Методические особенности работы с понятиями Касательная к окружности

Методические особенности работы с понятиями
Учитель математики МОУСОШ № 32 «Эврика - развитие» Дубянская О. В.
Касательная к окружности
На доске даны рисунки:
А)
.о
Б)
В)
.о
.о
а
а
Две точки касания
а
а
а
а
Одна точка касания
Нет точек касания
1) Опишите взаимное расположение прямой «а» и окружности
2) Отчего это зависит (от расстояния между прямой и центром окружности и радиусом
окружности)
3) В каком случае прямая «а» будет являться касательной?
4) Предлагаю учащимся провести касательную к окружности
5) Сколько касательных можно провести к данной окружности и почему? (по
определению окружности)
6) Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме
точки касания (из точки, не лежащей на прямой, можно провести к ней перпендикуляр и
при том только один)
7) Предлагаю учащимся провести 2 касательных из одной точки к окружности.
Какие особенности вы заметили? (Т.к. ОВ=ОС, то АО-биссектриса, АВ=АС из равенства
ОВА и
ОСА)
«Откроем» свойства касательной к окружности:
Т1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания
Т2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки равны и составляют
равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности
Т3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и
перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной
В результате практической деятельности учащиеся формулируют:




Определение касательной
Свойство касательной
Признак
Свойство двух касательных, проведенных из одной точки
Далее перехожу к этапу усвоения определения понятий и предлагаю такие упражнения
Упражнения на выявление свойств понятий:
Среди следующих утверждений укажите истинные:
1) окружность и прямая имеют 2 общие точки, если:
А) расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности
Б) расстояние от центра до прямой окружности до прямой меньше радиуса окружности
В) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса окружности
2) Закончите фразу: окружность и прямая имеют общую точку, если…
3) Установите истинность или ложность следующих утверждений:
А) прямая является секущей по отношению к окружности, если она имеет с ней общие
точки
Б) прямая является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность
в 2-х точках
В) прямая является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра
окружности до данной прямой не больше радиуса
4) Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек,
кроме точки касания
Затем использую понятия в конкретных ситуациях и предлагаю задачи по готовым
чертежам
Решение задач по готовым чертежам
1)
АС-касательная, R=5, найдите - ОВ
АС и АС - касательные, СО=4 и ОА=2.
2)
Найдите угол ВОС
ВС - касательная, R=6, ВС=16, АО=ОВ, найдите АО
3)
в
с
4)
А1 , В1, С1-точки касания, найдите Р(авс)
Систематизация материала
1) Каково взаимное расположение прямой и окружности?
2) Какая прямая называется касательной?
3) Как построить прямую, касающуюся окружности?
4) Что значит: «Окружности касаются в данной точке»?
5) Какое касание окружностей является внешним, а какое - внутренним?
6) Каким свойством обладают отрезки касательных?
Конечным этапом будет решение задач из учебника