Конспект лекций по дисциплине
реклама
Конспект лекций по дисциплине <<Ццифровая обработка сигналов>> д.т.н. професссор Геппенер Владимир Владимирович [email protected] Кафедра Математического обеспечения и применения ЭВМ Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета Санкт-Петербург 2013 1 Введение. Применение Цифровой обработки сигналов Обработка измерительной информации в задачах Гидроакустики Радиолокации Обработка телеметрической информации при запуске космических объектов Обработка биомедицинской информации – кардиография , энцефалография, томография Диагностика состояния здоровья пациентов Диагностика автомобилей Запись и воспроизведение звуковых сигналов Цифровое телевидение Сетевые технологии Мобильная связь Распознавание речи Распознавание дикторов Интез речевых сооообщений Диагностика и контроль технических объектов 2 ИЗ Чего Состоит ЦОС ; 1. Техническое обеспечение - средства ввода и вывода цифровых сигналов из ЭВМ -- АЦП, ЦАП Процессоры обработки сигналов Стандартные ПЭВМ Digital Signal Prcesssors Требования к аппаратным средствам ЦОС - высокая производительность Большой объем памяти . СПЕЦИАЛИЗИРОВАНННЫЕ ПРОЦЕСССОРЫ ЦОС Фирмы : ANALOG DEVICE TTеXas INSTRUMENTS NATIONAL INSTRUMENTS MOTOROLA 3 АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦОС 1. Алгоритмы дискретизации сигналов 2. Алгоритмы квантования сигналов Дискретные преобразования сигналов: ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Преобразование Уолша, Хаара Быстрое преобразование Фурье КЕПСТРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЙВЛЕТ –ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОГРАМММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦОС - Инструментальные средства : Visual C++ JAVA DELPHI 4 ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАМММ ; MATLAB (5/6/ 7/) LABVIEW )5?6/78) Содержание лекций Номер лекции 1 1 Наименование разделов и тем программы (лк) Объем в часах 2 Введение. Предмет дисциплины, её структура и содержание. Связь дисциплины с другими дисциплинами. 3 2 2 Структура системы цифровой обработки сигналов. Основной математический аппарат: ряды и интегралы Фурье, Zпреобразование. 2 3 Спектральная плотность ограниченного по времени процесса. Спектр гармонического процесса . Спектр дискретизованного по времени процесса 2 4 Дискретизация процессов по времени. Теорема Котельникова, ограниченность ее применения. Эффект переноса частот. 2 5 Выбор частоты дискретизации на основе оценки восстановления сигнала. Адаптивная дискретизация . качества 2 6 Квантование сигналов по уровню. Статистические характеристики шума квантования. Отношение сигнал/помеха в квантованном сигнале. Мгновенное компандирование при квантовании сигналов. Методы сжатия информации при представлении в ЭВМ. Сжатие с потерями и без потерь. Разностное квантование. Методы дельта модуляции. Сжатие на основе MPEG технологии, сжатие речевых сигналов. Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Быстрое преобразование Фурье. Применение ДПФ для анализа гармонических сигналов, частотная характеристика ДПФ, боковые лепестки, модуляция спектра Методы улучшения характеристик ДПФ при использовании окон. 2 7 8 9 5 2 2 2 10 Спектральный анализ случайных процессов с использованием ДПФ. Методы сглаживания оценок спектра. Обнаружение гармонических сигналов на фоне шума с использованием ДПФ. 2 11 Общая структура цифрового фильтра. Нерекурсивная и рекурсивная форма ЦФ. Фильтры с конечной и бесконечной импульсной характеристикой 2 12 Методы реализации ЦФ - прямая и каноническая форм, каскадная и параллельная форма. Частотная характеристика цифрового фильтра. 2 13 Синтез фильтров с конечной импульсной характеристикой методом окна и методом частотной выборки. 2 14 Синтез аналоговых фильтров прототипов Баттерворта, Чебышева, Бесселя при построении ЦФ . Метод билинейного преобразования для синтеза ЦФ. Преобразование полосы частот при синтезе ЦФ. 2 15 Вэйвлет-преобразование. Общие понятия, свойства. Непрерывное вейвлет-преобразование, его локализующие свойства. Использование непрерывного вейвлет-преобразования для обнаружения изменения свойств сигналов. 2 16 Дискретное вейвлет преобразование и его применение для сжатия и шумоочистки сигналов Классификация программных средств ЦОС. Требования к функциональному наполнению и инструментальным средствам разработки ПО ЦОС. Интегрирванные пакеты программ для ПЭВМ: "MATLAB", "MathCAD", LabVIEW" и их использование для решения прикладных задач. 2 17 2 Лабораторные Работы Лабораторная работа № 1. РАБОТА В СРЕДЕ MATLAB. СТРУКТУРА SIGNAL PROCESSING TOOLBOX. ГЕНЕРАЦИЯ СИГНАЛОВ. СВЕРТКА ............................................................................... Error! Bookmark not defined. 1.1. Общая характеристика пакета Signal Processing ..Error! Bookmark not defined. 1.2. Генерация сигналов в пакете Signal Processing ....Error! Bookmark not defined. 1.3. Свертка ....................................................... Error! Bookmark not defined. 1.4. Задание для самостоятельной работы ... Error! Bookmark not defined. 1.5. Требования к отчету .................................. Error! Bookmark not defined. 1.6. Контрольные вопросы ............................... Error! Bookmark not defined. 6 Лабораторная работа № 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ..... Error! Bookmark not defined. 2.1. Преобразование Фурье ............................. Error! Bookmark not defined. 2.2. Спектр сигнала, ограниченного во времени ..........Error! Bookmark not defined. 2.3. Использование командного режима ........ Error! Bookmark not defined. 2.4. GUI SpTool .................................................. Error! Bookmark not defined. 2.5. Окна и их свойства. GUI WinTool ............. Error! Bookmark not defined. 2.6. Задание для самостоятельной работы ... Error! Bookmark not defined. 2.7. Индивидуальные задания к лабораторной работеError! Bookmark not defined. 2.8. Требования к отчету .................................. Error! Bookmark not defined. 2.9. Контрольные вопросы ............................... Error! Bookmark not defined. Лабораторная работа № 3. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ В СРЕДЕ MATLAB ................................................................ Error! Bookmark not defined. 3.1. Графический интерфейс FDATool ........... Error! Bookmark not defined. 3.2. Задание для самостоятельной работы ... Error! Bookmark not defined. 3.3. Требования к отчету .................................. Error! Bookmark not defined. 3.4. Контрольные вопросы ............................... Error! Bookmark not defined. Лабораторная работа № 4. ИЗУЧЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ................. Error! Bookmark not defined. 4.1. Вейвлет-преобразование.......................... Error! Bookmark not defined. 4.2. Задание для самостоятельной работы ... Error! Bookmark not defined. 4.3. Индивидуальные задания к лабораторной работеError! Bookmark not defined. 4.4. Требования к отчету .................................. Error! Bookmark not defined. Лабораторная работа № 5. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ............................................ Error! Bookmark not defined. 5.1. Методика шумоочистки с помощью вейвлетов ......Error! Bookmark not defined. 5.2. Использование GUI ................................... Error! Bookmark not defined. 5.3. Пример шумоочистки сигнала .................. Error! Bookmark not defined. 5.4. Задание для самостоятельной работы ... Error! Bookmark not defined. 5.5. Требование к отчету .................................. Error! Bookmark not defined. 5.6. Контрольные вопросы ............................... Error! Bookmark not defined. Список рекомендуемой литературы................... Error! Bookmark not defined. Литература по курсу "Цифровая обработка сигналов" 7 1. 1. А.И. Солонина , Д.А. Улахович ,С.М. Арбузов и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс Лекций. СПБ: БХВ-Петербург, 2003. 2. М.С.Куприянов, Б.Д. Матюшкин. Цифровая обработка сигналов. Процессоры, Алгоритмы, Средства проектирования. Политехника СПБ, 1998. 3. С.Л. Марпл-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М. Мир, 1985 г. 4. Ануфриев И.Е. Matlab 5.3.BHV, СПБ, 2003. 5. П.И. Рудаков, В.И. Сафонов. Обработка сигналов и изображений. Matlab 5x. Диалог-Мифи, 2000 г. 6. Ю. Лазарев. Матлаб 5х. Библиотека студента."Ирина", BHV, Киев 2000. 7. И. Ануфриев. Matlab 5.3/6x, БХВ-Петербург, 2003 8. В.Дъяконов, И.Абраменкова. Matlab. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник, СПб, Питер, 2002 9. В.Дъяконов. Вейвлеты - от теории к практике. М., Солон-Р, 2002 10.А.Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. Учебник для ВУЗов, СПб, Питер, 2007. 11. Э мммагуил .АЙфичер, Баррри Джервис. Цифровая обработка сигналов. Практический подход СПБ. Издательсккий дом «Вильямс»,2004.-992 с. 12.С.Малла. Вэйвлеты в обработке сигналов М: Мир, 2005 . 13. А.В. Бадейкин, В.В. Геппенер, И.А. Корнеев. Синтез цифровых фильтров с использованием пакета программ MATLAB. СПб, СПбГЭТУ, 2001. 14. В.В. Геппенер, Д.А. Черниченко, С.А. Экало. Вейвлетпреобразование в задачах цифровой обработки сигналов. СПб, СПбГЭТУ 2002 8 15.В.В. Гепенер , А.Б.. Тристанов ,Ф.В.Экало . Методы Анализа и синтеза цифровых Сигналов: методические указания к лабораторным рработам.СПБ, изд. СПБГЭТУ 2007 г. 16.Ведосов В.П. Нестеренко А.К.с Цифровая обработка сигналов в.LABVIEW , Москва изд. ДMK,2007 ( Интернет магазин OZON. RU) Издательство БХВ Солонина А., Улахович Д., Яковлев Л. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов Солонина А., Улахович Д., Яковлев Л. Цифровые процессоры Технические науки, Учебное В обработки промышленность / пособие продаже сигналов фирмы Телекоммуникации Motorola Арбузов С., Гук И., Соловьева И., Солонина А., Улахович Д. Солонина А., Улахович Д., Арбузов С., Соловьева Е. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций, 2 изд. Технические науки, Учебное Нет в промышленность / пособие продаже Телекоммуникации Технические науки, промышленность / Телекоммуникации Учебное В пособие Учебная литература продаже для вузов / Технические науки, промышленность Технические науки, промышленность / Телекоммуникации Учебное В пособие Учебная литература продаже для вузов / Технические науки, промышленность Математические пакеты / MATLAB Цифровая Солонина обработка А., Арбузов сигналов. С. Моделирование в MATLAB Учебная литература Учебное для вузов / В пособие Информатика и продаже вычислительная техника Компьютерное 9 моделирование / Моделирование систем Технические науки, промышленность / Телекоммуникации Учебная литература для вузов / Технические науки, промышленность Математические пакеты / Другие Учебная литература для вузов / Информатика и вычислительная техника Солонина А. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в Simulink Компьютерное Учебное моделирование / пособие Моделирование систем В продаже Технические науки, промышленность / Телекоммуникации Учебная литература для вузов / Технические науки, промышленность Математические пакеты / MATLAB Солонина А., Клионский Д., Меркучева Т., Перов С. Цифровая обработка сигналов и MATLAB Учебная литература для вузов / Информатика и Учебное вычислительная В пособие техника продаже Технические науки, промышленность / Телекоммуникации Учебная литература 10 для вузов / Технические науки, промышленность 17. На главную | Скоро | Где купить | Авторам | Вакансии | Реклама | Издательство| Каталог| Статьи наших авторов | Контакты | Прайс листы ? ????? Магазин-салон "НОВАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ КНИГА" Магазин предлагает более 10000 наименований книг по компьютерным технологиям и программированию, радиотехнике и электронике, физике и математике, экономике и юриспруденции. Наиболее полный выбор технической литературы! самые низкие цены в Санкт-Петербурге прямые поставки от издательств ежедневное пополнение ассортимента скидка 5% при повторной покупке подарок каждому покупателю 11 Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29 часы работы с 10.30 до 19.00 без обеденного перерыва выходные дни - суббота и воскресенье Вы сможете: Оформить предварительный заказ Принять участие в презентациях Встретиться с известными авторами Тел.: +7 (812) 251-4110 e-mail: [email protected] На главную | Скоро | Где купить | Авторам | Вакансии | Реклама | Издательство| Каталог| Статьи наших авторов | Контакты © 2001–2013 Издательство «БХВ-Петербург». Все права защищены. Частичное или полное копирование текстов, слоганов и фотоизображений без письменного согласия Правообладателя запрещено. Иностранная литература AMAZON.COM Литература на русском языке : Магазин Книги в INTERNET www. poisk knig.ru DSP—BOOK.NAROD.RU/Books.htm\ 12 www. OZON.ru Глава 1. Структура системы цифровой обработки Есть многоканальная система: 13 Рис.1. фi - низкочастотный фильтр (противоподменный или антиэлайсинговый), т.е. его частотная характеристика имеет вид: Рис.2 УФВ – устройство фиксации выборки. На входе аналоговый сигнал xi t . Чтобы система работала корректно, фi ограничивает полосу сигнала. 1) Рис.3 f g g - частота дискретизации. По теореме Котельникова: g 2 гр , отсюда следует, что гр g 2 . Если будет больше, то сигнал восстановится с ошибкой, т.е. с искажениями. 2) УФВ 14 t i - точки отсчёта; t i it - равномерно; t - интервал дискретизации. Рис.4. 1 fg , t g 2f g 2 . At В результате этого этапа получаем сигнал дискретизованный во времени: xt xt i , i = 0,1,2,… Рис.5. Математически это выглядит так: xt i x t i d ,(свёртка), где , при 0 , 0 , при 0 , но в машине нет такого узкого «окна», тогда возьмём аналог - функции: Е : Рис.6 15 xt i 2 1 1 x E t i d 2 ti 2 x d , ti 2 d 1 Таким образом, УФВ запоминает выборку. 3) по каждому каналу идёт выборка (дискретизованная по времени). Либо все каналы проходят циклически, либо можно выбрать канал. Рис.7 4) переводим непрерывный сигнал в цифровой. Рис.8. Вертикальную ось делим на интервалы, которые имеют номер. 1 1 i - ширина интервала, xi , xi - границы интервала, 2 2 xi - уровень квантования, где i – номер интервала. xt j x t j x j xi , xt j xi , т.е. получаем. Что есть ошибка – ошибка квантования: j | xt j x t j | . 16 Номер интервала Двоичный код уровень xi 1 000 x0 2 3 4 … N 001 010 011 … … x1 … … … xN Преобразовываем сигнал к двоичному коду: восстановить аналоговый сигнал можно: xi i , т.е. имеем xt i i , где i уже двоичный код. Возникает вопрос: сколько нужно интервалов? Имеем N, тогда количество двоичных разрядов будет M [log 2 N ] . Обычно М=8;16 и 24 для качественного восстановления. Всё это образует АЦП – аналогоцифровой преобразователь. Более дешёвые АЦП: Рис.9. Переключатель срабатывает, когда одно число обработано, т.е. Рис.10. Т пр - период преобразования. Такие задержки, какие показаны на рисунке, могут привести к отклонению. 17 Типы сигналов Типы сигналов, которые могут быть на входе: 1) детерминированный. xt st . Например, неслучайный xt A cos t 2) случайный процесс. xt t 3) комбинированный сигнал. xt st t 4) квазислучайные процессы. xt F t , a1 , a2 ,..., am , где a i - случайный параметр. Например, xt A cos t , где (А, , ) – случайная величина. Спектральные представления сигналов в ЦОС Существует два подхода: рассмотрение сигнала в спектральной области и рассмотрение сигнала во временной области. Эти рассмотрения эквивалентны, и их можно заменить одно другим. Спектральное представление 1) Ряды Фурье. Есть функция f t , которая задана на отрезке [0,Т]. Эта функция непрерывная или кусочно-непрерывная, также периодичная – с периодом Т. Рис.11. Функции, по которым можно разложит функцию f t , ортонормальны: i t ii , Т t t dt i j 1, i j 0 0, f t C k i t , k i j T где C k 1 i t f t dt . T 0 C k образуют дискретный спектр: C C k k . В цифровой обработке сигналов принято использовать i t e j 2 it T , где i , . Соответственно имеет место и разложение в тригонометрический ряд: f t Ck e k 18 j 2 it T , T Ck 2 j kt 1 f t e T dt T0 f t C k , где последовательность. f t - непрерывная последовательность, а Ряд Фурье сходится. f t N 2 Ck e k j 2 kt T , N 2 Ck - C C N ,..., C 0 , C1 ,..., C N 2 2 дискретная f t . Заменяем непрерывные функции вектором в конечномерном пространстве. Рис.12. Во временной области количество отсчётов 1024, а в спектральной можно взять примерно 15 и этого вполне достаточно. | C k | - длина, тогда можно представить сигнал в виде Ck Re Ck Im Ck , соответствующих номеров | C k | Рис.13 2 0 , разложение e ji 0T , Т Пример: f1 -эталон, f1' , f1'' k k 0 . Здесь можно ввести удобные метрики. 19 Рис.14. m xt Al cos l t - набор гармоник. В этом случае хорошо работает ряд Фурье. l 0 Но не все сигналы периодичны. И тогда в таких случаях используют интеграл Фурье. 2) Интеграл Фурье. f t - должна быть интегрируема по модулю, т.е. | f t | dt , также функция должна быть непрерывной или иметь счётное число разрывов и периодичной Т , . F f t e j t dt - прямое преобразование, f t 1 2 F e j t dt - обратное преобразование. Где F - комплексная функция – спектральная плотность амплитуд F Re F j Im F Рис.15. | F | Re 2 Im 2 , график даёт распределение по частоте. | F k | 2 E k - энергия в полосе 20 E k - это есть плотность распределения энергии по частотам. Тогда сигнал будет F e j t , где F - комплексная амплитуда. Базовые свойства: 1) f t 1 f1 t 2 f 2 t F 1 F1 2 F2 Физический смысл: | F k | 2 2) Теорема сдвига. Рис.16 f t f t F e j F При задержке вектора поворачиваются. 3) Теорема произведения (определяет спектр). f t f1 t f 2 t 1 F1 F2 d 2 4) Теорема о свёртке. F f t f f t d 1 2 F F1 F2 5) Энергетическая теорема – теорема Парсеваля. f t dt 2 1 2 F d 2 21 Существует понятие «окна», окна могут быть временные и частотные. Рис.17. 1) Прямоугольное окно во временной области. Рис.18 Функция выборки: U t E, 0, T 2 T t 2 t надо иметь спектр окна: T 2 Fu U t e j t dt E e j t dt ET Fu ET sin sin T 2 T 2 T 2 T 2 T 2 Спектральная функция, ограниченная во времени 22 xt t , T T t , - отрезок реализации, т.е. берём окно 2 2 x ^ t Рис.19 U t 1, 0, t t T 2 T 2 Выборка будет: x ^ t xt U t F ^ есть спектр xt и есть Fu , тогда: T F ^ 2 23 F T 2 d T 2 sin Рис.20 sin T k 2 , k 2 , f0 0 T T T 2 Строится операция: есть входной сигнал. Fu ET Рис.21 24 Рис 22 Вывод: при “укрощении” сигнала, спектр расширяется. 25 Спектр гармонического процесса xt A cos 0 xt Ae j0 t e j t e j t x(t ) A A cos 0 t 2 формально этот спектр не существует: e i 0 t dt , т.е. функция не интегрируема, следовательно, нет спектра Фурье. Но иногда очень хочется, чтобы спектр был. Пусть спектр F существует, тогда сигнал можно восстановить с помощью обратного преобразования. 1 Ae F e j t d 2 Воспользуемся свойством -функции: j 0 t f t f t d F 2 A 0 -ведет себя как -функция действительно: Ae j 0 t A 0 e j t d xt Ae j 0 t 2 A 0 xt Ae j 0 t 2 A 0 xt A cos 0 t A 0 0 F A 0 0 Спектр синуса можно представить, как -функцию: Рис.23 Спектр синуса, ограниченного во времени x ^ t A cos 0 tU t T 1, t U t 2 T 0, t 2 26 F ^ AT 2 sin T 2 T 0 0 d 2 0 T 0 T sin sin AT 2 2 F ^ 0 T 2 0 T 2 2 Рис.24 2 , Т f 1 T Спектр процесса дискретизованного во времени F xt e j t dt -прямое преобразование непрерывного спектра 1 F e j t dt - обратное преобразование 2 переходим: xt xit , i , , i-целое xt рассмотрим: Fg xit e j it ,т.е. представляем спектр процесса в виде i бесконечной суммы. периода 2 . t 2 k it it 2ki t e j it 2 k i e j it e j 2 k i 27 Рис.25 2 1 g 2 2 f g , где g -частота дискретизации t t F Fg периода как связан непрерывный спектр процесса с дискретным спектром? Дискретный спектр – это повторение непрерывного спектра много раз. Рис.26 Связь между этими спектрами: Fg F k k g - формула иллюстрирует дискретный спектр. Оценим, к чему это приводит: g 2 гр Рис.27 Средние части не изменяются, т.е. повторяются без искажений: Это когда g 2 гр g 2 гр (по теореме Котельникова) Пусть условие теоремы Котельникова не выполняется: g 2 гр 28 Рис.28 Получаем искажённый сигнал. Искажение не контролируемо, т.е. искажение нельзя восстановить. Спектр случайного процесса F xt e j t dt , где xt - детерминированная функция, следовательно, что F -детерминированный спектр. Множество реализации xi t i , где i , . Этой реализации соответствует реализация спектра Fi i . 1) S R e j d - спектр мощности случайного процесса, где R - корреляционная функция. R M xt xt R0 2 T 2 | FT | 2 j t 2) S lim T M , где FT xt e dt T T 2 1) и 2) представления эквивалентны. Рис.29 E S d ,где S - не случайна. Фильтрация процесса Рассмотрим линейный фильтр: y t h xt d , функция t h . 29 где h - импульсная Рис.30 Каждый фильтр может быть представлен либо во временной области, либо в частотной. В частотной: H h e j d , H | H | e i Рис.31 Рис.32 ФНЧ – фильтр низкой частоты Рис.33 ФВЧ – фильтр высокой частоты Рис.34. Полосный фильтр 30 Рис.35 Полосно-задерживающий фильтр Пусть есть спектр Fx xt h H , 1 y t 2 H F e x j t y t Fy Fy H Fx d Для случайного процесса: S y | H | 2 S x , где xt и yt - случайны. Методы дискретизации сигналов xt xit , где i=…,-2,-1,0,1,2,… 1) t = const, тогда будет равномерная дискретизация. 1 f g , 2 f g g t 2) t = var (переменная) – это уже не равномерная дискретизация. xt xit - это основа адаптивной дискретизации. Рис.36 Адаптивная дискретизация подстраивается под текущую скорость процесса. Стохастическая дискретизация Берем случайные интервалы. Цель: сократить отсчёты при стохастической и адаптивной дискретизации. Основные задачи: 1) выбор t : - с целью восстановления сигнала; - оценка параметров сигнала. Восстановление сигнала: 31 восстановленная функция: yt f t , xt k , xt k 1 ,..., xt k r , т.е. имея выборку сигнала, строим функцию yt , но есть ошибка восстановления t xt yt . max | t | max | xt yt | 0 , при t k 2 t t k . Квадратичная ошибка: 2 tk | xt yt | tk 2 32 2 dt Оценка параметров сигнала Рис.37. Нижний сигнал – клипированный, по нему можно дать оценку. При восстановлении сигнала метод дискретизации основывается на частотных представлениях. При оценке параметров сигнала метод основывается на оценке ошибки восстановления сигнала. Теорема Котельникова: есть непрерывный процесс xt с ограниченным спектром (ограничен частотой гр ). | F 0, | | гр Этот непрерывный процесс может быть восстановлен по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой g 2 гр . xt xit F Fg F k g k Смысл теоремы Котельникова: можно построить F Fg H , возьмём непрерывный фильтр (идеальный частотный фильтр) с частотной характеристикой: Рис.38 И как бы вырезаем один кусочек: Рис.39 Во временной области: xt -непрерывный. x g t xit xt x g ht d h H xkt ht kt k 33 т.е. восстановление сигнала: пропускаем дискретизованный сигнал через фильтр. Построим импульсную функцию для фильтра: 1 h 2 H e j 1 d 2 гр e j d гр 1 1 j гр e | гр 2 j гр sin гр гр гр sin гр t kt g Подставив, получим: xt x k t гр к гр t kt 2 g t kt g sin 2 xkt . 2 k g t kt 1 e j гр e 2j j гр 1 sin гр 2 Итак, ряд Котельникова это: xt Таким образом, при g 2 гр ограничения: 1) | F 0 , при | | гр , | t | sin g t kt 1 2 xkt g t kt t k 2 - полное восстановление сигнала, но есть и T 2 Рис.40 Рис.41 Спектр расширяется, следовательно, нельзя точно выбрать g . Существуют методы выбора частоты дискретизации: 34 грэф : приближённо выполняется | F 0 . эф гр | F | Сделаем оценку: 2 d эф гр , где 0,01 , т.е. сводим к грэф и работаем с | F | 2 d ней. 3) процесс надо восстановить с помощью бесконечного ряда. N N Берём k , , где N - количество точек. 2 2 g t kt N sin 2 1 xt xkt g t 2kt t N k 2 2 Рис.42 xkt sin x sin x 1. , т.к. lim x0 x x При ограниченной реализации: k N N , , следовательно, ряд – это конечная 2 2 сумма, тогда имеем отклонения. Ошибка восстановления: в дискретных точках ошибка равна нулю. g t kt N sin 2 1 2 x N t xkt g t kt t N k 2 | xt x N t | 2 Рис.43 35 Эта ошибка мало контролируема. Вывод: “минусы”: восстановление по ряду Котельникова приводит к ошибкам, которые трудно оценить, т.е. Теорема Котельникова не гарантирует хороших результатов. ”плюсы”: можно восстанавливать спектральные т статистические свойства сигнала, т.е. для исследования сигнала. 36 Эффекты подмена частот fg f g 100 Гц , f гр 50 Гц , 0 f 0 2 Когда это условие нарушается, идёт эффект подмена частот. Пусть есть xt sin 2 f 0 t , t xit sin 2 f 0 it sin 2 1 fg f0 i fg Спектр такого процесса: Рис.44 F fg 2 , где F – частота Найквиста. Первый вариант: рассмотрим f 0 : 0 f 0 fg , f 0' f 0 kf g 2 Система будет реагировать: f 0 kf g f f f xit sin 2 i sin 2 0 2k i sin 2 0 i 2 ki sin 2 0 i Таким fg fg fg fg образом, восстанавливается сигнал, как сигнал с частотой f 0 , т.е. цифровой системе всё равно. Пример: f 0 =20Гц, f g =100Гц 20Гц, 120Гц, 220Гц. fg f 0' f g Второй вариант: берём 2 37 Рис.45 f 0' fg 2 f0 fg fg fg f0 f0 f g f0 2 2 2 xit sin 2 i sin 2 i sin 2 i fg fg fg fg f0 2 sin 2 i fg f 0'' fg 2 f0 Пример: f g =100Гц, fg 2 =50Гц, f 0' =50+20=70Гц, F0'' =50-20=30Гц Диаграмма порождения частот F 0,25F 2.25F 4.25F 0.25F 1.75F 3.75F 5.75F fg 2 0.25F Рис.46 38 Методы дискретизации, основанные на критерии качества восстановления сигнала xt , xit Пусть есть n+1 точек, можно взять полином n-порядка: pt a 0 t n a1t n 1 ... a n 1 pt i xt i t i it - выбираем и строим полином, который удовлетворяет системе уравнений: xt i a 0 t in a1t in 1 ... a n 1 результатом решения этой системы будет полином Лагранжа. Его особенности: он проходит через точки отсчёта, т.е. находим а0 , а1 ,..., аn1 Рис.47 Задача – оценить t : n t pn t xt n - определяется остаточным членом полинома Лагранжа. t t0 t t 0 t , t t i 1 t i t Если - целое: t 0 0 , т.е. попадаем в значение отсчёта. t t1 1 Введём t 0 t t1 Если -нецелое: попадаем приблизительно в середину между отсчётами. Полином можно представить через нормированное время: i n n 1 2... n i C n xt i pn 1 1 n! i i 0 ошибка: n pn x - в частотной области; n t pn t xt - во временной области. M n 1 t n 1 1... n n 1! Максимальное значение производной n+1-порядка: M n 1 max t0 t tn x n 1 t Выражение для остаточного члена: n 39 Рис.48 Задача: найти t t i 1 t i . База: порядок полиномами количество используемых точек. 1) n=0 p0 const , pt i xt i , t i t t i 1 Рис.49 Тогда: 0 t fg M1 M1 t M 1t1 , где - точность, 0 1 , где M 1 max x ' t , при t 0 t t n M1 Здесь берём полином, который из точки строится вперёд, т.е. экстраполяция, а можно сделать интерполяцию, т.е. – строим назад: 40 Рис.50 В итоге восстановленный полином будет ступенчатым, но ступенчатая функция не самая лучшая. Рис.51 Полином Лагранжа не самый хороший, есть полином Чебышева, он минимизирует максимальную ошибку. 2) n=1 – ведём аппроксимацию с помощью линий. Рис.52 pt xt j t j 1 t j t t , 0 1 j M2 2 M t 1 2 t 2 2 2 M2 2 1 , t , t 2 8 1 max xt j 1 xt j 1 4 8 , M2 fg 1 t M2 8 Рассмотрим пример. xt sin 2 f 0 t , дискретизируем этот сигнал. 41 x ' t 2 f 0 cos 2 f 0 t M 1 max x ' t 2 f 0 x '' t 2 f 0 sin 2 f 0 t 2 M 2 max x '' t 2 f 0 2 2 f 0 62.8 f 0 f g0 , 0.1 2 f 0 . Здесь разница в 31,4 раза, следовательно, f g невыгодная. n=0: пусть 0,1 -абсолютная ошибка, f gкотельн fg M1 M 2 2 f 0 7.05 f 0 , f g1 7.05 f 0 8 0.8 Вывод: с ростом порядка полинома f g будет уменьшаться. n=1: f g Таблица: n 1 2 3 4 f g0 f gn - коэффициент уменьшения частоты дискретизации. 0,1 8,9 11,6 12,5 0,01 28,3 53,9 67,0 0,001 89,5 250,0 395,0 12,7 80,5 504,0 Брать полином выше второго порядка не имеет смысла брать, т.к. для каждой точки увеличивается число операций. Плюс в том, что заранее оценивается погрешность. Т.к. полином Лагранжа не оптимизирован, то можно взять полиномы «лучше». Принципы адаптивной дискретизации Пусть процесс не стационарный, например, меняется его скорость изменения Рис.53 Производная: M n max x n t . Здесь используется дискретизация: 1) t const - невыгодно, т.к. нужна слишком частая дискретизация. 2) t var - здесь уже существуют методы выбора t . Адаптивная дискретизация 1) 0-ого порядка. Выбираем момент t j и отсчёт xt j . 42 p x x t j , при t t j - прогноз 0-ого порядка. Строим функцию, которая даёт текущую ошибку: Рис.54 t xt px 0 если это условие выполняется, то следующий отсчёт не берётся, если в какой-то следующий момент времени будет: ti 1 xt px 0 , тогда берём следующий отсчёт и т.д. здесь количество информации увеличивается, т.к. надо запоминать текущую разницу: t j 1 t j 1 t j . Этот метод выигрывает, когда: выигрыш по отсчётам 0 q – количество информации = 2 N неравн , выигрыш по информации - N равномер 0 2 N неравном 1 2) 1-ого порядка. Рис.55 px xt j x ' t j t t j надо передавать значения: xt j , x ' t j , t j 1 . 43 N рав ном ер N нерав ном 2. В качестве оценки: x ' t j xt j T xt j T Тогда передаём: xt j , xt j T , t j 1 Выигрыш по отсчётам: N равномер 1 N неравном 3. 44 , ГЛАВА 2. Квантование по уровню. +xm k – ширина интервала xk+1/2 xk xk-1/2 k k = xk+1/2 - xk-1/2 t i = it x(ti)x(i) xˆ (i ) x(i ) e(i ) квантованное значение - xm Амплитудные характеристики квантования Выбор x k xk xk 1 xk 1 2 max e(i ) 2 2 k 2 e(i ) xˆ (i ) x(i ) [e(i )] 0 D[e(i )] ? Считаем, что квантованный процесс имеет некоторое вероятностное распределение. (x) x x k N 2 k 1 2 (e) e( x) P( x)dx ( x 45x ) P( x)dx k k N 2x k 1 2 k N 2 xk 1 2 D (e) ( x xk ) 2 P( x)dx k N 2 xk 1 2 Считаем что P(x) ~ P(x k ) k N 2 (e) k N 2 D (e) k N 2 k N 2 ! P( x k ) ( x x k )dx P( x k ) ( x x k ) 2 dx min D(e) xk D 0 x k k N N , 2 2 Можно получить: xk xk 1 xk 1 2 2 2 (e) 0 k N 2 1 P( x k ) k3 D (e) k N 2 12 Если равномерное квантование … k k Получаем выражение для СКО ошибки квантования D (e) 2 с 2 12 k N 2 P( xk ) k N 2 2 12 46 Свойства ошибок квантования 1) Ошибка квантования имеет равномерное распределение e 2 2 2 1 f(e) 0 2) Ошибки квантования некоррелированы с2 [e(n)e(n m)] 0 3) m0 m0 Ошибка квантования и квантованный процесс некоррелированы [ x(n)e(n m)] 0 m 4) Дисперсия ошибки квантования D[e(n)] 2 12 5) Отношение сигнал/помеха SNR 2x e2 мощность полезн. сигнала мощность шум. квантовани я 1 x 2 ( n) n SNR 1 e 2 ( n) n Рассчитаем отношение сигнал/помеха квантователя N 2M 2 xm 2M - количество уровней квантования ( -xm , xm ) - границы представления уровня сигнала 47 e2 2 2 4xm xm 2 12 12 2 2M 3 2 2M SNR 2x 2 xm 3 2 2M SNR 10 log 2x e2 2 SNR 10 log x 3 2 M 2 xm x 10 lg 3 20 M lg 2 20 lg m x x 4,8 6 M 20 lg m x Как необходимо выбирать отношение xm x Стандартное значение этого отношения равно 4 . Это связано с предположением нормального распределения амплитуды сигнала. При этом мы предполагаем, что максимальный размах сигнала в четыре раза превышает СКО сигнала. Вероятность этого события для нормального распределения равна 0,001. Это значит, что сигнал не будет превышать границу представления сигнала xm . Соответственно мы не будем иметь искажений сигнала за счет обрезания больших амплитуд. При указанном значении отношения имеем формулу для определения SNR SNR=6M-7.2 Для примера при числе разрядов M=8 имеем SNR=40.8 дб Для разных значений отношения xm x при М=7 имеем SNR 10 lg 3 20 7 lg 2 20 lg 10 26,8 дб 48 10 xm 4 x M 7 x m x SNR 35 дб xm С увеличением x место , когда мы работаем отношение SNR уменьшается . Это всегда имеет с нестационарным сигналом. Чтобы устранить этот эффект используем логарифмическое квантование x(n) y(n) Log |x(n)| Q [y(n)] равномерный квантователь ~ y ( n) К О Д Е Р c(n) sign x(n) c(n) x̂(n) exp x(n) Д Е К О Д Е sign x(n) В Покажем, что при использовании логарифмического квантователя SNR не зависит от СКО сигнала. 1 sign x(n) - 1 x(n ) 0 x( n) 0 y(n) ln | x(n) | x(n) ln | x(n) | sign x(n) получение квантованного сигнала ŷ(n) ln | x(n) | (n) Восстановление: 49 x̂(n) exp( ŷ(n)) sign x(n) exp ln | x(n) (n) sign x(n) | x(n) | exp( (n)) sign x(n) x(n) exp (n) x(n) 1 (n) x(n) x(n) (n) ошибка Дисперсия: x2 Полезный сигнал – x2 2 Ошибка квантования – SNR x2 x2 2 x2 2 не зависит от 1 const 2 x2 ! Этот метод носит название "кодирование с мгновенным компандированием" . Основной недостаток этого метода - отсутствие технических возможностей получить идеальный логарифмический преобразователь. Поэтому для реальных систем логарифм заменяют на некоторое преобразование F(x) , имеющее свойства, похожие на логарифмическое. x(n) К О Д И Р О В Ф F sign x(n) c(n) - сжатие Д Е К О Д И Р О В x̂(n) F-1 sign x(n) | x(n) | x m lg[ 1 μ | lg[ 1 μ y(n) F[x(n)] x m 50 c(n) xm 1 1>2 2 0 x(n) x SNR f n n x x x max y x m 1 ln Зависимость SNR от x x xm x max 1 SNR 36 32 28 24 20 16 8 0 m=7 m=6 m=5 10 100 1000 m – число порядков 51 ГЛАВА 3 Дискретное преобразование Фурье. Общие свойства. 2 ik 1T C x(t )e T dt k T 0 F ( ) g Ряд Фурье i j t dt x(t )e i преобразования Фурье x(t ) x(it ) F ( ) g i j it x(it )e i j2 i i g F ( ) x(it )e g i t 1 2 fg g j 2 g g x(it ) F ( ) e g g 0 i 1 Вспомним, что этот спектр является периодическим 52 0 g Рассмотрим дискретные отчеты по частоте g / N 2 j in i N F (n ) x(i t )e g i (*) (*) – периодическая по N Рассмотрим в виде по интервалам длиной N: 2 - j in i N(l 1) - 1 x(i t)e N i Nl 2 Введем новую -j kn k N -1 l переменную : x[(k Nl)t]e N k i - Nl i k N k0 l F (n ) g l - l l - l x[(k Nl)t l - периодический процесс x (kt ) p 2 - j in N 1 F (n ) x (i t ) e N g p i0 x p (i t) Fg (n ) i 0,...., N - 1 N -1 x (it) x[(i lN) t] p i0 2 j in 1 N 1 x(i) F ( n)e N N n0 53 x ( x(0)...x( N - 1) )T лин преобраз F ( F( )...F(N - 1))T 2 - j N in W e i 0, N - 1 F Wx n 0, N - 1 54 ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТТЬ x(t) F() 0 T t F() x(t) t r -r xg (t) Fg() t xg(it) Fg(i) t 55 Выводы: 1. T – велико / гр гр ~ F( ) F( ) 2. / гр 2гр 0 g 2 3. N – отчетов по во времени период N Нет искажений для 0 t T нет искажений ~ F( ) F( ) F (n ) F(n ) g x (iΔiΔ x(i t) p Дискретизация в частотной области. Вспомним преобразование Фурье дискретного апериодического сигнала: Вычислим значения этого выражения через равные интервалы = (2/N)k 56 Операция суммирования может быть разбита следующим образом: Если мы поменяем операции суммирования местами: Сигнал: Периодически повторяет x (n) через каждые N точек. Его ряд Фурье задаётся следующим выражением: Восстановление сигнала из преобразования Фурье. Так как xp(n) – периодически повторяемый x(n), ТОЛЬКО когда NL: 57 Если N<=L, мы имеем эффект наложения в частотной области: Принимая NL, Мы можем записать преобразование Фурье в виде: Это выражение можно упростить: где Каков смысл этого уравнения? Интерполяция в частотной области через ноль-padding. Предположим: x(n) = 0 для n<0 и nL. Определим xp(n): 58 Мы определили дискретное преобразование Фурье (ДПФ) x(n) как: И обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ): Ясно, что это выполняется, если L>N, x(n) = 0 для L≤ n ≤ N-1. Пример: f1 = 999,0 Гц, f2 = 1199,0 Гц, f3 = 8000,0 Гц ДПФ как линейное преобразование. Мы можем переписать ДПФ в следующем виде: 59 где - N-й корень Мы можем выразить ДПФ как матричную операцию, определив: И переписав ДПФ: И ОДПФ: Матричные операции ДПФ. Заметим, что используя наше определение WN, ОДПФ может быть выражено следующим образом: Таким образом, мы можем уравнять выражения для ОДПФ и записать: Что с другой стороны означает, что 60 где IN - матрица, размера NxN. Таким образом, WN – ортогональная (унитарная) матрица и существует обратная ей матрица. Можем ли мы уменьшить количество вычислительных операций, требуемых для XN? Свойства ПДФ 1) Линейность x(i) x (i) x (i) 1 2 F(n) F1(n) F2 (n) 2) Периодичность F(n+kN) = F(n) 3) Сдвиг x(i k) x(i) 2 - j kN F(n)e N F(n) F(n) Re F(n) j Im F(n) j F(n)e F(n) 4) Симметрия n N/2 n Re F(n) Re F(N - n) Im F(n) Im F(N - n) 61 2 N т.е. F(N - n) F(n) 2 2 2 - j k ( N n) N 1 j kn j kN N 1 N F(N - n) x(k)e N x(k)e N e 1 k 0 k 0 2 - j kn N 1 F(N - n) x(k)e N F ( n) k 0 5) x(k) x (k) x (k) 1 2 N -1 F(n) F (l )F (n l ) 1 2 l0 6) N -1 x(k) x (l ) x (k l ) 1 2 l0 F(n) F (n)F (n) 1 2 (апериодическая) (циклическая) 2 - j kn 1 N 1 x(k) F (n)F2 (n) e N Nn 0 1 Применение ДПФ для гармонического анализа. m S(t) Al cos( l t l ) l 1 l kl0 полигармонический процесс k=1,2,3,… l1 l0 l2 2 l0 .... . .. ln n l0 Это звукоряды S(t) A e j0t 0 20 cos 0t j sin 0t 62 n0 S(it) A e j Ae 0 j t 0 1 2 t f g g 2 g j2 S(i t) A e 0 g i N g q N 0 q g S(i) e j2 q N j 2qi S (i ) e N получаем выражение для дискретизованного сигнала Вычисляем ДПФ 2 2 qi j in N -1 j N F(n) e N e i0 2 N 1 j (q n)i F(n) e N i0 2 2 j qi j in N -1 N F(n) A e N e i0 2 N 1 j (q n)i F(n) A e N i0 1) q – целое AN , F(n) 0 , 0 q qn qn n = q mod N 63 2 N 1 j l i 0 e N i0 2 iN e N N j 1 l qn получаем сумму корней N -ой степени из единицы, она равна 0. На рисунке показано что сигнал с частотой q=3 и q=3+i*N отображается в ДПФ как частота q=3, а в остальных частотах F(n) = 0, т.е. имеет место идеальное обнаружение гармонического сигнала. F(n) F(3) AN 0 AN F(n) 0 q=3 N-1 q=N+3 n q mode N n q mode N 2) q – не целое N 1 i 1 N F(n) 1 i0 2 j ( q n) e N 64 n 0 N n) | g | sin (q n) | | F (n) | n | sin (q n) | | sin ( )| N g N | sin ( F(n)=f (q) 0 q Получили выражение для частотной характеристики спектра ДПФ. Использование окон во временной области. Окна используются для уменьшения боковых лепестков . Исходный сигнал x(k) умножаем на временную функцию окна w(k) и затем выполняем ДПФ : 2 j kn N 1 N F(n) x(k)w(k ) e k 0 Влияние окна заключается в уменьшении боковых лепестков и расширении основного лепестка. Вместо временного окна можно использовать частотное окно W(n) - это ДПФ от временного окна w(k) : 2 - j kn N 1 W(n) w(k ) e N , k 0 соответственно вычисление ДПФ с временным окном можно рассматривать как свертку: F(n) F (n) *W (n) N 1 F (n) F (l )W (n l ) l 0 Существует много различных окон 1. Прямоугольное 2. Обобщённое окно Ханнинга. = 0,54, окно Хэмминга = 0,5, окно Ханнинга 3. Окно Бартлета: 65 4. Окно Кайзера: 5. Окно Чебышева: 6. Окно Гаусса: Существует также множество других видов окон. Наиболее важными характеристиками являются ширина главного лепестка и ослабление в полосе задержки (высота наиболее высокого бокового лепестка). Окна Ханнинга, Хэмминга используется довольно широко. Характеристики некоторых окон приведены в таблице. тип окна Мах боковой лепесток , дб -13 -27 -32 -67 Скорость спада боковых лепест дб/ окт -6 -12 -12 -6 Полоса осн. лепестка на уровне 3дб, бин 0,89 1,28 1,44 1,66 Паразитная модуляция М дб 3,92 1,82 1,42 1,13 Прямоугольное Треугольное Хеннинга 3х членое Блэкман – Херис 4х членое Блакман – Херис -92 -6 1,9 0,83 Окно Ханнинга может быть применено в частотной области с использованием реккурентной формулы : 1 1 1 F(n) - F(n - 1) F (n) F (n 1) 4 2 4 66 Метод уменьшение модуляции Используем интерполяционные свойства ДПФ Добавляем к реализации в конец r*N нулей . При этом изменяется разрешение по частоте : ωg Nr x(i) g(i) 0 ω g 1 N r r i 0, N - 1 i N,...rN - 1 Вычисляем ДПФ удлиненной реализации: 2π n 2π i j j in Nr 1 N 1 Δω N r Nr S(n ) x(i)e x(i)e r i0 i0 Новый спектр связан со спектром неудлиненой реализации таким образом : Δω n S(n ) F( ) n o, Nr - 1 r r при r=2 F(i) 67 N=2 N=8 n=0 S(0)=F(0) (совпадает со старым отсчетом) n=1 S(1)=F(1/2) ( появляется новый интерполированный отсчет ДПФ) n=2 S(2)=F(1) (совпадает со старым отсчетом) n=3 S(3)=F(3/2) ( появляется новый интерполированный отсчет ДПФ) Таким образом между N старых отсчетов появляется N новых. Это приводит к уменьшению модуляции, однако разрешение по частоте не меняется. Спектральный анализ случайных процессов с использованием ДПФ (t) – случайный процесс Рассмотрим стационарные и эргодические процессы. Стационарный процесс зависит от разности времени ti – tj Эргодический процесс – это все характеристики полученные по одной реализации Спектр мощности: S( ) k( ) e - j d - k( ) M[x(t) - x(t - )] M[x(t)] 0 | F () | S( ) lim M T T T T FT () -T 2 (t) e - jt dt 2 (t) i (t ) 68 Рассмотрим на [0, T] T T [ , ] t 2 2 Периодограмма непрерывная Ŝ() | FT () | 2 I T () T – дискретное время t = it S(0)........S(N - 1) F(0)........F(N - 1) Это дискретная периодограмма. На основе периодограммы строится оценка спектра I N (n) | F(n) | 2 N для ДПФ мощности случайного процесса. Требования к оценке: 1) Несмещенность lim EI T () S () T lim EI N ( ) S (n) S (n ) N 2) Состоятельность DI (n) S (n) 2 D I ( ) T S ( ) T N N 2 должна стремится 0, но этого нет, поэтому оценка несостоятельная. Чаще всего используется оценка: | F(n) |2 Ŝ(n) I N (n) N Коэффициент разброса: [ Ŝ(n) ] 1 kp 2Tf M [ Ŝ(n) ] fg f N 1 T N t N fg 2Tf 2N k p 1 fg 2 fg N 1 2 Спектр можно вычислять с помощью набора полосовых фильтров c шириной полосы f 69 Ф( f) x x2 2 dx S(f1 ) f x(t) S(f ) f Ф( f) 2 Ф( f) S(f ) f n Методы сглаживания оценок 1) Метод сглаживания по частоте рассмотрим спектральное окно W(n) i 1 ~ S (n) m m 2 i W(k) Ŝ(n - k) m 2 Периодограмма Даниеля: прямоугольное окно W(k) 1/m k -m/2 1 ~ S (n) m i m / 2 +m/2 ~ S( n i ) i m / 2 70 ~ f f m ~T T 1 ~~ 2 f T kp 1 m - количество степеней свободы 2m q=2m 2) Метод сглаживания по времени Метод Бартлета N Разбиваем реализацию по l N С длинной N1 l ~ Sj j N x j (i ) e 2 2 in N 1 i 0 далее усредняем ~ 1 l ˆ S S j ( n) l j 1 дисперсия оценки ~ D[ S ] D(Ŝ) l Количество степеней свободы l 2 Tt 2 kp kp kp ~ [S ] M [Ŝ] l M kp l 1 2f T kp l 1 l 2f T 1 1 2l f T 2l f T 1 71 q 2l таким образом Построение доверительного интервала оценки спектральной плотности. z – случайная величина q – число степеней свободы ~ S (n) zq q 2mn S(n) ~ S (n) – сглаженная оценка S(n) – теоретическое значение спектра на мощность 2 N -1 kn N -1 2 2 F(n) x(k) e N x(k) cos kn j x(k) sin kn N N k 0 k 0 k 0 N -1 -j 2 2 | F(n) |2 1 N 1 2 N 1 2 ~ S (n) x(k) cos kn x(k) sin kn N N k 0 N N k 0 Найти дисперсию каждого члена Дисперсия каждого члена равна x2 Суммарная дисперсия 2 x2 В целом: ~ S (n) zq S(n) Имеется q2 – распределения (хи–квадрат распределения) с q степенью свободы: Простейшая оценка q2 q = 2 степенью свободы (z ) 1- /2 /2 2( ) q 2 2 (1 ) q t 2 72 2( q 2 0 2 (1 ) ( z ) dz q 0 2 2 ) ( z ) dz 1 2 ~ найти доверительный интервал для S ( n) A z 2 ( ) z 2 (1 ) q q 2 2 вероятность этого P( A) 1 то ~ S (n) q 2( ) q 2 S(n) ~ S (n) S(n) q 2( ) q 2 ~ S (n) q 2 (1 ) q S(n) 2 ~ S (n) S(n) q 2 (1 ) q 2 q ~ S (n) 2 (1 ) q 2 пример: = 0,05 m=5 S(n) q ~ S (n) 2( ) q 2 – доверительный 1– = 0,95 q = 2*5 = 10 0,05 2 ( ) 2 ( ) 3,25 10 10 2 2 1 0,95 2 ( ) 2 ( ) 20,48 10 10 2 2 10 ~ 10 ~ S (n) S(n) S (n) 20,48 3.25 ~ ~ 0.5 S (n) S(n) 3 S (n) 73 интервал