Учитель:Челбаева Вера Александровна Высшая

Учитель:Челбаева
Вера Александровна
Высшая квалификационная категория
2015год
Алгебра и начала математического анализа.
1. Повторение «Производная и ее применение»
Определение 1. Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале,
содержащем внутри себя точку х0. Дадим аргументу приращение ∆х такое,
чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение
функции ∆у (при переходе от точки х0 к точке х0 + ∆х0) и составим
отношение ∆у. Если существует предел этого отношения при
∆х —> 0, то указанный предел называют производной функции у = f(x) в
точке х0 и обозначают f´(x0).
Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.
Если s = s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная
выражает мгновенную скорость в момент времени t:
Геометрический смысл производной состоит в
следующем. Если к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести
касательную, непараллельную оси у, то f(a) выражает
угловой коэффициент касательной:
Пример1. Найти производную функции
Решение. Здесь
. Воспользуемся алгоритмом нахождения
производной.
1)
Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что x≠0) имеем:
2)
В точке х + ∆х имеем:
(при этом предполагаем, что х
и х + ∆х — числа одного знака, чтобы в промежутке между х и х + ∆х
не оказалась точка 0).
3)
4)
5)
Ответ:
Формулы
Пример 2. Вычислить производные:
1)у=х5
Решение: у´=5х5-1=5х4; Ответ: у´=5х4
2) f(х)=х3(х-1)
Решение:
f´(x)=( х3(х-1))´= (х3) ´ (х-1)+ х3(х-1) ´=3х2(х-1)+х3(1-0)=3 х3- 3х2+ х3=
=4 х3- 3х2
Ответ:f´(x)=4x3-3x2
3) у=( х2+3х+1)5
Решение
у ´=(( х2+3х+1)5) ´=5( х2+3х+1)4( х2+3х+1) ´=5( х2+3х+1)4(2х+3)
y=f(a)+f´(a)(x-a)-уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке х=а(1)
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции
в точке х=1.
Решение.
В данном примере
1.а=1
2.f(a)= f(1)=1
3.
;
4. Подставим найденные числа а = 1, f(a) = 1, f(a) = -1 в формулу (1).
Получим: у = 1 - (х - 1), т. е. у = 2 - х.
Ответ: у = 2 - х.
Определение 2. Точку х = х0 называют точкой минимума функции
у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек
которой выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Определение 3. Точку х = х0 называют точкой максимума функции
у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек
которой выполняется неравенство f(x)< f(x0).
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X
выполняется неравенство f'(x) > 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не
выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),
то функция
у = f(x) возрастает на промежутке X.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X
выполняется неравенство f'(x) < О (причем равенство f'(x) = О
либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном
множестве точек), то функция у = f(x) убывает на промежутке X.
Теорема 3 . Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х0,
то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не
существует. Внутренние точки области определения функции, в
которых производная функции равна нулю- стационарные, а
внутренние точки области определения функции, в которых функция
непрерывна, но производная не существует, — критические.
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция
у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка
стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой
при х < х0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при х > х0 - неравенство
f'(x) > 0, то х = х0 — точка минимума функции у = f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой
при х < х0 выполняется неравенство f'(x) > 0, а при х > х0 — неравенство
f(x) < 0, то х = х0 — точка максимума функции у = f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней
и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то
в точке х0 экстремума нет.
Условная схема для знаков производной:
Алгоритм исследования непрерывной функции
у = f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные (f(x) = 0) и критические (f(x) не существует) точки
функции у = f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и
определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. На основании теорем 1, 2 и 4 сделать выводы о монотонности функции и о
ее точках экстремума.
Пример 1. Построить график функции
Решение
1. Введем обозначение:
функции: D(f) = (-∞; +∞).
2. Исследуем функцию на четность:
Найдем область определения
- нечетна. Значит, ее график
симметричен относительно начала координат, а потому начнем с
построения ветви графика при х > 0.
3. Найдем асимптоты. Вертикальной асимптоты нет. Для нахождения
горизонтальной асимптоты надо вычислить
4. Найдем стационарные и критические точки, точки
промежутки
монотонности
функции.
экстремума и
Имеем:
Производная всюду существует, значит, критических точек
у функции нет.
Стационарные точки найдем из соотношения у' = 0. Получаем:
1 - х2 = 0, откуда находим, что х = 1 или х = -1. Поскольку мы
договорились рассматривать лишь случай, когда х > 0, выберем значение
х=1. При х < 1 у' > 0, а при х > 1 у´ < 0. Значит, х = 1 -точка максимума
функции, причем
На промежутке [0; 1] функция возрастает, на промежутке
[1; +∞) функция убывает.
5. Составим таблицу значений функции при х>0
6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, соединив их
плавной кривой и учтя при этом, что
— точка
максимума и что у = 0 — горизонтальная асимптота, построим
ветвь искомого графика при х > 0. Добавив ветвь, симметричную
построенной относительно начала координат, получим весь график
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и
своего наибольшего, и своего наименьшего значений (эта теорема
доказывается в курсе высшей математики).
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может
достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри
отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений
непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а; b]
1. Найти производную f(x).
2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри
отрезка [а; b].
3. Вычислить значения функции у = f(x) в точках, отобранных на втором
шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет
унаим) и наибольшее (это будет унаиб).
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = х3 - Зх2 - 45х + 1:
а) на отрезке [-4; 6]; в) на отрезке [-2; 2].
б) на отрезке [0; 6];
Решение. Воспользуемся алгоритмом.
1) у' = Зх2 -6х- 45.
2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции
нет. Стационарные точки найдем из условия у' = 0. Имеем:
Зх2 - 6х - 45 = 0;
х2 - 2х - 15 = 0;
х1 = -3, х2 = 5.
Дальнейшие рассуждения зависят от указанного в условии отрезка.
а) Обе стационарные точки (и х = -3, и х = 5) принадлежат заданному отрезку
[-4; 6]. Значит, на третьем шаге мы составим такую таблицу значений
функции у = х3 - Зх2 – 45х + 1:
Таким образом, унаим = -174 (достигается в точке х = 5); унаиб = 82
(достигается в точке х = -3).
б) Отрезку [0; 6] принадлежит лишь одна из двух найденных стационарных
точек, а именно точка х = 5. Значит, составим такую таблицу значений
функции у = х3 - Зх2 - 45х + 1:
Таким образом, уиаим = -174 (достигается в точке х = 5); унаиб = 1
(достигается в точке х = 0).
в) Отрезку [-2; 2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек,
значит, достаточно вычислить значения функции в концевых точках: если х
= -2, то у = 71; если х = 2, то у = -93.
Таким образом, в этом случае унаим = -93, унаиб = 71.
Выполнить самостоятельно:
1. 1. Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х0, если
а)
х0 = 25.
в)
б)
г)
2. Найдите скорость изменения функции
а) у = 5х + 4; б) у = х – 2; в) у = 3х; г) у=4.
3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = g(x) в
точке с абсциссой х0, если
а) g(x) = cos x,
б) g(x)=Sin x,
4.
5.
в)
г) g(x)=
х0= 0,01
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
б)
13.
14.
15.
16.
17.
Литература:
1. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.
Часть 1. Учебник 10-11 класс. - Мнемоза. Москва 2009г.
2. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.
Часть 1. Задачник 10-11 класс. - Мнемоза. Москва 2009г
3. В.И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа.
11 класс. Контрольные работы. Мнемоза. Москва 2009г
4. Л.А. Александрова. Алгебра и начала математического анализа. 11
класс. Самостоятельные работы. Мнемоза. Москва 2009г
5. ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся.
Математика 2011. Интеллект-Центр. 2010.
6. Геометрия 10-11 класс. Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,
С.Б.Кадомцев и др. М., «Просвещение», 2009
7. Геометрия. Дидактические материалы.11 класс. М: просвещение 2008г.
8. Ф.Ф. Лысенко .Математика. Тематические тесты. Геометрия,
текстовые задачи. Легион-2010г.