Планиметрия (теоремы и доказательства) Авторы-составители:

(теоремы и доказательства)
Планиметрия
Авторы-составители:
Габитов М.Г., учитель математики,
Габитова Л.М., учитель информатики
МОБУ СОШ №1 с. Архангельское
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Аксиомы планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Смежные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вертикальные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Перпендикулярные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Признаки равенства треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Первый признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . .
Второй признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . .
Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Третий признак равенства треугольников . . . . . . . . . . . .
§4. Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Параллельность прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Признаки равенства прямоугольных треугольников . . . .
Существование и единственность перпендикуляра к
прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6. Четырехугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Параллелограмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ромб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Средняя линия треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Трапеция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7. Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Косинус угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Перпендикуляр и наклонная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Неравенство треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные тригонометрические тождества . . . . . . . . . . . .
Свойства синуса, косинуса и тангенса угла . . . . . . . . . . .
Значения синуса, косинуса и тангенса углов 30о, 45о , 60о
3
4
6
6
7
8
9
9
11
13
15
18
18
22
23
24
27
29
31
32
34
35
36
38
39
40
43
42
43
45
46
47
49
50
ПРЕДИСЛОВИЕ
На первых уроках изучения систематического курса геометрии закладываются основы курса планиметрии: вводятся основные понятия и
свойства простейших фигур.
Изучение первых тем должно решить задачу введения терминологии, развития наглядных представлений и навыков изображения
планиметрических фигур и простейших геометрических конфигураций, как по условию задачи, так и в ходе решения задач.
С другой стороны, здесь закладываются основы всего курса
геометрии: вводятся основные понятия и система аксиом, позволяющая осуществить дедуктивное построение курса. А значит, учащиеся
впервые встречаются со строго логическим изложением материала, с
новой для них задачей – обосновывать каждое утверждение, каждый
шаг решения задачи, опираясь на определения и основные свойства
простейших геометрических фигур при проведении доказательных
рассуждений.
Обучение школьников грамотным логическим рассуждениям
начинается с обучения их грамотной устной и письменной речи. Подробные доказательства, способствуют формированию у школьников
умений точно формулировать мысль и проводить доказательные рассуждения и служат образцами таких рассуждений.
Данное пособие предназначено учителям, работающим в 7, 8
классах по учебному пособию А.В.Погорелова «Геометрия 7 – 9», а
также учащимся для подготовки к урокам.
В сборнике даны аксиомы, основные определения и понятия,
достаточно полные и подробные доказательства основных теорем
курса геометрии 7, 8
классов, приведенных в учебнике
А.В.Погорелова «Геометрия 7 – 9» (М., 2000). Все доказательства сопровождаются чертежами. Использование данного сборника позволит
при изучении новой темы на уроке ограничиться совместным доказательством теоремы на доске без его записи в тетрадях.
В конце каждого параграфа приведены утверждения, которые в
учебнике являются задачами, но часто используются при изучении
последующих тем.
«содержание»
3
§1. Аксиомы планиметрии.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются
точка и прямая.
Аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости:
I. Какова ни была прямая, существуют точки, принадлежащие
этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиома расположения точек на прямой:
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
Аксиома расположения точек относительно прямой на плоскости:
III. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Аксиомы измерения отрезков:
IV. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Аксиомы измерения углов:
V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180о. Градусная мера угла равна сумме
градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом,
проходящим между его сторонами.
Аксиомы откладывания отрезков и углов:
VI. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180о, и только
один.
Аксиома существования треугольника, равного данному:
VIII. Каков ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Аксиома параллельных прямых:
IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
4
Основные определения.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех
точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти
точки называются концами отрезка.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной
её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой.
Углом называется фигура, которая состоит из двух различных
полупрямых с общей начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла.
Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.
Два отрезка, имеющие одинаковую длину, называются равными.
Два угла, имеющие равную градусную меру, называются равными.
Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
«содержание»
5
§2. УГЛЫ.
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами.
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180о.
b
a1
a2
Рис.1
Дано: (a1b) и (a2b) – смежные.
Доказать: (a1b) + (a2b)=180о.
Доказательство.
Луч b проходит между сторонами развернутого угла (a1a2).
По аксиоме измерения углов
(a1b) + (a2b)=(a1a2) и
(a1a2)=180о. Следовательно, (a1b) + (a2b)=180о.▄
Угол, равный 90о, называется прямым углом.
Угол, меньший 90о, называется острым углом.
Угол, больший 90о и меньший 180о, называется тупым углом.
Следствия из теоремы 2.1.:
1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
2) Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
3) Угол, смежный с острым углом, тупой, а угол, смежный с тупым, острый.
«содержание»
6
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.
Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Дано: (a1b1) и (a2b2) – вертикальные.
Доказать: (a1b1) = (a2b2)
a2
a1
Доказательство.
(a1b1) и (a2b1) – смежные, значит по
A
теореме 2.1. (a1b1) =180о - (a2b1). (*)
b2
(a2b2) и(a2b1) тоже смежные, значит
Рис.2
(a2b2)=180о -  (a2b1).
(**)
Из равенств (*) и (**) видим, что (a1b1) = (a2b2) ■
b1
«содержание»
7
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Определение. Перпендикулярными называются две прямые,
которые пересекаются под прямым углом.
Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести
перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Дано: прямая а, Аа
c1
b1
Доказать: 1) через точку А можно провести
прямую b, перпендикулярную прямой а;
2) прямая b единственная.
Доказательство.
a A
a1
I. Существование.
1) По аксиоме откладывания углов от полупрямой а1 в верхнюю полуплоскость можно отлоРис.3
жить угол (а1b1), равный 90о.
2) Дополним луч b1 до прямой b, тогда по определению перпендикулярных прямых прямые а и b будут перпендикулярны.
II. Единственность.
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая
через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b1.
Углы (a1b1) и (a1с1), равные 90о, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а1. Но по аксиоме откладывания углов от полупрямой а1 в верхнюю полуплоскость можно отложить только один
прямой угол. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. ■
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется
отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из
своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется
основанием перпендикуляра.
Определение. Биссектрисой угла называется луч, который
исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол
пополам.
«содержание»
8
§3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
Определение. Треугольники, у которых соответствующие стороны равны, соответствующие углы равны, называются равными.
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
C
C1
Дано: ∆АВС, ∆А1В1С1,
A
АВ=А1В1,
АС=А1С1, А=А1
Доказать: ∆АВС= ∆А1В1С1
Доказательство.
B A1
B1
Рис.4.
1) По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2, равный треугольнику АВС, у которого
вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина С2 лежит в одной
полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1. (рис.5)
С1 С2
2) АВ=А1В1 по условию и
АВ=А1В2, так как ∆АВС= =∆А1В2С2. Значит,
А1В1=А1В2.
По аксиоме откладывания углов на луче
А1
В2 А1В1 от её начальной точки можно отложить
В1
только один отрезок заданной длины, поРис.5
этому точки В1 и В2 совпадают (рис.6).
С1 С2
3)
ВАС=В1А1С1 по
условию
и
ВАС=В2А1С2, так как ∆АВС=∆А1В2С2.
Значит, В1А1С1=В2А1С2.
По аксиоме откладывания углов от луча
А1В1 в верхнюю полуплоскость можно отА1
В1(В2) ложить только один угол с заданной граРис.6
дусной мерой, поэтому лучи А1С1 и А1С2
совпадают (рис.7).
9
4) АС=А1С1 по условию и
АС=А1С2, так как ∆АВС= =∆А1В2С2. Значит,
А1С1=А1С2.
По аксиоме откладывания углов на луче А1С1
от её начальной точки можно отложить только один отрезок заданной длины, поэтому
точки С1 и С2 совпадают (рис.8).
А1
В1(В2) 5) Получили, что ∆А1В2С2 совпадает с
Рис.7
∆А1В1С1. Так как ∆А1В2С2=∆АВС, то и
∆А1В1С1=∆АВС. Что и требовалось доказать.
С1(С2)
■
С1
С2
А1
В1(В2)
Рис.8
«содержание»
10
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.2. (признак равенства треугольников по стороне и
прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы
одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
С
А
В
С1
А1
В1
Рис. 9
С1
А1
С2
В1
Рис.10
В2
Дано: ∆АВС, ∆А1В1С1, АВ=А1В1,
А=А1, В=В1
Доказать: ∆АВС= ∆А1В1С1
Доказательство.
1) По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В2С2, равный
треугольнику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче А1В1, а вершина
С2 лежит в одной полуплоскости с
вершиной С1 относительно прямой
А1В1. (рис.10)
2) АВ=А1В1 по условию и
АВ=А1В2, так как ∆АВС=∆А1В2С2.
Значит, А1В1=А1В2.
По аксиоме откладывания углов на
луче А1В1 от её начальной точки можно отложить только один отрезок заданной длины, поэтому точки В1 и В2
совпадают (рис.11).
3) ВАС=В1А1С1 по условию и
ВАС=В2А1С2, так как ∆АВС=
=∆А1В2С2. Значит, В1А1С1=В2А1С2.
По аксиоме откладывания углов от
луча А1В1 в верхнюю полуплоскость
можно отложить только один угол с
заданной градусной мерой, поэтому
лучи А1С1 и А1С2 совпадают.
11
С1
С2
А1
В1(В2)
Рис.11
С1(С2)
А1
3) АВС=А1В1С1 по условию и
АВС=А1В2С2, так как ∆АВС=
=∆А1В2С2. Значит,А1В1С1=А1В2С2.
По аксиоме откладывания углов от
луча В1А1 в верхнюю полуплоскость
можно отложить только один угол с
заданной градусной мерой, поэтому
лучи В1С1 и В1С2 совпадают.
4) Лучи А1С1 и А1С2 совпадают, лучи
В1С1 и В1С2 тоже совпадают. Значит,
точки С1 и С2 совпадают (рис.12).
Получили, что треугольники А1В2С2 и
А1В1С1 совпадают.
Так как ∆А1В2С2=∆АВС, то и
∆А1В1С1=∆АВС. Что и требовалось
доказать. ■
В1(В2)
Рис.12
«содержание»
12
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Определение. Треугольник, у которого две стороны равны,
называется равнобедренным. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Теорема 3.3. (свойство углов равнобедренного треугольника).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
С
Дано: ∆АВС, АС=ВС
Доказать: А=В
Доказательство.
1) Проведем биссектрису CD угла С,
А
D
В
где DAB.
Рис. 13
2) ∆ADC=∆BDC по первому признаку равенства треугольников, так
как у них:
1. АС=ВС – по условию;
2. СD – общая сторона;
3. ACD=BCD, так как CD – биссектриса угла С.
3) Из равенства треугольников ADC и BDC следует равенство углов А
и В. ■
Определение. Треугольник, у которого все стороны равны,
называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны.
Теорема 3.4. (признак равнобедренного треугольника). Если в
треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
С
А
Рис.14
Дано: ∆АВС, А=В
Доказать: АС=ВС
Доказательство.
∆АВС=∆ВАС по второму признаку равенства
треугольников, так как у них:
В 1. АВ=ВА;
2. А=В;
13
3. В=А.
Из равенства треугольников следует, что АС=ВС. Значит, по определению ∆АВС - равнобедренный. ■
Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной
вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к
прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.
Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из
данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
Определение. Медианой треугольника, проведенной из данной
вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой
противолежащей стороны треугольника.
Теорема 3.5. (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
С
Дано: ∆АВС, АС=ВС, СD – медиана.
Доказать: CD – биссектриса и высота.
Доказательство.
1) ∆АDC=∆BDC по первому признаку равенства треугольников, так как у них:
1. АС=ВС, так как ∆АВС - равнобедренный;
А
D
В
2. AD=BD, так как CD – медиана;
3. А=В, так как в равнобедренном треРис.15
угольнике углы при основании равны.
2) Так как ∆АDC=∆BDC, то ACD=BCD. Значит, CD - биссектриса
угла С.
3) Так как ∆АDC=∆BDC, то ADC=BDC. ADC и BDC – смежные
 ADC=BDC=90о  CD – высота треугольника. ■
«содержание»
14
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.6. (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС, ∆А1В1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1
Доказать: ∆АВС= ∆А1В1С1
Доказательство.
С
1) По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику
АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 отноА
В сительно прямой А1В1 (рис.17).
С1
2) Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1, ни на луче В1С1.
3) Пусть D – середина отрезка С1С2
(рис.18).
4) АС=А1С1 по условию;
А1
В1 АС=А1С2, так как ∆АВС= =∆А1В1С2 
Рис.16
А1С1=А1С2  ∆А1С1С2 – равнобедренный с основанием С1С2  медиана А1D
является и высотой, то есть А1DC1C2.
С1
С2
5) ВС=В1С1 по условию;
ВС=В1С2, так как ∆АВС= =∆А1В1С2. 
В1С1=В1С2  ∆В1С1С2 – равнобедренный с основанием С1С2  медиана В1D
А1
В1 является и высотой, то есть В1DC1C2.
6) Получили, что через точку D провеРис.17
дены две прямые A1D и В1D, перпендикулярные прямой С1С2, но это невозможно. Мы пришли к противоречию.
15
С1
А1
В1
Рис.18
16
С2
Значит, точка С2 лежит на луче А1С1
либо на луче В1С1. Тогда по аксиоме откладывания отрезков точка С2 совпадает
с точкой С1 (смотри доказательство теорем 3.1. и 3.2.). Получили, что треугольники А1В1С2 и А1В1С1 совпадают.
Так
как
∆А1В1С2=∆АВС,
то
и
∆А1В1С1=∆АВС. Что и требовалось доказать. ■
«содержание»
17
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Очень важная информация.
У равностороннего треугольника все углы равны.
Треугольник равнобедренный, если медиана, проведенная к
основанию, является высотой.
Треугольник равнобедренный, если высота, проведенная к основанию, является биссектрисой.
Треугольник равнобедренный, если биссектриса, проведенная
из вершины, противолежащей основанию, является медианой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из
вершины, противолежащей основанию, является медианой и
высотой.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и биссектрисой.
«содержание»
18
§4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ.
Определение. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой,
параллельной данной.
Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Дано: a||c, b||c
Доказать: a||b
Доказательство.
Допустим, что прямые a и b не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке С (рис.19). Значит, через точку С
b
a
c
Рис.19
проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит,
наше предположение неверно, и a||b.■
В
А
Определение. Если точки В и D лежат в
одной полуплоскости относительно
прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними односторонними
(рис.20).
С
D
Рис.20
В
А
С
D
Определение. Если точки В и D лежат в
разных полуплоскостях относительно
прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими
(рис.21).
Рис.21.
Если внутренние накрест лежащие углы одной
пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже
19
равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равны
180о. Обратно, если сумма внутренних односторонних углов одной
пары равна 180о, то сумма внутренних односторонних углов другой
пары тоже равна 180о, а внутренние накрест лежащие углы каждой
пары равны.
Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180о, то прямые параллельны.
a
с
Дано: прямые а и b, секущая с,
1 3
1) 1 и 2, 3и4 – внутренние накрест
4 2
лежащие, 1=2, 3=4;
b
2) 2 и 3 – внутренние односторонние,
2+3=180о.
Рис. 22.
Доказать: а||b
Доказательство.
c
а
I. 1=2
1 3
1) Допустим, что прямые а и b не параллельны; следовательно, они пере4 2
секаются в некоторой точке С (рис.23).
С
b 2) Отложим на продолжении отрезка
СА отрезок AD, равный отрезку ВС, а
Рис.23.
на продолжении отрезка СВ отметим какую-нибудь точку Е (рис.24).
3) ВАС=АВD по первому признаку равенства треугольников, так
как у них:
1. АВ – общая сторона;
2. СВА=DAB по условию (1=2)
с Е а
3. AD=BC по построению.
В
4) Из равенства треугольников следует, что AВD=BAC, а по условию
С
b BAC=АВЕ (3=4). Таким обраА
D
зом, ABD=ВАС.
Рис. 24
5) Так как BAC и DAB смежные, то
о
BAC+ DAB=180 . Заменив углы в данном равенстве равными им
углами, получим: АВD+CBA=180о. А АВD+ +CBA=СВD, то
20
есть СВD=180о. Но точки С, В и D не лежат на одной прямой, поэтому СВD<180о. Получили противоречие. Следовательно, предположение о том, что прямые а и b пересекаются неверно, и а||b.
II. 2+3=180о
Если сумма внутренних односторонних углов при прямых а и b
и секущей с равна 180о, то внутренние накрест лежащие углы равны.
Значит, по доказанному выше а||b.■
Следствие 1 из теоремы
ей, параллельны.
с
а
1
2
b
3
Рис.25
4.2. Две прямые, перпендикулярные третьЕсли у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов,
которые называются соответственными углами данных прямых и секущей.
Углы 2 и 3 на рисунке 25 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3
соответственные.
Следствие 2 из теоремы 4.2. Прямые параллельны, если соответственные углы равны.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
Теорема 4.3. (обратная теореме 4.2.) Если две параллельные
прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180о.
с
Дано: а||b, с – секущая
а
А
Доказать: 1=3, 1+2=180о.
1
Доказательство.
b
2 3
1) Для угла 3 построим равный ему и внутВ
ренний накрест лежащий с ним угол ВАС,
Рис. 26.
равный углу 3 (рис. 27).
2) Дополним луч АС до прямой а1.
21
С
а
А с
3) 3 и ВАС внутренние накрест лежащие
при прямых а1 и b и секущей с. Так как они
равны, то по признаку параллельности прямых (теорема 4.2) a1||b.
1
а1
2 3
b
B
Рис.27.
А так как через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой b, то прямые а и а1 совпадают. Значит, ВАС совпадает с углом 1. А так как ВАС равен углу 3, то и 1=3.
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних
односторонних углов равна 180о, то есть 1+2=180о.■
Следствие из теоремы 4.3. Если прямая перпендикулярна одной из
параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
«содержание»
22
А
А
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180о.
В
Дано: АВС
Доказать: А+В+С=180о
Доказательство.
1) Проведем через вершину В прямую,
параллельную прямой АС. Отметим на
С
ней точку D так, чтобы точки А и D лежаРис.28.
ли по разные стороны от прямой ВС (рис.
29).
2) С=СВD, так как они внутренние
В
D
накрест лежащие углы при параллельных
прямых BD и АС и секущей ВС (по теореме 4.3.).
3) А+АВD=180о, так как они внутренС ние односторонние углы при параллельных прямых BD и АС и секущей АВ.
Рис. 29.
4) АВD=В+СВD=В+С.
Значит, равенство А+ АВD=180о примет вид:
А+В+С=180о. Что и требовалось доказать.■
Следствие из теоремы 4.4. У любого треугольника хотя бы два угла
острые.
Определение. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника
при этой вершине.
Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.
В
Дано: АВС, ВСD – внешний угол
треугольника.
Доказать: ВСD=А+В.
Доказательство.
1) Так как сумма углов треугольника
А
С
D
равна 180о, то А+В=180о - С.
Рис.30.
23
2) Так как ВСD и С – смежные, то ВСD=180о - С.
Правые части этих равенств равны, поэтому ВСD=А+В. ■
Следствие из теоремы 4.5. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
Определение. Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
У прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два
других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90о.
«содержание»
24
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
I. (Признак равенства по гипотенузе и острому углу).Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В
В1
Дано: АВС, А1В1С1, С=С1=90О,
АВ=А1В1, А=А1.
Доказать: АВС= А1В1С1
Доказательство.
АВС= А1В1С1 по первому признаку
равенства треугольников, так как у
А
С А1
С1
них:
Рис.31.
О
1) С=С1=90 ;
2) АВ=А1В1 – по условию;
3) А=А1 – по условию.■
II.(Признак равенства по катету и противолежащему углу).
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и противолежащему
углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: АВС, А1В1С1, С=С1=90О, ВС=В1С1, А=А1.
Доказать: АВС= А1В1С1
В
В1
Доказательство.
1) Пусть А=А1=, тогда В=В1=90о-;
2) С=С1=90О
3) ВС=В1С1 – по условию.
Следовательно, АВС= А1В1С1 по второму
признаку равенства треугольников.■
А
С А1
С1
Рис.32
III. (Признак равенства по двум катетам). Если два катета
одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум
катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.
25
Дано: АВС, А1В1С1, С=С1=90О, ВС=В1С1, АС=А1С1.
Доказать: АВС= А1В1С1
Доказательство.
АВС=А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников,
так как у них:
1) С=С1=90О;
2) ВС=В1С1 – по условию;
3) АС=А1С1 – по условию.■
IV. (Признак равенства по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого треугольника, то такие
треугольники равны.
В
В1
Дано: АВС, А1В1С1, С=С1=90О,
АС=А1С1, АВ=А1В1.
Доказать: АВС= А1В1С1
Доказательство.
1) На продолжении стороны АС отложим
А
С А1
С1 отрезок CD, равный АС (рис.34).
2) АВС=DBC по двум катетам, так как
Рис.33
у них: 1. ВС – общий катет;
В
2. АС=СD – по построению.
Из равенства треугольников следует равенство
сторон: АВ=DВ.
3) На продолжении стороны А1С1 отложим отрезок C1D1, равный А1С1 (рис.35).
4) А1В1С1=D1B1C1 по двум катетам, так как
А
С
D
у них: 1. В1С1 – общий катет;
Рис.34.
2. А1С1=С1D1 – по построению.
В1
Из равенства треугольников следует равенство сторон: А1В1=D1В1.
5) Так как АВ=DВ, А1В1=D1В1 и АВ=А1В1, то
DB=D1B1.
А1
26
С1
D1
Рис.35
6) АВD=А1В1D1 по третьему признаку равенства треугольников, так
как у них:
1. АВ=А1В1 - по условию;
2. DB=D1B1 – по доказанному;
3. АD=A1D1, так как АС=СD= А1С1=С1D1.
Из равенства этих треугольников следует равенство их углов:
А=А1.
7) Наконец, АВС=А1В1С1 по первому признаку равенства треугольников, так как у них:
1. АВ=А1В1 – по условию;
2. АС=А1С1 – по условию;
3. А=А1 – по доказанному.■
«содержание»
27
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПРЯМОЙ
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется
отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из
своих концов их точку пересечения.
Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только
один.
Дано: прямая а, Аа
Доказать: 1) из точки А можно опустить перпендикуляр АВ к прямой
а;
2) перпендикуляр АВ единственный.
Доказательство.
А
I. Существование.
1) Отметим на прямой а точку С и проведем
через неё прямую с, перпендикулярную прямой
а (рис.37)
а
2) Через точку А проведем прямую b, паралРис.36.
лельную прямой с, которая пересечет прямую а
в точке В.
А
с
3)Прямая а перпендикулярна прямой с, а
значит, перпендикулярна и прямой b, параллельной прямой с. Тогда по определеа
В
С
нию перпендикуляра отрезок АВ - перпендикуляр к прямой а.
b
II. Единственность.
Рис.37.
Допустим, что из точки А к прямой а можно
опустить еще один перпендикуляр АС
А
(рис.38). Тогда в треугольнике АВС будет
два прямых угла, а это невозможно. Значит,
наше предположение неверно, и перпендиа
В С
куляр АВ единственный.■
Рис.38.
Определение. Длина перпендикуляра, опущенного из данной
точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
28
Определение. Расстоянием между параллельными прямыми
называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Очень важная информация.
1. У равностороннего треугольника все углы равны 60о.
2. Если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных
прямых, то она пересекает и другую.
3. Две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами
перпендикулярны.
4. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60о,
то этот треугольник равносторонний.
5. В прямоугольном треугольнике с углом 30о катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
6. Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
«содержание»
29
§5. ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется описанной около треугольника, если
она проходит через все его вершины.
Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно
к нему, называется серединным перпендикуляром.
Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
B
О E
A
C
Дано: ∆АВС, О – центр описанной
окружности
Доказать: О – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Доказательство.
Рис.39.
1) ОА и ОС – радиусы окружности, поэтому ОА=ОС. Значит, ∆АОС
равнобедренный. Медиана OD этого треугольника является его высотой, то есть OD является серединным перпендикуляром к стороне АС.
2) Аналогично доказывается, что отрезки ОЕ и ОК являются серединными перпендикулярами.■
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно
к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Данная точка окружности называется точкой касания.
30
Окружность, которая касается всех сторон треугольника, называется вписанной в треугольник.
Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис.
С
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, E, D, F – точки касания.
Е
F
Доказать: О – точка пересечения биссектрис
O
треугольника АВС.
Доказательство.
A
D
B
Рис.40.
1) Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и
катету, так как у них: 1. АО – общая гипотенуза
2. Катеты OD и ОЕ равны как радиусы.
2) Из равенства этих треугольников следует равенство углов OAD и
ОАЕ, то есть АО является биссектрисой угла А.
3) Аналогично доказывается, что ВО и СО также являются биссектрисами углов В и С соответственно. Значит, точка О является точкой
пересечения биссектрис треугольника. ■
Очень важная информация.
1. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
2. Центр окружности, описанной около равностороннего треугольника, и центр окружности, вписанной в этот треугольник,
совпадают.
3. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы
«содержание»
31
§6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Определение. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны
лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а
соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника.
Вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из
его сторон, называются соседними. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины,
называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего
конца, называются противолежащими сторонами.
Сумма длин всех сторон четырехугольника называется периметром.
«содержание»
32
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
Теорема 6.1. (признак параллелограмма) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
В
С
Дано: АВСD – четырехугольник, АС и
О
ВD пересекаются в точке О, АО=ОС,
ВО=ОD.
Доказать: ABCD – параллелограмм
А
D
Рис.41
1) ∆AOD=∆COB по первому признаку равенства
треугольников, т.к. у них:
1. AOD=COB как вертикальные;
2. АО=ОС по условию;
3. ВО=OD по условию.
2) Из равенства треугольников следует, что ADО=CВO, а они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AD и ВС
и секущей АС. По признаку параллельности прямых прямые AD и ВС
параллельны.
3) Аналогично, ∆AOВ=∆COD  AВО=CDO  АВ||CD.
4) Так как противолежащие стороны четырехугольника ABCD параллельны, то по определению он – параллелограмм. ■
Теорема 6.2. Диагонали параллелограмма пересекаются и
точкой пересечения делятся пополам.
Дано: АВСD – параллелограмм
С1
Доказать: АСBD в точке О: АО=ОС, ВО=ОD
В
С
Доказательство.
1) Пусть О – середина BD. На продолжении АО
отложим отрезок ОС1, равный АО.
2) По теореме 6.1. ABC1D – параллелограмм,
А
D
поэтому ВС1 || AD, DC || AB.
Рис.42
33
3) Получили, что через точку В проходят две
прямые ВС1 и ВС, параллельные прямой AD, но через точку В можно
провести только одну такую прямую. Значит, прямая ВС1 совпадает с
прямой ВС.
4) A через точку D проходят также две прямые DС1 и DС, параллельные прямой AD, что невозможно, поэтому прямая DC1 совпадает с
прямой DC. Значит, точка С1 совпадает с точкой С. Параллелограмм
ABC1D совпадает с параллелограммом ABCD. Поэтому его диагонали
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. ■
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны
равны, противолежащие углы равны.
Дано: ABCD – параллелограмм
Доказать: АВ=CD, BC=AD, A=C, B=D.
Доказательство.
1) ∆ABD=∆CDB по стороне и прилежащим к
ней углам, так как у них:
1. сторона BD общая;
2. ABD=CDB как внутренние накрест леА
D
жащие при параллельных прямых AB и CD и
Рис.43
секущей BD.
3. ADВ=CВD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.
2) Из равенства этих треугольников получаем, что АВ=CD, BC=AD,
A=C.
3) Равенство углов В и D следует из равенства треугольников АВС и
CDA (по трем сторонам). У них:
1. АВ=CD по доказанному,
2. BC=AD по доказанному,
3. АС общая сторона.■
В
С
«содержание»
34
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Определение. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
1) все углы прямые;
2) противолежащие стороны равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
4) Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.
В
С
Дано: ABCD – прямоугольник
Доказать: АС=BD
Доказательство.
А
D
∆BAD=∆ABC по двум сторонам и углу
Рис.44
между ними, так как у них:
1. АВ общая сторона,
2. ВС=АD как противолежащие стороны
3. АВС=ВАD=90о.
Из равенства треугольников следует равенство их сторон АС и BD.■
«содержание»
35
РОМБ
Определение. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
1) все стороны равны;
2) противолежащие углы равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4) Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В
Дано: АВСD – ромб
Доказать: 1) АС  ВD
2) АС – биссектриса углов А и С,
ВD – биссектриса углов В и D.
А
О C
Доказательство.
1) Так как у ромба все стороны равны, то
∆ABC равнобедренный.
D
2) Так как диагонали ромба точкой пересечеРис.45
ния делятся пополам, то АО=ОС. Значит, ВО – это медиана треугольника АВС.
3) Так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является биссектрисой и высотой, то ВО  АС и ВО – биссектриса угла АВС. Значит, BD  АС и ВD – биссектриса угла В ромба.
4) Аналогично доказывается, что диагонали являются биссектрисами
остальных углов ромба. ■
«содержание»
36
КВАДРАТ
Определение. Квадрат – это прямоугольник, у которого все
стороны равны. Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.
Свойства квадрата:
1. Все углы прямые.
2. Все стороны равны.
3. Диагонали равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
5. Диагонали перпендикулярны.
6. Диагонали являются биссектрисами углов квадрата.
«содержание»
37
Очень важная информация.
Признаки параллелограмма:
1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то
он является параллелограммом.
Признаки прямоугольника:
1. Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
2. Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
3. Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Признаки ромба:
1. Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он
является ромбом.
2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его
углов, то он является ромбом.
3. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является
ромбом.
Признаки квадрата:
1. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.
2. Если диагонали ромба равны, то он является квадратом.
38
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6. (теорема Фалеса). Если параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его
стороне.
Дано: (ab), с1 || c2 || c3 || c4,
A
АА1=А1А2=А2А3=А3А4
Доказать: АВ1=В1В2=В2В3=В3В4
c1 A1
B1 F
Доказательство.
c2 A2
B2
1) Через точку В2 проведем прямую
c3 A3
E
B3
d || a, которая пересечет прямую с1
A4
B4 c4 в точке F, а прямую с3 – в точке Е.
Тогда четырехугольники А1А2В2F и
а
d
b
А2А3ЕВ2 – параллелограммы.
Рис.46
2) У параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому
А1А2=FB2, А2А3=B2E. Так как А1А2= А2А3, то FB2= B2E.
3) Рассмотрим треугольники B1B2F и В3В2Е. У них:
1. FB2= B2E по доказанному,
2. B1B2F= B3B2E как вертикальные,
3.  В1FB2=  B2EВ3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых с1 и с3 и секущей d.
Значит,  B1B2F = В3В2Е по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, и соответствующие стороны у них равны, т.е.
В1В2=В2В3.
Аналогично доказывается и равенство остальных отрезков.■
Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла
можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет
тем же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и
отсекающие на одной из них равные отрезки, отсекают равные
отрезки и на другой прямой.
«содержание»
39
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна
ее половине.
Дано: АВС
С
Построить: среднюю линию: DАС, ЕВС
АВ
Доказать: DE||АВ, DE=
.
2
А
В
Доказательство.
Рис.47
1) Отметим точку D – середину стороны АС и проС
ведем через неё прямую а || АВ. a  ВС в точке Е.
D
E
a 2) Так как AD=CD и а || АВ, то по теореме Фалеса
ВЕ=СЕ, то есть Е – середина стороны ВС и отрезок
А
В DE – средняя линия треугольника АВС.
Рис.48
3) Так как прямая а параллельна стороне АВ, а отС
резок DE лежит на прямой а, DE||АВ.
4) Проведем среднюю линию EF, где F – середина
E
a
D
А
В стороны АВ. Тогда по доказанному выше EF||AC
F
АВ
 ADEF – параллелограмм  DE=AF=
.■
2
Рис.49
«содержание»
40
ТРАПЕЦИЯ
Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.
ABCD – трапеция
В
С
BC || AD, BC и AD – основания,
AB и CD – боковые стороны.
А
D
Рис.50
Определение. Трапеция, у которой боковые стороны равны,
называется равнобокой.
Определение. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Дано: ABCD – трапеция, EF – средняя линия.
В
C
Доказать: 1) EF || BC, EF || AD;
E
F
BC  AD
2) EF=
.
А
D
2
Рис.51
Доказательство.
В
C
1) Через вершину В и середину F стороE
F
ны CD проведем прямую ВF. ВFAD в
А
D
К точке К.
Рис.52
2) BCF=KDF по II признаку равенства
треугольников, так как у них:
1. CF=FD, так как F – середина CD;
2. BCF=KDF, так как они являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей CD;
3. BFС=KFD, как вертикальные.
3) BCF=KDF  BF=FK  EF – средняя линия АВК  по теореме
АК
6.7 EF || АК и EF=
.
2
4) EF || АК и ADАК  EF || AD, EF || BC.
АК AD  DK AD  BC


5) BCF=KDF  BC=DК. EF=
.■
2
2
2
41
Очень важная информация.
1. У равнобокой трапеции углы при основании равны.
2. Высотой трапеции называется расстояние между её основаниями.
3. Теорема 6.9. (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от
сторон угла пропорциональные отрезки.
С1
В1
А
В
ВВ1||CC1, тогда
АВ АВ1

АС АС1
С
Рис.53
4. Любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся
в отношении 2:1, считая от вершины
5. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
42
§7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
КОСИНУС УГЛА
Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Дано: АВС, А1В1С1, С=С1=90о, А=А1
В
Доказать: cosА= cosА1
Доказательство.
АС
АС
1) cosА=
, cosА1= 1 1 . Следовательно,
АВ
А1 В1
С
А
А1
АС А1С1
нам надо доказать, что
.

АВ А1 В1
В2
С2
1) На стороне А1С1 А1В1С1 отложим отрезок
В1
С1 А1С2= АС, на стороне А1В1 – отрезок А1В2=АВ
Рис.54
2) АВС=А1В2С2 по первому признаку равенства треугольников, так как у них:
1. А1С2= АС – по построению,
2. А1В2=АВ – по построению,
3. А=А1 – по условию.
3) АВС=А1В2С2   А1С2 В2=С=90о  С2 В2 || А1С1. Значит, по
АС
АВ
теореме о пропорциональных отрезках (теорема 6.9) 1 2  1 2 .
А1С1 А1 В1
АС
АС
Воспользовавшись свойством пропорции, получим 1 2  1 1 .
А1 В2 А1 В1
АС А1С1
Учитывая, что А1С2= АС и А1В2=АВ, имеем
.■

АВ А1 В1
«содержание»
43
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теорема 7.2. (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: АВС, С=90о.
В
Доказать: АВ2=АС2+ВС2
Доказательство.
1) В АВС проведем высоту CD.
D
АС
2) В АВС:
cosA=
,.
АВ
С
А
АD
в АВD: cosA=
.
Рис.55
АC
АС АD
Так как косинусы равных углов равны, то
=
.
АВ АC
Отсюда АВ  АD  AC 2 (1).
ВС
ВD
3) В АВС: cosB=
, в СВD: cosВ=
.
АВ
ВC
ВС ВD
Так как косинусы равных углов равны, то
=
.
АВ ВC
Отсюда АВ  ВD  ВC 2 (2).
4) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим:
АВ  АD  АВ  ВD  AC 2  BC 2  AB  ( AD  BD )  AC 2  BC 2 
 AB  AB  AC 2  BC 2  AB 2  AC 2  BC 2 .■
Следствия из теоремы Пифагора.
1) В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
2) cos <1 для любого угла .
Теорема, обратная теореме Пифагора. Если треугольник имеет стороны а, b, с и а2+b2=c2, то у него угол, противолежащий
стороне с, прямой.
44
А
С
В
Рис.56
А1
С1
Рис.57
В1
Дано: АВС, АС=b, ВС=а, АВ=с,
а2+b2=c2
Доказать: АВС – прямоугольный
Доказательство.
1) Построим прямоугольный треугольник А1В1С1, у которого А1С1=b, В1С1=а,
С1=90о
2) По теореме Пифагора
А1 В12  В1С12  А1С12  a 2  b 2  c 2 .
А1В1=с. Значит, АВС= А1В1С1 по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, АВС – тоже прямоугольный. ■
«содержание»
45
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется
отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из
своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется
основанием перпендикуляра.
Определение. Наклонной, проведенной из данной точки к
данной прямой, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к прямой, с одним концом в данной точке, а другим – на
прямой. Конец отрезка, лежащий на прямой, называется основанием
наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и
наклонной, проведенных из одной точки, называется проекцией
наклонной.
А
В
С
а
АВ – перпендикуляр к прямой а.
АС – наклонная.
Точка В – основание перпендикуляра, точка С - основание
наклонной.
ВС – проекция наклонной.
Рис.58
Следствие 3 из теоремы Пифагора: если к прямой из одной
точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная
больше перпендикуляра и своей проекции, равные наклонные имеют
равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция
больше, большая наклонная имеет большую проекцию.
«содержание»
46
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 7.3 (неравенство треугольника). Каковы бы ни были
три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не
больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Дано: точки А, В, С
Доказать: АВ  АС+ВС, АС  АВ+ВС, ВС  АВ+АС
Доказательство.
I случай. Точки лежат на одной прямой.
Тогда по аксиоме измерения отрезков
АС=АВ+ВС. Следовательно, AB < AC и BC
А
В
С
< AC  AB< AC+ВС и BC< AC+АВ.
Рис.59
Все три условия выполняются.
II случай. Точки не лежат на одной прямой. Тогда эти точки являются
вершинами треугольника АВС.
1) Опустим перпендикуляр CD на прямую
С
АВ. Тогда ADС и BDС - прямоугольные.
2) По следствию 1 из теоремы Пифагора
AD<AC, BD<BC.
В
А
3) Так как DАВ, то по доказанному выше
D
в случае I АВАD+ВD<AC+BC.
Рис.60
Итак, AB< AC+ВС.
4) Опуская перпендикуляры из точек А и В на прямые, содержащие
стороны ВС и АС соответственно, аналогично доказываются неравенства BC< AC+АВ и АС < АВ+ВС. ■
Из II случая можно сделать вывод, что в любом треугольнике
каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
«содержание»
47
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
АВС – прямоугольный, С=90о, А=,
А

В=
AC
BC
cos  
, cos  
;
AB
AB
BC
AC
sin  
, sin  
;

AB
AB
С
В
BC
AC
tg 
, tg 
.
Рис.61
AC
BC
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90о,
то =90о - . Из определений синуса и косинуса острого угла следует,
что sin   cos  , cos   sin  , то есть sin(90о - )=cos , cos(90о )=sin .
Теорема 7.4. Для любого острого угла  sin(90о - )=cos ,
о
cos(90 - )=sin ..
Основные тригонометрические тождества:
sin 2   cos 2   1;
sin 
tg 
;
cos 
1
1  tg 2 
;
cos 2 
1
1
1 2 
.
tg  sin 2 
48
Докажем эти тождества.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
А
АВС, у которого С=90о, А=.

По теореме Пифагора АС2+ВС2= АВ2.
1) Разделим обе части этого равенства на АВ2.
Получим:
2
2
АС 2 ВС 2
 АС   ВС 

1 
 
  1.
2
2
АВ
АВ
 АВ   АВ 
С
В
АС
BC
 cos  ,
 sin  поэтому получим, что
Рис.62
АВ
AB
sin 2   cos 2   1 .
BC
2) По определению tg 
. Разделим числитель и знаменатель
AC
ВС
sin 
дроби на АВ, тогда tg  АВ 
.
АС cos 
АВ
3) Обе части тождества sin 2   cos 2   1 разделим на cos2. Полу1
sin 2 
1
1 
чим,
, или 1  tg 2 
.
2
2
cos 2 
cos 
cos 
4) Если обе части тождества sin 2   cos 2   1 разделить на sin2, то
получим четвертое тождество:
1
1
cos 2 
1
1
1
.■
1

, 1
, 1 2 

2
2
2
2
sin  sin 
tg  sin 2 
sin  sin 
cos 2 
«содержание»
49
СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА УГЛА
Синус и тангенс угла, так же как и косинус, зависят только от
величины угла.
Доказательство.
В теореме 7.1 мы уже доказали, что косинус угла зависит только от величины угла. Из тождества sin 2   cos 2   1 имеем, что
sin 2   1  cos 2  . Значит, синус угла зависит от его косинуса, то есть
только от величины угла.
sin 
Из тождества tg 
видно, что тангенс угла зависит от его сиcos 
нуса и косинуса, то есть зависит тоже только от величины угла. ■
Теорема 7.5. При возрастании острого угла sin и tg возрастают, а cos убывает.
Дано: (аb)=, (bc)=,  < 
а
Доказать: sin<sin, tg<tg, cos>cos
D с
Доказательство.
1) Через точку В на луче b проведем прямую,
С
b
перпендикулярную b, которая пересечет лучи
с и а в точках С и D соответственно.
А
В
2) Так как  < , то ВС<BD. ВС и BD –
Рис.63
Проекции наклонных АС и АD, проведенных
из точки А к прямой BD. По свойству наклонных АС < АD.
AB
AB
AB AB
, cos  

3) cos  
. Так как АС < АD, то
, то есть
AC
AD
AC AD
cos>cos.
BC
BD
BC BD
, tg 

4) tg 
. Так как ВС<BD, то
, то есть
AB
AB
AB AB
tg<tg.
5) sin 2   1  cos 2  , sin 2   1  cos 2  .
cos>cos  1  cos 2  < 1 cos 2   sin 2  < sin 2   sin<sin.■
«содержание»
50
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА
УГЛОВ 30о, 45о и 60о
30о
45о
60о

1
3
1
2

sin
2
2
2
2
3
2
cos
1
tg
3

1
2
3
3

1
2
2
1
2
3
1) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с
катетом а. А=В=45о.
По
теореме
Пифагора
В
2
2
2
2
2
2
АВ =АС +ВС =а +а =2а . АВ= а 2 .
BC
a
1
2
;
sin 45 o 



а
AB a 2
2
2
AC
a
1
2
;



AB a 2
2
2
С
а
А
BC a
Рис.64
tg 45 o 
  1.
AC a
2) Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем высоту BD и получим прямоугольный треугольник ABD, в коа
тором А=60о,  ABD=30о, АВ=а, AD= .
В
2
По теореме Пифагора BD2=AB2– AD2=
2
30о
а 3
а 2 3а 2
а
 а2     а2 

, BD=
.
2
4
4
2
cos 45 o 
45о
А
60о
D
Рис.65
С
51
AD a
1
 :a  ;
AB 2
2
BD a 3
3
cos 30 o 

:a 
;
AB
2
2
AD a a 3
1
3
tg 30 o 
 :


.
BD 2 2
3
3
sin 30 o 
BD a 3
3

:a 
;
AB
2
2
AD a
1
cos 60 o 
 :a  ;
AB 2
2
BD a 3 a
tg 60 o 

:  3.
AD
2 2
sin 60 o 
Очень важная информация.
1. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. называется египетским.
а 3
2. Высота равностороннего треугольника со стороной а равна
.
2
3. cos <1, sin <1 для любого острого угла .
4. В треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
5. Если диагонали четырехугольника пересекаются, то сумма их длин
меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
6. Любая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
«содержание»
52
ГЕОМЕТРИЯ
(теоремы и доказательства)
7 класс
Авторы-составители
Мансур Гафурович Габитов,
Лилия Мударисовна Габитова,
2008
53