1.Основы теории электрических и магнитных цепей

Новочеркасский ордена Трудового Красного Знамени
политехнический институт имени Серго Орджоникидзе
Конспект лекций по общей электротехнике
Основы теории электрических и магнитных цепей
Новочеркасск 2007
Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи.
1. Основные термины теории электрических цепей
Электрическая цепь – это модель электромагнитного устройства. Она представляется в виде элементов, соединенных проводами.
Предполагается, что изоляция проводов и поверхностей элементов цепи идеальна,
т.е. не пропускает ток и не накапливает эл. заряд. Сопротивлением проводов пренебрегают. Электрическое поле в пространстве, окружающем элементы цепи, считается безвихревым (потенциальным).
Многополюсником называется элемент эл. цепи, имеющий несколько выводов для
подключения к другим элементам цепи. Многополюсник называется активным, если
он содержит источники эл. энергии, иначе он называется пассивным.
Двухполюсником называется многополюсник с двумя выводами.
Вольт-амперной характеристикой двухполюсника (ВАХ) называется зависимость
напряжения и тока двухполюсника.
Двухполюсник называется линейным, если его ВАХ задается линейным уравнениt
1
du (t )
u (t )dt  i (0) ,
ем, например: u (t )  R i(t )  e(t ) , U  RI , i (t )  C
, i (t ) 
dt
L
0
u (t )  e(t ) , I  5 . Коэффициенты уравнения линейного двухполюсника могут зависеть от времени. Двухполюсник называется нелинейным, если его ВАХ нельзя задать
линейным уравнением.
Взаимная связь напряжений и токов многополюсника задается системой уравнений; для линейного многополюсника - системой линейных уравнений.
Эл. цепь называется линейной, если она состоит из линейных элементов. Все другие эл. цепи называются нелинейными.

Ветвью эл. цепи называется неразветвленное (последовательное) соединение
двухполюсников. Во всех элементах ветви течет один и тот же ток. В частном случае
ветвь может состоять из одного двухполюсника или из перемычки (из отрезка провода).
Узлом эл. цепи называется место соединения ветвей. На схемах узлы обозначаются точками. Несколько ветвей, подключенных к одной и той же паре узлов, называются
параллельными. К параллельным ветвям приложено одно и то же напряжение.
Контуром эл. цепи называется замкнутая линия, проходящая по элементам этой
цепи.
Замечание 1: Узел электрической цепи можно понимать
как множество концов ветвей, которые соединены между собой непосредственно или перемычками. Это удобно в том
случае, если нас не интересуют токи в самих перемычках.
Например, область, обведенную на рис. 1.1 пунктиром, можно считать узлом. В любом случае все концы ветвей, соединяющиеся в одном узле, имеют один и тот же электрический
потенциал.
Рис. 1.1.
Замечание 2: С помощью теории эл. цепей можно рассчитывать различные физические процессы, например, течение жидкостей по трубам и
пористым телам, распространение тепла в твердых телах, колебания в механических
системах и т.д.
1
2. Первый закон Кирхгофа
Ток - это направленное движение эл. зарядов. Ток через какую-либо поверхность
(например, через поперечное сечение провода) равен скорости переноса заряда через
эту поверхность. На каждой ветви схемы эл. цепи указывается стрелка тока. Она имеет
смысл направления вычисления тока. Ее еще называют условно-положительным
направлением тока.
Ток в проводе будет положительным, если электроны перемещаются противоположно стрелке тока. Ток в проводе будет отрицательным, если электроны перемещаются в направлении стрелки тока. Направление стрелки тока может быть выбрано произвольно. Если его изменить, ток поменяет знак.
Сформулируем 1-й закон Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в узле эл. цепи, равна нулю.
При этом токи, стрелка которых направлена к узлу, входят в сумму с дополнительным знаком минус:
N
 ik  0 .
k 1

Например, для узла на рис. 2.1 имеем:
i1  i2  i3  0 .
Рис. 2.1.
Смысл 1-го закона Кирхгофа состоит в том, что
сколько эл. заряда приходит к узлу эл. цепи, столько же
и уходит из него.
Замечание 1: Первый закон Кирхгофа допускает обобщение: сумма токов, пересекающих любую замкнутую поверхность, равна нулю. В случае, когда такая поверхность
охватывает узел эл. цепи, получаем приведенную выше формулировку закона.
Замечание 2: В первом законе Кирхгофа можно использовать и обратное правило знаков,
суммируя выходящие из узла токи с дополнительным знаком "минус".
Замечание 3: Движение свободных эл. зарядов называется током проводимости. Существует еще ток смещения, обусловленный движением связанных зарядов и изменением электрического поля во времени.
Замечание 4: Строго говоря, 1-й закон Кирхгофа – это приближенное равенство. Он не
учитывает перенос эл. заряда через изоляцию (токи утечки), а также токи, связанные с процессом накопления эл. заряда в области узла (токи смещения). Однако, по сравнению с токами в
проводах, токи утечки и токи смещения обычно очень малы. Случаи, когда их приходится принимать во внимание, выходят за пределы теории эл. цепей.
Замечание 5: Гидравлическая аналогия позволяет уподобить поток электронов в проводах потоку несжимаемой жидкости, а провода и прочие элементы цепи – трубкам и сосудам, по
которым эта жидкость течет. Ток утечки подобен просачиванию жидкости через мелкие трещины и поры трубок и сосудов; ток смещения – движению жидкости перпендикулярно стенкам
трубок и сосудов, когда такое движение обусловлено их небольшим растяжением и сжатием.
Если же трубки и сосуды без пор и трещин, и к тому же нерастяжимы, то сумма потоков жидкости в трубках, сходящихся в узле, равна нулю. Стрелка тока соответствует направлению вычисления потока жидкости.
2
3. Второй закон Кирхгофа.
Напряжение между двумя точками равно разности электрических потенциалов
этих точек. Порядок вычитания потенциалов определяет стрелка напряжения (рис. 3.1).
Ее направление выбирается произвольно или из соображений удобства.
Если записываются уравнения, в которые входят какие-либо напряжения, то на
схеме эл цепи должны быть указаны стрелки этих напряжений.
Рассмотрим контур abcdea в эл. цепи, изображенной на рис. 3.2. Очевидно, что
u1  u 2  u3  u 4  u5 
  a  b  b   c   c 
u   a  b
u  b   a
Рис. 3.1.
  d   d  e  e   a  0.
Такое суммирование потенциалов и напряжений возможно для любого контура любой эл. цепи.
Поэтому справедлив второй закон Кирхгофа:
Сумма напряжений в контуре эл. цепи равна нулю:
N
  uk
 0.
k 1
Напряжение входит в сумму с дополнительным
знаком "минус", если его стрелка ориентирована
противоположно направлению обхода контура.
Направление обхода контура выбирается произвольно.
Рис. 3.2.
Замечание 1: Если замкнутый контур не полностью проходит по ветвям цепи (например, как в случае на рис. 3.3), второй закон Кирхгофа все равно
выполняется: u 0  u 2  u 4  0.
Рис. 3.3.
Замечание 2: Стрелки напряжений и стрелки
токов пассивных двухполюсников обычно направляют в одну сторону. Поэтому у пассивных элементов на схемах часто указывают только стрелки токов.
Замечание 3: Второй закон Кирхгофа часто формулируется для случая контуров, состоящих только из резисторов и источников напряжения: в контуре эл. цепи сумма произведений
токов в резисторах на сопротивления этих резисторов равна сумме электродвижущих сил ис-
N
точников напряжения:
  i k Rk 
k 1
N
  ek . Однако, это лишь частное утверждение, вы-
k 1
текающее из приведенной выше формулировки.
3
Замечание 4: В общем случае напряжение определяется как работа электрического поля,
вычисленная по определенному пути:
b  
U ab   Edl
. В потенциальном поле напряжение не
a
зависит от пути интегрирования и может определяться как разность потенциалов.
Замечание 5: Строго говоря, второй закон Кирхгофа представляет собой приближенное
равенство, так как он не учитывает вихревую составляющую электрического поля. Она возникает в переменном магнитном поле вследствие явления электромагнитной индукции. При этом
напряжение нельзя считать разностью потенциалов. Однако, по сравнению с потенциальной,
вихревая составляющая эл. поля обычно очень мала. Случаи, когда ее нужно учитывать, выходят за пределы теории эл. цепей.
Замечание 6. Напряжение подобно перепаду давления в трубах и сосудах, по которым течет жидкость.
4
4. Основные элементы линейных электрических цепей.
Резистор – это двухполюсник, напряжение и ток которого связаны уравнением u  Ri , где R – сопротивление резистора, оно измеряется в омах (Ом). Резистор необратимо преобразует электромагнитную энергию в другие виды, в частности, в тепло. Мощность, потребляемая резистором, может быть вычислена по формулам:
u2
p  ui, p 
, p  i2R .
R
Иногда вместо сопротивления резистора в расчетах удобно рассматривать его
проводимость – величину, обратную сопротивлению: G 
1
. Единица измерения проR
водимости - сименс (См), или 1/Ом; См = 1/Ом.
Катушка индуктивности – это двухполюсник, мгновенные
значения напряжения и тока которого связаны уравнением
uL
di
, где L – индуктивность катушки. Единица измерения
dt
индуктивности - генри (Гн), Гн = Омс.
Катушка индуктивности запасает энергию электромагнитного поля в виде энергии магнитного поля и отдает ее обратно в цепь.
Ток в катушке невозможно изменить скачком. Быстрое изменение тока приводит
к появлению импульсов высокого напряжения, искр и электрической дуги, которые
могут быть опасны. Это нужно учитывать при переключениях в цепях, содержащих
большие индуктивности.
Как правило, катушка индуктивности состоит из медного провода, намотанного на каркас, внутри которого для усиления магнитного поля и увеличения индуктивности обычно помещается стальной или ферритовый сердечник.
Конденсатор – это двухполюсник, мгновенные значения напряжения и тока которого связаны уравнением i  C
du
, где С – емкость
dt
конденсатора. Единица измерения емкости - фарада (Ф), Ф = с/Ом. Конденсатор запасает энергию электромагнитного поля в виде энергии электрического поля и отдает ее
обратно в цепь.
Конденсатор не проводит постоянный ток. Напряжение на конденсаторе невозможно изменить скачком. После отключения источников питания на конденсаторах
долгое время может сохраняться опасное напряжение.
Конденсатор чаще всего представляет собой две тонкие металлические полоски, разделенные тонким слоем диэлектрика.
Идеальный источник напряжения – это двухполюсник, напряжение которого не зависит от других элементов цепи: u  e , где е электродвижущая сила (э.д.с.) источника.
Э.д.с. - это работа сил источника по перемещению эл. заряда от
одного полюса источника к другому, деленная на величину этого заряда. Э.д.с. измеряется в вольтах. Направление вычисления э.д.с. указывает стрелка внутри кружка.
Стрелку напряжения удобно направлять противоположно стрелке э.д.с.
5
У источников постоянного напряжения стрелка э.д.с. направлена от "минуса" к
"плюсу".
Напряжение на зажимах идеального источника равно его э.д.с., т.к. работа, которую совершает заряд, перемещаясь по цепи под действием электрического поля, равна
работе, которую затрачивает на перемещение этого же заряда в противоположном
направлении источник напряжения.
Источники электрической энергии обычно работают в режимах, близких к идеальному источнику напряжения.
Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю. Это
означает, что ток проходит по нему беспрепятственно, как по проводу. Это очевидно,
если рассмотреть источник с нулевой э.д.с.
Реальный источник напряжения часто представляют в виде
соединения идеального источника
напряжения и внутреннего сопротивления R 0 (рис. 4.1). Напряжение и ток реального источника
напряжения связаны уравнением
u  e  iR0 . ВАХ реального ис-
Рис. 4.1.
точника напряжения показана на
рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Идеальный источник тока – это двухполюсник, ток которого не
зависит от других элементов цепи: i  j .
Внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности. Это означает, что другие
источники не могут пропускать свой
ток через источник тока - так же, как
через разрыв в цепи. Это очевидно,
если рассмотреть источник с нулевым
током.
Рис. 4.3.
Реальный источник тока часто
представляют в виде параллельного
Рис. 4.4.
соединения идеального источника
тока и проводимости G0 (Рис. 4.3). Напряжение и ток реального источника напряжения
связаны уравнением i  j  uG0 . ВАХ реального источника напряжения показана на
рис. 4.4.
Гидравлическая аналогия уподобляет резистор пористому телу, через которое просачивается жидкость. Конденсатор подобен широкому отрезку трубы, разделенному поперечной резиновой перегородкой. Катушка индуктивности подобна турбине, вращающейся без трения на
холостом ходу. Источник напряжения подобен центробежному насосу, создающему заданное
давление независимо от потока. Источник тока подобен поршневому насосу, создающему заданный поток независимо от давления.
6
5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.
Фрагменты эл. цепи называются эквивалентными, если при замене одного из них
другим состояние остальной части цепи не изменяется. Замена фрагментов цепи эквивалентными применяется в основном для упрощения расчетов и схем эл. цепей.
Рассмотрим часто встречающиеся эквивалентные фрагменты эл цепей. Доказательство эквивалентности основано на законах Кирхгофа и уравнениях элементов эл.
цепей.
Фрагмент эл. цепи
1.
Эквивалентный
фрагмент эл. цепи
Формулы и примечания
R
Последовательное соединение резисторов
N
 Rk
k 1
G
N
 Gk
k 1
2.
Примечание: G 
Параллельное соединение резисторов
1
R
RR
R12  R1  R2  1 2
R3
R R
R23  R2  R3  2 3
R1
3.
Соединение резисторов звездой.
Соединение резисторов треугольником
R R
R31  R3  R1  3 1
R2
Преобразование звезды в
треугольник
R1 
R2 
4.
Соединение резисторов треугольником
5.
Соединение резисторов звездой
R3 
R12 R31
R12  R23  R31
R12 R23
R12  R23  R31
R23 R31
R12  R23  R31
Преобразование треугольника в звезду
L
Последовательное соединение
катушек индуктивности
N
 Lk
k 1
7
Фрагмент эл. цепи
Эквивалентный
фрагмент эл. цепи
N 1
1
 
L k 1Lk
6.
Параллельное соединение катушек
индуктивности
7.
8.
Формулы и примечания
N 1
1
 
C k 1C k
Последовательное соединение
конденсаторов
C
Параллельное соединение конденсаторов
N
 Ck
k 1
e
N
  ek
k 1
9.
Источник входит в сумму с
дополнительным знаком "–
", если его стрелка направлена
противоположно
стрелке
эквивалентного
источника.
Последовательное соединение
источников напряжения
j
10.
N
  jk
k 1
Правило знаков см. выше.
Параллельное соединение источников тока
e  R0 j
Эквивалентность реального
источника напряжения и
реального источника тока
11.
Стягивание перемычки в
узел. В узел могут стягиваться перемычки между
любыми точками схемы
электрической цепи.
12.
Фрагмент цепи с перемычкой
8
6. Мощность двухполюсника
Рис. 6.1.
Рассмотрим двухполюсник в произвольном режиме.
Расставим стрелки тока и напряжения. Если они направлены в одну сторону, как на рис. 6.1, то выражение
p(t )  u(t )i(t )
имеет смысл мощности, потребляемой двухполюсником из цепи. Если стрелки направлены встречно, то это же выражение имеет смысл мощности, генерируемой двухполюсником.
Замечание. Это следует из определения напряжения как работы по перемещению заряда
вдоль определенного пути, деленной на величину этого заряда, а также из определения тока
как заряда, протекающего в единицу времени через заданное сечение в указанном направлении.
Произведение напряжения и тока дает работу в единицу времени, то есть мощность.
Мощность p(t ) - это функция времени. Функции времени в электротехнике
называют еще мгновенными значениями (см. п. 10).
Средней, или активной, мощностью двухполюсника в периодическом режиме
называется величина
T
1
P
p (t )dt ,
T

0
где T – период изменения p(t). Как и мгновенная мощность, средняя мощность может
быть потребляемой или генерируемой в зависимости от направления стрелок напряжения и тока. Термин “активная мощность”, как правило, применяется в случае синусоидальных режимов.
Согласно закону сохранения энергии, для любой электрической цепи выполняется
баланс мощностей:
pk (t )  pk (t ) ,
k
k
Здесь мощности элементов, потребляющих электроэнергию, отмечены знаком “+”, а
мощности элементов, генерирующих электроэнергию – знаком "–". То есть, суммарная
электромагнитная мощность, генерируемая элементами эл. цепи, равна суммарной
электромагнитной мощности, потребляемой элементами эл. цепи. С помощью баланса
мощностей можно проверить правильность расчета токов и напряжений в эл. цепи.
Из баланса мгновенных мощностей следует баланс для их средних значений:


  Pk
 0.
k
Замечание1: Как потребляемая, так и генерируемая мощность может быть отрицательной. Отрицательная потребляемая мощность физически соответствует генерации электроэнергии, отрицательная генерируемая мощность физически соответствует потреблению электроэнергии.
Замечание2: В уравнении баланса мощностей дополнительный знак "–" можно приписать
не генерирующим энергию, а потребляющим элементам.
Активная мощность измеряется ваттметром. Это прибор электродинамической
системы, он имеет две обмотки. Токовая обмотка имеет малое сопротивление, она состоит из небольшого числа витков толстого провода и неподвижно закреплена в корпусе прибора.
9
Обмотка напряжения имеет большое сопротивление и состоит из большого числа витков тонкого провода. Она помещается внутри токовой обмотки и может
поворачиваться на оси. К обмотке напряжения прикреплена стрелка ваттметра.
Согласно закону Ампера, вращающий момент, обуРис. 6.2. Измерение
словленный токами обмоток, пропорционален произвемощности, потребляемой
дению токов обмоток на количество их витков. Отклорезистором и генерируемой
нение стрелки пропорционально этому моменту.
источником.
Слабый ток обмотки напряжения пропорционален
напряжению этой обмотки, поэтому показания ваттметра определяются напряжением
обмотки напряжения и током токовой обмотки. Интегрирование получается за счет
механической инерции подвижной части прибора.
Токовая обмотка включается последовательно, а обмотка напряжения - параллельно элементу, в котором измеряется мощность. Каждая из обмоток имеет зажим,
помеченный звездочкой (рис. 6.2). Эти зажимы помечаются такими же звездочками и
на схемах эл. цепей. Так делают, чтобы различать потребляемую и генерируемую мощности, а также определять знак мощности. Второй вывод токовой обмотки на схемах
обычно направляют вправо, а второй вывод обмотки напряжения - вниз.
10
7. Полная система расчетных уравнений эл. цепи.
Для вычисления всех токов и напряжений в эл. цепи в общем случае нужно решить систему уравнений. Она называется полной системой расчетных уравнений эл.
цепи. Ее можно записывать в разных формах. Мы рассмотрим классический вариант,
когда система состоит из уравнений узлов и уравнений контуров. При этом ограничимся цепями, образованными соединением двухполюсников.
Прежде чем записывать уравнения, на всех ветвях схемы поставим стрелки тока и
на всех элементах схемы поставим (или мысленно представим себе) стрелки напряжения. Затем составим уравнения системы, которые вначале разделим на три группы.
1) Уравнения узлов – это уравнения,
составленные по 1-му закону Кирхгофа для
всех узлов цепи, кроме одного (любого).
Если в систему включить уравнения для
всех узлов, она будет содержать избыточную информацию.
Пример: На схеме рис. 7.1 исключим из
рассмотрения узел № 4. Для остальных
узлов получим уравнения:
Узел № 1:
Рис. 7.1.
i1  i3  i4  0,
Узел № 2:  i2  i3  i6  0,
Узел № 3:  i1  i2  i5  0.
11
(7.1)
2) Уравнения контуров – это уравнения, составленные по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых
контуров эл. цепи. Для цепи, схема которой нарисована
без пересечения проводов, независимые контуры могут
быть выбраны с помощью штриховки, линии которой
не пересекают провода и элементы эл. цепи (рис.7.2).
Согласно штриховке рис. 7.2 на схеме рис. 7.1 выберем контуры, образованные ветвями, соединяющими
узлы: 1-2, 2-3, 3-1 (контур №1); 1-2, 2-4, 4-1 (контур
№2); 3-2, 2-4, 4-3 (контур №3). Запишем уравнения этих
контуров:
Рис. 7.2.
Контур № 1:
Контур № 2:
Контур № 3:
u1  u 2  u3  u7  0,
u3  u8  u6  u 4  0,
u 2  u8  u6  u5  0.
(7.2)
3) Уравнения элементов. В полную систему расчетных уравнений цепи включаются уравнения всех ее элементов.
Пример: Уравнения элементов для цепи, изображенной на рис. 7.1:
u k  ik Rk , k  1...6;
u 7  e1 , u8  e2 .
(7.3)
Всего для схемы рис. 7.1 получаем 14 уравнений с 14 неизвестными. Это наиболее
общая, но и самая громоздкая запись полной системы расчетных уравнений цепи.
Уравнения элементов (7.3) часто сразу подставляют в уравнения контуров (7.2),
выражая напряжения через токи. В результате вместе с уравнениями узлов (7.1) получается классическая форма полной системы расчетных уравнений цепи. Ее часто называют системой уравнений Кирхгофа для эл. цепи:
i1  i3  i4  0
 i2  i3  i6  0
 i1  i2  i5  0
i1 R1  i2 R2  i3 R3  e1
i3 R3  i4 R4  i6 R6  e2
(7.4)
i2 R2  i5 R5  i6 R6  e2
При этом перед произведением ikRk ставится дополнительный знак "–", если
стрелка тока ik ориентирована противоположно направлению обхода контура; перед
э.д.с. ek ставится дополнительный знак "–", если стрелка этой э.д.с. ориентирована противоположно направлению обхода контура. Направление обхода выбирается произвольно.
Решив полученную систему уравнений, найдем токи всех ветвей цепи. Зная токи,
с помощью уравнений элементов и второго закона Кирхгофа можно рассчитать все
напряжения цепи. Однако, полная система расчетных уравнений цепи чаще всего бывает полезна как теоретическая основа для более удобных практических методов.
12
8. Метод узловых потенциалов
Этот метод используется для расчета напряжений и токов эл. цепей. Идея метода состоит в том,
что напряжения и токи ветвей эл. цепи выражаются
через потенциалы узлов. При этом уравнения контуров выполняются автоматически (см. пример п. 3), а
количество неизвестных и уравнений существенно
сокращается.
Метод узловых потенциалов удобен еще и тем,
что потенциалы узлов можно измерить вольтметром
или наблюдать с помощью осциллографа, сравнивая
расчеты с экспериментами.
Рассмотрим эл. цепь (рис. 8.1). Поставим задаРис. 8.1.
чу найти напряжения и токи всех ветвей цепи.
Вначале устраним неоднозначность узловых потенциалов. Если ко всем ним прибавить одно и то же число, то разности потенциалов, а значит, напряжения и токи цепи,
не изменятся. Поэтому можно заранее считать, что мы прибавили к потенциалам такое
число, что потенциал выбранного нами узла оказался равным нулю. Такой узел называется базовым и обозначается знаком
. После выбора базового узла потенциалы
определяются однозначно.
Запишем уравнения первого закона Кирхгофа для всех узлов, кроме одного (любого). Пусть в нашем случае это будут узлы 1, 2:
 i1  i2  i3  0,
 i2  i3  i4  j  0.
(8.1 )
Выразим токи ветвей через узловые потенциалы. Для ветви, состоящей из e2 и G2
(рис. 8.2), получим:
– по 2-му закону Кирхгофа u12  u e  uG  0 ,
– по определению напряжения между двумя точками
u12  1  2 ,
– по уравнению источника напряжения u e  e2 ,
– согласно уравнению резистора u G  R2 i2 
i2
G2
.
Рис. 8.2.
Окончательно получаем i2  G2 (e2  1   2 ) .
Аналогично для остальных ветвей с учетом того, что потенциал базового узла равен нулю, получим: i1  G1 (e1  1 ), i3  G3 (1   2 ), i4  G4  2 .
Формулы для токов можно получить по правилу: ток ветви равен потенциалу узла, из
которого выходит стрелка тока, минус потенциал узла, в который она входит, плюс
ЭДС ветви, если стрелка ЭДС и стрелка тока направлены в одну сторону (минус ЭДС,
если они направлены противоположно), и все это умножить на проводимость ветви.
Подставим выражения для токов в уравнения (8.1), получим:
13
 G1 (e1  1 )  G2 (e2  1   2 )  G3 (1   2 )  0
 G2 (e2  1   2 )  G3 (1   2 )  G4  2  j  0
Сгруппировав слагаемые, преобразуем полученную систему уравнений к виду
(G1  G2  G3 )1  (G2  G3 ) 2  G1e1  G2 e2
 (G2  G3 )1  (G2  G3  G4 ) 2  G2 e2  j
Запишем последнюю систему уравнений в матричной форме:
G1  G2  G3
  (G  G )
2
3

 (G2  G3 )   1  G1e1  G2 e2 
*

G2  G3  G4   2   G2 e2  j 
(8.2)
Решив эту систему уравнений, получим значения узловых потенциалов. Затем
можно будет найти токи ветвей по записанным выше формулам и напряжения ветвей
как разности потенциалов узлов.
Систему уравнений (8.2) можно составить непосредственно по схеме эл. цепи с
помощью следующих правил:
1. На диагонали матрицы в k-й строке k-м столбце записывается сумма проводимостей ветвей, подключенных к k-му узлу.
2. В k-й строке m-м столбце записывается взятая со знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел № k и узел № m.
3. В k-й строке правой части системы уравнений записывается сумма токов короткого замыкания ветвей, подключенных к узлу № k. При этом ток входит в
сумму с дополнительным знаком "минус", если стрелка соответствующего источника направлена от узла № k.
Замечание. При составлении системы уравнений учитывается, что проводимость ветви,
содержащей источник тока, равна нулю.
Особый случай представляют цепи, в которых
есть ветви, состоящие только из источников напряжения (рис. 8.3.). Проводимость таких ветвей бесконечна, поэтому ее нельзя записать в уравнения. Систему
уравнений для расчета узловых потенциалов таких
цепей можно составить с помощью специальных приемов, простейший из которых - введение в ветви с нулевым сопротивлением некоторых малых резисторов.
14
Рис. 8.3.
9. Магнитные цепи.
Магнитные системы различных устройств состоят из сердечников (магнитопроводов), на которых размещаются катушки из проводов с током. Благодаря тому, что
магнитная проницаемость ферромагнитных сердечников в сотни и тысячи раз больше
проницаемости окружающих тел, часто можно считать, что все магнитное поле сосредоточено в магнитопроводах. Это позволяет рассчитывать магнитные устройства, пользуясь понятиями теории магнитных цепей. Эта теория подобна теории эл. цепей.
Магнитные цепи рассчитываются теми же методами, что и электрические. Линейных магнитных цепей практически не бывает – это отличает их от эл. цепей. Учет
нелинейности сильно усложняет расчеты. Однако, для приближенных расчетов возможна замена нелинейных магнитных сопротивлений линейными. Во многих случаях
это мало сказывается на точности расчетов, если магнитные потоки проходят через
воздушные зазоры. Кроме того, рассмотрение линейных магнитных цепей оправдано
тем, что в расчетах нелинейных магнитных цепей используют последовательные линейные приближения.
Рассмотрим основные понятия теории магнитных цепей.
Магнитный поток

Поток вектора магнитной индукции В через поверхность S называется магнитным потоком Ф 
 
B
 ds (рис. 9.1). Единица измерения магнитного потока вебер (Вб).
S
Ориентация поверхности S может быть выбрана произвольно. На схемах магнитных
цепей она указывается в виде стрелки магнитного потока (рис. 9.2).
В теории магнитных цепей магнитное поле в пределах отдельных участков
обычно считается однородным, при этом
Ф  ВS , где S – поперечное сечение
участка магнитопровода. Индукция магнитного поля В и магнитный поток Ф по-

ложительны, если направление вектора В
совпадает с направлением стрелки магнитного потока, иначе они отрицательны.
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Первый закон Кирхгофа.
Для узлов магнитной цепи выполняется 1-й закон
Кирхгофа: сумма магнитных потоков, сходящихся в узле
магнитной цепи, равна нулю:
N
 Фк  0 .
к 1
Рис. 9.8.
Знаки в этой сумме выбираются так же, как в первом
законе Кирхгофа для эл. цепей. Например, для узла магнитной цепи, изображенного на
рис. 9.8, получим:

 Ф1  Ф2  Ф3  0 .
15
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей – следствие "несжимаемости" маг-

нитного поля В :
 
B
 ds  0 . То есть, какой суммарный магнитный поток входит в лю-
S
бую замкнутую область, такой же и выходит из нее.
Магнитное напряжение.
Работа напряженности магнитного поля по пуb  
ти l от точки a до точки b U M ab  Hdl называ-

a
ется
магнитным
напряжением
между
точками a и b, вычисленным по пути l (рис. 9.3).
Если в некоторой односвязной области отсутствуют
Рис. 9.4.
токи, то магнитное напряжение между любыми точРис. 9.3.
ками такой области не зависит от пути интегрирования (вследствие закона полного тока, подробнее см. курс физики), и магнитное напряжение в этой области можно представить как разность магнитных потенциалов. Магнитное напряжение измеряется в амперах.
На схемах магнитных цепей ориентация пути интегрирования l указывается в виде стрелки магнитного напряжения (рис. 9.4). Магнитное напряжение обычно отсчитывается в том же направлении, что и магнитный поток, поэтому на схемах часто расставляют только стрелки потоков.
В пределах участка магнитной цепи, в котором магнитное поле считается однородным, U M ab  Hl . При этом напряженность Н и магнитное напряжение UM поло-

жительны, если направление вектора Н совпадает с направлением стрелки магнитного
напряжения, иначе они отрицательны.
Магнитное сопротивление.
Отношение RM 
UM
Ф
называется магнитным сопротивлением участка цепи. Еди-
1
. Вычислим магнитное сопротивление
Гн
участка магнитной цепи, имеющего длину l, поперечное сечение S и магнитную проницаемость  (рис. 9.5):
ница измерения магнитного сопротивления
U M  Hl , Ф  ВS , В  Н , откуда
RM 
Hl
Hl
l
.


BS HS S
Магнитодвижущая сила обмотки.
16
Рис. 9.5.
Магнитодвижущей силой (м.д.с.)
обмотки с током называется произведение тока обмотки на число витков: iw.
М.д.с. имеет направление, которое определяется правилом правого винта в зависимости от направления стрелки тока и
направления намотки провода (рис. 9.6).
М.д.с. называют также намагничивающей
силой. Ее обозначают буквой F: F = iw.
Рис. 9.6.
Второй закон Кирхгофа.
Рассмотрим контур магнитной цепи,
состоящий из четырех участков (рис. 9.7). Для него можно
записать уравнение 2-го закона Кирхгофа:
U M 1  U M 2  U M 3  U M 4  iw .
Это уравнение следует из закона полного тока

 
  D  
 Hdl      t ds ,

l
S
Рис. 9.7.
  b   c   d   a  
т.к.  Hdl   Hdl   Hdl   Hdl   Hdl  U M 1  U M 2  U M 3  U M 4 ,
l
a
b
c
d

 
  D  




d
s


  t   ds  iw .


S
S
Здесь S – любая поверхность, ограниченная контуром l, по которому вычисляется
сумма напряжений. В последнем равенстве мы пренебрегаем плотностью тока смеще-

D
ния
, т.к. для магнитных устройств она ничтожно мала по сравнению с плотностью
t


тока проводимости  . Интеграл от  по S равен полному току iw, пронизывающему l,
то есть, намагничивающей силе обмотки.
В общем случае нескольких обмоток и произвольной ориентации стрелок на схеме 2-й закон Кирхгофа для магнитных цепей выглядит так:
N
M
 U M k   i k wk ,
k 1
k 1
где знаки выбираются так же, как и в уравнении 2-го закона Кирхгофа для эл. цепей.
Словами второй закон Кирхгофа для магнитных цепей можно сформулировать так:
сумма магнитных напряжений в любом контуре магнитной цепи равна сумме м.д.с.
этого контура.


Схемы магнитных цепей.
17
Магнитные цепи можно изображать не только в виде рисунков, (например,
рис. 9.9), но и виде схем (рис. 9.10). В качестве магнитных сопротивлений здесь мы
рассматриваем участки магнитопровода RM 1... RM 4 , RM 6 ... RM 9 и воздушный
зазор RM 5 .
Рис. 9.9. Магнитная цепь трансформатора с
магнитным шунтом
Рис. 9.10. Схема магнитной цепи трансформатора с магнитным шунтом.
18
10. Основные характеристики переменных токов и напряжений.
Мгновенными значениями напряжений, токов и других физических величин называются соответствующие функции времени. Мгновенные значения обозначают маленькими буквами, например, u (t ), i (t ) , ... , или u, i , ... .
Действующим значением периодического напряжения u (t ) называется число
T
1 2
U
u (t )dt , здесь и далее T – период колебаний.
T
0
Аналогично определяются действующие значения других периодических величин. Действующие значения обозначаются большими буквами.
Физический смысл действующих значений можно определить так.
Если мы подключаем резистор R к источнику переменного напряжения с действующим значением U, то в нем выделяется такая же средняя мощность, как и при
подключении этого резистора к источнику постоянного напряжения U.
Если мы пропускаем через резистор R переменный ток с действующим значением
I, то в нем выделяется такая же средняя мощность, как и при пропускании через него
постоянного тока I.
Средним значением периодического напряжения u (t ) называется число
T
1
U cp 
u (t )dt .
T

0
Аналогично определяются средние значения других периодических величин.
Среднее значение периодической физической величины называют также ее постоянной
составляющей.
Замечание. Средним значением синусоиды, однако, обычно называют среднее значение
ее модуля.
ВНИМАНИЕ ! Законы Кирхгофа выполняются для мгновенных и средних значений напряжений и токов, но не для действующих!
Действующие значения токов и напряжений показывают измерительные приборы
электромагнитной системы. Стрелка таких приборов прикреплена к стальному сердечнику, который втягивается в неподвижную катушку с током. Как правило, эти приборы применяются для измерения синусоидальных напряжений и токов.
На шкале прибора электромагнитная система отмечается значком
.
Средние значения токов и напряжений показывают приборы магнитоэлектрической системы. Стрелка таких приборов прикреплена к катушке с током, помещенной в
магнитное поле постоянного магнита. Как правило, эти приборы применяются для измерения постоянных или медленно изменяющихся напряжений и токов.
На шкале прибора магнитоэлектрическая система отмечается значком
.
Цифровые приборы обычно имеют два основных режима работы, один из которых предназначен для измерения постоянных величин, второй – для измерения действующих значений синусоидальных величин.
19
Для измерения средних значений переменных напряжений и токов, а также действующих значений несинусоидальных напряжений и токов нужно изучить паспорт
прибора и узнать, допускает ли он такие измерения. Нужно учитывать также частотные
ограничения измерительных приборов.
Пределом измерения прибора называется максимальное значение измеряемой величины, которое может показать прибор.
Ценой деления прибора называется минимальная разность значений измеряемой
величины, которую может показать прибор.
Классом точности прибора называется максимально допустимая приведенная
погрешность прибора, то есть, отношение максимально допустимой абсолютной погрешности к пределу измерения.
20
Тема 2. Синусоидальные режимы электрических цепей
11. Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. цепей.
Синусоидальным режимом эл. цепи называется такой режим, при котором все
напряжения и токи цепи изменяются по синусоидальному закону с одной и той же частотой.
Синусоидальные напряжения и токи широко применяются в основном по следующим причинам:
1. Они легко получаются с помощью различных генераторов.
2. Они легко преобразуются трансформаторами.
3. С их помощью легко создаются вращающиеся и бегущие магнитные поля, используемые в электродвигателях.
4. Сложением синусоидальных колебаний можно получать различные несинусоидальные напряжения и токи.
Рассмотрим синусоидальное напряжение u (t )  U m sin( t  ) . Его характеризуют три параметра: амплитуда U m , круговая частота  и начальная фаза 
(рис. 11.1). Амплитудные значения в электротехнике обозначаются большими буквами
с индексом m.
К характеристикам синусоиды u (t ) относятся также действующее значение U, циклическая частота f 
Рис. 11.1.

(т.е. количество ко2
1
.
f
Синусоидальный ток i (t )  I m sin( t  ) характеризуется аналогичными параметрами I m , , , I , f , T .
лебаний в секунду), и период T 
Для любой синусоиды действующее значение и амплитуда связаны коэффициентом
2 : U m  U 2,
Im  I 2 .
Состояние эл. цепей в синусоидальных режимах можно описывать, пользуясь
функциями времени. Однако, это громоздко и трудоемко. Поэтому для расчетов синусоидальных режимов применяется комплексный метод. Он позволяет заменить дифференциальные и интегральные уравнения элементов эл. цепи алгебраическими, а также
весьма наглядно представить синусоиды в виде векторов на векторных диаграммах.
Основа метода состоит в том, что каждой синусоиде ставится в соответствие комплексное число, называемое комплексом. Такое соответствие взаимно однозначно. Оно
определяется правилом:
U m sin( t  )Ue j ,
где U – действующее значение синусоиды,  – начальная фаза синусоиды, j   1 –
мнимая единица (в электротехнике она обозначается этой буквой). Информация о частоте в комплекс не входит и должна учитываться отдельно. Комплексы обозначаются
21
большими буквами с точкой: U  Ue
U  Ue j .
j
, или подчеркнутой большой буквой:

j

Примеры: u (t )  14,14 sin(100t  )  U  10e 3 ,
3
i(t )  21,21sin( 314t  0,25)  I  15e  0,25 j .
Общая схема метода:
1. Переход от синусоид к комплексам.
2. Решение задачи в комплексах.
3. Переход от комплексов к синусоидам (если это нужно).
Рассмотрим
произвольные
синусоиды
u (t )  U m sin( t  )
и
v(t )  Vm sin( t  ) , их комплексы U и V , а также произвольное действительное
число А. Операции на множестве синусоид и операции на множестве комплексов обладают следующим соответствием:
1. Au (t )  AU
Эти два свойства называются
линейностью
2. u (t )  v(t )  U  V
du(t )
 j U
dt
U
4.  u (t )dt 
j
3.
5. U m sin( t    )  Ue
j
Такое соответствие операций позволяет рассматривать множество синусоид и
множество комплексных чисел как по существу один и тот же математический объект.
Доказательство несложно и опирается на свойства синусоид и комплексных чисел.
Комплексы изображаются векторами на плоскости согласно обычным правилам,
принятым для комплексных чисел. В электротехнике такие рисунки называются векторными диаграммами.
Стрелки на векторной диаграмме - это изображения синусоид, а стрелки на схемах эл. цепи - это направления вычисления напряжений и токов!
Законы Кирхгофа, а также все другие свойства и методы расчета линейных эл. цепей при переходе к комплексам сохраняются. Это следствие линейности соответствия
синусоид и комплексов.
Замечание 1: В качестве модулей комплексов мы приняли действующие значения
j
синусоид: U  Ue . Такие комплексы называются комплексами действующих значений. Однако, иногда бывает удобно принять в качестве модулей комплексов амплитудj
ные значения синусоид: U  U m e . Такие комплексы называются комплексными
амплитудами.
22
Замечание 2: Любую синусоиду можно представить также в виде синус- и косинус-составляющих:
u(t )  U m sin( t  )  U m (sin t cos   cos t sin )  U1 sin t  U 2 cos t ,
U2
2
2
2
где U1  U m cos  , U 2  U m sin  . При этом U m  U1  U 2 , tg  
.
U1
0 j
Так как для комплексных амплитуд sin t  1  sin( t  0)  1  e
 1,

j

cos t  1  sin( t  )  1  e 2  j , то представление синусоиды в виде синус- и
2
косинус-составляющих позволяет поставить ей в соответствие комплексную амплитуду
в алгебраической форме:
U1 sin t  U 2 cost  U1  jU 2 .
Замечание 3: Комплексный метод применяется не только в электротехнике, но
везде, где исследуются синусоидальные колебания.
23
12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном
режиме.
При использовании комплексного метода рассматривают уравнения элементов,
связывающие комплексы напряжений и токов.
Синусоидам u (t )  U m sin( t   u ) и i (t )  I m sin( t   i ) поставим в соответствие комплексы: u (t )  U , i (t )  I . Учтем, что умножению синусоиды на
число соответствует умножение комплекса на то же число, а производной от синусоиды
соответствует умножение ее комплекса на j  . Из уравнений элементов для мгновенных значений напряжения и тока получим уравнения элементов в комплексах.
Уравнение резистора для мгновенных значений напряжения и тока: u (t )  Ri(t ) ,
откуда получаем уравнение резистора в комплексах:
U  RI .
Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:
U  RI (связь действующих значений напряжения и тока резистора),
arg U  arg I (связь фаз напряжения и тока).
Последнее означает, что фазы напряжения и тока резистора совпадают
(рис. 12.1, рис. 12.2).
Рис. 12.1. Мгновенные значения напряжения
и тока резистора.
Рис. 12.2. Векторная диаграмма
напряжения и тока резистора.
Уравнение катушки индуктивности для мгновенных значений напряжения и тока:
u (t )  L
di(t )
, откуда получаем уравнение катушки индуктивности в комплексах:
dt
U  j LI .
Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим (учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей):
U  LI (связь действующих значений напряжения и тока катушки),
24

arg U   arg I (связь фаз напряжения и тока)
2
Последнее означает, что фаза напряжения катушки больше фазы ее тока на

2
(рис. 12.3, рис. 12.4). Величину L обозначают x L и называют индуктивным сопротивлением. Оно измеряется в омах.
Рис. 12.3. Мгновенные значения напряжения
и тока катушки индуктивности.
Рис. 12.4. Векторная диаграмма напряжения и тока
катушки индуктивности.
Уравнение конденсатора для мгновенных значений напряжения и тока:
i (t )  C
du(t )
, откуда получаем уравнение конденсатора в комплексах: I  j CU .
dt
Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:
I  CU (связь действующих значений напряжения и тока конденсатора),

arg I   arg U (связь фаз напряжения и тока).
2
Последнее означает, что фаза тока конденсатора больше фазы его напряжения
на
1

(рис. 12.5, рис. 12.6). Величину
обозначают xC и называют емкостным
2
C
сопротивлением. Оно измеряется в омах.
.
Рис. 12.5. Мгновенные значения напряжения
и тока конденсатора.
25
Рис. 12.6. Векторная диаграмма напряжения и тока
конденсатора.
Сводку уравнений этого параграфа можно представить таблицей:
ур-е для
мгновенных
значений
Резистор
Катушка
Конденсатор
u  Ri
di
uL
dt
du
i C
dt
ур-е для
комплексов
ур-е для
действующих
значений
U  RI
U  RI
U  jLI
U  LI
I  jCU
I  CU
26
ур-е для
фаз
u  i

u   i
2

i   u
2
13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.
Комплексное сопротивление
Рассмотрим пассивный двухполюсник в синусоидальном режиме (Рис. 13.1). Отношение комплекса напряжения к комплексу тока пассивного двухполюсника называется комплексным сопротивлением и обозначается Z:
Рис. 13.1.
Z
U
.
I
С комплексным сопротивлением связаны следующие величины:
z  Z – полное сопротивление,
r  Re Z – активное сопротивление,
x  Im Z – реактивное сопротивление,
  arg Z – аргумент комплексного сопротивления.
Согласно этим определениям, комплексное сопротивление можно представить в виде
Z  ze j ,
Z  r  jx .
Из определения комплексного сопротивления следуют равенства:
z
U
,   arg U  arg I, z 2  r 2  x 2 .
I
Комплексное сопротивление изображают в виде
“треугольника сопротивлений” (рис. 13.2).
Комплексному сопротивлению не соответствует
никакая синусоида. В электротехнике над обозначениями
таких величин точки не ставят, а на диаграммах не рисуют стрелки. Реактивное сопротивление, в отличие от активного, может быть отрицательным.
Рис. 13.2.
Пример: последовательное соединение резистора и катушки индуктивности
(рис. 13.3 - 13.5).
Рис. 13.3. Схема последовательного соединения R, L.
Рис. 13.4. Векторная диаграмма напряжений и
тока последовательного
соединения R, L.
Рис. 13.5. Треугольник сопротивлений последовательного
соединения R, L.
При последовательном соединении двухполюсников их напряжения складываются (вследствие 2-го закона Кирхгофа). Поэтому
27
U  U R  U L  RI  jLI  ( R  jL) I ,
U
Z   R  jL .
I
Из последней формулы видно, что комплексное сопротивление последовательного соединения резистора и катушки можно получить сложением комплексных сопротивлений резистора R и катушки jL.
Все правила и формулы для эквивалентных преобразований обычных сопротивлений и проводимостей годятся и для комплексных сопротивлений и проводимостей. Это
следствие сохранения законов Кирхгофа при переходе к комплексам.
Напряжение двухполюсника U складывается из двух составляющих. Одна из них
совпадает по фазе с током и называется активной составляющей напряжения, а вторая

и называется реактивной составляющей напряже2
ния. В нашем примере U R - активная, а U L - реактивная составляющая напряжения.
сдвинута относительно тока на 
Комплексная проводимость
Отношение комплекса тока к комплексу напряжения пассивного двухполюсника
называется комплексной проводимостью и обозначается Y :
Y
I
.
U
С комплексной проводимостью связаны следующие величины:
y  Y – полная проводимость,
g  Re Y – активная проводимость,
b   Im Y – реактивная проводимость,
   arg Y – аргумент комплексного сопротивления.
Согласно этим определениям, комплексную проводимость можно представить в виде
Y  ye  j , Y  g  jb .
Из определения комплексной проводимости следуют равенства
y
I
,
U
y 2  g 2  b2 .
Комплексную проводимость изображают в виде “треугольника проводимостей” (рис. 13.6).
Реактивная проводимость, в отличие от активной,
может быть отрицательной.
Рис. 13.6.
Отметим также, что YZ  1, yz  1 .
Пример: параллельное соединение резистора и конденсатора (рис. 13.7 - 13.9).
При параллельном соединении двухполюсников их токи складываются (вследствие 1-го закона Кирхгофа). Поэтому
I  IG  IC  GU  jCU  (G  jC )U ,
28
Y
Рис. 13.7. Схема
параллельного
соединения G, С.
I
 G  jC .
U
Рис. 13.8. Векторная диаграмма напряжения и
токов параллельного
соединения G, С.
Рис. 13.9. Треугольник проводимостей параллельного соединения G, С.
Из последней формулы видно, что комплексную проводимость параллельного соединения резистора и конденсатора можно получить сложением комплексных проводимостей резистора G и конденсатора jС.
Ток двухполюсника I складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с напряжением и называется активной составляющей тока, а вторая сдвинута относительно напряжения на 

и называется реактивной составляющей тока.
2
В нашем примере IG - активная, а IC - реактивная составляющая тока.
29
14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме
Рассмотрим двухполюсник в синусоидальном режиме. Будем иметь в виду потребляемую мощность, поэтому
стрелки напряжения и тока направим в одну сторону
(рис. 14.1)
Рис. 14.1.
Пусть u (t )  U m sin( t   u ),
Вычислим
активную
мощность,
2
– период u(t) и i(t)):
t 2  t1  T 

t
t
t1
t1
потребляемую
i(t )  I m sin( t   i ) .
двухполюсником
(здесь
UmIm 2
1 2
P   u (t )i (t )dt 
sin( t   u ) sin( t   i )dt 
T
T 

UmIm
2T
t2
 cos( u   i )  cos(2t   u   i )dt 
t1
UmIm
2
cos( u   i ),
t2
так как
 cos(2t   u   i )dt  0 .
t1
Учитывая, что U m  U 2 , I m  I 2 ,  u   i   , где U и I – действующие значения напряжения и тока,  – сдвиг фаз между напряжением и током, получим:
P  UI cos .
Число cos  называется коэффициентом мощности. При использовании мощных
электромагнитных устройств стараются увеличить cos  , сделать его как можно ближе
к единице, потому что при cos   1 достигается максимальная активная мощность,
возможная при заданных значениях напряжения и тока. Эту мощность называют полной мощностью и обозначают буквой S :
S  UI .
Полная мощность измеряется в вольт-амперах: ВА.
С другой стороны, при заданном напряжении и заданной активной мощности
условие cos   1 соответствует минимальному значению тока в линии электропередач,
соединяющей источник электроэнергии с нагрузкой. Это обеспечивает минимум потерь
энергии в проводах линии.
Очень важную роль в энергетике играют трансформаторы и асинхронные электродвигатели. Они имеют максимальный cos  при максимальной нагрузке. Поэтому
полная загрузка используемого оборудования представляет один из основных способов
повышения коэффициента мощности. Второй способ – применение компенсаторов реактивной мощности (конденсаторов и синхронных электрических машин).
Реактивная мощность обозначается буквой Q и определяется формулой
30
Q  UI sin  .
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных: ВАр. Она может
быть измерена приборами. По значениям активной и реактивной мощности можно судить о значении коэффициента мощности и об эффективности использования оборудования. Для стимулирования повышения cos  тарифы на электроэнергию могут зависеть от значения реактивной мощности.
Выражения для полной, активной и реактивной мощности можно получить также
из комплексов напряжения и тока двухполюсника. При этом вводится понятие комплексной мощности S :
S  UI ,
где I – число, комплексно сопряженное к комплексу тока.
Получим связь S , S , , P, Q :
j
 j i
j (   )
S  U e u I e
 UI e u i 
 UI e
j
 Se
j
,
Se j  S (cos   j sin )  P  jQ .
Итак,
S  Se j ,
Рис. 14.2.
S  P  jQ .
Полученные зависимости изображают на комплексной плоскости в виде “треугольника мощностей” (рис. 14.2).
31
15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и
конденсатора.
Рассмотрим двухполюсник, состоящий из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и
конденсатора (рис. 15.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна.
Найдем зависимость тока в цепи и напряжений на элементах R, L, C от частоты.
По второму закону Кирхгофа U  U R  U L  U C .
Рис. 15.1.
Согласно уравнениям элементов
I
U R  RI , U L  j LI , U C 
,
j C

1  
  I  R 
U  I R  j L 
j

C



откуда
I 
U
1 

R  j  L 

C 

1 

j  L 
  ,

C


.
(15.1)
Мы нашли комплекс тока. Попутно в знаменателе мы получили комплексное со-


противление двухполюсника Z  R  j  L 
r  Re Z  R
1
.
x  Im Z  L 
C
люсника
и
1 
 , активное сопротивление двухпоC 
реактивное
сопротивления
двухполюсника
Вычислив модули обеих частей уравнения 15.1, получим связь действующих значений
напряжения и тока двухполюсника:
I
U
1 

R 2   L 

C 

2
.
(15.2)
В знаменателе формулы 15.2 находится
полное сопротивление двухполюсника z  Z .
Рис. 15.2.
График зависимости тока от частоты показан на
рис. 15.2.
Фазовым резонансом двухполюсника называется такой режим, при котором ток и
напряжение двухполюсника совпадают по фазе:  u   i  0 . При этом реактивное
сопротивление и реактивная проводимость двухполюсника также равны нулю.
32
Резонансом напряжений двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются напряжения элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом минимально: z = min.
Резонансом токов двухполюсника называется режим, при котором максимально
компенсируются токи элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом
максимально: z = max.
Частотным резонансом двухполюсника называется режим, при котором частота
источника колебаний совпадает с одной из частот собственных колебаний двухполюсника. Собственные колебания происходят при переходных процессах (см. п. 20).
Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора фазовый резонанс совпадает с резонансом напряжений. Резонансная частота
определяется по формуле
0 
1
LC
,
которая выводится из равенства нулю реактивного сопротивления: 0 L 
1
 0.
0 C
Зависимость действующих значений напряжений от частоты для последовательного соединения R, L, C показана на рис. 15.3. Выражения для вычисления этих напряжений получаются умножением действующего значения тока (формула 15.2) на полные
I
сопротивления элементов: U R  IR , U L  LI , U C 
(см. п. 12).
C
Построим векторную диаграмму тока и напряжений (рис. 15.4, здесь показан случай UL > UC). Проще всего это сделать, если начальная фаза тока равна нулю:  i  0 .
Тогда вектор, изображающий комплекс тока, будет направлен под углом  i  0 к действительной оси комплексной плоскости. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с
током, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на резисторе, будет
направлен в ту же сторону, что и вектор, изображающий комплекс тока.
Рис. 15.3.
Рис. 15.4.
Рис. 15.5.
Напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол

, поэто2
му вектор, изображающий комплекс напряжения на катушке индуктивности, будет

к вектору, изображающему комплекс тока. Напряжение на
2

конденсаторе отстает по фазе от тока на угол , поэтому вектор, изображающий ком2
направлен под углом
33
плекс напряжения на конденсаторе, будет направлен под углом –

к вектору, изобра2
жающему комплекс тока. Вектор, изображающий комплекс приложенного напряжения,
будет равен сумме векторов, изображающих комплексы напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Длины всех векторов пропорциональны действующим значениям
соответствующих величин. То есть, для того чтобы нарисовать векторы, нужно задать
масштабы, например: в 1 сантиметре 20 вольт, в 1 сантиметре 5 ампер.
Векторная диаграмма для режима резонанса показана на рис. 15.5.
Вычислим отношение действующих значений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе к действующему значению напряжения источника в режиме
резонанса.
Учтем, что при резонансе напряжения на катушке и на конденсаторе полностью
компенсируют друг друга (резонанс напряжений), и поэтому напряжение источника
равно напряжению на резисторе: U  U R (рис. 15.5). Используем связь действующих
значений тока и напряжения для резистора, катушки и конденсатора, а также формулу
для резонансной частоты. Получим:
LI
L
I
I
L
U  U R  IR, U L   0 LI 
I
, UC 

I
,
C
C
0 C
C
LC
LC
L
U L UC
C


откуда
.
U
U
R
L
Величину
называют волновым сопротивлением колебательного контура и
C
L

C
обозначают буквой . Отношение
обозначают буквой Q и называют доб
R
R
ротностью колебательного контура. Она определяет усилительные свойства контура
на резонансной частоте. У хороших контуров добротность может быть порядка нескольких сотен, то есть в режиме резонанса напряжение на катушке и конденсаторе
может быть в сотни раз больше приложенного к двухполюснику.
Резонанс часто применяется в электротехнике и электронике для усиления синусоидальных напряжений и токов, а также для выделения колебаний определенных частот из сложных колебаний. Однако, нежелательный резонанс в информационных
электрических цепях приводит к возникновению и усилению помех, а в силовых цепях
может привести к появлению опасно больших напряжений и токов.
34
16. Смешанное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
Рассмотрим двухполюсник, состоящий из смешанного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора
(рис. 16.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна.
Будем понимать эту цепь как модель энергетической системы, состоящей из источника напряжения е, соединенного
линией электропередач с нагрузкой в виде последовательно соединенных резистора R и катушки индуктивности L. Такая моРис. 16.1.
дель выбрана, потому что в энергетике большую долю нагрузки
составляют электродвигатели и трансформаторы, которые необратимо отбирают электрическую энергию из сети (так, как это делает резистор), а также
периодически запасают энергию в магнитном поле своих индуктивностей и отдают ее
обратно в цепь (так, как это делает катушка индуктивности).
Емкость С рассчитаем так, чтобы ток I в линии электропередач был минимальным. Это позволит свести к минимуму потери энергии в проводах линии электропередач, соединяющей источник энергии и нагрузку (см. п.14, а также лабораторную работу
№3 по общей электротехнике). Такой режим часто называют компенсацией реактивной
мощности нагрузки.
Согласно определению полной проводимости двухполюсника (см. п.13),
I  yU ,
то есть, при заданном напряжении U минимум тока I достигается при минимуме полной проводимости y. Найдем эту проводимость, используя эквивалентные преобразования сопротивлений.
Комплексное сопротивление последовательно включенных резистора и катушки
будет равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов (см. п. 13):
Z RL  R  jL .
Комплексная проводимость ветви с резистором и катушкой будет обратна к комплексному сопротивлению этой ветви:
YRL 
1
Z RL

1
.
R  jL
При параллельном соединении проводимости складываются, поэтому
1
Y  YRL  YC 
 jC .
R  jL
Чтобы найти у, удобно выделить действительную и мнимую часть Y. Сделаем
это, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, комплексно сопряженное
знаменателю:
Y
R  jL
R  jL
R
L
 jC 
 jC 
 j(C 
)
2
2
2
2
2
2
( R  jL)( R  jL)
R  (L)
R  (L)
R  (L)
.
35
Используем принятые в электротехнике обозначения: g  Re Y 
тивная проводимость двухполюсника, b   Im Y  (
R
2
R  (L)
L
R 2  (L) 2
2
– ак-
 C ) – реактив-
ная проводимость двухполюсника (см. п.13).
g 2  b 2 (см. п.13).
Согласно определению полной проводимости y 
Так как g не зависит от емкости конденсатора С, то у как функция от С достигает минимума при b  0 . Отсюда получаем формулу для емкости конденсатора:
С
L
2
R  (L)
2
.
Обратим внимание на то, что b  0 – это условие фазового резонанса (см. п.15).
Так как при этом сопротивление двухполюсника максимально, то это в данном случае
фазовый резонанс совпадает с резонансом токов.
Построим векторную диаграмму напряжений и токов. Вначале нарисуем комплекс
напряжения U (рис. 16.2). Его фазу будем считать нулевой, поэтому вектор U направим вдоль действительной оси. Затем найдем сдвиг фаз между напряжением и током
ветви RL (см. пример п. 13):  RL  arctg
x RL
rRL
 arctg
L
- это угол между действиR
тельной осью и вектором, изображающим комплекс тока ветви RL.
Найдем
действующее
значение
тока
I
U

z
U
2
r x
2

U
2
R  (L)
2
ветви
RL:
- это длина вектора, изображающего комплекс
тока ветви RL (в некотором графическом масштабе).
Нарисуем на диаграмме комплекс тока ветви RL (рис. 16.2).
Ток всего двухполюсника I равен сумме тока ветви RL I
и тока конденсатора IC :

I  IRL  IC . Ток конденсатора сдвинут по фазе относительно напряжения на . Нари2
суем комплекс тока конденсатора и сложим его с комплексом тока ветви RL, получим
ток I (рис. 16.3).
36
RL
Рис. 16.2.
Напряжение и ток ветви
RL (нагрузки).
Рис. 16.3. Векторная диаграмма напряжения и тока
смешанного соединения
RLC (частичная компенсация реактивного тока
нагрузки).
Рис. 16.4. Полная компенсация реактивного тока (резонанс токов).
На рис. 16.3 видно, что наличие в цепи тока конденсатора IC приводит к уменьшению тока в линии электропередач I по сравнению с током нагрузки I RL . На рис.
16.4 показан случай, когда ток IC подобран так, что он обеспечивает минимум тока I .
37
17. Трехфазный источник напряжения. Общая характеристика трехфазных цепей.
Трехфазные цепи – это сложные цепи синусоидального тока. Они рассчитываются
комплексным методом. Минимально необходимое и вместе с тем достаточное число
фаз для работы синхронных машин и асинхронных двигателей равно трем. Поэтому в
промышленности используются в основном трехфазные цепи.
Прочие причины широкого применения трехфазных цепей совпадают с причинами широкого
применения синусоидальных напряжений и токов.
В специальных случаях применяются также цепи с
другим числом
фаз.
Трехфазный источник
Рис. 17.1. Схема источника
напряжения –
трехфазного напряжения.
это три источника синусоидального напряжения одинаковой
амплитуды, начальные фазы которых отличаются
на
Рис. 17.2. Графики трехфазного
напряжения.
2
(рис. 17.1, рис. 17.2):
3
u A (t )  U m sin t ,
2
),
3
2
uC (t )  U m sin( t  ).
3
u B (t )  U m sin( t 
Поставим в соответствие мгновенным значениям напряжений их комплексы и нарисуем их на
векторной диаграмме (рис. 17.3):
2
2
 j
j
U A  U , U B  Ue 3 , U C  Ue 3 , здесь
Рис. 17.3. Векторная диаграмма
трехфазного напряжения.
U 
Um
2
– действующее значение напряжений.
На векторных диаграммах, изображающих
трехфазные напряжения и токи, действительную
ось направляют вверх, а мнимую – влево
(рис. 17.3).
Трехфазный генератор - это синхронная электрическая машина (рис. 17.4, см. также п. 4 конспекта лекций по трансформаторам и электрическим машинам). Ее статор имеет три обмотки,
сдвинутые в пространстве на угол
Рис. 17.4. Генератор трехфазного
напряжения.
2
. Ротором
3
служит электромагнит, в обмотках которого течет
постоянный ток от отдельного источника. Когда
этот магнит вращается в пространстве между об38
мотками, на их выводах по закону электромагнитной индукции наводятся синусоидальные напряжения, сдвинутые относительно друг друга по фазе на тот же угол
2
.
3
Замечание. Обмотки статора часто имеют более сложную конструкцию, и в общем случае сдвинуты на угол
2
, где р - число пар полюсов машины. Однако принцип действия от
3p
этого не меняется.
Трехфазный генератор, трансформатор и асинхронный электродвигатель были
изобретены русским инженером Михаилом Осиповичем Доливо-Добровольским в последнем десятилетии 19 века. Они составляют основу мировой электроэнергетики.
Каждая из трех составляющих трехфазной цепи называется фазой. Токи и напряжения фазы источника или фазы нагрузки называются фазными токами и фазными
напряжениями.
Провода линии электропередач, соединяющие фазы источника и нагрузки, называются линейными. Токи в линейных проводах называются линейными токами, напряжения между линейными проводами называются линейными напряжениями.
Напряжения, токи и мощности фаз источника трехфазного напряжения обозначаются буквами с большими индексами, например: u A , I AB . Напряжения, токи и
мощности фаз нагрузки обозначаются буквами с маленькими индексами, например:
Pab , U b .
У фаз источника и нагрузки различают начала и концы, которые обозначают соответственно буквами A, B, C, и X, Y, Z, причем для источника напряжения используют
большие буквы (рис. 17.1), а для фаз нагрузки - маленькие.
39
18. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки звездой
Трехфазный источник напряжения и
трехфазная нагрузка соединяются звездой или
треугольником. Соединение звездой показано
на рис. 18.1.
Точка соединения всех фаз источника
напряжения называется нейтральной (или нулевой) точкой источника и обозначается N.
Точка соединения всех фаз нагрузки называется нейтральной (или нулевой) точкой нагрузки
и обозначается n.
Провод, соединяющий нейтральные точки источника и нагрузки, называется
нейтральным (или нулевым). Он обеспечивает
Рис. 18.1. Соединение звездой.
независимую работу фаз цепи. То есть, если в
какой-то одной фазе произойдут изменения
режима работы, две другие фазы этого "не заметят".
Ток в нейтральном проводе обычно бывает меньше, чем в линейных проводах,
поэтому нейтральный провод часто делают тоньше линейных проводов. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю, поэтому в таком случае
(например, при подключении трехфазных двигателей или печей) нейтральный провод
вообще не используют.
Нейтральный провод часто заземляют и соединяют с ним корпуса электрооборудования (защитное зануление).
Напряжения u A , u B , uC называются фазными, т.к. это напряжения фаз источника
и нагрузки. Напряжения u AB , u BC , uCA называются линейными, т.к. это напряжения
между линейными проводами. Токи i A , i B , iC являются одновременно фазными и линейными, т.к. это одновременно токи фаз источника и нагрузки, а также токи в линейных проводах.
Рассмотрим уравнения, описывающие состояние рассматриваемой цепи. Согласно
2-му закону Кирхгофа:
U AB  U B  U A  0 ,
U BC  U C  U B  0 ,
U CA  U A  U C  0 .
Эту связь между фазными и линейными напряжениями можно изобразить на векторной диаграмме
(рис. 18.2). Из этого рисунка видна связь действующих значений фазных и линейных напряжений:
U линейное  3  U фазное .
Рис. 18.2. Векторная диаграмма
напряжений при
соединении звездой.
На трехфазных векторных диаграммах часто
ставят буквы, соответствующие точкам схемы эл.
цепи, например, A, B, C, N (рис. 18.2). Эти буквы
надо понимать как обозначение точек комплексной
плоскости, соответствующих изменяющимся по
40
синусоидальному закону электрическим потенциалам точек цепи A, B, C, N.
В нашем случае N = 0, A = uA, B = uB, C = uC, поэтому уравнение
U AB  U A  U B соответствует уравнению uAB = A - B. Стрелка напряжения U AB на
векторной диаграмме направлена от точки В к точке А, потому что она получается как
разность векторов U A и U B .
Обратим внимание на то, что в соответствии с тем же уравнением uAB = A - B
стрелка того же напряжения uAB на схеме цепи по определению направлена от точки А к
точке В. Это различие получается оттого, что стрелки на схеме обозначают направление вычисления напряжений и токов, а стрелки на векторных диаграммах - это изображение соответствующих синусоид на комплексной плоскости.
Согласно 1-му закону Кирхгофа I A  IB  IC  IN  0 , то есть ток в
нейтральном проводе равен сумме токов в линейных проводах. Эта связь токов показана на векторных диаграммах рис. 18.3–18.8.
Согласно уравнениям фаз нагрузки (по закону Ома):
I A 
U A
Za
,
IB 
U B
Zb
,
IC 
U C
Zc
.
Такая связь напряжений и токов для случаев различных нагрузок показана на
рис. 18.3 –18.8.
Векторные диаграммы токов рассмотрим на примерах некоторых конкретных типов нагрузки.
В простейшем случае симметричной резистивной нагрузки (то есть, когда все три фазы нагрузки – это одинаковые резисторы, как в опыте №1 лабораторной работы №4, рис. 18.3) векторная диаграмма токов и фазных напряРис. 18.3.
жений выглядит так, как показано на
Рис. 18.4.
рис. 18.4. Ток и напряжение каждого
элемента нагрузки совпадают по фазе,
поэтому соответствующие векторы
направлены в одну сторону. Действующие значения всех трех токов одинаковы, поэтому векторы токов имеют одинаковую длину. Сумма фазных токов
равна нулю, поэтому ток в нейтральном
проводе тоже равен нулю и не показан
на диаграмме.
Рис. 18.5.
Для несимметричной резистивной
Рис. 18.6.
нагрузки (когда все три фазы нагрузки –
это резисторы, но с разным сопротивлением, рис. 18.5) векторная диаграмма показана
на рис. 18.6. Резистивную нагрузку также называют активной. Вектор, изображающий
ток в нейтральном проводе, равен сумме векторов, изображающих фазные токи.
41
Для
несимметричной
нагрузки, состоящей из резистора в фазе a, активноемкостного элемента в фазе b и
активно-индуктивного элемента
в фазе c (рис. 18.7), диаграмма
показана на рис. 18.8. Основное
отличие от рис. 18.6 состоит в
Рис. 18.7.
сдвигах фаз фазных токов относительно фазных напряжений.
Типичные виды нагрузки
трехфазной цепи – это активная и активноиндуктивная. В опыте №2 лабораторной работы
№3 параллельное соединение резистора и конденсатора
представляет
собой
активноемкостную нагрузку.
Активная мощность трехфазной нагрузки
равна
сумме
мощностей
фаз:
P  Pa  Pb  Pc . Мощности фаз можно из-
Рис. 18.8.
Рис. 18.9.
мерить, включив ваттметры по схеме рис. 18.9.
Каждый ваттметр включен на фазное напряжение и фазный ток соответствующей фазы
нагрузки. В случае симметричной нагрузки можно измерить мощность только одной
фазы и умножить ее на три (при отсутствии нейтрального провода обмотка напряжения
подключается к нейтральной точке нагрузки).
42
19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником
Соединение трехфазного источника
напряжения и нагрузки треугольником показано на рис. 19.1. Все фазы такой цепи
работают независимо друг от друга, так как
каждая фаза источника напряжения подключена непосредственно к соответствующей фазе нагрузки.
Токи i ab , ibc , ica называются фазными, потому что это токи фаз нагрузки. Токи
i A , i B , iC называются линейными, так как
Рис. 19.1.
это токи в линейных проводах.
Напряжения u AB , u BC , u CA являются одновременно фазными и линейными,
так как это напряжения фаз источника и нагрузки, а также напряжения между линейными проводами.
Рассмотрим уравнения, описывающие состояние рассматриваемой цепи. Согласно
уравнениям фаз нагрузки (по закону Ома):
Iab 
U AB
Z ab
Ibc 
,
U BC
Z bc
,
Ica 
U CA
Z ca
По 1-му закону Кирхгофа для узлов цепи:
Iab  Ica  I A  0,
Ibc  Iab  IB  0,
I  I  I  0.
ca
bc
C
Для пояснения уравнений построим векторные диаграммы. Рассмотрим некоторые конкретные типы нагрузок.
Простейший случай симметричной резистивной нагрузки показан на рис. 19.2. Из
этой диаграммы видно, что для симметричной нагрузки
I линейный  3  I фазный
На рис. 19.3 показана несимметричная резистивная нагрузка - в разных фазах разные резисторы.
На рис. 19.4 изображена диаграмма напряжений и токов несимметричной нагрузки, у которой в фазу ab включен резистор, в фазу bc – активно-индуктивный элемент, в
фазу ca – активно-емкостной элемент. Главное отличие последнего случая от предыдущих – сдвиги фаз между напряжениями и токами в фазах bc и ca.
43
Активную
мощность
трехфазной нагрузки при соединении треугольником можно измерить "методом двух
ваттметров". Схема измерения
показана на рис. 19.5. Общая
активная мощность нагрузки
равна сумме показаний ваттметров: P  P1  P2 . Это можно
доказать, используя законы
Кирхгофа.
Рис. 19.2.
По определению
p  pab  pbc  pca 
.
 u ab iab  ubc ibc  uca ica
С другой стороны,
p1  p2  u ac i A  ubc iB 
 u ac (iab  ica )  ubc (ibc  iab ) 
 uca (ica  iab )  ubc (ibc  iab ) 
 (uca  ubc )iab  ubc ibc  uca ica 
 u abiab  ubc ibc  uca ica  p.
Рис. 19.3.
Здесь использованы выражения линейных токов через
фазные, а также равенства
u ac  u ca ,
u ab  ubc  u ca  0 , послед-
нее из которых представляет
собой 2-й закон Кирхгофа для
напряжений цепи.
В случае симметричной
нагрузки
можно
измерить
мощность только одной фазы и
умножить ее на три.
Рис. 19.4.
Рис. 19.5.
44
45
Тема 3. Дополнительные главы
20. Переходные процессы
Общая теория
Установившимся режимом электрической цепи обычно называют режим постоянного тока или режим синусоидального тока. Процесс перехода от одного установившегося режима к другому называют переходным процессом. Мы будем рассматривать
только установившиеся режимы постоянного тока.
Переходные процессы вызываются изменениями конфигурации цепи (переключениями), или резкими изменениями параметров элементов цепи (напряжений и токов
источников, сопротивлений резистивных элементов, индуктивностей катушек, емкостей конденсаторов).
Мы будем называть коммутацией любое изменение в цепи, приводящее к возникновению переходного процесса. Будем предполагать, что коммутации происходят
мгновенно, так как учет их ненулевой длительности требуется только в особых случаях,
выходящих за рамки классической теории переходных процессов. Будем считать, что
моменту коммутации соответствует начало отсчета времени t = 0.
В общем случае переходные процессы рассчитывают, решая полную систему расчетных уравнений цепи, которая при этом содержит дифференциальные уравнения.
Систему составляют и решают для конфигурации цепи после коммутации (для t > 0).
Для решения дифференциальных уравнений необходимы начальные условия, заданные
в момент непосредственно после коммутации t = +0.
Независимыми начальными условиями называются токи катушек и напряжения
конденсаторов в момент коммутации. Они определяют энергию, запасенную в катушках и конденсаторах. Все остальные начальные условия называются зависимыми и могут быть рассчитаны по независимым условиям с помощью законов Кирхгофа и уравнений элементов цепи.
Независимые начальные условия рассчитывают для момента времени, непосредственно предшествующего коммутации (t = –0). При этом используют конфигурацию
цепи и состояние ее элементов для времени перед коммутацией (для t < 0). Затем независимые начальные условия переносят на момент времени, непосредственно следующий за коммутацией (t = +0). Это делают с помощью законов коммутации:
1-й закон коммутации - ток в катушке индуктивности невозможно изменить скачком:
iL(t – 0) = iL(t + 0)
2-й закон коммутации - напряжение на конденсаторе невозможно изменить скачком:
uC(t – 0) = uC(t + 0)
Законы коммутации следуют из уравнений катушки и конденсатора (см. п. 4).
Замечание 1. Систему из п дифференциальных уравнений 1-го порядка можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению п-го порядка.
Итак, порядок расчета переходного процесса в общем случае можно представить в
виде последовательности действий:
1. Составляют полную систему расчетных уравнений цепи для t > 0. Если это удобно,
преобразуют ее к одному дифференциальному уравнению.
46
2. Составляют полную систему расчетных уравнений цепи для t < 0. Решив ее, получают независимые начальные условия для момента t = –0.
3. С помощью законов коммутации находят независимые начальные условия для t = +0.
4. Решив систему дифференциальных уравнений (или одно уравнение, если система
была к нему преобразована), получают напряжения и токи цепи как функции времени для t > 0.
47
Переходные процессы в цепях первого порядка
Пример 1. Заряд и разряд и конденсатора через резистор. Соединение резистора и
конденсатора называют RC-цепочкой (рис. 20.1). Подключим ее к источнику, напряжение которого меняется скачком в момент t = 0 (рис. 20.2).
Запишем полную систему расчетных уравнений цепи рис. 20.1 в виде уравнения
единственного контура цепи и уравнений элементов:
u R (t )  uC (t )  u (t )  0 ,
du (t )
u R (t )  Ri(t ) , i(t )  C C .
dt
Подставим
выражение
для тока из уравнения конденсатора в уравнение резистора,
получим u R (t )  RC
duC (t )
dt
.
Рис. 20.1. RC-цепочка
с источником
напряжения.
Это выражение подставим в
уравнение контура, получим
дифференциальное уравнение
для напряжения конденсатора:
RC
duC (t )
dt
Рис. 20.2. Зависимость
напряжения источника
от времени.
 uC (t )  u (t ).
Рассматривая это уравнение после коммутации (при t > 0), получим:
RC
duC (t )
dt
 uC (t )  V2 .
(20.1)
Чтобы решить это уравнение, к нему надо добавить начальное условие uC (0) .
Чтобы найти его, вначале рассчитаем напряжение на конденсаторе до коммутации
uC (0) . Так как мы предполагаем, что до коммутации (то есть, до момента t = 0) имел
место установившийся режим при постоянных напряжениях, то тока в цепи не было,
напряжение на резисторе было равно нулю, и потому напряжение на конденсаторе было равно напряжению источника: uC (0)  V1 . Согласно 2-му закону коммутации,
uC (0)  uC (0) , поэтому искомое начальное условие uC (0)  V1 .
Полное решение уравнения (20.1) найдем в виде
uC (t )  u 0 (t )  u1 (t ) ,
где u 0 (t ) - решение однородного уравнения
RC
duC (t )
dt
 uC (t )  0 ,
(20.2)
соответствующего уравнению (20.1); u1 (t ) - частное решение уравнения (20.1).
Так как правая часть уравнения (20.1) - константа, то u1 (t ) ищем также в виде
константы. Подстановка u1 (t )  const в (20.1) дает u1 (t )  V2 .
Общее решение однородного уравнения (20.2) имеет вид
48
u0 (t )  Ae t ,
(20.3)
где А и α - константы. Подстановка (20.3) в (20.2) дает  
1
.
RC
Число А получим из начального условия. С одной стороны,
0
uC (0)  Ae RC  V2  A  V2 .
С другой стороны, uC (0)  V1 , откуда
A  V1  V2 .
t
Окончательно получаем: uC (t )  (V1  V2 )e RC  V2 .
Показатель экспоненты часто записывают в виде
t
, где в данном случае τ = RC:

t
uC (t )  (V1  V2 )e   V2 .
Графики напряжения на конденсаторе для случая R = 20 Ом, С = 100 мкФ представлены на рис. 20.3, 20.4.
Знаменатель в показателе экспоненты τ называется постоянной времени переходного процесса. Проводя касательные к графику экспоненты, на их пересечении с горизонтальной прямой, соответствующей установившемуся решению после коммутации,
можно получить отметки, отсекающие отрезки длиной τ (рис. 20.3, 20.4). В нашем случае τ = RC = 20·100·10-6 = 0,002 с.
За время 3–5 τ переходной процесс практически полностью заканчивается:
e  3  0,05 ; e  5  0,007 . Время 3–5 τ приближенно считают длительностью переходного процесса.
Рис. 20.3. Заряд конденсатора через резистор. V1 = 40 B, V2 = 200 B.
Рис. 20.4. Разряд конденсатора через резистор. V1 = 160 B, V2 = 0 B.
Замечание 2. В электротехнике частное решение дифференциального уравнения часто
называют принужденной составляющей переходного процесса, а решение соответствующего
однородного уравнения - свободной составляющей переходного процесса.
49
Пример 2. Изменение тока в катушке индуктивности при переключениях в цепи с
источником
постоянного
напряжения (рис. 20.5).
Заменим резисторы R1
и R2 с ключом SA1 одним
резистором R (рис. 20.6), сопротивление которого скачком меняется в момент t = 0 в
Рис. 20.5. Схема цепи
зависимости от состояния
Рис. 20.6. Эквивалентная
с катушкой.
схема цепи с катушкой.
R1 R2
ключа: R 
при
R1  R2
замкнутом ключе, R  R2 при разомкнутом ключе. Обозначим
R1 R2
R1  R2
 R12 .
Вначале выведем уравнение для тока катушки и получим для него начальное
условие в общем виде, затем отдельно рассмотрим случаи замыкания и размыкания
ключа.
Запишем полную систему уравнений цепи:
уравнение единственного контура цепи:
уравнения элементов:
u R (t )  u L (t )  u  0 ,
di (t )
u R (t )  Ri L (t ) , u L (t )  L L , u  e .
dt
Подставив уравнения элементов в уравнение контура и разделив это уравнение на R,
получим уравнение переходного процесса (для напряжения источника сохраним обозначение u, чтобы не путать ЭДС с экспонентой):
L diL (t )
u
 iL (t )  ,
R dt
R
(20.4)
причем здесь имеется в виду значение R после коммутации (так как переходной процесс протекает после коммутации).
Перед коммутацией в цепи был установившийся режим постоянного тока. Поэтому напряжение на катушке было равно нулю, значит, i L ( 0) 
u
. Заметим, что сюда
R
нужно подставить значение R до коммутации (так как начальные условия определяются
состоянием цепи до коммутации). Далее, по 1-му закону коммутации
i L (0)  i L (0) , поэтому iL (0) 
u
.
R
Рассмотрим случай, когда в момент t = 0 ключ замыкается, то есть
коммутации и
R  R2 до
R  R12 после коммутации. Уравнение (20.4) и начальное условие для
тока катушки будут иметь вид:
50
L diL (t )
e
 i L (t ) 
R12 dt
R12
e
, i L (0) 
.
R2
Решением задачи будет
функция
t
 e
e  
e
i L (t )   
e 
,
R R 
R
 2 12 
12
где  
L
- постоянная
R12
Рис. 20.7. Нарастание тока в катушке
при уменьшении сопротивления.
времени переходного процесса.
Графики
тока
и
напряжения катушки для
значений
R1 = 10 Ом,
R2 = 90 Ом
(при
этом
R12 = 9 Ом),
L = 0,02 Гн,
Рис. 20.8. Напряжение катушки при нарастании тока.
е=9В
показаны
на
рис. 20.7, 20.8. Здесь мы не
будем подробно разбирать решение дифференциального уравнения, так как это уже
сделано в предыдущем примере, и кроме того, это изучается в курсе математики.
Теперь рассмотрим случай, когда в момент t = 0 ключ размыкается, то есть
R  R12 до коммутации и R  R2 после коммутации. Уравнение (20.4) и начальное
условие для тока катушки примут вид:
L diL (t )
e
 i L (t ) 
,
R2 dt
R2
e
.
i L (0) 
R12
Решением задачи будет
функция
t
 e

e
e
i L (t )  
 e   ,
R

R2
 12 R2 
где  
L
- постоянная вреR2
мени переходного процесса.
Графики тока и напряжения
катушки
показаны
на
рис. 20.9, 20.10. Значения параметров те же, что и в случае
замыкания ключа.
Рис. 20.9. Затухание тока катушки
при увеличении сопротивления.
Рис. 20.10. Напряжение катушки при затухании тока.
51
Обратите внимание на то, что масштаб времени на рис. 20.7, 20.8 и рис. 20.9,
20.10 отличается в 10 раз. Затухание тока при размыкании ключа в рассматриваемой
цепи происходит в 10 раз быстрее, чем нарастание тока при замыкании ключа, так как
постоянная времени при замыкании в 10 раз больше (потому что
R2
R12
 10 ).
Масштабы напряжения на рис. 20.8 и рис. 20.10 также отличаются в 10 раз. Особо
нужно отметить, что при быстром уменьшении тока в катушке напряжение на ней по
абсолютной величине во много раз больше напряжения источника, создавшего этот
ток. Это свойство катушки часто используется для получения импульсов высокого
напряжения. Например, на этом эффекте основана работа автомобильных систем зажигания.
52
Переходные процессы в цепях второго порядка
Пример 3. Подключение последовательного соединения резистора, катушки и
конденсатора к источнику постоянного напряжения (рис. 20.11).
Запишем полную систему расчетных уравнений цепи:
уравнение контура u R (t )  u L (t )  uC (t )  u ,
уравнения элементов
duC (t )
di(t )
, i (t )  C
, u  e.
u R (t )  R i(t ) , u L (t )  L
dt
dt
Подставляя выражение для тока из уравнения конденсатора в уравнения катушки
и резистора, получим:
duC (t )
d 2 uC (t )
, u L (t )  LC
.
u R (t )  RC
2
dt
dt
Подставим выражения для напряжений элементов в уравнение контура, получим дифференциальное
уравнение переходного процесса для напряжения
конденсатора:
LC
d 2uC (t )
dt
2
 RC
duC (t )
dt
 uC (t )  u .
Рис. 20.11. Подключение последовательного соединения R, L, C к
источнику постоянного напряжения.
(20.5)
Для уравнения второго порядка нужны два начальных условия: uC (0) и
duC
dt
(0) . При разомкнутом ключе начальное напряжение на конденсаторе может
быть любым. Положим uC (0)  0 . По 2-му закону коммутации uC (0)  uC (0) ,
поэтому uC (0)  0 . До коммутации тока в цепи не было: i (0)  0 . Так как единственная ветвь цепи содержит катушку, то по первому закону коммутации
значит,
Согласно
уравнению
конденсатора,
i(0)  i(0) ,
i (0)  0 .
i(0)  C
duC
dt
(0) , поэтому
duC
dt
(0)  0 .
Решение u C (t ) представим в виде суммы: uC (t )  u 0 (t )  u1 (t ) , где u1 (t ) частное решение уравнения (20.5). Это решение ищем в виде константы, что при подстановке в (20.5) дает u1 (t )  u .
Функция u 0 (t ) - это решение соответствующего однородного уравнения
d 2 u C (t )
du (t )
LC
 RC C  u C (t )  0 .
2
dt
dt
Она имеет вид
2t
при
1   2 ,
(20.6)
u 0 (t )  A1e t  A2te t
при
1   2 .
(20.7)
u 0 (t )  A1e
1t
 A2 e
53
2
где α1 и α2 - корни характеристического уравнения LCp  RCp  1  0 :
R
, 
1     2  02 ,  2     2  02 , здесь  
2L 0
1
LC
.
(20.8)
Рассмотрим отдельно три случая:
L
- апериодический процесс. При этом   0 , 1 ,  2 - действительные
C
числа, 1   2 . График напряжения u C (t ) для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 200 мкФ,
1. R  2
е = 200 В показан на рис. 20.12.
Рис. 20.12. Апериодический переходной процесс.
Рассчитаем значения коэффициентов α1 и α2 по формулам 20.8:
1
20
 707 рад/с,
 1000 Гц, 0 
6
2  0,01
0,01  200  10
1  1000  707  293 Гц,  2  1000  707  1707 Гц.

Подставим полученные коэффициенты в формулу (20.6) и потребуем выполнения
начальных условий, учитывая, что uC (t )  u 0 (t )  u1 (t ) , u1 (t )  u , u  200 то есть,
uC (t )  A1e 293t  A2 e 1707t  200 : uC (0)  0 , следовательно,
A1e 293  0  A2 e 1707  0  200  A1  A2  200  0 .
duC
dt
(20.9)
(0)  0 , следовательно, дифференцируя выражение для uC (t ) и приравнивая
производную к нулю в момент t = 0, получим:
 293 A1e 293  0  1707 A2 e 1707  0  200  293 A1  1707 A2  200  0 .(20.10
)
Решив совместно уравнения (20.9) и (20.20), получим: A1 = -241,6 В, А2 = 41,6 В.
Окончательно,
uC (t )  241,6e 293t  41,6e 1707t  200 В.
L
- критический процесс, пограничный между апериодическим и колебаC
тельным. При этом   0 , 1   2   , процесс затухает за минимальное время.
2. R  2
График напряжения u C (t ) для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 100 мкФ, е = 200 В показан
на рис. 20.13.
54
Рис. 20.13. Критический переходной процесс.
Найдем коэффициенты А1 и А2 в выражении для u C (t ) . В данном случае , с учетом
t
формулы (20.7), uC (t )  A1e
 A2 te t  e  A1e 1000t  A2 te 1000t  200 .
Как и в случае периодического режима, потребуем выполнения начальных условий:
uC (0)  0 , следовательно, A1  200  0 , A1  200 .
duC
dt
(0)  0 , следовательно, дифференцируя выражение для u C (t ) и приравнивая
производную к нулю в момент t = 0, получим:
 1000 A1  A2  200  0 , A2  200200 .
Окончательно получим:
uC (t )  200e 1000t  200200 te 1000t  200 .
L
- колебательный режим. При этом   0 , 1 ,  2 - пара сопряженных
C
комплексных чисел. В этом случае решение однородного уравнения u 0 (t ) удобно
3. R  2
представить в виде
u0 (t )  e  t A1 sin t  A2 cos t  ,
здесь  
(20.11)
02   2 - частота собственных колебаний (см. п. 15).
Тогда полное решение уравнения 20.5 будет выражаться формулой
uC (t )  e  t A1 sin t  A2 cos t   u1 (t ) .
55
(20.12)
График этого напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн,
C = 2 мкФ, е = 200 В показан
на рис. 20.14. Вычислим для
этого набора исходных данных все коэффициенты в выражении (20.11). Как и в
предыдущих случаях,   1000
Гц, u1 (t )  200 В.
Далее, по формулам 20.8
и 20.11 получим:
Рис. 20.14. Колебательный переходной процесс.
0 
1
0,01  2  10  6
 7071 рад/с,   7071 2  1000 2  7000 рад/с.
Рассчитаем коэффициенты А1 и А2, исходя из начальных условий.
uC (0)  0 , следовательно, A2  200  0 , A2  200 В.
duC
(0)  0 , следовательно, дифференцируя выражение для uC (t ) и приравнивая
dt
производную к нулю в момент
t = 0, получим:  A2  A1  0 , то есть,
1000 A2  7000 A1 , A1  28,6 В.
Окончательно: uC (t )  e
1000t
 28,6 sin 7000t  200 cos7000t   200 В.
Замечание 3. Мы рассчитывали только одну величину для каждой задачи: напряжение
конденсатора в 1 и 3 примерах и ток катушки во 2 примере. Все остальные напряжения и токи
(например, напряжение катушки в примере 2) могут быть получены по результатам таких расчетов с помощью уравнений элементов и законов Кирхгофа.
Замечание 4. В настоящее время для расчета любых режимов электрических цепей обычно применяют численные алгоритмы, реализованные в виде различных компьютерных программ. Это очень удобно для практических расчетов, однако, инженеру нужно понимать теоретическую основу расчетов и знать особенности аналитических решений. Кроме того, надо
иметь в виду, что компьютерные программы иногда выдают ошибочные решения, поэтому их
нужно уметь каким-то способом контролировать.
56
57
21. Взаимная индуктивность.
Рассмотрим две магнитно связанные катушки
индуктивности. Магнитный
поток каждой из них частично проходит через другую катушку (рис. 21.1,
21.2). Поэтому ток первой
катушки посредством магнитного поля вследствие
явления электромагнитной
индукции создает на зажимах второй катушки напряжение M
di1
dt
, где М – ко-
Рис. 21.2. Маркировка
катушек. Случай М > 0.
Рис. 21.1. Магнитные
потоки катушек.
Случай М > 0.
эффициент взаимной индуктивности. Он измеряется в генри (Гн). Ток второй катушки создает на зажимах первой
напряжение M
di2
dt
.
Кроме того, напряжения на катушках создаются вследствие изменения своих собственных токов, поэтому
Рис. 21.3. Маркировка
катушек. Случай М < 0.
di
di
di
di
u1  L1 1  M 2 , u 2  L2 2  M 1 .
dt
dt
dt
dt
Знак М зависит от взаимного расположения катушек, а также от выбора направлений стрелок тока и напряжений. Стрелки напряжений, как правило, направляют согласно стрелкам тока (рис.21.1), и часто вообще не показывают на схеме в явном виде.
Если магнитные поля, создаваемые положительными токами катушек, в области
самих катушек складываются, то М > 0 (рис.21.1, 21.2), а если вычитаются, то M < 0
(рис.21.3).
На схемах эл. цепей взаимное расположение катушек показывается с помощью
маркировки. "Начала" обмоток отмечаются точками. Если стрелки токов обеих катушек
направлены от "начал" к "концам" или от "концов" к "началам", то M > 0 (рис.21.2). Если у одной катушки стрелка тока направлена от "начала" к "концу", а у другой наоборот, то M < 0 (рис.21.3).
Если сразу несколько катушек имеют магнитную связь, то их начала маркируются отдельно для каждой пары.
Если магнитный поток первой катушки полностью проходит через вторую (соответственно, поток второй катушки полностью проходит через первую), то
M  L1L2 - это так называемый "идеальный трансформатор". Значение М не может
быть больше. Реально оно всегда меньше указанного значения из-за того, что магнитные потоки катушек никогда в точности не могут совпадать. Последнюю формулу легко доказать с помощью теории магнитных цепей.
58
Приложение.
Комплексные числа.
Введение.
Комплексные числа имеют три формы записи. Алгебраическая форма представляет число в виде a  bi ; здесь a и b – действительные числа, i – число иного рода, называемое мнимой единицей. Основное свойство числа i состоит в том, что его квадрат
2
равен минус единице: i  1 . Числа вида a  0  i являются действительными. Числа
вида 0  b  i называются мнимыми.
Обозначим число a  bi буквой z . Число a называется действительной частью
числа z, число b – мнимой частью числа z . Коротко это можно записать так: a  Re z ,
b  Im z , где Re и Im – принятые в математике обозначения действительной и мнимой
части комплексного числа.
Число z можно понимать как упорядоченную пару действительных чисел
(a; b) . Поэтому его можно изобразить точкой на плоскости. Действительная часть
откладывается по оси абсцисс, а мнимая
часть – по оси ординат (рис. 1).
Комплексное число чаще изображают не точкой, а вектором, начало которого
совпадает с началом координат комплексной плоскости, а конец имеет декартовы
координаты (a; b) . Если такой вектор пеРис. 1. Комплексная плоскость и ее оси. ренести параллельно самому себе, он также будет изображать то же самое число.
Точку на плоскости можно рассматривать и в полярных координатах (; ) , где 
– расстояние от точки до начала координат,  – угол между отрезком, соединяющим
точку с началом координат, и осью абсцисс (рис. 1).
Число  называется модулем числа z , число  называется аргументом (или фазой)
числа z . Коротко это обозначается так:   z ,   arg z .
Из рис. 1 видно, что
a   cos , b   sin  ,
(1)
поэтому комплексное число z можно представить в виде
z  (cos   i sin ).
Такая форма представления комплексного числа называется тригонометрической.
Отметим, что
  a2  b2 ,
tg  
b
.
a
(2)
Формулы (1) определяют переход от тригонометрической формы комплексного
числа к алгебраической, формулы (2) – от алгебраической к тригонометрической. При
этом  лежит в пределах от – до  и вычисляется с учетом знаков a и b :
59
b
  arctg ,
a
a  0;
b
    arctg ,
a
b
 = - + arctg ,
a

= ,
2

 ,
2
a < 0, b  0;
a < 0, b  0;
a  0, b  0;
a  0, b  0.
Для числа 0  0i аргумент не определен.
Формула Эйлера e
i
 cos   i sin  позволяет ввести показательную форму
i
комплексного числа: z   e . Модуль  и фаза  имеют тот же смысл, что и для тригонометрической формы комплексного числа.
Формулу Эйлера можно понимать как определение экспоненты с мнимым показаi
телем: e
– это такое комплексное число, действительная часть которого равна
cos , а мнимая равна sin  . Более корректно функция e i определяется как сумма
ряда
e
i
(i) 2 (i) 3 (i) 4 (i) 5
 1  i 



... .
2!
3!
4!
5!
2
Учитывая, что i  1 и сгруппировав отдельно действительные и мнимые слагаемые этого ряда, получим ряды для косинуса и синуса, что и доказывает формулу Эйлера (строго говоря, такая перегруппировка слагаемых нуждается в обосновании, но мы
законность этого действия примем без доказательства):
e
i
(i) 2 (i) 3 (i) 4 (i) 5
 1  i 



... 
2!
3!
4!
5!
2 4 6
3 5 7


...  i ( 


...) 
2!
4!
6!
3!
5!
7!
 cos   i sin .
 1
Для экспоненты с мнимым показателем, так же как и для экспоненты с действительным показателем, справедливо свойство: произведение двух экспонент равно экспоненте, показатель которой равен сумме показателей сомножителей:
e i  e i  e ii  e i () .
60
Сложение комплексных чисел
Суммой комплексных чисел z  a  ib и w  x  iy
называется комплексное число (a  x)  i(b  y) .
То есть, действительная часть суммы – это сумма действительных частей слагаемых, а мнимая часть суммы – это
сумма мнимых частей слагаемых.
Например,
если
то
z  3  2i, w  4  8i ,
z  w  7  6i .
На комплексной плоскости сложению комплексных
Рис. 2. Сложение комчисел соответствует сложение векторов (рис. 2).
плексных чисел на плосСложение чисел в показательной и тригонометричекости.
ской форме неудобно. Чтобы сделать это, нужно сначала
перевести оба числа в алгебраическую форму, сложить их, а затем перевести результат
в нужную форму.
Например,
4e
i



 3 e 4  4(cos   i sin )  3(cos( )  i sin(  )) 

4
4
 4(1  i 0)  3(0,707  i0,707 )  4  2,121  i 2,121  1,879  i 2,121  2,83 e  i 2,3 ,
2 e i 0,3  5 e i1,4  2(cos 0,3  i sin 0,3)  5(cos1,4  i sin 1,4)  1,91  0,59i  0,85  4,93i 
 2,76  5,52i  6,17 e i1,107 .
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по тем же
правилам, что и умножение действительных чисел. Единственное различие в том, что
i 2  1 :
(a  ib)( x  iy )  ax  i 2by  iay  ibx  ax  by  i(ay  bx) .
Например, (2  3i)(5  4i)  10  12  i(8  15)  22  7i .
Умножение комплексных чисел в показательной форме выполняется еще проще.
i
i
Пусть z   e ,w   e , тогда
zw   e i   e i   e i e i   e i() ,
то есть, при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению
модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

3
i
i
2 e i1,5  3 e i 0,5  6 e i 2 ;
Например,
4 e i  3 e 4  12 e 4 .
61
С помощью формулы Эйлера из правила умножения комплексных чисел в показательной форме может быть получено правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Оно такое же, как для чисел в показательной форме.
Замечание 1: Мнимая единица может записываться как перед действительным
множителем, так и после него: ib  bi, i  i, i  i, и т.д. Эти выражения
равны вследствие того что произведение любых двух комплексных чисел коммутативно, т.е не зависит от порядка сомножителей.
Замечание 2: Аргументы комплексных чисел могут выражаться как в радианах (то
есть просто в числах), так и в градусах. Запись аргументов комплексных чисел в радианах, как правило, применяется в математике и физике; запись в градусах – в технических науках и инженерных расчетах.
i
Умножению комплексного числа z на число w   e соответствует растяжение
вектора, изображающего число z, в   w раз и поворот его на угол   arg w . Это
следует из описанных выше правил умножения.
Деление комплексных чисел
Проще всего делить числа в показательной и тригонометрической форме. При
этом модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Это правило прямо следует из
правил умножения.
z  e i  e i  i ()
i
i
Пусть z   e , w   e , тогда
.


 e
i  i 
w
Например,
6e
3e
i1,2
i 0,5
e
e
 2 e i 0,7 .
Чтобы разделить комплексное число в алгебраической форме на действительное
число, нужно разделить отдельно действительную и мнимую часть. Пусть
z  a  ib,
c  R , тогда
6  4i
z a
b
  i . Например:
 3  2i .
c c
c
2
Деление комплексного числа в алгебраической форме на комплексное число в алгебраической форме сводят к делению комплексного числа на действительное. Это делают путем умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное
знаменателю.
Комплексно сопряженное число обозначается звездочкой
или чертой наверху, например, z . Комплексно сопряженные
числа имеют одну и ту же действительную часть и противоположные мнимые части: Re z  Re z, Im z   Im z . На
комплексной плоскости комплексно сопряженные числа расположены симметрично относительно действительной оси
(рис. 3). Произведение числа на его сопряженное равно квадрату его модуля, это всегда неотрицательное действительное
число:
2
2
2
2
2
zz  (a  ib)(a  ib)  a  b  iab  iab  a  b  z
.
62
Рис. 3. сопряженные
комплексные числа.
Итак, разделим два числа в алгебраической форме. Пусть
z  a  ib , w  x  iy .
z a  ib (a  ib)( x  iy ) ax  by  i(bx  ay) ax  by
bx  ay
.




i
2
2
2
2
2
2
w x  iy ( x  iy )( x  iy )
x y
x y
x y
20  30i 20  6  30  8 30  6  20  8
Например,

i
 1,2  3,4i .
6  8i
36  64
36  64
Тогда
63