Городская (районная) олимпиада по математике

Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
6 класс
1. Петя и Вася ехали в поезде. Каждый из них сначала читал книгу, потом отдыхал, потом пил чай. На любое занятие у Пети ушло в два раза меньше
времени, чем на предыдущее, а у Васи в 4 раза меньше времени, чем на
предыдущее. Начали и кончили они одновременно. Что делал Вася, когда
Петя начал отдыхать?
2. Найдите наименьшее возможное число членов кружка, если известно, что
девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?
3. С помощью разрезаний и перекладываний сделайте из фигуры «крест» фигуру конфетка.
4. В столовую надо доставить несколько бочек с апельсинами общей массой
10 т. Каждая бочка весит не более 1 тонны. Какого наименьшего количества
трехтонок для этого заведомо хватит?
5. Четыре девочки – Катя, Лена, Маша и Нина – участвовали в концерте. Они
пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен –
больше, чем каждая из остальных, а Лена – 5 песен – меньше, чем каждая из
остальных девочек. Сколько песен было спето?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
7 класс
1. Решите ребус: КОКА+КОЛА = ВОДА.
2. На бесконечной шахматной доске стоит Бешеная Черепаха. Она может прыгать «уголком» 4 на 5 клеток. Докажите, что на какой бы клетке ни пытался
укрыться от нее Вячеслав Валерьевич, она сможет укусить его за пятку.
3. Натуральные числа x, y, z таковы, что x2 + y2 = z2. Докажите, что одно из них
делится на 3.
4. Разрежьте квадрат по границам клеток на
четыре равные части одинаковой формы
так, чтобы в каждой было по выделенной
чёрным клетке.
5. В классе, где я учился, каждый мальчик
дружил с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в
классе был 31 пионер (не все учащиеся
класса являются пионерами) и стояло 19
парт. Сколько учеников было в моем классе?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
8 класс
1. Сельский гипнотизер Иван Карпович разводит индюков и кур. Вследствие
его экспериментов десятая часть индюков считает, что они – куры, а десятая
часть кур, что они – индюки. Если брать вообще, то пятая часть птиц считает
себя индюками. А все-таки, какая есть, в самом деле, часть индюков на его
птицеферме?
2. На доске 8×8 отмечены центры всех клеток. Можно ли провести 13 прямых
так, чтобы любые две отмеченные точки разделялись прямой?
3. Дан равнобедренный треугольник ABC , AB  BC . Известно, что ABC  20  .
На стороне AB от точки B отложен отрезок BK  AC . Найдите KCB .
4. Положительные числа x и y меньше единицы. Докажите, что
x
y

 1.
1 y 1 x
5. Иван с сыном и Степан с сыном были на рыбалке. Иван и его сын поймали
рыб поровну, а Степан – втрое больше своего сына. Всего поймали 25 рыб.
Сколько рыб поймал Иван?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
9 класс
1. Ребята играют в прятки на треугольной площадке. Водит Петя. Он знает, что
Вася всегда прячется в наиболее удаленной от водящего точке площадке. Где
нужно искать Васю, если Петя стоит в углу площадки?
2. Пешеход, идя вдоль шоссе без остановки с постоянной скоростью, заметил,
что каждые 6 мин его догоняет троллейбус, а каждые 3 мин проходит
встречный троллейбус. Каков интервал между отправлениями троллейбусов
с конечных пунктов, если в обе стороны троллейбусы отправляются через
одинаковые промежутки времени, идут без остановки с постоянной и одинаковой скоростью?
3. На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки N
и M так, что AN:AD=1:3, DM:DC=1:4. Отрезки BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношение OM:OB.
4. Возьмем число 16 – это квадрат. Поместим в середину между его цифр число
15, получим 1156 – точный квадрат, еще раз поместим 15, получим 111556 –
точный квадрат и т.д. Докажите, что всегда будем получать точный квадрат.
5. Сколькими способами можно расставить восемь ладей на черных полях
шахматной доски так, чтобы они не били друг друга?
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
1.
2.
3.
4.
10 класс
Васю попросили составить квадратный трехчлен с целыми коэффициентами,
который имеет два различных корня, и написать на доске его дискриминант.
Вася написал на доске число 27. Какую оценку следует поставить Васе и почему?
Найдите все натуральные n для которых выражение 1!2!3!...  n! является
полным квадратом.
Точки M , H и O – середина стороны AB , основание высоты AH и центр
описанной окружности остроугольного треугольника ABC соответственно.
Прямые CO и HM пересекаются в точке K . Докажите, что AKC  90  .
На доске записаны все целые числа от 1 до 2000. Наугад стирают 998 чисел.
Докажите, что среди оставшихся чисел можно указать несколько (не менее
двух) так, что их сумма тоже имеется на доске. Останется ли справедливым
утверждение, если стереть еще одно число?
5. Натуральные числа a1 , a 2 ,…, a2010 таковы, что числа
a
a1 a 2
, ,…, 2009 попарно
a 2 a3
a 2010
различны. Найдите наименьшее количество различных чисел во множестве
{ a1 , a 2 ,…, a2010 }.
Городская (районная) олимпиада по математике
2009 год
11 класс
1. Решите неравенство sin x  tgx  ctgx  cos x .
2. Пусть f ( x)  x 2  12 x  30 . Решите уравнение f ( f ( f ( f ( f ( x)))))  0 .
3. Числа a и b удовлетворяют уравнению: a1005  a  1 , b 2010  b  3a . Доказать, что
a b.
4. N одинаковых деревянных кубиков склеены между собой так, что каждые
два из них склеены по грани или по участку грани. Найти максимальное значение N.
5. Натуральные числа a1 , a 2 ,…, a2010 таковы, что числа
a
a1 a 2
, ,…, 2009 попарно
a 2 a3
a 2010
различны. Найдите наименьшее количество различных чисел во множестве
{ a1 , a 2 ,…, a2010 }.