Министерство образования и науки Челябинской области ГБОУ

Министерство образования и науки Челябинской области
ГБОУ СПО «Миасский педагогический колледж»
кафедра естественнонаучных и математических дисциплин
Т.П. Бромбина
Математические предложения
Учебно-методическое пособие
(специальность 05 01 46 «Преподавание в начальных классах»)
Миасс
2014
1
2
Бромбина Т.П. Математические предложения - Миасс:
МПК, 2014 - 18 с.
В обучении студентов тема «Математические
предложения» является одной из самых трудных тем
для восприятия.
В предлагаемом учебно-методическом пособии
представлено краткое содержание темы, основные
правила и способы рассуждений, а также задания
тренировочного,частично-поискового
и
исследовательского характера, а также математические
диктанты, тесты и в заключении дается контрольныая
работа.
Данное
учебно-методическое
пособие
рекомендуется использовать как на занятиях, так и для
самостоятельной работы студентов.
3
Содержание
1.Высказывания и высказывательные
формы……………….…………………………………………..…..5
2.Конъюнкция и дизъюнкция высказываний …………………...7
3.Высказывания с кванторами ………………………………...…8
4. Отрицание высказываний и высказывательных форм ………10
7.Отношения следования и равносильности между
предложениями…………………………………………………….12
8.Структура теорем. Виды теорем ……………………………….14
4
Введение
Изучая реальные процессы, математика описывает их,
используя как естественный словесный язык, так и свой
символический. Описание строится с помощью предложений.Но
чтобы математические знания были достоверными, правильно
отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны
быть истинными.
Как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или
ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с
ним связанные, вы найдете ответ в данном сборнике. А сейчас
нужно сказать, что каждое математическое предложение
характеризуется содержанием и логической формой (структурой),
причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя
осмыслить первое, не понимая второго. В данной теме изучение
математических предложений будет в основном связано с
раскрытием их логической структуры.
5
Высказывания и высказывательные формы
1) 2 + 5 > 8;
2) Х + 5 = 8;
3) В числе 15 один десяток и 5 единиц;
4) От перестановки множителей сумма не изменяется.
5) Число 12 – четное;
6) Некоторые числа делятся на 3.
Какую информацию несет в себе каждое из этих предложений?
 1 группа - 3, 4, 5, 6 предложения несут в себе истину
 2 группа - 2предложение - нет определенности
 3 группа - 2 - ложь
Определение:
 Предложение, относительно которого можно сказать
истинно оно или ложно, называется высказыванием.
 Обозначение A, B, C, …
 Предложение с переменной,которое обращается в
высказывание при подстановке вместо переменной
значений из множества X называетсявысказывательной
формой.
 Обозначение A( x), B(x,y) …
С понятием высказывательная форма связано еще два понятия:
□
Х – область определения (все значения,которые можно
подставить вместо переменной);
 Т – множество истинности (значения,которые обращают
высказывательную форму в истинное высказывание)
Понятия «область определения» и «множество истинности»
находятся в отношении «быть подмножеством»: Т ∈Х
Выполните упражнения:
1. Среди следующих предложений, рассматриваемых в
начальном курсе математики,укажите высказывания и
высказывательные формы:
а) (12-7) ∙ (6+3)=45;
б) (15+12):3>10
в) в любом прямоугольнике противоположные стороны
равны;
г) (12-х)∙4=24;
6
д) среди четырехугольников есть такие, у которых все
стороны равны;
е) число z – двузначное;
ж) произведение чисел 4 070 и 8 меньше, чем сумма чисел
18 396 и 14 174;
з) число 6 является корнем уравнения (12-х)∙4=24.
- Определите значение истинности высказываний.
2. Выделите среди предложений только высказывания,
определите значение их истинности:
а) 347<125;
б) 3х-2=4;
в) Какая сегодня температура воздуха в Москве?;
г) число х кратно 5.
Составные высказывания.
Для составных высказываний используют логические связки
«и», «или», «если, то», «тогда и только тогда», «не»,
«неверно,что» и др.
Например:
• Число 28 четное и делится на 7( 1-ое предложение - «число 28
четное», 2-ое предложение – «число 28 делится на 7», связка «и»);
• Если углы вертикальные, то они равны (1-ое предложение «углы
вертикальные», 2-ое предложение – «они равны», связка – «если,
то»).
Выполните упражнениия.
1. Среди следующих высказываний укажите простые и
составные:
а) Число 17 не делится на 5;
б) число 12 делится на 3 и на 4;
в) число 7 является делителемчисла 14;
2. В следующих предложениях выделите простые предложения
и логические связки:
а) √4 = 2 или √4 = -2;
б) противоположные стороны параллелограмма равны и
параллельны;
в) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма
цифр в записи числа делится на 3;
7
г) число 13 простое и не делится на 2;
д) если число делится на 6, то оно делится на 2.
Конъюнкция высказываний
 «Число 28 делится на 7 и на 4»
1-ое высказывание – «число28 делится на 7» ( А )
2-ое высказывание – «число 28 делится на 4» ( В )
Логическая связка «и»- соединяет высказывания
А ^ В – логическая структура данного составного высказывания
Конъюнкцией высказыванийА и В называется высказывание
А ^ В, котороеистинно тогда и только тогда,когда оба
высказывания истинны
А – «и»
В – « и»
Дизъюнкция высказываний
 « Число 28 делится на 7 или на 9.»
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание Аv
В, которое ложно тогда и только тогда,когда обавысказывания
ложны.
А – «л»
В – «л»
Например , найдем значение истинности высказываний:
а) √9 = 3 или √9 = - 3;
Решение:
√9 = 3 – «истина»
√9= - 3 – « истина»
Логическая связка «и» - конъюнкция.
Вывод: все высказывание истинно
б) 13 ≤ 5
Решение :
13 < 5 – «ложь»
13 = 5 – «ложь»
Логическая связка «или»
Вывод: все высказывание ложно
Выполните упражнения.
8
1. Найдите значение истинности следующих высказываний и
дайте соответствующие пояснения:
а) 15 кратно 3 и 12 кратно 3;
б) √16 = 4 или √16 = -4;
в) 5 ≥3;
г) х = 2 является корнем уравнения х2 = 9 или решением
неравенства
2х – 1 < 3;
д) – 2 < 3 < 1.
1.Математический диктант( да,нет)
( Высказывания переписывать не нужно, если оно истинно пишете «да», если ложно – пишете «нет»)
 1) В равнобедренном треугольнике АВС
биссектриса ВD является медианой и высотой.
2) Х > 7
3) Если запись числа оканчивается цифрой 0,то число
делится на 5.
4) Неверно,что число 17 делится на 3 .
5)Если a • b = 0,то a = 0 или b = 0.
6)Треугольник ABC не является равносторонний.
2.Тест на определение истинности высказывания.
( Рядом с высказыванием в скобках пишете «и» или «л»)
 Все натуральные числа больше единицы.
 Любое натуральное число делится на 2.
 Всякое число,делящееся на 5,оканчивается цифрой 5.
 Все города России находятся в Европе.
 В каждом месяце не меньше 30 дней.
 Существительные,оканчивающиеся буквой «е»,всегда
среднего рода.
 В русском языке подлежащее предложения всегда является
существительным.
Высказывания с кванторами
Рассмотрим предложение
□
« Число х кратно 5.»
Это высказывательная форма.
 Как из высказывательной формы сделать высказывание?
9
1-ый способ.
Подставить значение х. Например, «Число 25 кратно 5»(
получили истину)
2-ой способ:
а) « Всякое число х кратно 5.»( получили ложь)
Теперь мы можем сказать, что первое предложение –
истинно,второе – ложь.
 Вместо слова «всякое» можно поставить другие слова:
«каждый», «любой»,«все».
б) «Существует такое число,что х кратно 5».
Вместо слова «существует» можно поставить другие слова:
«некоторые», «найдется», «есть», «хо тя бы один».
Для того, чтобы составить высказывания вторым способом, мы
использовали кванторы:
 Общности: «всякий», «каждый», «любой» - заменяют
логическую связку «и»
□ Существования: «существуют», «некоторые», «найдется»,
«есть», «хотя бы один» - заменяют логическую связку «или».
Как узнать истинность такого высказывания?
• если есть квантор общности, то, чтобы доказать
истину – проводим доказательство
ложь – приводим контрпример
• если есть квантор существования, то, чтобы доказать
истину – приводим пример
ложь – доказываем.
Например, установите, истинны или ложны следующие
высказывания:
а) всякое натуральное число делится на 5.
Решение:
Высказывание ложное, т.к можно привести пример 4 не делится
на 5.
б) среди треугольников есть прямоугольные.
Решение:
Высказывание истинно, т.к. можно привести пример, изобразив
прямоугольный треугольник.
Выполните упражнения:
10
1. Определите значение истинности высказывания:
а) во всяком четырехугольнике диагонали равны;
б) существуют числовые выражения,значения которых
нельзя найти;
в) при делении на 5 некоторых натуральных чисел в
остатке получается 7;
г) любое однозначное число является решением
неравенства х + 2 > 1;
д) всякое целое число является натуральным;
е) хотя бы одно натуральное число является решением
уравнения
7 : х = 2;
ж) площадь прямоугольника равна произведению длин его
соседних сторон;
з) существуют четные числа;
и) некоторые числа делятся на 4;
к) среди многоугольников есть треугольники.∈
Отрицание высказываний и высказывательных форм.
Отрицанием высказывания А называется
□ высказывание А,которое ложно,если высказывание А
истинно,и истинно,если высказывание А – ложно.
 Построение отрицания:
1-ый способ- перед высказыванием ставим связку
«неверно,что А»;
- 2-ой способ- ставим частицу «не» перед глаголом.
Отрицание конъюнкции и дизъюнкции.
Дано высказывание:
 «Число 28 делится на 7 и на 4».
Построим отрицание двумя способами:
1 способ:
«Неверно, что число 28 делится на 7 и на 4».
2 способ:
« Число 28 не делится на 7 или на 4».
Правило:
11
чтобы
построить
отрицание
конъюнкции
(дизъюнкции),достаточно заменить отрицаниями составляющие
ее высказывания, а союз «и» ( «или») заменить союзом «или»
(«и»).
Отрицание высказываний с кванторами.
Дано высказывание:
 «Всякий
прямоугольный
треугольник
является
равнобедренным.»
Построим отрицание двумя способами:
1 способ:
«Неверно, что всякий прямоугольный треугольник является
равнобедренным».
2 способ:
« Некоторые прямоугольные треугольники не являются
равнобедренными».
Правило:
Для
того,чтобы
построить
отрицание
высказывания,
начинающегося с квантора общности (существования),достаточно
заменить его квантором существования (общности) и построить
отрицание предложения,стоящего после квантора.
Например.
Построить отрицание двумя способами:
 Число 18 делится на 3.
 Число 64 четное или делится на 3.
 Всякое натуральное число можно представить в виде
суммы двух чисел.
Решение:
а) Неверно, что число 18 делится на 3.
Число 18 не делится на 3.
б) Неверно, что число 64 четное или делится на 3.
Число 64 нечетное ине делится на 3.
в) Неверно,что всякое натуральное можно представить в виде
суммы двух чисел.
Существует натуральное число, которое нельзя представить в
виде суммы двух чисел.
Выполните упражнения.
12
1.Постройте отрицание высказываний двумя способами:
а) 3 + 6 = 9;
б) 7 ≤ 7;
в) четырехугольник ABCD – прямоугольник или параллелограмм;
г) число 12 четное и делится на 3;
д) всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику;
е) некоторые простые числа являются четными;
ж) среди чисел есть такие, которые делятся на 5 и на 7;
з) существуют числовые выражения, значения которых нельзя
найти.
Отношение следования и равносильности между
предложениями.
Даны высказывательные формы:
А(х): «Число х кратно 4».
B(х): «Число х кратно 2»
Образуем новую высказывательную форму:
« Если число х кратно 4,то число х кратно 2»
А(х) => В(х)
Определение:
Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной
формы А(х),если В(х) обращается в истинное высказывание при
всех тех значениях х,при которых А(х) истина.
В данном случае говорят, что А(х) – достаточное условие для
В(х), а В(х) – необходимое условие для А(х).
А(х)< => В(х)
 Если из А(х) следует В(х)- истина и из В(х) следует А(х)истина, то говорят,что А(х)- необходимое и достаточное
условие для В(х) и В(х) необходимое и достаточное
условие для А(х).
Например,
Вместо
многоточия
вставьте
слова
«необходимо»,
«достаточно», или «необходимо и достаточно»:
а) для того, чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на
2, …, чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
Решение:
13
Переформулируем предложение: « если сумма двух
натуральных чисел делится на 2, то и каждое слагаемое
обязательно делится на 2». Получили ложь, т.к. 1+3=4.
Следовательно, ставим слово «достаточно».
б) для того, чтобы число делилось на 45, …, чтобы оно
делилось на 5 и 9.
Решение:
Переформулируем предложение: «если число делится на
45, то оно обязательно разделится на 5 и 9. Получили истину,
следовательно, ставим слово «необходимо», но тогда
проверим обратное утверждение «если число делится на 5 и
на 9, то оно обязательно разделится на 45».
Снова получили истину, следовательно, ставим слово
«достаточно». Окончательно ставим слова «необходимо и
достаточно».
в) для того, чтобы угол был острым, …, чтобы он был меньше
прямого.
Решение:
Переформулируем предложение: «если угол острый, то
он обязательно меньше прямого». Это истина, следовательно,
ставим слово «необходимо». Но тогда проверим обратное
утверждение «если угол меньше прямого, то он обязательно
острый» Это ложь (могут быть внутренние накрест лежащие
углы). Следовательно, остается только слово «необходимо».
Выполните упражнения.
1. Среди следующих предложений укажите истинные;
ответы обоснуйте:
а) число а – натуральное, следовательно, и 15а –
натуральное;
б) число 15а – натуральное, следовательно, а –
натуральное число;
в) если в четырехугольнике все углы прямые, то этот
четырехугольник – прямоугольник;
г) если в четырехугольнике диагонали равны, то этот
четырехугольник – прямоугольник;
14
д)
для
того,
чтобы
четырехугольник
был
прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были
равны;
е)
для
того,
чтобы
четырехугольник
был
прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были
равны.
2. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо»,
«достаточно» или «необходимо и достаточно»:
а) для того, чтобы сумма двух натуральных чисел была
больше 20, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 10;
б) для того, чтобы разность двух чисел была четной, …,
чтобы обе компоненты вычитания были четными;
в) для того, чтобы вычитание было выполнимо на множестве
натуральных чисел, …, чтобы уменьшаемое было больше
вычитаемого;
г) для того, чтобы сумма двух чисел равнялась второму
слагаемому, …, чтобы первое слагаемое было равно нулю;
д) для того, чтобы аb = 0,…, чтобыа = 0;
е) для того, чтобы сумма двух чисел делилась на 5, …, чтобы
каждое слагаемое делилось на 5;
ж) для того, чтобы число делилось на 24, …, чтобы оно
делилось на 4;
з) для того, чтобы число было кратно 5, …, чтобы оно было
кратно 10;
и) для того, чтобы 5а было равно нулю, …, чтобыа = 0.
Структура теорем. Виды теорем
Большинство математческих теорем может быть записано в виде:
А(х) => В(х), где А(х) – условие теоремы, а В(х) – заключение
теоремы.
Виды теорем:
 А(х) => В(х) – прямая теорема
 В(х) => А(х) – обратная теорема
 А(х) => В(х) – противоположная данной
 В(х) => А(х) – противоположная обратной
Выделите условие и заключение в следующих теоремах:
15
а) если треугольники подобны, то их высоты относятся как
сходственные стороны;
б) если многоугольник правильный, то в него можно вписать
окружность;
в) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой,
то они паралллельны.
Закон контраппозиции
А(х) => В(х) <=> В(х) => А(х)
Задание: построить все виды теорем, используя данную: «Если четырехугольник прямоугольник,то у него все углы
прямые».
Решение:
- «Если у четырехугольника все углы прямые, то этот
четырехугольник прямоугольник». ( Обратная теорема )
- «Если четырехугольник не прямоугольник, то углы у него не
прямые».
( Противоположная данной )
- «Если у четырехугольника углы не прямые, то это не
прямоугольник».
(Противоположная обратной )
Закон контраппозиции:
Данная теорема и последняя.
Выполните задания:
1.Постройте отрицание двумя способами:
 «Число 253 составное или простое».
 «Любой прямоугольник является квадратом».
 «Существуют натуральные числа,кратные 3».
2.Вставьте слова «необходимо» и «достаточно» или
«необходимо и достаточно»:
 1)Для того,чтобы число делилось на 72, . . . ,чтобы оно
делилось на 8 и на 9.
2) Для того, чтобы число было отрицател ным, . . . ,чтобы оно
было меньше 0.
3) Для того,чтобы фигура имела площадь, . . . ,чтобы она была
прямоугольником.
16
Дополнительные задания:
1) Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
а) если число кратно 4, то оно кратно 2;
б) если треугольник прямоугольный, то он не
равносторонний;
если число натуральное, то оно положительное.
2) Мама сказала Тане: « если я получу лтпуск летом, то мы
поедем на море». В школе девочка поделилась новостью со
своими подругами, сказав так: « Если мы поедем с мамой на
море, - то мама возьмет отпуск летом». Правильно ли Таня
выразила мамину мысль?
3) Дана
теорема:
«
Для
того,
чтобы
диагонали
четырехугольника делились в точке пересечения пополам,
достаточно,
чтобы
этот
четырехугольник
был
параллелограммом». Выделите в ней условие и заключение и
сформулируйте ее при помощи слов «следует»; «всякий».
4) В следующих предложениях вместо многоточий поставьте
термины «необходимо», «достаточно», «необходимо и
достаточно», чтобы получились истинные высказывания:
а)для того, чтобы сумма двух положительных чисел была
меньше 40, …, чтобы оба слагаемых были меньше 20;
б) для того, чтобы площадь прямоугольника равнялась
100см2,…, чтобы длина одной из его сторон была равна 5 см,
а другой – 20 см;
в) для того, чтобы выпуклый четырехугольник был
параллелограммом, …, чтобы он имел центр симметрии.
5) Для каждой их следующих теорем сформулируйте обратное,
противоположное и обратно противоположное утверждения и
установите, какие из них будут теоремами:
а) «Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали
взаимно-перпендикулярны и делят угол пополам»;
б) «Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть
прямоугольник или квадрат».
17
Контрольная работа
1 вариант
1) Построить отрицание двумя способами:
«Любое натуральное числоявляется решением уравнения 2х-3=1»
2) Вставить слова «необходимо» и «достаточно»:
Для того, чтобы углы были вертикальными,…,чтобы они были
равны.»
3)Сформулируйте теорему, равносильную данной:
«Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма четное число.»
2 вариант
1) Построить отрицание двумя способами:
«Треугольник АВС прямоугольный или равносторонний»
2) Вставить слова «необходимо» и «достаточно»:
«Для того,чтобы четырехугольник был ромбом,…,чтобы все его
стороны были равны.»
3) Сформулируйте теорему, равносильную данной:
«Если четырехугольник – ромб,то его диагонали взаимноперпендикулярны.»
18
1.
2.
3.
4.
5.
Библиография
Стойлова Л.П. Математика : учебник для студентов высш.
пед. учеб.заведений / Л.П.Стойлова. – М.: Издательский
центр «Академия», 2007. – 432 с.
Стойлова Л.П. Математика: Учеб.пособие для студ. Сред.
Пед. Учеб.заведений. – 2-е издание, исправленное. – М.:
Издательский центр «Академия», 1997. – 464 с.
Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник практикум по
математике: учебное пособие для студентов – заочников 13 курсов факультетов педагогики и методики начального
обучения
педагогических
институтов/М.:
«Просвещение», 1985.- 183 с.
Пышкало А.М., Стойлова Л.П., Лаврова Н.Н., Ирошников
Н. П. Сборник задач по математике:пособие для
педучилищ/- М.:Просвещение, 1979.- 208 с.
Виленкин Н.Я., Пышкало А.М., Рождественская В.Б.,
Стойлова Л.П. Математика: учебное пособие для
студентов пед институтов по специальности « Педагогика
и методика начального обучения»/ - М.:»Просвещение»,
1977.- 352 с.
19