08-11-05

08-11-05. Свойства хорд, секущих и касательных
1. Построение подобных треугольников, связанных с пересекающимися хордами.
Пусть даны окружность S и ее хорды AB и CD , пересекающиеся в точке P .
Соединим между собой точки так, как на рисунке 1. Рассмотрим вписанные углы и
получим
CAP  BDP , как опирающиеся на дугу BC ;
ACP  DBP , как опирающиеся на дугу AD .
Отсюда следует, что треугольники ACP и BDP подобны.
Соединим теперь между собой точки так, как на рисунке 2. Аналогично предыдущему
получим, что треугольники ADP и BCP подобны.
Подобие рассмотренных треугольников оказывается полезным во многих задачах.
Пример 1. В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке M так, что
AM  MB и CM  2MD . Найти длину хорды CD , если AB  8 см.
Решение. Обозначим DM  x (см). Тогда CM  2x см. Так как треугольники AMC и
AM
4  4  2 x2 , x2  8 , x  2 2 .
BMD подобны, то MD
 CM
MB , откуда AM  MB  CM  MD или
Поэтому
CD  CM  MD  3MD  3x  6 2 (см).
2.* Рассмотрим хорды AB и CD окружности, пересекающиеся в точке P . Как
следует из предыдущего пункта, треугольники ACP и BDP подобны. Записывая
AP
равенство отношений соответственных сторон этих треугольников, получаем DP
 CP
BP ,
откуда
AP  BP  CP  DP
Это свойство пересекающихся хорд окружности сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P , то
AP  BP  CP  DP
Иногда эту теорему формулируют в следующем виде:
произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.
Пример 2. В окружности радиуса 7 см хорда AB длиной 10 см делит диаметр CD
точкой E в отношении 1:6. Найти отношение AE  BE .
Решение. Так как CD  14 см и CE  ED  1  6 , то CE  2 см, DE  12 см. Пусть
AE  x см. Тогда BE  (10  x) см. По свойству пересекающихся хорд имеем
AE  BE  CE  DE или x  (10  x)  2 12  24 . Приходим к уравнению x 2  10 x  24  0 ,
корни которого x1  4 , x2  6 . Поэтому либо AE  6 см, BE  4 см и AE  BE  3  2 ;
либо AE  4 см, BE  6 см и AE  BE  2  3 .
В обоих случаях хорда AB делится диаметром в одинаковом отношении.
3.** Справедливо утверждение, обратное свойству пересекающихся хорд окружности.
Если два отрезка AB и CD пересекаются в точке P и выполняется равенство
AP  BP  CP  DP , то точки A , B , C , D лежат на одной окружности.
Доказательство. Рассмотрим треугольника APC и BPD . Эти треугольники имеют
равные углы APC и BPD , а из равенства AP  BP  CP  DP следует равенство
AP
отношений DP
. Поэтому APC BPD по второму признаку подобия. Это значит,
 CP
BP
что соответственные углы CAP и BDP равны.
В результате получаем, что из точек A и D отрезок BC виден под равными углами.
Но так как точки A и D расположены в одной полуплоскости относительно прямой
BC , то из пункта 2.7 следует, что точки A и D лежат на одной дуге окружности с
концами B и C . Отсюда получаем, что точки A , B , C , D лежат на одной окружности.
Пример 3. Пусть окружности S1 и S 2 имеют общую хорду AB . Через точку P на
отрезке AB проводятся хорды MN окружности S1 и KL окружности S 2 (рисунок 7).
Покажем, что четырехугольник MKNL — вписанный.
Решение. Так как AB и MN хорды окружности S1 , пересекающиеся в точке P , то
AP  BP  MP  NP
Аналогично рассматривая хорды AB и KL окружности S 2 , получим
AP  BP  KP  LP . Следовательно, MP  NP  KP  LP , и на основании утверждения,
доказанного в этом пункте, получаем, что точки M , N , K , L на одной окружности.
4.* Возьмем окружность S и из точки P вне этой окружности проведем секущие AB
и CD (рисунок 8). Рассмотрим треугольники APC и DPB . Эти треугольники имеют
общий угол APD и равные углы ACD и ABD , так как эти углы опираются на одну дугу
AP
окружности. Поэтому APC DPB по первому признаку подобия, откуда DP
 CP
BP , что
можно записать в виде
AP  BP  CP  DP
Это свойство секущих окружности сформулируем в виде теоремы.
Если из точки P вне окружности проведены секущие AB и CD , то
AP  BP  CP  DP
Когда из точки P проводится секущая, пересекающая окружность в точках A и B ,
то отрезки PA и PB называются отрезками секущей. Поэтому доказанную теорему
иногда формулируют в следующем виде:
произведения отрезков секущих окружности равны между собой.
Пример 4. Вне окружности радиуса 3 см взята точка A , удаленная от центра O на
расстояние 7 см. Точка B окружности находится на расстоянии 8 см от точки A . Найти
расстояние от точки O до прямой AB .
Решение. Проведем прямые, как на рисунке 9, и вычислим AE  10 см, AF  4 см.
Пусть BC  x см. Тогда AC  (8  x) см. По свойству секущих AB  AC  AE  AF ,
откуда 8  (8  x)  4 10 . Из этого уравнения x  3 , то есть BC  3 см.
После этого задачу можно представить так: найти расстояние от центра O до хорды
BC длиной 3 см. Это уже несложно. Проведем OH  BC . Тогда CH  12 BC  23 см, а
поэтому OH 2  OC 2  CH 2  32  ( 32 ) 2 
27
4
, OH  3 23 см.
5.** Утверждение, обратное теореме о секущих.
Справедливо утверждение, обратное свойству секущих окружности.
Если продолжения двух отрезков AB и CD пересекаются в точке P и
выполняется равенство AP  BP  CP  DP , то точки A , B , C , D лежат на одной
окружности.
6.* Возьмем окружность S и из точки P вне этой окружности проведем секущую
AB и касательную PK (рисунок 11). Рассмотрим треугольники APK и BPK . Эти
треугольники имеют общий угол BPK и равные углы KAP и BKP , так как
KAP  12 BK и BKP  12 BK . Поэтому APK BPK по первому признаку подобия,
AP PK

откуда
, что можно записать в виде
PK BP
AP  BP  PK 2 
Это свойство секущей и касательной сформулируем в виде теоремы.
Если из точки P вне окружности проведены секущая AB и касательная PK , то
AP  BP  PK 2 
Эту теорему иногда формулируют в следующем виде:
произведение отрезков секущей равно квадрату касательной.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписанная
окружность делит высоту BH на отрезки BE  8 см, EH  10 см (рисунок 12). Найти
площадь треугольника ABC .
Решение. Обозначим через K точку касания стороны AB с окружностью. По
свойству касательной и секущей имеем BK 2  BE  BH  8 18  122 , откуда BK  12 см.
Если O — центр окружности, то OK  OE  5 см, а треугольник OKB прямоугольный.
ABH
Поэтому
получим
tan OBK  125 . Из прямоугольного треугольника
AH  BH  tan ABH  18  125  152 . Следовательно,
S
ABC
 12  AC  BH  AH  BH  152 18  135 (см 2 ).
7.** Справедливо утверждение, обратное свойству касательной и секущей.
Если точки A и B расположены на одной стороне угла с вершиной P , точка K
расположена на другой стороне угла и выполняется равенство AP  BP  PK 2 , то
прямая PK касается окружности, проходящей через точки A , B и K .
Рассмотрим один пример, где это утверждение используется.
Пример 6. Турист, двигаясь по прямой дороге, желает сфотографировать некоторое
здание так, чтобы на снимке фасад здания получился как можно больше. Найдем, из
какой точки дороги ему следует фотографировать.
Решение. По законам фотографии длина изображения любого отрезка на пленке
зависит от угла, под которым виден отрезок: чем больше угол, тем больше изображение.
Поэтому для анализа задачи через произвольную точку M дороги m проведем дугу
окружности с концами A и B (рисунок 13). Известно, что из части плоскости,
ограниченной этой дугой и прямой AB , отрезок AB виден под большим углом, чем
AMB . Поэтому когда проведенная дуга пересекается с прямой m в двух точках, то
можно указать на прямой точку M 1 , для которой AM1B  AMB . Такое не удается
сделать, когда дуга окружности касается прямой.
Отсюда приходим к следующему способу решения задачи: нужно построить
окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся прямой m .
Для построения такой окружности заметим, что если прямая AB пересекает прямую
m в точке O , а окружность касается прямой m в точке M (рисунок 14), то
OA  OB  OM 2 . Построив отрезок длиной l  OA  OB , мы сможем на прямой m от
точки O отложить отрезок длины l и получить две точки M 1 и M 2 прямой m , для
выполняются равенства OM 12  OA  OB , OM 22  OA  OB . Описав окружность около
треугольников ABM1 и ABM 2 (рисунок 15), мы на основании утверждения, из данного
пункта получим две окружности, проходящие через точки A и B и касающиеся прямой
m.
Ответом к задаче о туристе является точка M 1 на рисунке 15.
8.** Степень точки относительно окружности.
Объединяет свойства хорд, секущих, касательных понятие степени точки
относительно окружности.
Степенью точки P относительно окружности радиуса R с центром O
называется число, равное OP 2  R 2 .
Если обозначить степень точки P через S ( P) , то S ( P)  OP 2  R 2 .
Степень положительна для точки P вне круга и равна PK 2 , где PK — отрезок
касательной. Поэтому для любой секущей, проходящей через точку P и пересекающей
окружность в точках M и N , будем иметь PM  PN  PK 2  S ( P) .
Для точки P на окружности степень равна нулю. Если провести через точку P
любую прямую, пересекающую окружность второй раз в точке N , то
PP  PN  O  S ( P ) .
Для точки P внутри окружности степень отрицательна. Проходящая через точку P
хорда AB , перпендикулярная OP , делится точкой P пополам, а поэтому
PA  PB  AP2  OA2  OP 2  S ( P) . Следовательно, для любой хорды MN , проходящей
через точку P , имеем PM  PN   S ( P ) .
Рассмотрим применение понятия степени точки относительно окружности на примере
доказательства формулы для расстояния между центрами окружностей, вписанной в
треугольник и описанной около него.
Формула Эйлера.
В любом треугольнике расстояние d между центрами вписанной и описанной
окружностей выражается из формулы d 2  R 2  2 Rr
где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство проведем в несколько этапов.
I. Сделаем чертеж, как на рисунке 17, и найдем степень точки F относительно
описанной окружности:
S ( F )  OF 2  R 2  d 2  R 2 
Так как точка F внутри окружности, то произведение длин отрезков любой хорды
описанной окружности, проходящей через точку F , равно S ( F )  R 2  d 2 . В частности,
R 2  d 2  BF  FK 
II. Обратим внимание на треугольник FKC (рисунок 18). Если обозначим
ACF  AFC   ,
KFC  FBC  FCB     ,
то
ABF  FBC   ,
FCK  FCA  ACK  FCA  ABK     . Следовательно, треугольник KFC
равнобедренный и KF  CK . Поэтому, R 2  d 2  BF  FK  BF  CK .
III. Построим два прямоугольных треугольника KMC и FBR (рисунок 19). Из
KC
равенства KMC  FBP следует подобие этих треугольников, откуда KM
FB  FP . Так как
по построению KM  2 R и FP  r , BF  CK  KM  FP  2Rr . Вспоминая равенство
BF  CK  R 2  d 2 , получаем R 2  d 2  2 Rr или d 2  R 2  2 Rr , что и требовалось
доказать. Из формулы Эйлера следует, что если внутри одной окружности взять другую
окружность, то не всегда существует треугольник, для которого эти окружности
являются описанной и вписанной. Такие треугольники существуют только при
выполнении равенства d 2  R 2  2 Rr , причем их бесконечно много (рисунок 20).
Контрольные вопросы
1. Какое свойство имеют пересекающиеся хорды окружности?
2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков
пересекающихся хорд.
3. Какое свойство имеют секущие, проведенные к окружности из одной точки?
4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков
секущих.
5. Какое свойство имеют касательная и секущая, проведенные к окружности из одной
точки?
6. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о произведении отрезков
секущей и касательной.
7. Как через две данные точки провести окружность, касающуюся заданной прямой?
8. Как определяется степень точки относительно окружности?
9. Как степень точки связана с отрезками хорд и секущих?
10. Какие задачи, связанные с именем Леонарда Эйлера, вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Из точки вне окружности проведены касательная длины a и секущая. Вычислите длину
секущей, зная, что отношение внешней части к внутренней равно m  n .
2. Найдите вне данной окружности такую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к
этой окружности, была вдвое меньше секущей, проведенной из той же точки через
центр.
3. Определите величину описанного около окружности угла, если кратчайшее расстояние
от его вершины до окружности равно радиусу.
4. Пусть AB — диаметр окружности, BC – касательная. Секущая AC делится
окружностью в точке D пополам. Определите угол DAB .
5. Даны окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из
двух дуг, стягиваемых хордой. Найдите на касательной точку, из которой хорда видна
под наибольшим углом.
6. Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие
части делятся стороны треугольника полуокружностью, а полуокружность — сторонами
треугольника?
7. Найдите наименьшую хорду, которую можно провести через данную точку внутри
окружности.
8. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40 . Одна из боковых сторон
треугольника служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами
на три части. Найдите градусные меры этих частей.
9. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB . При вращении плоскости
вокруг центра O отрезок AB заметает кольцо с центром O . Докажите, что площадь
кольца не зависит от расстояния между точкой O и прямой AB .
10. Даны прямая a и точки A и B на этой прямой. Найдите множество точек касания
всевозможных пар касающихся между собой окружностей, одна из которых касается
прямой a в точке A , а другая касается прямой a в точке B .
11. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность S .
Высота AH треугольника продолжена до пересечения с окружностью S в точке D .
Найдите площадь треугольника ABC , если AH  9 см, AD  13 см.
12. Окружность S касается сторон угла с вершиной F в точках A и B . Через точку A
параллельно FB проводится хорда AC окружности S . Пусть K — вторая точка
пересечения прямой FC с окружностью S . Докажите, что прямая AK проходит через
середину отрезка FB .
13. Докажите, что если две окружности касаются внешним образом, то отрезок их общей
внешней касательной равен среднему геометрическому диаметров этих окружностей.
14. К окружности с центром O проведены параллельные касательные прямые a и b .
Третья касательная прямая m пересекает прямые a и b в точках A и B . Докажите, что
угол AOB не зависит от выбора прямой m .
15. К окружности с центром O проведены две пересекающиеся касательные прямые a и
b . Третья касательная прямая m пересекает прямые a и b в точках A и B . Докажите,
что угол AOB может принимать только одно из двух значений.
16. На данной прямой MN найдите точку, из которой данный отрезок виден под
наибольшим углом.
17. Через заданную точку M внутри окружности проведите хорду, чтобы отрезки ее,
заключенные между точкой M и окружностью, имели данное отношение p  q .
18. Через заданную точку вне окружности проведите прямую так, чтобы отрезки ее,
заключенные между этой точкой и окружностью, имели данное отношение m  n .
19. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и данной на основании точке,
через которую проходит биссектриса угла при вершине.
20. Впишите в данную окружность треугольник, у которого даны основание и отношение
двух других сторон.
21. Впишите в данную окружность треугольник, у которого даны основание и медиана,
проведенная к одной из оставшихся сторон.
22. В окружности проведены два диаметра. Постройте хорду, которая делится этими
диаметрами на три равных отрезка.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 2. Указание. Пусть секущая и касательная проведены так, как на рис 4.
Тогда, с одной стороны, AD 2  AC  AB , с другой стороны, AD 2  AO 2  OD 2 .
Задача 8. Указание. Эта окружность проходит через основания высот,
проведенных из вершин, которые являются концами диаметра окружности.
Задача 10. Указание. Искомое множество является окружностью с диаметром AB ,
из которой удалены точки A и B .
Задача 11. Указание. По свойству пересекающихся хорд окружности имеем
равенство AH  HD  BH  HC , что позволяет выразить длину отрезка BC через BH .
После этого запись теоремы Пифагора для треугольника ABH приводит к нужному
уравнению.
Задача 12. Указание. Пусть M — точка пересечения прямой AK с отрезком FB .
Так как KAF  KCA  KFM , то отсюда можно вывести подобие треугольников
FKM и AFM и получить равенство FM 2  MK  MA . Для отрезка MB по свойству
касательной и секущей имеем равенство MB2  MK  MA . Следовательно, FM  MB , что
требуется доказать.
Задача 15. Указание. Пусть C — точка пересечения прямых a и b . Лучи AO и
являются
биссектрисами либо углов A и B треугольника ABC , либо тех углов,
BO
которые смежны углам A и B .
Задача 19. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса угла треугольника при
продолжении пересекает описанную окружность в середине соответствующей дуги.
Задача 20. Указание. Предположим, что искомый треугольник ABC построен, то
есть сторона AB равна заданному отрезку и отношение AC : CB равно данному
отношению m : n. Отметим на стороне точку так, что (рис. 5). Тогда AL : AC = (m – n) : n
и
1
 ALB = 90  +  ACB .
2
Следовательно, можно построить окружность, которая гомотетична заданной
mn
окружности относительно точки A с коэффициентом k =
, и построить дугу, из
m
1
точек которой отрезок виден под углом (90  +  ACB).
2
Заметим, что задача имеет два существенно отличающихся друг от друга решения,
так как точку C можно искать как на большей, так и на меньшей дуге окружности.
Задача 21. Указание. Предположим, что искомый треугольник ABC построен, то
есть его сторона AB и медиана AM равны заданным отрезкам. Тогда BM : MC  1: 2 .
Следовательно, с одной стороны, точка M должна находиться на окружности, которая
гомотетична заданной окружности относительно точки B с коэффициентом k  12 . С
другой стороны, точка M должна находиться на заданном расстоянии от точки A .
Задача 22. Указание. Достаточно научиться строить хорду, которая двумя
заданными радиусами делится на три равных отрезка.