Главе IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Главе IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРИ
РАСЧЕТЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Преобразование Лапласа
Спектральный метод анализа позволяет уяснить физические процессы в цепях и в ряде
случаев сравнительно прост. Но в некоторых случаях вычисление интеграла Фурье оказывается
затруднительным. Кроме того, спектральный метод не является универсальным. Действительно,
преобразование Фурье применимо лишь к абсолютно интегрируемым функциям, т.е.
удовлетворяющим условию


f (t ) dt   .
(4.1)

Возникают затруднения и при использовании обычного вида этого метода для решения
задач, в которых начальные условия отличны от нуля, т.е. когда цель имеет начальный запас
энергии.
Спектральный метод становится более универсальными нахождение обратного
преобразования Фурье облегчается, если интеграл Фурье распространить на комплексное
переменное, т.е. если перейти от вещественного переменного  к комплексному переменному
p    j .
t и равна нулю при t  0 ,
t
причем она может не удовлетворять условию (4.1). Умножая f (t ) на e , где   const и
  0 , получим, пользуясь выражением (3.1):
Пусть функция f (t ) задана для положительных значений

 f (t )e
t
e
 jt

 dt  f (t )e (  j )t  dt S (  j ).
0
(4.2)
0
На основании (3.2) тогда имеем
f1 (t )  f (t )e t 
1
2

 S (  j )e
jt
 d .

Отсюда видно, что
f (t ) 
1
2

 S (  j )e

Вводя комплексную переменную
jt
 d
(4.3)
p    j , запишем вместо (4.2)

F ( p)   f (t )e  pt  dt .
(4.4)
0
Полученное
соотношение,
преобразующее
вещественную
функцию
f (t )
вещественного переменного
t в функцию F ( p ) комплексного переменного p , называется
преобразованием Лапласа. Функцию F ( p ) называют изображением функции f (t ) , а саму
функцию f (t ) называют оригиналом. Символически связь между изображением и оригиналом
записывается так:

F ( p) 

f (t )

Из изложенного следует, что изображение F ( p ) может быть формально получено из
j комплексным переменным p . Функция f (t )
имеет изображение, если f (t )  Me , где M и  - постоянные числа. В качестве примера
прямого преобразования Фурье заменой
t
функции, не имеющей изображения, можно привести
2
e t или 1 . Функции, встречающиеся в
t
радиотехнике, обычно имеют изображение.
Теперь в ином виде представим выражение (4.3), переходя к переменной p , Так как
p    j , то d 
p
j
, a пределы интегрирования в (4.3) при изменении
теперь будут соответственно
  j
и

от   до 
  j .Тогда получаем:
 
f (t ) 
1
F ( p)e pt  dp .
2  
(4.5)
Это соотношение, которое известно в математике как формула обращения РиманаМоллина, иногда называют обратным преобразованием Лапласа.
В отличие от интеграла Фурье, где функция f (t ) представлена суммой бесконечно
большого числа элементарных гармонических колебаний, здесь функция f (t ) представлена
суммой бесконечно большого числа элементарных колебаний, убывающих по
экспоненциальному закону.
В выражении (4.5) интегрирование ведется по прямой, лежащей на плоскости
комплексного переменного p    j и отстоящей от оси мнимой величины j на
расстоянии  . В теории функций комплексного переменного *) доказывается, что
интегрирование в выражении (4.5) может быть произведено по замкнутому контуру (рис. 4.1).
Контур интегрирования должен охватывать все полюсы подинтегралыюй функции, т.е. точки
p1 , p2 ,..., pk плоскости комплексного переменного, в которых подинтегральная функция
выражения (4.5) обращается в бесконечность. Вычисление интеграла при этом сводится к
определению суммы вычетов (обозначаемых буквами res ) подинтегральной функции в
полюсе, т.е.

n
1
pt
F
(
p
)
e

dp

res k F ( p )e pt


ABC
2j
k 1

(4.6)
При вычислении вычетов подинтегральную функцию во многих случаях можно
представить в виде отношения двух функций:
P( p)
.
Q( p)
Значения комплексного переменного p  pк , при которых знаменатель Q ( p )
F ( p)e pt 
обращается в нуль, а следовательно, подинтегральная функция — в бесконечность, и будут
полюсами под интегральной функции. В данном случае полюсы являются корнями уравнения
Q ( p )  0 . Число полюсов подинтегральной функции определяется числом корней этого
уравнения.
Пусть число полюсов равно



n . Каждый из них может иметь различный порядок, обозначаемый
Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного. М., 1965
Романовский П.И. Ряды Фурье, теория поля, аналитические и специальные функции,
преобразование Лапласа. М., 1961
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.-Л., 1948.
*)
через
m . Порядок m полюса pк равен порядку младшей отличной от нуля производной
функции Q ( p ) по p при p  pк , т.е. порядку производной
 d m  Q( p) 


m
 dp
 p  pК
Вычет подинтегралъной функции в полюсе
p1 порядка m находится по формуле
 P( p)

1
d
res1 
 m1 
( p  p1 )
(m  1)! dp  Q( p)
 p  p1
m 1
Если полюс
выражением
p1 простой, т.е. первого порядка, то вычет в этом полюсе определяется
 P( p) 
res1  
.

 dQ( p ) dp  p  p1
(4.8)
Для пояснения изложенного рассмотрим простейшие примеры. Пусть задана единичная
функция f (t )  1(t ) . Изображение этой функции будет

F ( p)  1 e  pt  dt 
0
1
.
p
Тогда оригинал по этому изображению находится с помощью (4.5)
  j
1
e pt
f (t ) 
dp
2j  j p
или, так как полюс подинтегральной функции
функции в этом полюсе
p1  0 , то согласно (4.8) вычет подинтегральной
res1 
e pt
1
1
p1  0
и на основании (4.6) имеем f (t )  1(t ) , т.е. получаем исходную функцию. Символически
можно записать:
 1
1 .
 p
(4.9)
Пусть теперь задана экспоненциальная функция
f (t )  Ee t при t  0,
f (t )  0
при t  0
Изображение этой функции:

F ( p)  E  e t  e  pt  dt 
0
E
.
p
По найденному изображению определим теперь оригинал
  j
E
e pt
f (t ) 
dt.
2j  j   p
Полюсом подинтегральной функции является
p1   . Вычет в этом полюсе равен
 Ee pt 
res1  
 Ee t  f (t ).

1

 p1  
Таким образом, можем записать:

Ee t 

E
.
p
(4.10)
f (t )  et 1(t ) , то оказывается
Легко убедиться, что если задана функция
справедливой запись

1
.
p 
Для дельта функции  (t  t1 ) изображение имеет вид:
et 1(t )  

(4.11)
 
 (t  t1 )    (t  t1 )e  pt  dt  e  pt
1

.
(4.12)
0
Для вычисления оригиналa f (t ) по известному изображению кроме рассмотренного
способа вычетов в ряде случаев удобно применять так называемую теорему разложения,
предложенную Хевисайдом.
Пусть изображение F ( p ) является рациональной дробью
F ( p) 
F1 ( p )
,
F2 ( p )
представляемой через полиномы
F1 ( p) и F2 ( p) , причем степень F1 ( p) меньше степени
F2 ( p) . Тогда можно показать, что если уравнение F2 ( p)  0 имеет n различных корней, то
функция F ( p ) представляется следующей суммой:
n
F (p )
1
F ( p)   1 K 
.
(4.13)

K 1 F ( p ) p  p K
2
K
1
, получим выражение для
p  pK
нахождения по изображению F ( p ) оригинала, т.е. функции f (t ) :
n
F (p )
f (t )   1 K  e pK t .
(4.14)

K 1 F ( p )
2
K
Находя по формуле (4.11) оригинал функции
Это выражение, являющееся записью теоремы разложения, позволяет представить
искомую функцию f (t ) в виде совокупности n экспоненциальных функций. При этом
предполагается, что функция f (t ) тождественно равна нулю при t  0 .
Выражению (4.14) можно придать иной вид для случая, если один из корней уравнения
F2 ( p)  0 равен нулю. Обозначим F2 ( p)  p( p) , где  ( p ) - полином, не имеющий
нулевых корней. Выделим в выражении (4.13) слагаемое, соответствуют ее нулевому корню.
Так как в принятом обозначении для производной функции
F2 ( p) имеем

F2 ( p)  ( p)  p ( p) , то вместо (4.13) получаем:
F (0) 1 n F ( p )
1
.
F ( p)  1    1 K 
(0) p K 1 p K ( p) p  p K
Учитывая выражения (4.9) и (4.11), получаем для нахождения оригинала f (t ) по
заданному изображению F ( p ) выражение
n
F1 (0)
F (p )
(4.15)
1(t )   1 K  e pK t ,
(0)
K 1 p K ( p K )
где p K - корни уравнения  ( p )  0 . Если полином F2 ( p) имеет кратные корни, формула для
нахождения f (t ) значительно усложняется и ее рассматривать не будем.
f (t ) 
4.2. Основные свойства преобразования Лапласа
Рассмотрим теперь некоторые свойства преобразования Лапласа, необходимые для
решения многих задач по переходным процессам в радиотехнических цепях.
Если функция f1 (t )  Af (t ) , где A - постоянная величина, а функция f (t ) имеет
изображение F ( p ) , то

f1 (t )  AF ( p) .
(4.16)

f1 (t )  f 2 (t ) , то, осуществляя прямое преобразование
Если задана сумма функций
Лапласа, находим:

 f1 (t )  f 2 (t ) F1 ( p)  F2 ( p),
где




(4.17)
F1 ( p)  f1 (t ) , F2 ( p)  f 2 (t ) .
Если функция f (t ) имеет изображение F ( p ) ,то для функции, запаздывающей на
время
t1 , будет иметь место запись

f (t  t1 )  F ( p)e  pt1 .
(4.18)

Изображение производной по времени от функции f (t ) , т.е. изображение от f (t ) ;
находим, производя преобразование Лапласа:


f (t )e  pt  dt   e  pt  df (t )  f (t )e  pt

0

0

 p  f (t )e  pt  dt ,
0
0
или, так как

 f (t )e
 pt
 dt  F ( p)
0
является изображением функции f (t ) ,a
f (t )e  pt
t 
 0 , то

f (t )  pF ( p)  f (0)
(4.19)

При нулевых начальных условиях, т.е. при f (0)  0 , получим:

f (t )  pF ( p) .

Аналогичные вычисления позволяют найти изображение для интеграла от функции
f (t ) :


f (t )dt 

F ( p)  (0)
,

p
p
(4.20)
где
 (0)   f (t )dt
при
t  0.

Если имеем две функции и их изображения, т.е. если дано
f1 (t )  F1 ( p) , а


f 2 (t )  F2 ( p) , то функция (t ) , образованная по формуле

t
(t )   f1 ( ) f 2 (t   )d ,
0
т.е. полученная путем так называемой операции свертки функций
f1 (t ) и f 2 (t ) будет на
основании прямого преобразования Лапласа иметь изображение F ( p ) , равное
F ( p)  F1 ( p)  F2 ( p) .
Полученное соотношение носит название теоремы свертывания (называемое также
теоремой Бореля) и записывается так:
t

F1 ( p) F2 ( p)   f1 ( ) f 2 (t   )d .

(4.21)
0
Это выражение может иметь и другой вид:
t

F1 ( p) F2 ( p)   f 2 ( ) f1 (t   )d

(4.22)
0
При решении задач и выполнении технических расчетов с использованием
преобразования Лапласа приходится находить изображение функции по оригиналу и наоборот.
Для облегчения расчетов пользуются обычно справочниками, содержащими таблицы функций и
их изображения). В этих справочниках часто приводятся изображения, найденные на
основании преобразования Карсона:

F ( p)  p  f (t )e  pt  dt ,
(4.23)
0
отличающегося от выражения (4.4) множителем p . Так, изображение единичной функции

1(t ) , полученное на основании преобразования
Карсона, имеет вид
1(t ) 1 . При 
необходимости легко осуществить переход от изображения по Карсону к изображению по
Лапласу, разделив соответствующее выражение на p .
4.3. Расчет переходных процессов с помощью преобразования
Лапласа.
Преобразования Лапласа и Карсона лежат в основе так называемого операторного
метода решения линейных дифференциальных уравнений, а также анализа переходных
процессов. Поясним сущность операторного метода на основе преобразования Лапласа.
Рассмотрим уравнение Кирхгофа для последовательного L, C , R контура, на который
действует э.д.с. e(t ) :
L
di
1
 Ri   idt  e(t )
dt
C
(4.24)
При решении задачи операторным методом от этого уравнения необходимо перейти к
равенству, связывающему изображения функций i (t ) и e(t ) , преобразуя обе части уравнения
(4.24) по Лапласу.
Если известны изображения функций, т.е.




i(t )  I ( p) и e(t )  E ( p) , то на
основании рассмотренных выше свойств преобразования Лапласа получаем вместо уравнения
(4.24) выражение
I ( p)( R  pL 
u (0)
1
.
)  E ( p)  LI (0)  C
pC
p
(4.25)
Это линейное алгебраическое уравнение с неизвестной функцией I ( p ) . Значения тока
I (0) и напряжения на емкости uC (0) находятся из начальных условий задачи. Таким образом,
операторный метод решения задачи уже в исходном уравнении учитывает начальные условия,
определяемые исходным энергетическим состоянием цепи.
Из выражения (4.25) находим изображение искомого тока
)
Диткин В.А., Кузнецов Н.И. Справочник по операционному исчислению. М.-Л., 1951.
Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.,
1961.
I ( p) 
E ( p)  Li(0)  uC (0) p
,
Z ( p)
где Z ( p ) - импеданс цепи в операторной форме записи. Как видно, операторная форма записи
импеданса, или операторное сопротивление цепи. получается из выражения импеданса цепи Z
путем замены j на величину p . Зная изображение искомой функции, можно найти ее
оригинал, т.е. ток I (t ) .
При нахождении напряжения на элементах цепи пользуются операторной формой
записи коэффициента передачи K ( p ) , который называется также передаточной функцией
цепи.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов сводится к
последовательности следующих вычислений:
1) Составляются уравнения Кирхгофа для исследуемой цепи.
2) Находятся изображения заданных и искомых функций времени.
3) Записывается операторное уравнение, соответствующее исходному.
4) Решается алгебраически операторное уравнение относительно изображения, искомой
функции.
5) По изображению искомой функции находится ее оригинал. Для этого применяется
способ нахождения вычетов или теорема разложения.
В качестве примера найдем ток i (t ) в последовательной L, C , R цепи при
подключении к ней постоянного напряжения E . Пусть в момент включения, т.е. при
t 0 в
I (0)  0 и uC (0)  0 .Тогда из (4.25) имеем
E
I ( p)  E ( p) Z ( p) . Так как в данном случае E ( p)  , а операторное сопротивление цепи
p
1
, то операторное уравнение будет
Z ( p)  R  pL 
pC
E
1
I ( p)  
,
p R  pL  1 pC
оригинал i (t ) найдем с помощью обратного преобразования Лапласа, которое вычислим с
цепи не было запаса энергии, т.е.
помощью вычетов
  j
1
E
e pt
i(t ) 

dp   res
2j  j p R  pL  1 pC
полюсами подинтегральной функции являются значения p1, 2    j , где

R
1
2
2
2
2
,   0  ,  0 
,    0 .
2L
LC
Вычет в первом полюсе
E
e pt 
E t e jt
res1   

e 
.

2 j
 L 2 p  2  p1    j L
Вычет во втором полюсе
E
e pt 
E t e  jt
res 2   

e 
.

2 j
 L 2 p  2  p2   j L
Тогда искомый ток в контуре
E t  e jt  e  jt
i(t )   res K 
e 
L
2j
K 1

2
 E t
 
e  sin t .
 L
Теперь рассмотрим пример, когда начальные условия задачи не равны нулю (рис.4.2).
Предварительно ключ разомкнут и к цепи, состоящей из сопротивления R  R0 и
индуктивности
L , подключен последовательно источник гармонического напряжения
u (t )  U sin( t  ) . В момент t  0 ключ замыкается и R, L цепь оказывается
короткозамкнутой. Тогда для данной цепи при t  0 уравнение Кирхгофа имеет вид:
di (t )
Ri (t )  L
0.
dt

Вводя изображение для тока
I ( p)  i(t ) , запишем уравнение в операторной форме

RI ( p)  pLI ( p)  Li (0)  0 ,
откуда
I ( p) 
Li(0)
.
R  pL
Оригинал для изображения I ( p ) , т.е. искомый ток, найдем в данном случае не с помощью
вычетов, а при помощи теоремы разложения, пользуясь формулой (4.14).Так как в данном
примере, как видно из выражения для I ( p ) , F1 ( p)  Li(0) , а F2 ( p)  R  pL , то
R

F2 ( p)  L . Корнем уравнения F2 ( p)  0 является p1   . Подставляя полученные
L
значения в формулу (4.14),находим ток
Rt
i(t ) 
Rt

F1 ( p1 ) p1t Li(0)  L
e 
e  i(0)e L .

L
F2 ( p2 )
Значение i (0) находится из выражения для тока, протекающего в цепи
действием напряжения u (t )  U sin( t   ) . В момент
индуктивности имеет вид:
i(0) 
t  0 мгновенное значение тока в
U sin(    )
( R  R0 ) 2  (L) 2
где
  arctg
L
R  R0 , L под
,
.
R0  R
Тогда полученное выражение для тока i (t ) , описывающее переходный процесс в цепи,
принимает вид:
i(t ) 
U sin(    )
( R0  R) 2   2 L2
e

Rt
L
.
Переходной процесс в цепи, замкнутой накоротко, обусловлен энергией магнитного
поля, имеющегося у катушки индуктивности в момент коммутации (при t  0 ).