Электродинамика – краткие ответы на вопросы

Вопросы к зачету и экзамену по курсу “Классическая электродинамика”
Приведенные ниже ответы не являются полными, а скорее служат для пояснения вопроса. При
подготовке ограничиваться этими ответами нельзя, а следует использовать лекции и приведенную
ниже литературу.
1. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. “Теория поля”.
2. Савельев И.В. “Основы теоретической физики.”
На зачете возможны короткие вопросы на понимание предмета, на экзамене задачи аналогичные
разобранным на семинаре.
1. Принцип относительности и конечность скорости распространения взаимодействия.
Для описания процессов, происходящих в природе, необходима система отсчета. Системой
отсчета называется система координат и связанные с ней часы. Система отсчета, в которой
свободное (не подверженное воздействию внешних сил) движение тел происходит с постоянной
скоростью, называется инерциальной.
Принцип относительности утверждает, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных
системах отсчета.
Опыт показывает, что скорость распространения взаимодействия не превышает некоторого
предела, то есть является конечной. Из принципа относительности следует, что эта максимальная
скорость является одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.
Объединение принципа относительности с конечностью скорости распространения
взаимодействия дает новый принцип: принцип относительности Эйнштейна.
2. События, четырехмерное пространство событий, мировая точка, мировая линия.
Событие определяется местом, где оно произошло и временем, когда оно произошло. Введем
обозначения: x 0  ct , x1  x, x 2  y, x 3  z , где t, x, y, z - время и пространственные декартовы
координаты события. Тогда совокупность точек
x , x , x , x 
0
1
2
3
называется четырехмерным
пространством событий. Каждая точка этого пространства называется мировой точкой, а каждой
физической частице соответствует мировая линия.
3. Интервал, его инвариантность, пространство Минковского.


  ~x  x  

Рассмотрим два события с координатами x 0 , x1 , x 2 , x 3 , ~
x 0, ~
x 1, ~
x 2, ~
x 3 . Величина, равная

s ~
x 0  x0
  ~x
2
1
 
2
 x1  ~
x 2  x2
2
1/ 2
3 2
3
называется интервалом между двумя этими событиями. Для двух бесконечно близких событий
интервал определяется выражением
       dx 
2
2
ds 2  dx 0  dx1  dx 2
2
3 2
 c 2 dt   dx   dy   dz 
2
2
2
2
x i  x i  dx i , i  0,1,2,3 .
где ~
Если пару событий рассматривать в двух инерциальных системах K , K  , то соответствующие
интервалы равны
   dx   dx   dx  ,
ds 2  dx 0
2
1 2
2 2
3 2

ds 2  dx0
  dx   dx   dx 
2
1 2
2 2
3 2
А из инвариантности максимальной скорости распространения следует инвариантность интервала
ds 2  ds  2
Инвариантность интервала среди всевозможных четырехмерных пространств выделяет
пространство Минковского.
Пространством Минковского называют псевдоевклидово
пространство
соотношением
x , x , x , x  с расстоянием между двумя точками (метрикой), определяемой
ds  dx   dx   dx   dx  . Пространство событий, удовлетворяющее
0
2
1
2
0 2
3
1 2
2 2
3 2
принципу относительности Эйнштейна является пространством Минковского.
4. Преобразования Галилея и преобразования Лоренца.
Пусть
t, x, y, z  и t , x, y, z координаты
одного и того жесобытия в двух инерциальных
системах отсчета K , K  , причем соответствующие пространственные оси систем параллельны и
система K  движется относительно системы K со скоростью V вдоль оси x .
Преобразование координат вида
x  x  Vt , y  y , z  z , t  t 
называется преобразованием Галилея. Это преобразование координат и времени в
нерелятивистской физике (то есть для скоростей много меньших максимальной скорости
распространения взаимодействия) . Уравнение, которое имеет одинаковый вида в переменных
t, x, y, z  и t , x, y, z называется инвариантным относительно преобразований Галилея.
Преобразование координат вида
V
x
c 2 , x  x  Vt  , y  y , z  z 
t
V2
V2
1 2
1 2
c
c
t 
называется преобразованием Лоренца. Это преобразование координат и времени в релятивистской
физике (то есть для любых скоростей). Уравнение, которое имеет одинаковый вида в переменных
t, x, y, z  и t , x, y, z в этом случае называется инвариантным относительно преобразований
Лоренца или релятивистски инвариантным.
В четырехмерных обозначениях преобразования Лоренца выглядят так
x0 
V 1
V
x
x1  x0
c
c
, x1 
, x 2  x 2 , x 3  x 3
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
x 0 
5. Общие преобразования Лоренца.
С физической точки зрения преобразования Лоренца описывают преобразование координат
события при переходе от одной инерциальной системы координат к другой инерциальной системе
координат. С математической точки зрения это наиболее общий тип линейного преобразования,
затрагивающего только координаты x 0 , x1
x0 
V 1
V
x
x1  x0
c
c
, x
, x 2  x 2 , x 3  x3
2
2
V
V
1 2
1 2
c
c
x 0 
   dx   dx   dx  .
и сохраняющего псевдоевклидово расстояние ds 2  dx 0
2
1 2
2 2
3 2
Такие
преобразования можно назвать вращениями в плоскости x 0 , x1 . В матричном виде преобразования
Лоренца задаются формулой
где
 x0   
 1 
 x   
 x2    0
  
 x3   0
  
V
  , 
c
 0 0   x0 
  
 0 0   x1 
0
0
1
V2
1 2
c

1 0   x 2 
  
0 1   x3 
.
Такие
преобразования
иногда
называют
также
чистыми
преобразованиями Лоренца или бустами. Если к бустам добавить обычные пространственные
повороты в плоскостях
 x , x ,  x , x ,  x , x 
1
2
2
3
1
3
и их комбинации, а также отражения, то
получим общие преобразования Лоренца. Например, поворот в плоскости
 x , x  на
1
2
угол
 задается формулой
0
 x0   1
 1 
 x   0 cos 
 x 2    0 sin 
  
 x3   0
0
  
0   x 0 
  
0   x1 

0   x 2 
  
1   x3 
0
 sin 
cos 
0
Общие преобразования Лоренца являются наиболее общими линейными преобразованиями,
сохранящими псевдоевклидово расстояние. Далее общие преобразования Лоренца будем называть
просто как преобразования Лоренца.
6. Четырехмерные векторы и тензоры.
Совокупность величин
A , A , A , A  ,
0
1
2
3
которая при преобразованиях системы координат
x , x , x , x  называется
0
преобразуется также как координаты события
1
2
3
контравариантными
компонентами четырехмерного вектора, или коротко 4-вектором. При этом A0 -называются


временной компонентой, а A  A1 , A2 , A3 пространственными компонентами, при этом часто
используют запись вида:

Ai  A0 , A

Наряду с контравариантными компонентами вводят ковариантные компоненты формулами:
A0  A0 , A1   A1 , A2   A 2 , A3   A 4 ,



Ai  A0 , A , Ai  A0 ,A

Квадрат величины (длина в квадрате) записывается в виде свертки:
   A   A   A 
Ai Ai  A0 A0  A1 A1  A2 A2  A3 A3  A0
2
1 2
2 2
3 2
Контравариантным четырехмерным тензором второго ранга называется совокупность 16-величин
Aik , которая при преобразованиях системы координат преобразуется как произведения компонент
x i x k . Аналогично определяются тензора бролее высоких рангов, ковариантные и смешанные
тензора. Поднимание и опускание индексов осущес твляется с помощью метрического тензора
Ai  g ik Ak , Ai  g ik A k ,
1 0 0 0 


 0 1 0 0 
ik
g  g ik  
0 0 1 0 


 0 0 0  1


7. Физические величины, являющиеся 4-векторами и 4-тензорами.
Четырехмерными векторами являются:
Радиус-вектор
4-скорость
4-импульс

x i  x 0 , x1 , x 2 , x 3



dx i  1
i
u 

,
2
ds 
v
 1 
c
c2



 mc
i
i
p  mcu  
,
2
v
 1 
c2




2 
v
1  2 
c 

 
mv 

v2 
1 2 
c 

v




dx 
fv
f
i
4-сила
g 

,
2
ds  2
v
v2
 c 1 
c
1

c2
c2


Ai   , A
4-потенциал электромагнитного поля

4-плотность тока
j i  c , j
1   
i  
, 
4-оператор Гамильтона
 c t

i
 








4-тензор электромагнитного поля
 0

k
i
 Ex

A

A
F ik 


E
xi xk
 y
E
 z
 Ex
0
Bz
 Ey
 Bz
0
 By
Bx
 Ez 

By 
 Bx 

0 
8. Уравнения динамики.
Уравнения динамики в трехмерной форме
d
dt
mv
1
v2
c2

 f
Уравнения динамики в четырехмерной форме



du i
dx i  1
v
i
i
mc
g, u 

,
2
ds
ds 
v
v2
 1 
c 1 2
c2
c







dx i 
fv
f

i
,
, g  ds  
2
v
v2
2

 c 1 
c 1 2
c2
c








Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле в трехмерной форме
d
dt
 e 
 eE  v  B
c
v2
1 2
c
mv
В четырехмерной форме
mc
du i e ik
 F uk
ds c
9. Уравнения Максвелла (первая и вторая пары) в трехмерной форме.

 
1 B
 E  
,
c t

 
1 E 4 
 B  

j,
c t
c
 
B  0
 
  E  4
10. Уравнения Максвелла в четырехмерной форме.
F ik F li F kl


0
xl
xk
xi
 ik
4 i
F 
j
k
x
c
11. Уравнения Даламбера и калибровочная инавриантность.
Введем потенциалы электромагнитного поля
  
B    A,


1 A 
E
 
c t
Для потенциалов из уравнения Максвелла получаем уравнения

1 2 
 Δ  2 2    4πρ
c t 


1 2  
4π 
 Δ  2 2  A  
j
c
c t 

 1
  0.
c t
если дополнительно на потенциалы наложить условие A 
В четырехмерной форме эти уравнения записываются так
4 i
~
 2 Ai 
j
c
  
Физические величины B    A,


1 A 
E
  не изменятся, если потенциалы подвергнуть
c t
преобразованию


A  A  f ,
  
1 f
c t
где f произвольная (дифференцируемая) функция. Это свойство называется калибровочной
инвариантностью. Оно позволяет накладывать дополнительное условие на потенциалы с целью
упрощения уравнений.
12. Основные уравнения электростатики и их общее решение в бесконечном пространстве.
Уравнения электростатики получаются, если в общих уравнениях Максвелла частные
производные по времени и плотность тока положить равными нулю:
 
  E  0,
 
  E  4
Первое уравнение позволяет ввести потенциал

E     grad
Тогда второе уравнение дает уравнение
  4
которое называется уравнением Пуассона.
Фундаментальное значение имеет уравнение для потенциала точечного заряда
  4

где  r  -дельта функция. Прямой проверкой показывается, что его решение есть
 q
 r  
r
Это решение называется фундаментальным и позволяет написать общий вид решения уравнения
Пуассона для произвольной плотности





 r d 3 r   r d 3 r 
 r         
r r
r  r
V
S

Первый интеграл описывает вклад объемного заряда с плотностью  r  и называется
ньютоновским потенциалом. Второй интеграл описывает вклад поверхностных зарядов с

плотностью  r  и называется поверхностным потенциалом.
Используя связь потенциала и напряженности поля, получаем уравнение
  

  

 
 r r  r d 3 r   r r  r d 3 r 
E r   

  3
  3
r r
r  r
V
S
Две последние формулы дают решение прямой задачи электростатики в бесконечном
пространстве (определение поля по распределению заряда).
13. Прямые задачи электростатики в ограниченном пространстве.
Если пространство ограничено, то для определения единственного решения уравнения Пуассона
необходимо указать граничное условие. Различают две задачи.
Задача Дирихле (на границе задан потенциал)
  4,

 S  f r ,

r D

r S
где D -область, в которой поставлена задача, а S -ее граница.
Задача Неймана (на границе задана нормальная производная потенциала)

  4, r  D



 f r , r  S
n S
Обе задачи имеют единственное решение.
14. Мультипольное разложение.
На расстояниях от системы точечных зарядов ea , много больших размеров системы, потенциал

можно представить в виде сумму (разлагая в ряд Тейлора по малым ra ):




 r     a    0  r    1 r    2  r   ...
a
где

 r  
0 

 1 r  

 2  r  
e
a
a

r
 pk xk
k
r3
e
r  ra
Q
( Q -полный заряд или мультиполь нулевого порядка),
r
( pk 
e x
a
ak
-дипольный момент или мультиполь первого порядка),
a
1 Qkm  3xk xm

  km 

3 
2
6 k ,m r  r

( Qkm 
 e 3x
a
ak

xam  ra2 km -квадрупольный момент или
a
мультиполь второго порядка).
15. Некоторые методы решения задач электростатики.
Метод изображений.
Пусть сформулирована задача электростатики, в которой на некоторой поверхности задан
постоянный потенциал. Тогда к реально существующим зарядам добавляются заряды
изображения, величина которых и расположение подбираются так, чтобы в новой задачи
указанная поверхность имела заданный потенциал. Примеры отражение в плоскости, отражение в
сфере и так далее.
Метод инверсии.
К методу изображений близок метод инверсии, который основан на математической теореме об
инверсии. Пусть r, ,  есть потенциал системы зарядов qi расположенных в точках со
сферическими координатами ri ,  i , i . Тогда

a  a2
r , ,    , , 
r  r

есть потенциал системы зарядов qi 
a
a2
qi , расположенных в точках с координатами
, i ,  i .
ri
ri
Здесь a -некоторое действительное число.
Теорема взаимности.
Пусть имеется система точечных зарядов e1 , e2 ... . Тогда потенциалы каждого заряда равны
i  
k i
ek
rik
Пусть далее имеется другая система зарядов e1 , e2 ... , в тех же точках. Тогда потенциалы равны
 i  
k i
ek
rik
Умножим первое равенство на ei , второе на ei , оба просуммируем и вычтем одно из другого В
результате получим
 e   e  
i
i
i
i
i
i
Нетрудно обобщить эту теорему и на неточечные проводники:
Если на проводниках 1,2... при зарядах e1 , e2 ... ,потенциалы равны
1 , 2 ... , а при
зарядах e1 , e2 ... ,потенциалы равны 1, 2 ... ,тогда выполняется соотношение
 e   e  
i
i
i
i
i
i
16. Уравнения Лапласа в декартовой, цилиндрической и полярной системах координат.
Уравнением Лапласа называется уравнение
  0
то есть это уравнение для потенциала при равной нулю плотности заряда.
Методом разделения переменных получается общий вид решения этого уравнения в различных
системах координат.
В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид
 
 2  2  2


0
x 2 y 2 z 2
В цилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет вид
 
1     1  2   2 



0
      2  2 z 2
В сферической системе координат уравнение Лапласа имеет вид
 
1   2  
1
 
 
1
 2
r

sin


0




  r 2 sin 2   2
r 2 r  r  r 2 sin   
17. Уравнения теории для постоянных токов, граничные условия для токов.


 0 , но j  0 . Из уравнений Максвелла получаем
t


rotE  0
divB  0
 4 

rotB 
j divE  4
c
В токостатике
Отсюда следуют основные уравнения токостатики

0
t

divj  0,
Для постоянной удельной проводимости эти уравнения эквиалентны

divE  0,

0
t
Граничные условия для токов имеют вид
 1 En1   1 En1 , Et1  Et 2
jn1  jn 2 , Et1  Et 2 
Задача токостатики в виде

divE  0,  1En1   1En1 , Et1  Et 2
Аналогична задаче электростатики .
18. Сопротивление, законы Ома и Джоуля-Ленца.




Закон Ома j  E , E  j , I  GU , U  RI , R  1 / G,

Зокон Джоуля Ленца w  j E ,
N  IU  RI 2 
R  L / S
U2
R
Законы Кирхгофа
 I
i
 0,   Ri I i    E i
i
i
i
19. Уравнения векторного потенциала постоянных токов и его решение.


  1 j r 
4 
A  
j  Ar    
dV 
c
c V r  r
20. Закон Био-Саварра-Лапласа.





  1 j r, r  r
  I dl r, r  r 
Br      3 dV , Br   
  3 dV ,
c V r  r
cV
r  r
21. Магнитное поле системы токов, мультипольное разложение, магнитный момент.
 
  
  m
, r    3nmn   m
Ar   3 , Br  
,
r
r3


 r
n ,
r

 1  
 IS
m   r , j r  dV , m 
2c V
c


 вектор нормали к контуру с током.
22. Электрические и магнитные поля в веществе.
Вещество состоит из микроскопических заряженных частиц, движение которых создает
микроскопические токи. По этой причине истинные электрические и магнитные поля быстро
меняются на межатомных расстояниях, то есть их зависимость от координат очень сложная. Эти
быстрые изменения можно исключить процедурой усреднения по физически малому объему V :
 1 
 1 
E   EmicrodV , H   | H microdV
VV
VV
Эти усредненные поля называются макроскопическими, именно оеи входят в макроскопические
уравнения Максвелла

 
 
1 B
 E  
,
B  0
c t

 
 
1 D 4 
 H  

j ,   E  4
c t
c

 


Здесь D  E , B  H ,  , j - плотность свободных зарядов и плотность свободных токов.

 
 
Отметим пары аналогичных величин: E  B, E  D  H .
23. Энергия, закон сохранения энергии, поток энергии, импульс поля.
 
ED  BH
Плотность энергии w 
.
8


c  
1  
E , H . Импульс поля P 
E, H
Вектор Пойнтинга S 
4
4c


w
 divS   j E
Закон сохранения
t




24. Монохроматические, плоские, однородные волны.
Являются решением волновых уравнений


   2 E
   2 H
E  2
 0, H  2
0
c t 2
c t 2



 

 
 2
E r , t   E0 exp i k r   t , H r , t   E0 exp i k r   t , k 2  2
c
c
Фазовая скорость v 
.





25. Дифференциальные операции с плоскими волнами, поляризация и связь амплитуд.
Для плоских волн дифференциальные операции сводятся к алгебраическим
 
 
 
 


divA  i k , A , rotA  i k , A

 


Поляризация задается амплитудами E0 , H 0 . Вектора k , E0 , H 0 -образуют правую тройку взаимно
ортогональных векторов. Уравнения Максвелла дают связь:


 
 
k , E0  H 0 ,
c


E0
 
H0

 
 
k , H 0   E0 ,
c


26. Волны в проводящих средах, скин эффект.
Обобщенное волновое уравнение:


   2 E 4 E
E  2
 2
0
c t 2
c
t
Решение в виде монохроматической, плоской однородной волны
 


2
E r , t   E0 exp iqr   t , q 2  2
c
4 
4 

2
1  i
  k 1  i

 
 


 4 
1 1 


  
q  q  q1  iq 2 , q1  k
,
2
 4 
1 1 

  
q1  k
2
2
27. Неоднородные волны в прямоугольном волноводе.



ТЕ-волны E z  0, H  exp i  t   z  :
2H z 2H z


 k 2 H z  0, k 2  k 2   2  2   2
2
2
x
y
c
2
π m  π n 
H z  H 0 cos
x  cos
y  exp i  t   z 
 a   b 


ТМ-волны H z  0, E  exp i t   z  :
2
 2 Ez  2 Ez


 k 2 E z  0, k 2  k 2   2  2   2
2
2
x
y
c
2
π m  π n 
E z  E0 sin 
x  sin 
y  exp i t   z 
 a   b 
28. Отражение и преломление плоских волн на плоской границе двух сред.
Граничные условия условия: E1t  E2t , H1t  H 2t .
Доказать, что из наличия падающей волны следует наличие отраженной и прошедшей.
Доказать, что волновые вектора всех трех волн лежат в одной плоскости.
Доказать равенство углов падения и отражения.
Доказать соотношение для углов падения и прохождения.
Формулы Френеля (без вывода):
tg    
sin   
Ap
Rs 
As
tg    
sin   
2 sin  cos 
2 sin  cos 
Ds 
As
Dp 
Ap
sin     cos   
sin   









где E пад  Ap  As , E отр  R p  Rs , E прош  D p  Ds ,  , -углы падения и прохождения.
Rp 
29. Пояснить возникновение угла Брюстера, угла полного внутреннего отражения.
30. Уравнения для потенциалов при наличии зарядов и токов, запаздывающие потенциалы.



1  2 r , t 
 r , t   2
 4r , t ,
2
c
t
 

r  r 


  r , t 

c

 dV ,
 r , t      
r  r
V
 
 
1  2 Ar , t 
4  
Ar , t   2


j r , t 
c
t 2
c
 
 
r  r 


j  r , t 

 
c
1
 dV 
Ar , t      
cV
r  r
31. Потенциалы Лиенара-Вихерта.


 
ev t 
Rt 
, Rt   r  r0 t , t  
t
 
c

v t Rt  

c Rt  

c





r -радиус-вектор точки наблюдения, r0 -радиус-вектор движущегося заряда, v -скорость.

 r , t  
e
  ,
v t Rt 
Rt  
c

 r , t  
32. Поле системы зарядов на далеких расстояниях, излучение электромагнитных волн.


 

1 
r nr  
1  
r nr  
 r , t      r , t  
Ar , t    j  r , t  
dV ,
dV 
rV 
c c 
cr V 
c c 
 
n  r / r . После интегрирования получаем
 r 
 r
f t  
a
t  
 

c
c

 r , t  
,
Ar , t   
r
r
Прямой подстановкой можно проверить, что эти функции являются решением однородных
волновых уравнений


1  2 r , t 
 r , t   2
 0,
c
t 2
 
 
1  2 Ar , t 
Ar , t   2
0
c
t 2
Они называются расхлдящимися сферическими волнами.
33. Дипольное, квадрупольное и магнито-дипольное излучение.
Дальнейшее разложение подинтегрального выражения в уравнении

 
1  
r nr  

Ar , t    j  r , t  
dV 
cr V 
c c 

nr
r
Разложение по
приводит к последовательным членам разложения. Обозначим t   t  .
c
c

nr
Нулевой порядок по
дает дипольное излучение:
c

 
 
 

 
d t 
1 
1

Ar , t  
, H r , t   2 d t , n , E r , t   2  d t , n , n 



 


cr
c r
c r 

nr
Первый порядок по
дает квадрупольное и магнитодипольное излучение:
c
 

 
 1    1     
D
m , n




Ar , t   2 

H  A, n , E 
A, n , n

 
cr
6c r
c 
c 
 
 
1  1  
1  1      
, n , n 
H r , t   2  D
,n  m
D , n , n  n, m 
, E r , t   2 
c r  6c
c r  6c


 
    
   