Модель камнеметательной машины выстреливает камни

ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике
Задача 440
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема
спросана продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.)
задается формулой: q = 150 − 10p. Определите максимальный
уровень цены p(в тыс. руб.), при котором значение выручки
предприятия за месяцr = q · p составит не менее 440 тыс. руб.
Решение
Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спросаq = 150 −
10p в формулу выручки r = q · p. Получим: r = (150 − 10p) · p.
По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы
440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:
(150 − 10p) · p = 440 — это квадратное уравнение;
150p − 10p2 = 440 — раскрыли скобки;
150p − 10p2 − 440 = 0 — собрали все в одной стороне;
p2 − 15p + 44 = 0 — разделили все на коэффициент a = −10.
Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p1 + p2 = −(−15) = 15;
p1 · p2 = 44.
Очевидно, корни: p1 = 11; p2 = 4.
Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся
к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный
уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется,
эту задачу можно было решать и через дискриминант — ответ
получится точно таким же.
Ответ
11
Задача 441
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема
спросана продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.)
задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный
уровень цены p(в тыс. руб.), при котором значение выручки
предприятия за месяцr = q · p составит не менее 270 тыс. руб.
Решение
Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка,
равная 270. Поскольку выручка предприятия считается
по формулеr = q · p, а спрос — по формуле q = 75 − 5p, составим
и решим уравнение:
(75 − 5p) · p = 270;
75p − 5p2 = 270;
−5p2 + 75p − 270 = 0;
p2 − 15p + 54 = 0.
Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме
Виета:
p1 + p2 = −(−15) = 15;
p1 · p2 = 54.
Очевидно, что корни — это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч
рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят
указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.
Ответ
9
Задача 442
Модель камнеметательной машины выстреливает камни
под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной
скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня
описывается формулой y = ax2 + bx, где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 —
постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах)
от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину,
чтобы камни перелетали через нее?
Решение
Итак, высота задается уравнением y = ax2 + bx. Чтобы камни перелетали
через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем
случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном
уравнении известно число y = 8 — это высота стены. Остальные числа
указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:
8 = (−1/5000) · x2 + (1/10) · x — довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x2 + 500x — это уже вполне вменяемое уравнение;
x2 − 500x + 40 000 = 0 — перенесли все слагаемые в одну сторону.
Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x1 + x2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x1 · x2 = 40 000 = 100 · 400.
Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому
выбираем второй корень.
Ответ
400
Задача 443
Модель камнеметательной машины выстреливает камни
под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной
скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня
описывается формулой y = ax2 + bx, где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 —
постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах)
от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину,
чтобы камни перелетали через нее?
Решение
Задача полностью аналогична предыдущей — только числа другие.
Имеем:
15 = (−1/8000) · x2 + (1/10) · x;
120 000 = −x2 + 800x — умножили обе стороны на 8000;
x2 − 800x + 120 000 = 0 — собрали все элементы с одной стороны.
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x1 + x2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x1 · x2 = 120 000 = 200 · 600.
Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.
Ответ
600
Задача 444
Модель камнеметательной машины выстреливает камни
под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной
скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня
описывается формулой y = ax2 + bx, где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 —
постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах)
от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину,
чтобы камни перелетали через нее?
Решение
Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота — 8 метров.
В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:
8 = (−1/22 500) · x2 + (1/25) · x;
180 000 = −x2 + 900x — умножили все числа на 22 500;
x2 − 900x + 180 000 = 0 — собрали все в одной стороне.
Дискриминант: D = 9002 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень
из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x2 = (900 + 300) : 2 = 600.
Наибольший корень: 600.
Ответ
600
Задача 445
Модель камнеметательной машины выстреливает камни
под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной
скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня
описывается формулой y = ax2 + bx, где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 —
постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах)
от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину,
чтобы камни перелетали через нее?
Решение
Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим
уравнение:
8 = (−1/20 000) · x2 + (1/20) · x;
160 000 = −x2 + 1000x — умножили обе стороны на 20 000;
x2 − 1000x + 160 000 = 0 — собрали все с одной стороны.
Дискриминант: D = 10002 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень
из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x2 = (1000 + 600) : 2 = 800.
Наибольший корень: 800.
Ответ
800
Задача 446
Модель камнеметательной машины выстреливает камни
под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной
скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня
описывается формулой y = ax2 + bx, где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 —
постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах)
от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину,
чтобы камни перелетали через нее?
Решение
Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем
уравнение:
24 = (−1/22 500) · x2 + (1/15) · x;
540 000 = −x2 + 1500x — умножили все на 22 500;
x2 − 1500x + 540 000 = 0 — собрали все в одной стороне.
Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме
Виета:
x1 + x2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x1 · x2 = 540 000 = 600 · 900.
Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший:
900.
Ответ
900
Задача 447
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота
столба воды в нем меняется по закону H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t2, где t —
время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать
из бака?
Решение
Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости
будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H(t) =
0.Составляем и решаем уравнение:
5 − 1,6t + 0,128t2 = 0;
625 − 200t + 16t2 = 0 — умножили все на 125;
16t2 − 200t + 625 = 0 — расположили слагаемые в нормальном порядке.
Дискриминант: D = 2002 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет
всего один. Найдем его:
x1 = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды
опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода
будет вытекать.
Ответ
6,25
Задача 448
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 340 K, a = 28 К/мин,b =
−0,2 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К
прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо
отключать прибор.
Решение
Все вертится вокруг температуры, которая меняется по закону:T(t)
= T0 + at + bt2. Требуется выяснить, в какой момент эта температура
пересечет отметку в 1000 К. Посколькутемпература T0, а также
коэффициенты a и b нам известны, составим и решим уравнение:
1000 = 340 + 28t − 0,2t2;
0,2t2 −28t + 660 = 0 — перенесли все слагаемые влево;
t2 − 140t + 3300 = 0 — умножили обе стороны на 5.
Дискриминант: D = 1402 − 4 · 1 · 3300 = 6400 = 64 · 100. Очевидно,
что корень из дискриминанта равен 80. Корни квадратного уравнения:
t1 = (140 + 80) : 2 = 110;
t2 = (140 − 80) : 2 = 30.
Получается, что у нас есть два кандидата на ответ: числа 110 и 30.
Требуется найти наибольшее время, и поэтому многие выбирают
ответ 110.
Но давайте вспомним, что означают эти числа. Итак, в момент
времени t = 30 минут, а также в момент времени t = 110
минуттемпература пересекает критическую отметку в 1000 К —
ту самую, после которой прибор может испортиться. Грубо говоря,
прибор испортится через 30 минут и через 110.
Вывод: прибор надо отключить уже через 30 минут, поскольку
к 110 минутам он будет давно испорчен.
Ответ
30
Задача 449
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 520 K, a = 22 К/мин,b =
−0,2 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К
прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо
отключать прибор.
Решение
Задача полностью аналогична предыдущей — только коэффициенты
другие. Предельно допустимую температуру мы знаем, поэтому
составим и решим уравнение:
1000 = 520 + 22t − 0,2t2;
0,2t2 − 22t + 480 = 0 — собрали все слева;
t2 − 110t + 2400 = 0 — умножили обе стороны на 5.
Задача свелась к приведенному квадратному уравнению. По теореме
Виета:
t1 + t2 = −(−110) = 110;
t1 · t2 = 2400.
Очевидно, корни: 80 и 30, т.к. 80 + 30 = 110; 80 · 30 = 2400. Получаем,
что предельная температура будет достигнута через 30 минут
и через 80. Следовательно, прибор надо отключить уже через 30 минут.
Ответ
30
Задача 450
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 800 K, a = 52 К/мин,b =
−0,4 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К
прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо
отключать прибор.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому рассмотрим краткое решение.
Именно такой объем вычислений будет достаточным обоснованием
ответа в настоящем ЕГЭ по математике.
2000 = 800 + 52t − 0,4t2;
0,4t2 − 52t + 1200 = 0;
t2 − 130t + 3000 = 0 — разделили все на коэффициент 0,4.
Решаем через дискриминант: D = 1302 − 4 · 1 · 3000 = 4900. Корень
из дискриминанта: 70. Найдем корни уравнения:
t1 = (130 + 70) : 2 = 100;
t2 = (130 − 70) : 2 = 30.
Из двух чисел выбираем наименьшее — это снова число 30.
Ответ
30
Задача 451
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 280 K, a = 26 К/мин,b =
−0,2 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К
прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо
отключать прибор.
Решение
Все так же − составляем и решаем уравнение:
1000 = 280 + 26t − 0,2t2;
0,2t2 − 26t + 720 = 0 — перенесли все слагаемые в одну сторону;
t2 − 130t + 3600 = 0 — умножили каждое слагаемое на 5.
Это приведенное квадратное уравнение, которое хорошо решается
по теореме Виета:
t1 + t2 = −(−130) = 130 = 90 + 40;
t1 · t2 = 3600 = 90 · 40.
Из приведенных формул очевидно, что корни: 90 и 40. Как и прежде,
придется выбрать наименьшей корень — число 40. Потому что
до 90 минут прибор уже «не доживет».
Ответ
40
Задача 452
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 1100 K, a = 36 К/мин,b =
−0,2 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К
прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо
отключать прибор.
Решение
Снова задача-клон, которая сводится к уравнению:
2000 = 1100 + 36t − 0,2t2;
0,2t2 − 36t + 900 = 0;
t2 − 180t + 4500 = 0.
Перед нами снова приведенное уравнение. По теореме Виета:
t1 + t2 = −(−180) = 180 = 150 + 30;
t1 · t2 = 4500 = 150 · 30.
Теперь корни очевидны — это числа 150 и 30. В ответ пойдет
наименьшее число, т.е. прибор надо выключить через 30 минут.
Ответ
30
Задача 453
Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется
формулой:
При каком минимальном значении
температуры нагревателя T1КПД этого двигателя будет не меньше 60%,
если температура холодильника T2 = 200? Ответ дайте в градусах
Кельвина.
Решение
Для начала упростим исходную формулу. Умножим обе стороны
равенства на переменную T1, получим:
η · T1 = (T1 − T2) · 100.
Знак процентов мы специально убрали, поскольку в конечном
уравнении никаких процентов не может быть — есть только числа.
По условию задачи, нам известны КПД η = 60% и температура
холодильника T1 = 200. Подставим эти числа в формулу — получим
уравнение:
60 · T1 = (T1 − 200) · 100.
Обратите внимание: единицы измерения снова не пишутся. Никаких
процентов, никаких градусов Кельвина — только обычные числа.
В принципе, аналогично следует поступать во всех задачах B12.
Просто до сих пор мы не акцентировали внимание на этом моменте,
но с процентами надо работать аккуратно.
Итак, решаем уравнение:
60 · T1 = (T1 − 200) · 100;
60T1 = 100T1 − 20 000 — раскрыли скобки;
60T1 − 100T1 = −20 000 — собрали все слагаемые с T1 слева;
−40T1 = −20 000;
T1 = 500 — разделили все на −40.
Как видим, задача свелась к простому линейному уравнению, которое
имеет один корень. Это очень хорошо, поскольку, в отличие
от квадратных уравнений, здесь не придется размышлять, какой
из корней записать в ответ.
Ответ
500
Задача 454
Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется
формулой:
При каком минимальном значении температуры
нагревателя T1КПД этого двигателя будет не меньше 60%,
если температура холодильника T2 = 400? Ответ дайте в градусах
Кельвина.
Решение
Задача полностью аналогична предыдущей. Преобразуем исходную
формулу, а затем подставим в нее известные переменные:
η · T1 = (T1 − T2) · 100 — преобразовали формулу;
60 · T1 = (T1 − 400) · 100 — подставили числа;
60T1 − 100T1 = −40 000 — группируем слагаемые,
содержащиепеременную T1;
−40T1 = −40 000;
T1 = 1000 — разделили обе стороны на коэффициент −40.
Ответ
1000
Задача 455
Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется
формулой:
При каком минимальном значении температуры
нагревателя T1КПД этого двигателя будет больше 80%,
если температура холодильника T2 = 100? Ответ дайте в градусах
Кельвина.
Решение
Еще одна задача-клон. Приведу лишь краткое решение:
η · T1 = (T1 − T2) · 100 — преобразованная формула;
80 · T1 = (T1 − 100) · 100 — подставили числа;
80T1 − 100T1 = −10 000;
−20T1 = −10 000;
T1 = 500 — это и есть ответ.
Ответ
500