Пример№ 13

22
Пример 13
Зависит ли нагружение балки моста приодинаковых внешних воздействиях от
конструкции моста?
1) Что необходимо определить? Если сможем доказать, что в одной конструкции реакции
связи больше, чем в другой, такой же длины и также нагруженной, тогда на заданный вопрос
получим утвердительный ответ.
Рассмотрим
самую
простую
L
RB
однопролетную
конструкцию
моста.
RA
b
Инженеры говорят, что опоры воспринимают
силы, обратно пропорциональные расстоянию
от точки приложения силы (если b=1/3L,
тоRA=1/3F и RB=2/3F). Предложим читателю
F
самому составить уравнения и убедиться в
этом.
2) Выбираем пряиоугольную систему координат. Ось x совпадает с балкой моста, а y
вертикальна и совпадает с направлением реакций опоры.
3) Какие механические величины надо найти? Необходимо найти реакции связи в какой-либо
другой конструкции. Для сравнения выберем конструкцию, состоящую из двух частей:
Y
RAB
a
x
RBA
A
A
B
3
F
y
h
B
x
RAB
RBA
y
y
RB
RA
1
2
x
X
RA
RB
L
Обе части моста между собой(3) и с берегами (1) и (2) соединены
неподвижными шарнирами. Такой шарнир (см. рис. справа) позволяет
одной детали поворачиваться относительно другой, но не позволяет
перемещаться. Т.о. у шарнира нет момента реакции, но есть силы
реакции в направлениях, по которым нет перемещений.
4) Какую модель выбираем? Модель материальной точки не годится, т.к. силы приложены в
разных точках. Поэтому используем модель твердого тела. Мост находится в положении
равновесия, поэтому уравнения равновесия (см.конспект лекций (2-3)) будут:
0   Fik ;
k
0   M kj ;
k
Т.к. все силы действуют в одной плоскости xy, то будут уравнения только двух проекций сил
(i=x, y) и одно уравнение моментов (j=z).
5) Применение модели к задаче. Три уравнения равновесия модели, если запишем их для
всего моста, не дают возможности рассчитать каждую реакцию связи, т.к. их четыре. Каждая
шарнирная опора моста позволяет поворачиваться, но не дает возможности перемещаться вдоль
осей x y. В каком направлении нет перемещения, там появляется сила – реакция связи. Таким
23
образом, число неизвестных реакций равняется 4. На первый взгляд кажется, что задача
статически неопределима. Есть 4 неизвестные реакции связи, а в систему (2-3) входят только 3
уравнения.
Уравнения равновесия остаются в силе не только для всего моста целиком, но и для
каждой его части. Разделим мост на две части и запишем для каждой части по три уравнения.
Уравнения моментов для каждой части запишем относительно опоры 3.
x
0  R xA  R BA
;
0   R Bx  R xAB ;
y
0  R yA  R BA
;
0  R By  F  R yAB ;
L
;
2
L
L
0  R Bx h  R By  F(  a) ;
2
2
0  R xAh  R yA
Сосчитав неизвестные в этой системе, видим, что в 6 уравнениях 8 неизвестных. Но это только
потому, что мы не учли третий закон Ньютона. Сила действия каждой части моста друг на
друга в шарнире 3 должна быть одинакова, т.е.
x
R xAB  R BA
 Rx
y
R yAB  R BA
 Ry
Поэтому в системе из 6 уравнений 6 неизвестных:
0  R xA  R x ;
0   R Bx  R x ;
Модель составлена.
0  R yA  R y ;
0  R By  F  R y ;
L
;
2
L
L
0  R Bx h  R By  F(  a) ;
2
2
0  R xAh  R yA
*********.
Решив полученную систему, приходим к положительному ответу на вопрос о реакциях опоры. Так
например, если L/2=h=a то все 6 реакций R=F/2.
Пример 14
Сколько опорных реакций может быть в одной опоре?
1) Что необходимо определить? У твердого тела возможны 6 движений:
a)три поступательных движения в направлении осей x, y, z
b)три вращательных движения относительно осей x, y, z.
Если рассматриваемое тело соприкасается с другим телом так, что какое-либо из этих движений
становится невозможным, то в направлении ограничения движения второе тело действует с
некоторой силой. Эта сила называется реакцией опоры. Соответственно, если ограничено
вращение, то возникает момент реакции.
На вопрос, сформулированный в заглавии, можно ответить, что больше шести реакций
связи не может быть, но их количество в каждом конкретном примере будет различно.
2) Используем прямоугольную систему координат..
3) Какие механические величины надо найти? Надо определить, сколько в каждой опоре
конкретной конструкции будер реакций опоры (моментов).
4) Какую модель выбираем? Шесть степеней свободы у твердого тела. Это и будет
рассматриваемая модель.
5) Применение модели к задаче. Рассмотрим следующие случаи:
a) Одна реакция опоры. Твердое тело находится на абсолютно гладкой поверхности, т.е.
принимается, что соприкасающиеся поверхности идеально отполированы. Контакт между
телом и поверхностью в точке. В данном случае связь (абсолютно гладкая поверхность)
ограничивает движение тела по оси z. Тело имеет пять степеней свободы – перемещение по
24
осям x и y и поворот относительно осей x, y и z. Реакция связи N направлена по нормали к
соприкасающимся поверхностям.
z
z
T
y

N
y
x
x
Рассмотрим еще один пример с одной реакцией связи. Тело подвешено на гибкой
нерастяжимой нити или тросе.
Гибкая нерастяжимая нить не позволяет телу удалятся от точки подвеса, т.е.
ограничивает движение по оси z. Реакция Т направлена вдоль нити к точке ее подвеса. Тело
имеет пять степеней свободы – перемещение вдоль осей x и y и поворот относительно осей x, y,
z.
b)Опора с двумя реакциями связи.
Цилиндрический ролик на абсолютно
z
y
гладкой поверхности. Ограничено только два
движения – нет возможности перемещения
вдоль оси z и нет поворота относительно оси
x. Соответственно, в уравнениях модели
x
должны быть опорная реакция в направлении
оси z и опорный момент по оси x. Остается
четыре степени свободы.
c)Опора с тремя реакциями связи.
Опора сделана в виде сферического
шарнира. Он позволяет поворот по всем трем
осям, но не дает перемещаться ни по одной из
осей.
Три опорные реакции Rx, Ry, Rz
приложены к центру шарнира.
z
Rz
Ry
Rx
x
A
y
25
d) Опора с четырьмя реакциями связи.
На
рисунке
показана
конструкция,
используемая в опорах моста. Ролик A дает
возможность одной части поворачиваться
относительно другой вокруг оси x. Ролики на
уровне B позволяют мосту скользить в
направлении оси y.
В данном случае возникают четыре
реакции связи: Rx, Rz, My, Mz.
z
A
y
B
e) Опора с пятью реакциями связи
Для вращающегося вала связями являются
удерживающий цилиндрический подшипник
(подпятник) A, цилиндрический подшипник B.
Единственная степень свободы - это вращение
вала, т.е. поворот относительно оси z.
Реакции RxA, RxB не дают перемещаться в
направлении оси x и образуют пару сил
(момент) относительно оси y.
Реакции RyA, RyB не дают перемещаться в
направлении оси y и образуют пару сил
(момент) относительно оси x.
x
B
RBy
RBx
A
RAy
RAx
RzA
Реакция RzA не дает перемещаться в
направлении оси z.
f)Все шесть опорных реакций
На рисунке показана балка, у которой один
конец жестко закреплен в стене. Относительно
стены балка не может ни поворачиваться, ни
перемещаться.
В
реальной
жизни
встречаются
разнообразные опоры, здесь даны только
отдельные примеры.
z
A
y
x
Выводы.
Если к телу в направлении какой-либо из шести степеней свободы приложена сила (при
поступательном движении) или момент (вращательное движение), то:
a) если опора не позволяет двигаться в данном направлении, то появляется реакция, и
для модели надо записывать уравнения равновесия;
26
b) в направлениях, где опора позволяет движение, приложенные силы (моменты)
вызывают движение и надо записывать дифференциальные уравнения движения.
Пример 15.
Как фигуристка может менять скорость своего вращения?
1) Что необходимо определить? Задача – используя законы
механики, пояснить, как фигуристке удается быстро менять
скорость вращения.
2) Выбор системы координат. Реально нас интересует только одна
ось – вокруг которой вращается спортсменка.
3) Какие механические величины надо найти? Нас интересует
изменение угловой скорости .
4) Какую модель выбираем? Т.к. нас интересует вращательное
движение, то выбираем модель твердого тела.
d 2z
J z 2   M kz
dt
k
5) Применение модели к задаче.
На объект как на твердое тело действует только сила тяжести.
Сила тяжести действует по оси вращения и не дает момента
относительно оси. Поэтому она не может влиять на изменение угловой скорости. Вращательное
движение происходит без внешнего момента силы – как расход энергии, накопленной при
начальном разгоне.
d 2z
Jz 2  0
dt
---- > J z
d z
 const ---- > J z   const
dt
Начиная вращаться, фигуристка держит руки максимально раскинутыми (см. положение массы
рук в положении А на ниже расположенной схеме). Желая увеличить скорость вращения,
фигуристка смыкает руки над головой, момент инерции массы рук стремительно уменьшается
(см. положение В). Вспомним (см. конспект лекций &2.2.2.), что
J z   r 2dm
Т.к. J z   const , то угловая скорость  изменяется пропорционально изменению
момента инерции
J A A  J B B
Рассмотрим модель, когда шарики много
тяжелее всех остальных вращательных
элементов конструкции. Тогда
z
h
A
s
B

J A  h 2m ; J B  s 2m
и выражение для угловой скорости будет
A  h 
 
B  s 
2
27
Пример 16.
Кривошипно-шатунный механизм двигателя внутреннего сгорния
1) Что необходимо определить?
y
a) Определить силы, действующие на звенья
Шатун
механизма. Силы от поршня передаются через
шарниры.

b) Определить момент вращения кривошипа.
c) Определить законы движения звеньев
механизма.
Кривошип
x
is
Поршень
2) Выбор системы координат.
Т.к. движение происходит в плоскости, то удобно направление оси z выбрать перпендикулярно
рисунку. Начало координат соединим с центром вращения кривошипа.
3)Какие механические величины надо найти?
a)Поршень движется только в направлении оси x, определить uvx(t);
b)Кривошип вращается вокруг центра, определить ;
c)Центр шатуна перемещается в направлении обеих осей и вращается, определить ukx(t), uvy(t),
k(t).
4) Какую модель выбираем? Надо учитывать вращательное движение, поэтому для каждого
тела (поршня, кривошипа и шатуна) выбираем модель твердого тела. Вместе это будет система
твердых тел.
5) Применение модели к задаче.
a) Уравнения для поршня
y
На поршень действует
давление газа F(t), которое
N
надо
найти,
исследуя
процесс горения топлива.
x
Собственный вес деталей
c3
R kv
F(t)
ничтожно мал в сравнении
x
с действующими силами, O
uxv
поэтому его не учитываем.
y
Шатун
соединен
с
R kv
поршнем при
помощи
шарнира, т.е. тела могут
поворачиваться, но не могут перемещаться друг относительно друга ни в направлении x, ни в
направлении y. Это означает, что в этих направлениях шатун действует на поршень с силами
Rxkv, Rykv. Давление на стенки поршня обозначим N. Система уравнений поршня (mv-масса
поршня):
x
 xv  F(t )  R kv
m vu
;
y
0  N  R kv
(P16-1)
b) Система уравнений для шатуна.
На шатун действует поршень. Так силы Rxkv, Rykv одинаковы, но противоположно направлены
силам действия шатуна на поршень Rxkv =-Rxvk , Rykv=Ryvk. На шатун действует и кривошип.
Это тоже шарнирное соединение, поэтому здесь тоже две проекции силы Rxk, Ryk
Руководствуясь рисунком, составляем три уравнения движения для трех степеней свободы
шатуна.
28
y
kx  R xvk  R x k ;
mk u
Rkx

Rvky
L
k
c
Rky
uky
O
B
x
Rvkx
ukx
ky  R yvk  R y k (P16-2);
mk u
L
 k  ( R xvk  R x k ) sin  
Jk 
2
L
 ( R yvk  R y k ) cos  ,
2
где mk, Jk масса и момент инерции
шатуна.
c) Уравнение движения кривошипа.
Rky
y

M
Угол  однозначно определяет положение
кривошипа, поэтому записываем это уравнение
Rkx
y

Rx
O
x
a
y
  M  R ka sin   R ka cos  ,
движения J
где J - момент инерции кривошипа относительно
оси вращения
M - момент, вызываемый преодолением
сопротивления
Кроме этого, есть еще два уравнения равновесия:
R
0  R kx  R x
0  R ky  R y
d) Уравнения геометрических связей.
Из рисунка видно, что угол вращения
кривошипа
однозначно
определяет
перемещения в точке B (поршня uv) и в точке
C (шатуна uxk, uyk, k).
u v  a(1  cos )  L(1  cos k ) ;
k  180 0   ;
ukx
(P16-3)
y
a
L
c
(P16-4)
L
 a(1  cos )  (1  cos k ) ;
2
uky 
y
x

k
B
L
sin k
2
Общая система уравнений
Уравнения
-2 уравнения (P16-1);
-3 уравнения (P16-2);
-3 уравнения (P16-3);
-4 уравнения (P16-4);
Итого 12 уравнений
Неизвестные
- 6 реакций R
- 1 реакция N
- 3 перемещения u
- 2 угла 
Итого 12 неизвестных
Дифференциальные уравнения
uxk, uyk, uv, k выражают через
(P16-4) . Остается одно
дифференциальное уравнение
второго порядка
Итого 1 диф.уравнение
29
6) Начальные условия
После выражения uxk, uyk, uv, k через  остается одно дифференциальное уравнение второго
порядка, для которого необходимо два начальных условия
a) Пусковой режим
(0)= 0 и (0)= 0
( 
d
);
dt
b) Стационарный режим, когда двигатель работает в равномерно, через каждый оборот
возвращаясь в прежнее положение
(t)= (t+T) и (t)= (t+T) , где T - время одного оборота.
Выводы:
Механизм состоит из трех тел, но все их движение определяет только угол поворота
кривошипа, т.е. у всех механизмов только одна степень свободы. Количество степеней свободы
уменьшают геометрические связи (см. уравнения (P16-4)).
Вопросы для проверки
1. Что такое траектория? Покажите, как составить уравнения модели для конкретного примера.
2. Когда можно применять модель материальной точки?
3. Какие проблемы механики можно решить при помощи модели материальной точки?
4. Зачем необходимы начальные условия? Покажите конкретный пример, где для уравнения
модели необходимы начальные условия.
5. Как можно рассчитать, на сколько надо стрелять вперед, чтобы попасть в летящую утку?
6. Может ли реакция опоры быть больше, чем вызывающая ее сила?
7. Поясните, что такое трение покоя. Составьте модель для примера, где необходимо
использовать это понятие.
8. Поясните, что такое трение скольжения. Составьте модель для примера, где необходимо
использовать это понятие.
9. Поясните, что такое трение качения. Составьте модель для примера, где необходимо
использовать это понятие.
10. Почему в автомашинах при торможении используются антиблокировочные устройства?
11. Составьте уравнения модели, чтобы определить тормозной путь автомобиля.
12.Составьте уравнения модели для определения необходимой мощности автомобиля.
13. Как учитывается в уравнениях модели сила, удерживающая самолет в воздухе?
14. Почему в аттракционе «мертвая пеля» вагоны не падают вниз? Составьте уравнения модели
чтобы пояснить, при каких условиях возможен этот аттракцион.
15. Как надо размещать спутник связи, чтобы он все время находился над одной и той же
точкой Земли?
16. Как определить, какой должна быть скорость ракеты, чтобы она вылетела в космос?
17. Составьте модель для определения скорости ракеты при выходе в космос.
18. Что такое количество движения? Покажите необходимые уравнения модели для решения
проблемы, в которой выгодно использовать данное понятие.
19. Что такое импульс силы? Покажите необходимые уравнения модели для решения
проблемы, в которой выгодно использовать данное понятие.
20. Как в уравнениях модели учитывают удар о препядствие?
21. Что такое коэффициент восстановления при ударе? Покажите необходимые уравнения
модели для решения проблемы, в которой выгодно использовать данное понятие.
22. Как изменяется при ударе составляющая скорости, которая направлена параллельно
поверхности удара? Почему?
30
23. Что такое коэффициент динамичности при ударе? Покажите необходимые уравнения
модели для решения проблемы, в которой выгодно использовать данное понятие.
24. Как используют понятие энергии, исследуя удар?
25. В каком вагоне поезда пассажиры чувствуют больше ударов при начале движения поезда?
Покажите, как эту зависимость можно описать при помощи уравнений модели.
26. Составьте уравнения модели чтобы определить, как катится колесо.
27. Дайте пример, где из всех уравнений равновесия конструкции нельзя найти реакции опоры,
но рассмотреть часть равновесия можно.
28. Дайте пример опоры, в которой одна реакция опоры.
29. Дайте пример опоры, в которой две реакции опоры.
30. Дайте пример опоры, в которой три реакции опоры.
31. Дайте пример опоры, в которой четыре реакции опоры.
32. Дайте пример опоры, в которой пять реакций опоры.
33. Дайте пример опоры, в которой шесть реакций опоры.
34. Как определить, сколько будет уравнений равновесия и сколько уравнений движения в
модели?
35. Как фигуристка может менять скорость своего вращения?
36. Как можно определить, сколько степеней свободы будет у механизма? Поясните на
примере.
37. Как можно определить, сколько уравнений надо составить для модели материальной точки в
конкретном примере?
38. Как можно определить, сколько уравнений надо составить для модели твердого тела в
конкретном примере?
39. Как можно определить, сколько уравнений надо составить для модели системы
материальных точек в конкретном примере?
40. Как можно определить, сколько уравнений надо составить для модели системы твердых тел
в конкретном примере?
41. Как можно определить, сколько уравнений надо составить для модели системы
материальных точек и твердых тел в конкретном примере?