f (х 0 )+

Лекция 6.
10 класс.
Тема: «Применение непрерывности и производной».
Цель: показать применение непрерывности, вывести уравнение
касательной к графику функции и уметь применять данное уравнение,
использование производной в приближенных вычислениях, в физике и
технике.
1. Применение непрерывности.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка J , то её
называют непрерывной на промежутке J.
График представляет на этом промежутке непрерывную линию.
Функция дифференцируемая в точке х0, непрерывна в этой точке.
Все дробно- рациональные и основные тригонометрические функции
дифференцируемы во всех точках области определения, следовательно ,
непрерывны в каждой из этих точек.
Свойства непрерывности функций.
Если на интервале (а, в) функция f непрерывна и не обращается в 0, то она
на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Доказательство: допустим f (х1)> 0, а f (х2)< 0, тогда это противоречит
условию; функция f не обращается на интервале (а, в) в нуль.
Использование
интервалов.
этого
свойства
при
решении
неравенств
методом
1)Находим нули функции, а в интервалах по данному свойству сохраняется
знак;
2)Вычисляем знак функции в одном из этих интервалов, затем пойдет
чередование знаков.
Пример 1.
𝑥 2 −4
𝑥 2 −3х−4
≤ 0 Область определения: {х| х ≠ −1; 4}, обращается в нуль в точках -
2 и 2. Эти точки разбивают числовую прямую на 5 промежутков. Определим
знак на промежутке ]−∞; −2] при х=-3
1
(−3)2 −4
(−3)2 −3×(−3)−4
> 0.
Ответ:[−2; 1[ ∪ [2; 4[
Пример 2.
Найти один из корней уравнения х3 + 2х − 2 = 0 с точностью до 0,1.
Функция непрерывна, найдем отрезок длиной 0,2, на концах которого
имеет значения разных знаков.
[𝟎; 𝟏].
f
[𝟎, 𝟔; 𝟏].
f (1)=1+2-2=1> 0
f (0,6)=(0,6)3 + 2 × 0,6 − 2 = −0,584 < 0.
f (0)=-2< 0.
f (1) > 0 .
[𝟎, 𝟔; 𝟎, 𝟖].
f (0,6) < 0
f (0,8)=0,112> 0, следовательно х≈ 0,7.
Работа с учебником П. 3 И П .4 стр. 126 рассмотреть материал вместе с
учащимися.
2.Касательная к графику функции.
1)Совместное чтение стр. 129 П1. Касательная. Рассмотреть рис. 92.
Угловой коэффициент
∆𝑦
∆𝑥
секущей при ∆х → 0
∆𝑦
∆𝑥
→ 𝑓(𝑥0 )/.
Касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 𝟎.
Если существует производная в точке х0, то существует касательная в точке
(х0; 𝑓(𝑥0 )), при этом угловой коэффициент касательной равен f /(х0)
( геометрический смысл производной).
2)Уравнение касательной.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом f /(х0) имеет вид
У = f /(х0)× х + в.
Найдем в. Касательная проходит через точку А: f (х0)= f /(х0)х0+в, откуда в =
(х0)- f /(х0)х0.
У= f /(х0)× х + f (х0)- f /(х0)х0= f /(х0)(х-х0)+ f (х0)= f (х0)+ f /(х0)(х-х0)
2
У= f (х0)+ f /(х0)(х-х0)
Пример1.
Написать уравнение касательной в точке х0=-1 функции
3
У= .
х
3
3
х0
−1
1) f (х0)= =
= -3;
−3
2) f /(х0)= 2 =-3;
𝑥
3)х-х0=х+1;
У=-3 – 3(х+1)=-3-3х-3=-х-6.
Ответ: у+3х=-6.
3) Формула Лагранжа.
Совместное чтение стр. 131, рассмотреть и проанализировать рисунки.
f/ ( с )=
𝐟(в)− 𝐟(а)
в−а
.
3.Приближенные вычисления.
Пример1.
f(x)=х4+2х, х1=2,016. Пусть х0=2, тогда f(x) → 𝑓(𝑥0 ).
f(2 )= 24+2*2=16+4=20.
График f в окрестности точки 2 близок к прямой
У= f (х0)+ f /(х0)(х-х0) касательной в точке 2.
f(2,016 ) ≈у( 2).
f/ (x)=4х3+2, f /(х0)= f /( 2 )=4*23+2=4*8+2=34.
f(x) ≈у(х)=20+34(2,016-2)=20+34*0,016=20+0,544=20,544.
f(2,016) ≈ 2,0164+2*2,016=20,544…
(вычисление на микрокалькуляторе).
Чтобы найти приближенное значение функции в точке надо найти f(x) по
формуле уравнения касательной.
3
f(x) ≈ f (х0)+ f /(х0)(х-х0). (1 формула).
Пример2.
Выведем из первой формулы
формулу нахождения приближенного
значения √х.
𝟏
√х = √𝟏 + ∆х ≈ 𝟏 + 𝟐 ∆х (2 формула).
f(x)= √х, х0=1, х= х0+ ∆х.
f(1)= √1=1, f/ (x)=
𝟏
𝟐 √х
, f/ (1 )=
𝟏
𝟏
= ,
х-х0=∆х.Подставим в первую формулу
𝟐√1 𝟐
𝟏
f(x)=1+ ∆х .
𝟐
𝟏
Следовательно : √х = √𝟏 + ∆х ≈ 𝟏 + ∆х .
𝟐
1
√5,07 = √4 × 1,26 = 2√1,26 = 2√1 + 0,26 ≈ 2 (1 + × 0,26) =
2
2(1 + 0,13) = 1,13 × 2 = 2,26.
Пример3.
(𝟏 + ∆х)𝒏 ≈ 𝟏 + 𝒏∆х
(3 формула)
f(x)=хn, х0=1, х= х0+ ∆х.
f(x0)=1, f/ (x)= 𝑛𝑥 𝑛−1 ,
f/ (x0)=n, f(x) ≈ f (х0)+ f /(х0)(х-х0).
f(x)=1+n∆х.
1
0,99730
,
1
0,99730
1
1,00520
n=- 30 , ∆х = −0,003.
= 1+ (-30)*(-0,003)=1+0,09=1,09 .
=1+ (-20)*0,003=1-0,6=0,4.
Пример4.
𝐬𝐢𝐧 х ≈ ∆х (4 формула).
sin х ≈ f (х0)+ f /(х0)(х-х0).
f(x)= sin х, х0=0, ∆х =
𝜋
1800
, 10 =
𝜋
1800
,
f(x0)= sin0 = 0, f/ (x0)=cos 0=1
4
sin 1 ≈
𝜋
1800
≈ 0,017453.
1. f(x) ≈ f (х0)+ f /(х0)(х-х0).
𝟏
2. √х = √𝟏 + ∆х ≈ 𝟏 + ∆х .
𝟐
3. (𝟏 + ∆х)𝒏 ≈ 𝟏 + 𝒏∆х.
4. 𝐬𝐢𝐧 х ≈ ∆х .
𝜋
𝜋
𝜋
3
3
3
cos 610 =cos(600 + 10 )=cos ( + 0,0175) ≈ cos − sin × 0,0115 ≈ 0,49.
√3
2
f(x0)= cos 600 , f/ (x0)=-sin 600 =- .
У= f
(х0)+ f
/
(х0) ∆х
1
= −
2
√3
2
1
1
2
2
× 0,0175 = (1 − 1,7 × 0,0175) = (1 −
0.02975)=0,5× 0.97025 = 0,485125 ≈ 0,49
5