Простые переменные ставки

Простые переменные ставки.
Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во
времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом
случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий
вид
S=P(1+n1i1+n2i2+...) = P(1+Sntit),
где
P - первоначальная сумма (ссуда),
it - ставка простых процентов в периоде с номером t,
nt - продолжительность периода t - периода начисления по ставке it.
Пример Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим
множитель наращения за весь срок договора.
1+Sntit = 1+0,25•0,10+0,25•0,09+025•0,08+0,25•0,07 = 1,085
Задача: Сумма вклада 1500 тыс. руб. Вклад размещен в банк сроком
на 6 лет, при этом в течении первых трех лет ставка процентов составит 10% годовых, следующие два года 15% и течении последнего года
20% годовых. Рассчитать наращенную сумму.
S = 1500(1+3*0,1+2*0,15+0,2)=2700 тыс. руб.
Реинвестирование по простым процентам
Особенностью финансовых вычислений по простым процентам
является то, что декурсивная ставка начисляется только с исходной
величины ссуды или депозита. В рыночных условиях для повышения
заинтересованности своих клиентов и привлечения дополнительных
денежных средств банки широко используют реинвестирование.
Реинвестирование заключается в том, что после начисления
процентов банки присоединяют сумму к исходной величине и далее
вновь начисляют проценты.
Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и
этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в
пределах расчетного срока N. Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной
ставки наращенная сумма для всего срока N вычисляется находится
по формуле
1
S = P(1+n1i1)(1+n2i2) ••• =
,
Где n1, n2,..., nm - продолжительности последовательных
периодов реинвестирования,
, i1, i2,..., im - ставки, по которым производится
реинвестирование.
Пример: В банке размещен вклад в 1000 тыс. руб., на эту сумму
начисляется 10% годовых. Проценты простые точные. Какова будет
наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится
ежемесячно в течении 1 квартала.
31
28
31
𝑠 = 1000 (1 +
∗ 0.1) (1 +
∗ 0.1) (1 +
∗ 0.1) = 1024.86
365
365
365
Рассчитаем эту задачу, если реинвестирования не происходит.
90
𝑠 = 1000 (1 +
∗ 0.1) = 1024.65
365
Дисконтирование и учет по простым ставкам
В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу
финансовой операции, требуется найти исходную сумму P.
Дисконтирование — приведение стоимости будущих платежей к
значению на текущий момент. Отражает тот экономический факт, что
сумма денег имеющаяся в данный момент, имеет большую стоимость,
чем равная ей сумма, которая появится в будущем. Процентная ставка, используемая при этих расчетах, называется ставкой дисконтирования.
Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты
в виде разности D=S-P называются дисконтом или скидкой. Процесс
начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.
Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования
представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче
S=P(1+ni),
то в обратной
.
2
Дробь в правой части равенства 1/(1+in) называется дисконтным
множителем. Этот множитель показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт
суммы S равен
D=S-P.
Пример: Какую сумму инвестор должен внести сегодня под 16%
годовых, чтобы через 180 дней после подписания договора накопить
310 тыс. руб. при условии, что начисляются простые точные проценты.
Находим современную стоимость
310000
Р=
= 287328,59
180
1+
0,16
365
D=310000-287328,59=22671,41
В банковской практике задача дисконтирования возникает при
покупке денежных обязательств (например, векселей) ранее срока их
оплаты. В случае с векселем эта операция называется учет векселя.
Если держатель векселя хочет обменять его на деньги раньше срока
оплаты, он обращается в банк с просьбой об учете векселя.
Задача1. Заемщик должен возвратить кредит единовременным
платежом с процентами за период 2 года. Проценты по кредиту составили 12% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему равен дисконт, если сумма к возврату
составляет 1 500 000 рублей?
Решение: S=1500 000 рублей; n=2 года; i= 0,12
1500000
Р=
= 1209677
1 + 2 ∗ 0,12
D=1500000-1209677=290323 руб.
Банковский или коммерческий учет.
Банковский или коммерческий учет применяется при учете векселя.
Суть операции учета: банк до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.к. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при
наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт.
Важно, что при банковском учете проценты за пользование ссудой начисляются не на первоначальную сумму, а на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды
3
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная
ставка, которую мы обозначим символом d.
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D=Snd,
откуда
P=S-D=S-Snd=S(1-nd).
По определению, простая годовая учетная ставка находится как
.
Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем.
Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты
его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.
Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета S по P. В этом случае
.
Пример. Вексель выписан на сумму 1 000000 руб. с уплатой 17
ноября. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября по простой
учетной ставке 20% годовых. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
Решение:
P=S-D=S-Snd=S(1-nd).
55
P  1000000  (1 
 0,2)  969444 ,4 руб.
360
D  1000000  969444 ,4  30555,6 руб.
Важно! При учете векселя временная база – 360 дней.
4
Домашняя работа
Задача 1. В банке 1января размещен вклад в 100 млн. руб., на
эту сумму начисляется 20% годовых. Проценты простые точные. Какова будет наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течении 3 раз.
31
28
31
𝑠 = 100 (1 +
∗ 0.2) (1 +
∗ 0.2) (1 +
∗ 0.2) = 105,013
365
365
365
Задача 2. Заемщик должен возвратить кредит единовременным
платежом с процентами за период 3 года. Проценты по кредиту составили 15% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему равен дисконт, если сумма к возврату составляет 200 000 рублей?
200000
Р=
=
1 + 3 ∗ 0,15
D=
Задача 3. Вексель выписан на сумму 850000 руб. с уплатой 17
декабря. Владелец векселя учел его в банке 15 сентября по простой
учетной ставке 18% годовых. Определить срок оставшийся до конца
периода. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
5
Домашняя работа № 2
Задача 1. В банке 1января размещен вклад в 100 млн. руб., на эту сумму
начисляется 20% годовых. Проценты простые точные. Какова будет наращенная
сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течении 3 раз.
Задача 2. Заемщик должен возвратить кредит единовременным платежом
с процентами за период 3 года. Проценты по кредиту составили 15% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему
равен дисконт, если сумма к возврату составляет 200 000 рублей?
Задача 3. Вексель выписан на сумму 850000 руб. с уплатой 17 декабря.
Владелец векселя учел его в банке 15 сентября по простой учетной ставке 18%
годовых. Определить срок оставшийся до конца периода. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
Домашняя работа № 2
Задача 1. В банке 1января размещен вклад в 100 млн. руб., на эту сумму
начисляется 20% годовых. Проценты простые точные. Какова будет наращенная
сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течении 3 раз.
Задача 2. Заемщик должен возвратить кредит единовременным платежом
с процентами за период 3 года. Проценты по кредиту составили 15% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему
равен дисконт, если сумма к возврату составляет 200 000 рублей?
Задача 3. Вексель выписан на сумму 850000 руб. с уплатой 17 декабря.
Владелец векселя учел его в банке 15 сентября по простой учетной ставке 18%
годовых. Определить срок оставшийся до конца периода. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
Домашняя работа № 2
Задача 1. В банке 1января размещен вклад в 100 млн. руб., на эту сумму
начисляется 20% годовых. Проценты простые точные. Какова будет наращенная
сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течении 3 раз.
Задача 2. Заемщик должен возвратить кредит единовременным платежом
с процентами за период 3 года. Проценты по кредиту составили 15% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему
равен дисконт, если сумма к возврату составляет 200 000 рублей?
Задача 3. Вексель выписан на сумму 850000 руб. с уплатой 17 декабря.
Владелец векселя учел его в банке 15 сентября по простой учетной ставке 18%
годовых. Определить срок оставшийся до конца периода. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
6