ББК 88

Одной из наиболее важных и актуальных задач в обучении математике
является развитие математического мышления учащихся и формирование у
них общих и системно-структурных математических представлений, умений
в решении задач и доказательстве теорем.
В рамках личностной цели обучения математике на ступени общего
образования реализуется внутренне-процессуальная компетенция, которая
относится к группе личностно-развивающих компетенций. Личностная цель
изучения математике предполагает:
 интеллектуальное развитие учащихся;
 формирование качеств математического мышления;
 формирование
качеств,
необходимых
для
продуктивной
жизнедеятельности.
Некоторые из качеств математической деятельности во внутреннем
плане личности формируются и в системе других дисциплин, то есть
являются
общепредметными
(качества
познавательной
деятельности).
Помимо них существуют и предполагаются к формированию специфические
качества, необходимые для математической деятельности.
Другими словами, к концу обучения в школе у учащихся на достаточно
высоком
уровне
должны
быть
сформированы
высшие
внутренние
психологические процессы.
Внутренне-процессуальная компетенция связана со становлением этих
внутренних
психологических
процессов,
а
именно
математического
мышления и математической памяти.
Эти процессы неразрывно связаны друг с другом. Ведь развитие
математического мышления порождает развитие математической памяти, то
есть мышление выступает как средство формирования памяти.
Формирование мышления происходит в процессе обучения не только
математике, но и многим другим учебным дисциплинам, в процессе всего
процесса обучения. Однако, стоит отметить, что уроки математики играет
самую важную роль в формировании мышления. Поэтому необходимо дать
четкое определение тому мышлению, что формируется исключительно на
уроках математики.
Математическое мышление – это, во-первых, абстрактное мышление в
системе математических понятий (абстрактных, идеализированных), вовторых, логическое мышление в системе логических операций, правил
логического
вывода,
геометрических
в-третьих,
мышление
функциональных,
в
системе
алгебраических,
числовых,
пространственных,
метрических образов в содержании соответственных математических теорий,
в-четвертых, это сочетание интуитивного и алгоритмического методов
структурирования
субъектной
деятельности,
в-пятых,
мышление
в
математику содержательной или логико-символических формах, и наконец
это
мышлении,
выстроенное
в
процедурах
доказательства
свойств
математических объектов.
Если хотя бы один элемент из совокупности компонентов не
формируется или формируется не достаточно, то говорить о полноценном
развитии математического мышления нельзя.
Как и в любом мышлении, в математическом мышлении можно
выделить три основных уровня: наглядно-действенное, наглядно-образное и
словесно-логическое мышление. В рамках же компетентностного подхода
необходимо добавить в этот список еще два уровня:
1. Системно-структурное
мышление
связано
со
системно-
структурными представлениями класса объектов, их свойств и
теории в целом.
2. Методологическое
мышление,
связанное
с
различными
способами (методами) представления теории.
Каждый из перечисленных уровней будет формироваться на основе
предыдущего.
Другими
словами
для
полноценного
формирования
математического мышления должны быть сформированы все перечисленные
уровни математического мышления.
2
Отечественный психолог П. Я. Гальперин предложил свою теорию
развития мышления, которую он назвал теорией планомерного (поэтапного)
формирования умственных действий. Эта теория представляет процесс
постепенного
превращения
внешних,
практических
действий
с
материальными предметами во внутренние, умственные действия с
понятиями. Использование этой теории обеспечит планомерное развитие
мышления у школьников.
Кроме того, в психологии вводится закон связи мышления с памятью.
Память человека на высших уровнях ее развития тесным образом связана с
мышлением человека. Другими словами, чем больше обдумывать над
запоминаемым материалом, тем лучше и быстрее данный материал
запоминается.
Получаем, что математическое мышление и математическая память два
нераздельных
компонента
успешного
выполнения
математической
деятельности, а точнее говоря, мышление есть средство становления памяти.
Математическая память - способность учащихся в запоминании
конкретных данных, методов решения задач и доказательства теорем, а так
же общих представлений о структуре той или иной теории.
Уровни структурирования математической памяти.
 Память в форме практических представлений.
 Память в форме обобщенно-конкретной внешней речи.
 Память во внутреннем обобщенно-теоретическом плане.
Методология формирования компетенций определяется системой ее
критериальных признаков.
1. Представления (начальные и итоговые).
2. Опыт деятельности.
3. Рефлексия деятельности.
4. Целостность
представлений,
опыта
деятельности,
рефлексии, интеграция в различных теориях в форме
картины мира.
3
С каждой из компетенций связывается определенная деятельность, в
данном
случае
определенная
математическая
деятельность
по
формированию:
 системы понятий и определений;
 методов решения задач;
 методов доказательства теорем;
 представлений о структуре теорий.
Выделим четыре типа математического мышления различающиеся
объектами мышления.
1. Образное мышление, объектом которого является образ.
2. Содержательно-понятийное
мышление,
объектом
которого
является система понятий.
3. Системно-структурное мышление, объектом которого является
теория.
4. Методологическое мышление, объектом которого является
модель.
Следует различать также четыре вида математической памяти.
1. Память на определенные классы объектов.
2. Память на свойства определенного класса объектов (теоремы и
методы их доказательства).
3. Память на классы задач и обобщенные способы решения.
4. Память на системно-структурное представление теории.
Основной методологией формирования внутренне-процессуальной
компетенции является методика матричного формирования, представленная
в виде следующей таблицы.
4
Память на
Память на
Память на
Память на
определе
свойства
классы задач и
системно-
нные
определенного
обобщенные
структурное
классы
класса
способы
представление
объектов.
объектов
решения
теории.
Образное
Содержательнопонятийное
Системноструктурное
Методологическое
На пересечении строк и столбцов учитель должен расположить те виды
деятельности, в которых формируются данные виды памяти и мышления в
рамках одной конкретной теории. Данная таблица справедлива для каждой из
математических теорий.
Рассмотрим данную модель на примере теории числовых систем.
1. Образное мышление.
 Память на определенные классы объектов.
 Геометрическая запись числа.
 Систематическая запись числа (образ составного и простого
натуральных чисел).
 Построение числа по избытку и недостатку.
 Образы операций (сложение, вычитание, умножение, деление)
в различных представлениях числа.
 Образы отношений (меньше, больше и другие).
 Память на свойства определенного класса объектов (теоремы и
методы их доказательства).
 Теорема о систематической записи натурального числа
(доказательство существования и единственности).
5
 Теорема о разложении натуральных чисел в произведение
простых
чисел
(доказательство
существования
и
единственности).
 Теорема о делении числа с остатком
(доказательство
существования и единственности).
 Теорема о вычислении НОД с помощью алгоритма Евклида
(аналитический).
 Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде
конечной десятичной (аналитический).
 Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде
бесконечной десятичной (метод математической индукции).
 Теорема
об
иррациональности
числа
2
(метод
от
противного).
 Теорема о несчетности множества R (конструктивный).
 Память на классы задач и обобщенные способы решения.
 Сложение и умножение многозначных натуральных чисел.
 Деление целых чисел с остатком.
 Вычисление НОД и НОК целых чисел.
 Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
 Операции над обыкновенными дробями.
 Операции над десятичными дробями.
 Приближение
иррационального
числа
рациональными
операциями над действительными числами.
 Память на системно-структурное представление теории.
Образ числа
Свойства класса чисел
Образ операции
6
Класс задач
Образ отношений
 Общие представления о натуральных числах, их свойствах и
свойствах арифметических операций. Признаки делимости.
Деление с остатком. Обыкновенные и десятичные дроби.
Бесконечные периодические десятичные дроби и их связь с
обыкновенными
дробями.
Координатный
луч.
Первые
представления о степени числа (квадрат и куб числа). Первые
представления о приближенных вычислениях (округления
чисел).
 Положительные
и
отрицательные
числа.
Множество
рациональных чисел. Свойства арифметических операций над
рациональными числами. Модуль рационального числа.
Отношение порядка во множестве рациональных чисел.
Координатная прямая. Числовые промежутки. Степени с
натуральными показателями, их свойства.
 Алгебраические выражения над множеством рациональных
чисел. Степень с нулевым показателем.
 Обобщение
представлений
о
рациональных
числах.
Иррациональные числа. Множество действительных чисел.
Арифметические операции над действительными числами и их
свойства. Числовая прямая. Модуль действительного числа,
его свойства и геометрический смысл ( x  a как расстояние на
координатной прямой между точками x и a). Числовые
неравенства и их свойства. Степень с отрицательным целым
показателем.
Стандартный
вид
числа.
Приближенные
вычисления. Операция извлечения квадратного корня из
неотрицательного числа и ее свойства.
7
 Операция извлечения корня n-й степени из числа, степени с
рациональными показателями и их свойства. Понятие о
степени
с
иррациональным
показателем.
Степень
с
произвольным действительным показателем.
2. Содержательно-понятийное мышление.
 Память на определенные классы объектов.
 Модели чисел.
 < N; +, · > есть полукольцо.
 Кольцом целых чисел есть наименьшее кольцо < Z;+,· >,
содержащее систему (полукольцо) натуральных чисел < N;
+, ·> в качестве алгебраической подсистемы.
 Поле рациональных чисел есть наименьшее поле < Q; +, · >,
содержащее кольцо < Z; +, · > целых чисел в качестве
подкольца.
 Поле действительных чисел есть полное архимедовски
упорядоченное поле < R; +, · >, содержащее поле < Q; +, · >
рациональных чисел в качестве подполя.
 Операции.
 Сложением называется бинарная операция «+», заданная на
множестве N и удовлетворяющая двум условиям (аксиомы
сложения): 1) x  1  x' ; 2) x  y '  ( x  y )'.
 Умножением называется бинарная операция «·», заданная
на множестве N и удовлетворяющая двум условиям
(аксиомы умножения): 1) x  1  x; 2) x  y '  x  y  x.
 Разностью двух целых чисел x и y называется новое целое
число, обозначаемое x  y такое, что ( x  y )  y  x .
8
 Частным от деления двух рациональных чисел a и b (b  0)
называется новое рациональное число, обозначаемое
a
,
b
a
b
такое, что ( )  b  a .
 Возведение в степень с натуральном показателем есть
бинарная операция, обозначаемая a n  a  ...  a (n раз).
 Модулем
рационального
числа
называется
 x, если x  0
| x | 
.
 x, если  x  0
1. Отношения.
 Отношение порядка в N: x < y ⇔ (∃z)(x + z = y), x ≤ y ⇔
x<y  v x=y.
 Бинарное отношение порядка в Z «<» : x < y ⇔ y − x ∈ N.
 Бинарное отношение порядка в Q «<»:
a c

⇔ ad  bc.
b d
 Память на свойства определенного класса объектов (теоремы и
методы
их
доказательства).
Все
теоремы
доказываются
аналитическим методом.
 Множество N:
 Т. 1. (x)( x'  x).
 Т. 2. (x)( x  1  (y )( x  y ' )).
 Т. 3. (x, y, z )[(x  y)  z  x  (y  z)].
 Т. 4. (x, y )[x  y  y  x].
 Т. 5. (x, y)( x  y  x).
 Т. 6. (x, y ) выполняется одно и только одно из условий:
1) (x  y); 2) (u)(x  y  u); 3) (k)(y  x  k)
 Т. 7. (x, y, u )(x  u  y  u  x  y).
 Т. 8. (x, y, z )((x  y)  z  x  z  y  z) , (x, y, z )(x  (y  z)  x  y  x  z).
 Т. 9. (x, y )(x  y  y  x).
9
 Т. 10. (x, y, z )((x  y)  z  x  ( y  z)).
 Т. 11. (x, y ) выполняется одно и только одно из условий:
1) (x  y); 2) (x  y); 3) (y  x)
 Т. 12. (x, y, z )(x  y)  x  z  y  z.
 Т. 13. (x, y, z )(x  y)  x  z  y  z.
 Т. 14. (x)(y )(z )( x  z  y ).
 Т. 15. (x, y, z ) : 1) 1  x); 2) x  y  x  1  y; 3) x  y  1  x  y;
4)x  z  x  1  z  x  z  x  1.
 Множество Z:
 Т. 16. (x, y, z )(( x  y)  ( x  z  y  z )).
 Т. 17. (x, y, z )(( x  y, z  0  x  z  y  z )  ( x  y, z  0 
 x  z  y  z )).
 Т. 18. (x, y, z )(( x  z  y  z, z  0  x  y)  ( x  z  y  z, z  0 
 x  y )).
 Т. 19. (x)[( u )(u  x  (t )(u  t  x  y  u  t  x))  (v)( x  v 
 (t )( x  t  v  t  x  t  v))].
 Т. 20. (x  N )(y  Z )(z  N )( x  z  y).
 Множество Q:
 Т. 21. 1) |  x || x |; 2) | x  y || x |  | y |; 3) | x  y || x |  | y |;
4) | y | x   x  y  x .
 Т. 22. (x, y)( x  y  (t )( x  t  y)).
 Т. 23. (x)(y  0)(n  N )( n  y  x).
 Память на классы задач и обобщенные способы решения.
 Сложение и умножение многозначных натуральных чисел.
 Деление целых чисел с остатком.
 Вычисление НОД и НОК целых чисел.
 Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
 Операции над обыкновенными дробями.
10
 Операции над десятичными дробями.
 Приближение
иррационального
числа
рациональными
операциями над действительными числами.
 Память на системно-структурное представление теории.
Множество N
Аксиомы Пеано
Т. 1
Т. 2
Операция «+»
Операция «·»
Отношения
Т. 3 – Т. 7
Т. 8 – Т. 10
Т. 11 - Т.15
Расширение
Множество Z
Отношения
Расширение
Операция «-»
Множество Q
Отношения
11
Расширение
Операция «:»
Множество R
3. Системно-структурное мышление.
 Память на определенные классы объектов.
Натуральное число
Положительные десятичные дроби
Рациональное число в их десятичной записи
Рациональные числа вида
p
q
Целые и дробные, положительные и отрицательные
Действительные числа
12
Рациональные числа
Целые числа
Иррациональные числа
Дробные числа (положительные и отрицательные)
Натуральное число
Целые отр числа
Десятичные дроби
Отрицательные десятичные
дроби
Обыкновенные дроби и
дроби им противоположные
 Память на свойства определенного класса объектов (теоремы и
методы их доказательства).
Свойства натуральных чисел
Свойства целых чисел
Свойства рациональных чисел
Свойства действительных чисел
 Память на классы задач и обобщенные способы решения.
Сложение и умножение многозначных натуральных чисел.
Деление целых чисел с остатком.
Вычисление НОД и НОК целых чисел.
13
Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
Операции над обыкновенными дробями.
Операции над десятичными дробями.
Приближение иррационального числа рациональными операциями над
действительными числами.
 Память на системно-структурное представление теории.
Число
Операция
Отношение
Модель
1) Натуральное
1) «+»
Эквивалентности
1) Предметная
2) Целое
2) «*»
Рефлексивность
2) Графическая
3) Рациональное
3) «-»
Антирефлексивность
4) Иррациональное
4) «:»
Симметричность
5) Действительное
3) Символическая
Антисимметричность
Транзитивность
Асимметричность
Классы задач
Свойства для каждого
класса
4. Методологическое мышление.
 Память на определенные классы объектов.
14
 Развитие
числовых
(обнаружения)
множеств
новых
путем
возможностей
добавления
математических
исследований.
 Аксиоматическое построение числовых множеств в рамках
анализа оснований математики (аксиомы Пеано, теория
Дедекинда и так далее).
 Память на свойства определенного класса объектов (теоремы и
методы их доказательства).

Доказательство
проходит
на
основе
свойств
(теорем)
доказанных в предыдущем числовом множестве.
 Свойства каждой системы доказываются в соответствии с
исходной системой аксиом.
 Память на классы задач и обобщенные способы решения.
 На базе системы свойств операций и отношений числового
множества исследуются классы математических задач. В этой
системе выделяются те задачи, которые в данной числовой
системе не имеют разрешения и возникает задача расширения
числового множества.
 Решение задач проходит в соответствии с системой аксиом, а
также теорем, непосредственно из них вытекающих.
 Память на системно-структурное представление теории.
 В новом числовом множестве расширяются все операции
предыдущего
операция,
числового
отражающая
множества
целевое
и
вводится
требование
новая
расширения
числового множества.
 Исследуются все операции на множестве как в отдельной, так
и в своей взаимной связи.
15
 Вводятся
множества
отношения
как
на
множестве
продолжение
элементов
отношений
нового
предыдущего
числового множества или как новое отношение.
 Изображение числового множества на числовой оси с учетом
вводимых отношений.
 Исследуются свойства отношений, в том числе и во взаимной
связи с операциями на множестве.
 На базе системы свойств операций и отношений исследуются
классы задач. В системе классов задач выделяются те задачи,
которые в данной числовой системе не имеют разрешения и
возникает задача расширения числового множества.
Компетентностный подход в образовании и в обучении математике в
частности является общей идеологии современности. При этом в дидактике
получили развитие общекультурные (ключевые) компетентности. Но
предметные компетенции при этом доминирует взгляд как на определенные
проекции
общекультурных
компетенций.
Практика
реализации
компетентностного подхода, реализованные в государственных стандартах
общего образования подтверждает, что такой подход дидактически неверен,
в
учебной
математической
деятельности
существуют
предметные
математические компетенции и необходимо дальнейшее рассмотрение
данного вопроса.
В результате систематической работы по формированию одной лишь
внутренне-процессуальной компетенции учебная деятельность учеников
активизируется, качество их знаний заметно повысится, что уж говорить обо
всех.
Однако,
необходимо
дальнейший
предметных компетенций.
16
анализ
и
структурирование
Список литературы
1. Болотов, В. А. Компетентностная модель / В. А. Болотов, В. В.Сериков
// Педагогика. - 2003. – №10. – с. 8-14.
2. Гальперин, П. Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка:
учебник / П. Я. Гальперин. - М., 1985. – 45 с.
3. Горбачев, В. И. Теория и методика обучения и воспитания
(математике):
пособие
для
магистров
направления
«Физико-
математическое образование» педагогических университетов РФ. / В.
И. Горбачев – Брянск: РИО БГУ, 2008. -116 с.
17