыт состоит в том, что игральная кость бросается один раз.
Возможные события: A - выпала цифра, большая 3, B - выпало четное число, C выпало простое число, и т. д.
В теории вероятностей степень возможности наступления данного события
A в результате опыта принято выражать числом от 0 до 1. Это число называют
вероятностью события и обозначают P(A).
Предполагается, что для большинства недетерминированных явлений такая
степень возможности их наступления объективно существует.
По определению 0 P(A) 1. Таким образом, P(A) есть числовая функция,
определенная на множестве всех событий, которые могут произойти в опыте.
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти
одновременно (в одном опыте).
События называются независимыми, если вероятность наступления одного
не зависит от того, наступило или нет другое событие.
События называются равновероятными, если их вероятности равны.
События образуют полную группу, если в каждом опыте одно из них
обязательно наступает.
Пусть А и В некоторые события. Событие, которое наступает, когда
наступает событие А или событие В называется суммой этих событий и
обозначается А+В.
Событие, которое наступает, когда наступают А и В одновременно,
называется произведением этих событий и обозначается АВ.
39
Событие называется противоположным, если оно наступает тогда и
только тогда, когда не наступает само событие. Событие, противоположное
событию А обозначается A .
Событие называется элементарным, если его нельзя представить в виде
суммы других более простых событий.
Опыт называется схемой случаев, если для него существует полная группа
элементарных равновероятных несовместных событий. Такие события
называются исходами опыта.
Если опыт есть схема случаев, то вероятность любого события A
определяется равенством:
m
(1.4)
P( A) ,
n
где n – число всех исходов опыта, а m – число исходов опыта,
благоприятствующих появлению события А (то есть таких исходов, при которых
событие А наступает). Это так называемая классическая формула вычисления
вероятности.
При статистическом определении в качестве вероятности события А
приближенно принимают его относительную частоту
m
(1.5)
P( A) W ( A) ,
n
где m – число испытаний, в которых событие А наступило, а n – общее число
произведенных испытаний. Чем больше n, тем точнее формула.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного
из двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного
появления:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P ( A B) .
(1.6)
Если события А и В несовместны (т.е. в результате опыта они не могут
появиться одновременно), то P(AB)=0 и
P(A+B)=P(A)+P(B).
(1.7)
При решении задач часто вычисляют вероятность противоположного
события А, а затем находят вероятность самого события А по формуле
(1.8)
P( A) 1 P( A).
Вероятность появления события A при условии, что в опыте наступило
событие B называется условной вероятностью события A при условии B, и
обозначается PB (A).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность одновременного
наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на
условную вероятность другого
P( A B) P( A) PA ( B) P( B) PB ( A) .
(1.9)
Если события А и В независимы (т.е. появление одного из них не влияет на
вероятность появления другого), то
(1.10)
P( A B) P( A) P( B) .
40
Замечание. Теоремы сложения и умножения вероятностей можно
обобщить на большее число слагаемых или сомножителей. Например, для трех
событий
(1.11)
P( A B C) P( A) P( B) P(C) P( A B) P( A C)
P( B C) P( A B C);
P( A B C ) P( A) PA ( B ) PA B (C ).
Для нахождения суммы независимых событий A1 , A2 ,..., An выгодно перейти
к противоположным событиям:
(1.12)
P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ).
Если событие А может наступать только при появлении одного из
несовместных событий (гипотез) H1 , H 2 ,..., H n , образующих полную группу
событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
n
P( A) PH ( A) P( H i ).
i
i 1
(1.13)
где P ( H i ) - вероятность гипотезы, H i , PHi ( A) – условная вероятность события А
при этой гипотезе. Для полной группы несовместных событий
n
P( H i ) 1.
i 1
Вероятность того, что в n независимых испытаниях "успех" наступит ровно
k раз, выражается формулой Бернулли
P(k ) Cnk p k q n k ,
(1.14)
где p – вероятность появления "успеха" в каждом испытании, q=1-p – вероятность
"неудачи".
В случае, когда n велико, а p – мало (обычно p 0,1) вместо формулы
Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона:
k е
(1.15)
Pn (k )
,
k!
где n p .
Таблица значений функции
k е
приведена в [4, 5].
k!
Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов k
находится между k1 и k 2 равна
Pn ( k1 , k2 ) Pn (k1 ) Pn ( k1 1) ... Pn ( k2 ),
(1.16)
где Pn ( k1 ), Pn ( k 1),..., Pn ( k2 ) вычисляют по формуле Бернулли или по формуле
Пуассона.
Формулы Лапласа применяют для приближенного вычисления
вероятностей Pn (k ) и Pn ( k1 , k 2 ) в n независимых испытаниях, если n велико, а p не
близко ни к 0 ни к 1.
41
Дискретная случайная величина
Числовую величину, которая в результате опыта может принять одно из
своих значений, заранее не известно какое, называют случайной величиной.
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой
есть отдельные изолированные числа.
Законом распределения дискретной случайной величины называют
перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:
Х
P
x1
p1
…
…
x2
p2
x3
p3
…
…
Причем всегда
n
pi 1 .
(2.1)
i 1
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть
конечным или бесконечным.
Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной
величины Xn p , равной числу появлений события А в n независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность появления события А равна р.
Ясно, что вероятность того, что Х примет значение k (события А появится k раз)
вычисляют по формуле Бернулли:
P( k ) Cnk p k q n k .
(2.2)
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют
сумму произведений значений случайной величины на их вероятности
M ( x ) x1 p1 x1 p1 x2 p2 ... xn pn ... .
(2.3)
i 1
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения
(2.4)
D( X ) ( M ( X M ( X ))) 2 .
Дисперсию случайной величины удобно вычислять по формуле
(2.5)
D( X ) M ( X 2 ) ( M ( X )) 2 ( x1 )2 p1 ( M ( X )) 2 .
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют
квадратный корень из дисперсии:
( X ) D( X ) .
(2.6)
Математическое ожидание и дисперсия биноминального закона,
соответственно, равны
M(X) = np и
D(X)= npq.
(2.7)
Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x),
которая для каждого значения х равна вероятности того, что случайная величина
Х примет значение, меньшее х
F(x)=P(X<x).
(2.8)
Функция распределения обладает следующими свойствами:
42
1) 0 F ( x) 1;
2) F ( x2 ) F ( x1 ), если x2 x1 ;
3) lim F ( x) 0, lim F ( x) 1.
x
x
Доказано, что вероятность того, что случайная величина Х примет значение,
заключенное в интервале [ , ], равна приращению функции распределения на
этом интервале
(2.9)
P( X ) F ( ) F ( ).
1. Непрерывная случайная величина
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать
все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка и при этом
ее функция распределения дифференцируема.
Плотностью распределения
f(x) случайной величины X
называют
производную от функции распределения этой случайной величины
f ( x) F ( x) .
(3.1)
Функция плотности распределения f (x) обладает следующими свойствами:
1) f ( x) 0;
2)
f ( x)dx 1.
В частности, если все возможные значения случайной величины Х
принадлежат интервалу (a, b), то
b
f ( x )dx 1.
(3.2)
a
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате
опыта примет значение, принадлежащее интервалу ( , ) , определяется
равенством
b
P( X ) f ( x )dx.
(3.3)
a
Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения
F(x) по формуле
F ( x)
x
f (t )dt.
(3.4)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляют
по формуле
M(X )
xf ( x )dx ,
где f (x) – плотность распределения.
Дисперсию непрерывной случайной величины Х вычисляют по формуле
(3.5)
43
D( X ) M ( X ) M ( X 2 ),
где M ( X 2 )
x
2
(3.6)
f ( x )dx.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х есть
квадратный корень из дисперсии
( X ) D( X ) .
Случайная величина распределена равномерно на интервале (a, b), если ее
плотность распределения сохраняет на этом интервале постоянное значение,
равное
f ( x)
1
ba
(3.7)
Нормальным называют распределение вероятностей
случайной величины Х, плотность которой имеет вид
x a
непрерывной
2
1
f ( x)
е 2 ,
(3.8)
2
при этом а – математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение
случайной величины X, распределенной по нормальному закону.
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу ( , ) , можно вычислить по
формуле
a
a
P( X ) Ф
(3.9)
Ф
,
где Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в [4, 5].
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной
величины X, распределенной по нормальному закону, от ее математического
ожидания будет меньше положительного числа , равна
P X a 2Ф .
(3.10)
Показательным называют закон распределения случайной величины,
функция плотности распределения которой имеет вид
0 при x 0,
f ( x ) x
(3.11)
при x 0,
е
2
где - положительная константа.
Пример 1.
Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что
сумма выпавших очков равна 8 (событие А)?
44
Решение. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары
(х, у), где х и у – цифры, выпавшие на первой и второй кости, соответственнo x,
y = 1, 2, …6. Общее число элементарных исходов n = 36.
Событию А благоприятствуют пары (6, 2), (2, 6), (5, 3), (3, 5), (4, 4), число
которых m =5.
m 5
Следовательно, P( A) .
n 36
Пример 2. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова
вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос
преподаватель задает еще один вопрос?
Решение. Рассмотрим следующие события:
А – студент сдал зачет, B1 студент ответил на первый вопрос, B1 - студент не ответил на первый вопрос,
B2 - студент ответил на второй вопрос, B2 - студент не ответил на второй вопрос.
Очевидно, что A B1 B1 B2 , причем события B1 и B1 B2 являются
несовместными. Следовательно,
P( A) P( B1 ) P( B1 B2 ) P( B1 ) P( B1 ) PB ( B2 )
1
24 6 24 24
6 24 35 28
1
0,966 .
30 30 29 30 29 30 29 29
Задачу можно было решить другим способом:
P( A) 1 P( A) 1 P( B1 B2 ) 1 P( B1 ) PB ( B2 )
1
6 5
1 28
1
0,966.
30 29
29 29
Пример 3. Каменщик за смену укладывает 1000 кирпичей. Вероятность
того, что он уронит взятый кирпич, равна 0,004. Найти вероятность того, что в
течение одной смены произойдет падение 5 кирпичей.
Решение. Искомую вероятность найдем по формуле Пуассона:
k е
Pn (k )
.
k!
По условию задачи k = 5, = 1000 0,004 = 4, тогда определяем
1
45 е 4
P1000 (5)
0,156.
5!
Пример 4. Каждая из трех опор автомобильного моста через реку может
быть повреждена во время ледохода. Вероятности повреждения опор независимы
и соответственно равны: 0,6, 0,7, и 0,8. Cоставить закон распределения случайной
величины Х – числа поврежденных опор. Найти ее математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Дискретная случайная величина Х – число поврежденных опор
моста – имеет следующие возможные значения:
X 1 0, X 2 1, X 3 2, X 4 3.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для этого рассмотрим
следующие события:
45
А – первая опора повреждена;
В – вторая опора повреждена;
С – третья опора повреждена;
По условию задачи
P( A) 0,6, P( B) 0,7, P(C ) 0,8.
Вероятности противоположных событий соответственно равны:
P( A) 1 P( A) 0,4; P( B) 1 P( B) 0,3; P(C ) 1 P(C ) 0,2.
Учитывая независимость событий А, В и С, получим:
P1 P( X 0) P( A B C ) 0,4 0,3 0,2 0,024;
P2 P( X 1) P( A B C A B C A B C ) 0,6 0,3 0,2 0,4 0,7 0,2
0,4 0,3 0,8 0,118;
P3 P( X 2) P( A B C A B C A B C ) 0,453;
P4 P( X 3) P( A B C ) 0,6 0,7 0,8 0,336 .
При этом P1 P2 P3 P4 0,024 0,118 0,425 0,336 1.
Окончательно, искомый закон распределения имеет вид
Х
P
0
0,024
1
0,188
2
0,452
3
0,336
Найдем параметры распределения:
M ( X ) 0 0,024 1 0,188 2 0,453 3 0,366 2,1;
D( X ) 0 0,024 1 0,188 4 0,452 9 0,366 2,12 0,61;
( X ) 0,61 0,78.
Пример 5. Дана функция распределения F(X) случайной величины. Найти
плотность распределения f (x). Требуется найти математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
0,
x0
F ( x ) 1 cos x,
0 x .
2
x
1,
2
Решение. Для нахождения плотности распределения f (x) воспользуемся
формулой f ( x) F ' ( x). Тогда,
0,
x0
f ( x ) F ' ( x ) sin x, 0 x .
2
x
0,
2
46
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
M ( x)
x f ( x )dx
d sin xdx
u x
x
cos
xdx
du dx cos x
0
2
2
x cos x 0 2 cos xdx 0 sin x 0 2 1.
D( x )
0
2
0
u x2
d sin xdx
x sin xdx 1
du 2 xdx cos x
2
2
2
2
x 2 cosx 0 2 2 x cos xdx 1 2 x cos xdx 1
0
0
2
u x d cos xdx
2
1 2 x sin x 0 2 sin xdx 1 2 3
du dx sin x
0
( x ) D( x ) 3.
Пример 6. Математическое ожидание нормально распределенной случайной
величины Х равно 6, а среднее квадратическое отклонение равно 2. Требуется
найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (3;
10);
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х от
математического ожидания окажется меньше 5.
Решение. а) Воспользуемся формулой (3.9). В нашем случае, а = 6, 2,
3, 10.
10 6
3 6
P( X )
(2) ( 1,5) (2) (1,5)
2
2
0,4772 0,4332 0,9104.
Значения (2) и (1,5) определены по таблице [4,5].
б) Воспользуемся формулой (3.10). По условию задачи имеем
а 6, 5, 2.
5
P X 6 5 2 2 2,5 2 0,4938 0,9876 .
2